INSIEMI Supporremo la nozione di insieme nota a tutti

INSIEMI
Supporremo la nozione di insieme nota a tutti. Intuitivamente un insieme è una
collezione di oggetti, che rappresentano gli elementi dell’insieme. Nel seguito
useremo le lettere A, B, C, X, Y per denotare gli insiemi e le lettere a, b, c, x, y per
denotare gli elementi di un insieme. Assegnare un insieme significa dare un criterio
che permetta di stabilire quali elementi appartengono all’insieme e quali non vi
appartengono. Le notazioni a ∈Α, b ∉Α si leggono rispettivamente “a è un elemento
dell’insieme A”, “b non è un elemento dell’insieme A”. I simboli ∈, ∉ sono detti,
rispettivamente, di appartenenza e non appartenenza. Useremo le lettere IN, Z, Q, IR
per denotare rispettivamente l’insieme dei numeri naturali, interi, razionali, reali.
Spesso per assegnare un insieme si elencano i suoi elementi e si utilizza la notazione
A={elementi}. Ad esempio
A={1, 2, a, b}
è l’insieme i cui elementi sono i numeri 1 e 2 e le lettere a e b.
Un altro modo di assegnare un insieme consiste nel caratterizzarne gli elementi
mediante una proprietà. Si considera un insieme U detto insieme universo o ambiente
e un’affermazione P(x) relativa agli elementi di U che si suppone vera oppure falsa
per ogni x ∈ U. Gli elementi x per i quali P(x) è vera individuano un insieme A che
si denota con
A={ x ∈U: P(x) è vera }
o più semplicemente con
A={ x ∈U: P(x)}.
Esempio 1. A ={x ∈IN: x2 – 3x +2 = 0} ={1, 2 }.
Esempio 2. Siano U l’insieme delle lettere dell’alfabeto e P(x) la proprietà x è una
vocale, allora
A = { x ∈U: P(x)} = { a, e, i, o, u}.
Se si considera su un insieme U un’ affermazione falsa per ogni x ∈U, l’insieme
{x∈U: P(x)} risulta privo di elementi ed è detto insieme vuoto, Per indicare l’insieme
vuoto usiamo il simbolo ∅.
Esempio 3. Siano U = IN e P(x) l’affermazione x è soluzione dell’equazione
x 2 − 2 2 x + 2 = 0 , allora {x ∈U: P(x)} = ∅ dato che l’equazione
x 2 − 2 2 x + 2 = (x − 2 ) 2 = 0
ammette come radice doppia x = 2 ∉ IN.
Siano A e B due insiemi. Se per ogni x ∈ A risulta x ∈ B diciamo che A è un
sottoinsieme di B, in simboli A⊂B (si veda la Fig. 1). Da questa definizione discende
che A non è un sottoinsieme di B se esiste x ∈ A tale che x ∉ B ( si veda la Fig.2).
Da tale osservazione segue che ∅⊂A quale che sia l’insieme A e di conseguenza
l’insieme vuoto è unico. Per indicare che A non è un sottoinsieme di B usiamo la
notazione A⊄B. I simboli ⊂, ⊄ sono rispettivamente quello di inclusione e quello di
non inclusione.
La notazione di contenuto permette di definire l’eguaglianza tra insiemi. Due insiemi
A e B sono uguali, in simboli A = B, se A⊂B e B⊂A. Da questa definizione discende
che due insiemi sono uguali se hanno gli stessi elementi.
Esempio 4. Gli insiemi A = {1, 2, 3} e B = {3, 1, 2} sono uguali.
Definizione 1. Un sottoinsieme B di A è un sottoinsieme proprio di A se B A.
Definizione 2. Sia A un insieme. L’insieme P(A) avente come elementi i sottoinsiemi
di A è l’ insieme delle parti di A, in simboli P(A) = B: B A .
Dalla definizione precedente segue che ∅, A∈P(A) quale che sia l’insieme A.
Esempio 5. P(∅) = {∅}.
Esempio 6. Se A = {1, 2, 3}, allora
P(A) = {∅, A, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}}.
Definizione 3. Siano A e B due insiemi, con le notazioni A B e A B si indicano
rispettivamente l’unione e l’intersezione degli insiemi A e B. Per definizione
A∪B = {x: x ∈ A o x ∈ B},
A∩B = {x: x ∈ A e x ∈ B}.
Definizione 4. Se A B =
diremo che gli insiemi A e B sono disgiunti.
Per l’unione e l’intersezione valgano le seguenti proprietà:
i) A∪B = B∪A,
ii) A∩B = B∩A,
iii) (A∪B)∪C = A∪(B∪C),
iv) (A∩B) ∩C = A∩(B∩C),
v) A∪(B∩C) = (A∪B) ∩ (A∪C),
vi) A∩ (B∪C) = (A∩B) ∪ (A∩C).
Tali proprietà si verificano mostrando che l’insieme a primo membro è un
sottoinsieme di quello a secondo membro e viceversa.
Nella figura 5 si ha una verifica grafica della proprietà vi).
La notazione A \ B indica l’insieme differenza tra A e B, cioè l’insieme avente come
elementi quelli di A che non appartengono a B (si veda la Fig.6).
Se B ⊂ A l’insieme A \ B si denota con BAc , o semplicemente con Bc , e rappresenta
l’insieme complementare dell’insieme B rispetto all’insieme A (si veda la Fig. 7).
Osservazione 1. Dati due insiemi A e B con B ⊂ A risulta (B c )c =B.
Ricordiamo le relazioni di De Morgan:
( A ∩ B) c = A c ∪ Bc ,
( A ∪ B) c = A c ∩ Bc .
A titolo di esempio verifichiamo che ( A ∩ B) c = A c ∪ Bc .
Fissato x ∈ (A∩B)c, allora x ∉ A∩B e ciò implica che x ∉ A oppure x ∉ B. Di
conseguenza x ∈ Ac oppure x ∈ Bc e quindi x ∈ Ac∪Bc. Quanto provato assicura che
(A∩B)c ⊂ Ac∪Bc. Procedendo in modo analogo si prova l’inclusione inversa e quindi
l’eguaglianza.
La seconda relazione si ottiene procedendo allo stesso modo o dalla prima relazione
sostituendo A e B rispettivamente con Ac e Bc. Una verifica grafica di tale proprietà è
in Fig. 8.