Nozioni introduttive e notazioni
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Nozioni introduttive e notazioni
Nozioni introduttive e notazioni 1.1 Insiemi La teoria degli insiemi è alla base di tutta la matematica , in quanto ne fornisce il linguaggio base e le notazioni . Definiamo un insieme come una collezione di oggetti , in numero finito o infinito . Nel primo caso parliamo di insieme finito di ordine pari al numero degli oggetti che lo costituiscono , nel secondo caso di insieme infinito . Così sono insiemi finiti di ordine 7 gli insiemi dei nani della favola di Biancaneve , dei giorni della settimana , delle note musicali , dei numeri naturali compresi tra 0 e 6… , sono insiemi infiniti l’insieme di tutti i numeri naturali, l'insieme dei numeri interi, quello dei razionali, degli irrazionali e dei reali . Gli oggetti che costituiscono un insieme sono detti i suoi elementi . Gli insiemi sono generalmente indicati con lettere maiuscole dell'alfabeto latino esteso A, B, X, Y…, gli elementi con lettere minuscole a, b, x, y … . Per indicare l'appartenenza o meno dell'elemento x all'insieme A , si scrive x∈ A e x∉A rispettivamente . L'insieme privo di elementi è detto insieme vuoto e indicato universalmente con il simbolo ∅ . Sono esempi di ∅ l’insieme delle soluzioni reali dell’equazione x2 + 1 = 0 , l’insieme dei numeri naturali minori di 0 , l’insieme delle soluzioni reali del sistema seguente x − y = 0 2 2 x + y − 8 x + 15 = 0 -1- Vediamo i modi più usati per indicare un insieme . Alcuni insiemi hanno una notazione standard : così N, Z, Q, R, C indicano l'insieme dei numeri naturali, interi, razionali, reali e complessi , 2Z l'insieme dei numeri pari , Z[x] l'insieme dei polinomi in una variabile x a coefficienti interi . Vedremo in seguito molte altre notazioni di uso comune in matematica . Uno specifico insieme viene indicato mediante l’indicazione diretta dei suoi elementi, elencando gli stessi tra parentesi graffe, ciascuno una volta sola e senza dare importanza all’ordine . Così , I= { }={ 0,1,2 1,0,2 }={ 1,2,0 }=… indica l’insieme dei primi tre numeri naturali . Un altro modo per assegnare un insieme X consiste nell’indicare una proprietà caratteristica comune a tutti i suoi elementi e scrivere X= { x / x ha la proprietà P } x : x ha la proprietà P }. o anche X= { In tal caso si parla di rappresentazione caratteristica dell’insieme X . L’insieme I = caratteristica : { 0,1,2 }, finito di ordine 3, ha la seguente rappresentazione I= { x / x ∈ N e 0≤ x ≤ 2 } o, equivalentemente , I= { x ∈ N / 0≤ x ≤ 2 }. Osserviamo che è necessario indicare esplicitamente la natura degli elementi dell’insieme e non solo la loro proprietà caratteristica : infatti la stessa proprietà degli elementi di I dà luogo in R all’insieme infinito [0,2] , detto intervallo chiuso di estremi 0e2, [0,2]= { x ∈ R / 0≤ x ≤ 2 }. Gli intervalli della retta reale possono anche essere aperti e semiaperti (o semichiusi ) e sono caratterizzati e indicati nel modo che segue : -2- (a,b) = { x ∈R / a < x < b } [a,b) = { x ∈ R / a ≤ x <b } ( a,b] = { x ∈ R / a< x ≤ b }. Ricordiamo infine i simboli che useremo più frequentemente nel seguito : ∀ significa “ per ogni “ , “ per tutti “ , “ qualunque sia “ , … ∃ significa “ esiste almeno un/o/a “ ∃!significa “ esiste uno ed un solo “ ⇒ si legge “implica” : se p e q sono due affermazioni , p⇒q significa che se p è vera, allora è vera anche q ⇔ si legge “biimplica” o “ se e soltanto se “ : se p e q sono due affermazioni , p ⇔ q significa che p e q sono equivalenti, cioè che esse sono entrambe vere o entrambe false . ∧ si legge “e” , ha il significato della congiunzione e ∨ si legge “o” , ha il significato della congiunzione o , oppure ( è il vel latino). 