Infinito - Marcianum

Indice
1 Analisi matematica dell’infinito
1.1 Concetti base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 La numerabilità di Q e la non numerabilità di R. . . . . . . . . . . . . . . .
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5
1
Analisi matematica dell’infinito
1.1
Concetti base
La successione1 dei numeri naturali è il primo esempio di insieme infinito che si incontra
in matematica e, anche per questa ragione, riveste una particolare importanza quando ci
si avventura a parlare di infinito. Risulta evidente a tutti, anche ai bambini della scuola
primaria, che a partire da un numero naturale n è sempre possibile trovarne il successivo:
n + 1. Il processo è sempre ripetibile, cioè è sempre applicabile a un qualsivoglia numero
naturale. Questo concetto di infinito, che si basa sulla possibilità di trovare un successivo per
ogni numero naturale, si chiama infinito potenziale o infinito in potenza. L’aggettivo
potenziale indica la possibilità di non terminare mai il processo di “raggiungimento” del
successivo (talvolta chiamato successore) di un elemento dell’insieme dei naturali. Infinito
in potenza contrapposto all’infinito in atto, o anche detto infinito attuale che consiste
in un atto mentale (forse un po’ superbo) di comprensione2 . In ogni caso il passaggio
dall’aggettivo infinito al sostantivo infinito, che verrà indicato con ∞, non significa che
il simbolo ∞ possa essere considerato come un elemento ordinario dell’insieme dei numeri
naturali. Analogamente ∞ non può essere considerato come un numero razionale o reale se
si vuole che le proprietà formali dell’aritmetica elementare siano rispettate. Il concetto di
infinito pervade tutta la matematica moderna poiché in questa scienza si studiano principalmente gli enti matematici non individualmente ma come membri di classi o collezioni (o
insiemi) contenenti un infinità di elementi della stessa “natura”. Inoltre, come vedremo in
seguito, esistono diversi tipi di infinito in matematica nonostante possa sembrare assurdo in
prima analisi.
La moderna teoria degli insiemi, ideata da George Cantor e dalla sua scuola verso la fine
del XIX secolo, ha affrontato questo problema dando una risposta formalmente soddisfacente
anche se di difficile comprensione. Si parte dal concetto generale di insieme o classe3 . Ad
esempio sono insiemi:
• I numeri naturali, che indicheremo con N.
• I numeri interi, che indicheremo con Z.
• I numeri razionali, che indicheremo con Q.
• I numeri reali, che indicheremo con R.
• e molti altri.....
Il confronto delle quantità di elementi tra insiemi, se per gli insiemi non infiniti può consistere
banalmente nel contarne gli elementi, per gli insiemi infiniti occorre inventare un altro modo
di procedere. Risulta infatti impossibile contare un infinità di cose, visto che siamo umani.
1
Una successione è un insieme di oggetti ordinato, cioè una lista con un primo elemento,un secondo,....,
ecc...
2
Con questo termine si intende l’atto di considerare completamente, cioè con tutti i suoi elementi, l’insieme
dei numeri naturali
3
Con questi termini si intendono collezioni o aggregati di oggetti definite da una proprietà che specifichi
esattamente quali elementi appartengono all’insieme e quali no.
2
Naturalmente il nuovo modo di confrontare insiemi infiniti deve anche funzionare nell’ambito
degli insiemi non infiniti. In altre parole, se confronto insiemi finiti con questo nuovo metodo
dovrà accadere che il risultato di tale confronto coincida con quello del confronto ottenuto
contandone gli elementi. La nozione fondamentale che ci permette di fare questo confronto
tra infiniti è quella di equipotenza4 e questa si fonda sulla nozione di corrispondenza
biunivoca5 . La nozione di equipotenza per gli insiemi finiti coincide con la nozione ordinaria
di uguaglianza tra numeri, se identifichiamo il numero con la quantità di elementi di un
insieme finito. Infatti due insiemi finiti hanno lo stesso numero di elementi se e solo se esiste
una corrispondenza biunivoca tra i due insiemi. Questa è sostanzialmente l’idea che sta
sotto al “contare”; se ci pensiamo, nel momento in cui contiamo gli elementi di un insieme,
stabiliamo un corrispondenza con i numeri 0, 1, 2,...,n.
Cantor si pose il problema di estendere il concetto di contare agli insiemi infiniti, ideando
l’equipotenza, allo scopo di definire un’aritmetica degli infiniti. L’insieme dei numeri reali e
l’insieme dei punti di una retta, sono equipotenti perché è possibile stabilire una corrispondenza biunivoca tra i due insiemi: scegliendo un’origine e un punto unità si fa corrispondere
al punto P la sua ascissa xP .
Da questa nozione seguono dei fatti difficili da capire e la ragione può risiedere nella
nostra mente che è abituata a ragionare con cose finite. Ad esempio si dimostrerà che un
sottoinsieme proprio J infinito di un insieme I, può essere ad esso equipotente. Si può
facimente verificare che:
• I numeri pari formano un sottoinsieme proprio6 dei numeri naturali.
• L’insieme dei numeri naturali N è un sottoinsieme proprio dell’insieme dei numeri interi
Z.
• I numeri interi formano un sottoinsieme proprio dei numeri razionali.
Se per gli insiemi finiti ogni sottoinsieme proprio di un insieme ha un numero inferiore di
elementi dell’insieme dato, e quindi nessun sottoinsieme proprio di un insieme finito è equipotente all’insieme di partenza, per gli insiemi infiniti questo non accade. Addirittura una delle
proprietà equivalenti all’essere un insieme infinito è quella di essere in corrispondenza biunivoca con un (almeno uno) suo sottoinsieme proprio. Si verifica subito che l’insieme dei
numeri pari è equipotente all’insieme dei numeri naturali costruendo la corrispondenza che
ad ogni naturale associa il suo doppio; in simboli ∀i ∈ N i ↔ 2i. Questa “contraddizione”
alla familiare verità “Il tutto è sempre maggiore di ogni sua parte” mostra quali sorprese ci
si debba aspettare di trovare nel dominio dell’infinito.
Esempio 1.1 Dimostrare che:
1. L’insieme dei numeri dispari è equipotente all’insieme N.
4
Alcuni autori la chiamano equivalenza intendendo forse che tale nozione individua una relazione di
equivalenza ma chi scrive ritiene che tale nozione sia troppo generale e per focalizzare l’attenzione sul
problema utilizzeremo l’altro termine.
5
Dati due insiemi A e B se è possibile far corrispondere ad ogni elemento di A uno e uno solo elemento di
B e ad ogni elemento di B uno e uno solo elemento di A allora tale corrispondenza sarà detta biunivoca.
6
Un sottoinsieme S di un insieme I si dice proprio quando almeno un elemento di I non appartiene a S.
3
2. L’insieme dei multipli di 5 è equipotente all’insieme N.
3. L’insieme dei numeri interi Z è equipotente all’insieme N.
4
1.2
La numerabilità di Q e la non numerabilità di R.
Una delle prime forti conseguenze scoperte da Cantor nella sua analisi dell’infinito fu che
l’insieme Q è equipotente all’insieme N. A prima vista sembrerebbe molto strano poiché
l’insieme dei numeri razionali è denso7 mentre i numeri naturali non lo sono. Inoltre non
è possibile disporre in ordine di grandezza i numeri razionali come si può fare per i numeri
naturali dicendo, ad esempio, che a è il primo e b è il successivo ecc...; la densità di Q nega
la possibilità dell’esistenza del successivo di un numero razionale. Per ovviare a questo inconveniente Cantor trascurò l’ordine di grandezza tra elementi successivi si mise a costruire
una lista chiamata anche enumerazione di numeri razionali con la quale costruı̀ una corrispondenza biunivoca tra N e Q≥0 , dimostrando cosı̀ che N è equipotente a Q≥0 e che quindi
i razionali positivi o nulli sono un insieme numerabile8 . Una enumerazione analoga la si può
costruire con i razionali negativi, dimostrando cosı̀ che anch’essi sono un insieme numerabile.
Ma come dimostrare che tutto Q è numerabile? La risposta alla domanda la diede un famoso
teorema, anch’esso dovuto a Cantor, il quale assicura che l’unione di insiemi numerabili è
numerabile9 .
Una volta dimostrata la numerabilità di Q si potrebbe supporre che tutti gli insiemi
infiniti siano numerabili e considerare questo fatto come il risultato ultimo dell’analisi dell’infinito. Ma la realtà è tuttaltra. Lo stesso Cantor dimostrò che l’insieme dei numeri reali,
unione di razionali e irrazionali non è numerabile. In sostanza ciò significa che l’infinito dei
numeri reali è più “ampio” di quello dei numeri razionali e quindi che esistono diversi tipi
di infinito (almeno due per il momento).
La tecnica che si usa nel dimostrare la non numerabilità di R si chiama metodo diagonale e consiste nel considerare l’intervallo [0, 1] supporre che sia possibile costruire una
enumerazione di tale insieme in rappresentazione decimale. Fatto ciò si farà vedere che esiste un numero reale che non può essere compreso nella lista e da questo si dedurrà che tale
numerazione non può esistere.
Si ricorda che l’insieme dei razionali in rappresentazione decimale è formato da:
1. Decimali limitati10 .
2. Decimali illimitati periodici puri.
3. Decimali illimitati periodici misti.
I numeri irrazionali, invece, in rappresentazione decimale sono tutti quelli che hanno la parte
decimale illimitata e non periodica, cioè che dopo la virgola hanno un numero infinito di cifre
che non si ripetono mai con regolarità.
7
Dato un insieme I su cui sia assegnata una relazione d’ordine stretto parziale, diremo che I è denso se
e solo se ∀x1 , x2 ∈ I con x1 < x2 ∃ x | x1 < x < x2
8
Un insieme si dice numerabile se è equipotente a N.
9
Più precisamente l’unione alpiù numerabile di insiemi numerabili è numerabile.
10
Si noti che i decimali limitati li possiamo vedere come dei decimali illimitati, aggiungendo in coda infiniti
zeri.
5
Supponiamo quindi che [0, 1] sia
una lista come di seguito:
0,
0,
0,
0,
·
numerabile e di aver numerato tutti i suoi elementi in
a1
b1
c1
d1
·
a2
b2
c2
d2
·
a3
b3
c3
d3
·
a4
b4
c4
d4
·
a5
b5
c5
d5
·
·
·
·
·
A partire dalla lista fatta consideriamo gli elementi contenuti nella diagonale principale
0, |a1 | a2 a3 a4
0, b1 |b2 | b3 b4
0, c1 c2 |c3 | c4
0, d1 d2 d3 |d4 |
·
·
·
·
·
a5
b5
c5
d5
·
·
·
·
·
e costruiamo l’elemento nel seguente modo:
0, a∗1 b∗2 c∗3 d∗4 · · · , dove a∗1 è una cifra diversa da a1 , b∗2 è diversa da b2 e cosı̀ via. Chiaramente
tale nuovo numero non può essere compreso nella lista perché differisce da questi per almeno
un elemento, quello nella diagonale. Infatti non può coincidere col primo perché differisce da
questo nel primo elemento, né col secondo perché differisce da questo nel secondo elemento,
né con l’ ennesimo ecc... Si scopre quindi che esiste un decimale illimitato che non è compreso
nella lista, da cui si ha un assurdo che è nato dall’aver supposto che una tale lista esistesse.
Quindi una tale lista non esiste, provando che i numeri reali non sono numerabili.
Vale la pena ricordare che il ragionamento è stato fatto nell’intervallo [0, 1] rimarrebbe
da far vedere che tale intervallo è equipotente a tutta la retta ma questo esula da quanto
ci si proponeva con queste pagine e cioè di fornire una prova dell’esistenza di diversi tipi di
infinito.
6