1.2 Sottoinsiemi Un insieme A si dice sottoinsieme dell’insieme B se ogni elemento di A appartiene a B. Si scrive A⊆B e si legge “ A contenuto in B “ o “ A incluso in B” . In simboli : A ⊆ B ⇔ ∀ x ∈A ⇒ x ∈ B . Ad esempio , N⊆Z⊆Q⊆R⊆C, 2Z ⊆ Z , { 0,1,2 }⊆ { 0,1,2,3 }⊆N. Dalla definizione segue che ogni insieme è sottoinsieme di se stesso e che l’insieme vuoto è un sottoinsieme di qualunque insieme , cioè ∀A ,A⊆A e∅⊆A . -3- Due insiemi A e B sono uguali se hanno gli stessi elementi . Si scrive A = B . In simboli : A=B ⇔ A⊆B ∧ B⊆A. A è detto sottoinsieme proprio di B se è un sottoinsieme di B non coincidente con B , cioè A ⊆ B e A ≠ B . Si scrive talvolta A ⊂ B ( si noti l’analogia dei simboli ⊆ e ⊂ con i simboli ≤ e < della relazione di ordinamento per grandezza dei numeri reali ) . Dato un insieme I , la collezione di tutti i suoi sottoinsiemi costituisce l’insieme delle parti o insieme potenza di I : P(I) = { A / A ⊆ I } . Per quanto osservato precedentemente ∅ e I appartengono a P(I), quindi P(I) non è mai privo di elementi . Come esempio , costruiamo P(I) nei casi I = P( { 0,1 P( { 0,1,2 { 0,1 } e I ={ 0,1,2 }. } ) = { ∅,{0},{1}, {0,1}} } ) = { ∅,{0},{1},{2}, {0,1},{0,2},{1,2},{0,1,2}}}. Se I ha ordine 2 , il suo insieme delle parti ha 4 elementi , se I ha ordine 3 , il suo insieme delle parti ha 8 elementi , si dimostra che se I ha ordine n , il suo insieme delle parti ha 2n elementi . 1.3 Operazioni tra insiemi . Definizione . Dati due insiemi A e B , si dice insieme unione di A e di B l’insieme A U B avente come elementi gli oggetti che appartengono ad almeno uno tra A e B . in simboli : A U B = {x / x ∈ A ∨ x ∈ B } Definizione . Dati due insiemi A e B , si dice insieme intersezione di A e di B l’insieme A I B avente come elementi gli oggetti che appartengono sia ad A che a B . In simboli : A I B = {x / x ∈ A ∧ x ∈ B }. Ad esempio : NU Z = Z , NI Z = N {0,1,2} U {1,2,3} = {0,1,2,3}, {0,1,2} I {1,2,3} = {1,2} -4- { x ∈ R / 0≤ x ≤ 2 } U { x ∈ R / -1≤ x < 2 } = [0,2] U [− 1,2) = [− 1,2] [0,2] I [− 1,2) = [0,2) , (0,2) U [− 1,0 ) = { (0,2) x ∈ R / -1≤ x < 2 ∧ x ≠ 0 }, I [− 1,0 ) = ∅ . Due insiemi A e B si dicono disgiunti se non hanno elementi in comune , cioè se A I B = ∅ . Sono disgiunti gli intervalli della retta reale dell’ultimo esempio . Osserviamo che i concetti di unione e intersezione insiemistica vengono usati, a volte implicitamente , quando si risolvono equazioni, disequazioni e sistemi di equazioni o disequazioni : a titolo di esempio si discuta l’equazione (x2 – 1)(x +3) = 0 e il sistema del paragrafo 1.1 x − y = 0 2 2 x + y − 8 x + 15 = 0 L’insieme S delle soluzioni di (x2 – 1)(x +3) = 0 è S = {-1,+1,-3} ed è l’unione insiemistica dell’ insieme S1 = {-1,+1} delle soluzioni di x2 – 1 = 0 e dell’insieme S2 = {-3} delle soluzioni di x + 3 = 0 . L’ insieme delle soluzioni del sistema è ∅ ed è l’intersezione dei due insiemi infiniti di coppie di numeri reali {(x,y) / y = x } {(x,y) / x2 +y2 –8x + 15 =0} che nel piano cartesiano danno luogo rispettivamente alla bisettrice del primo e terzo quadrante e alla circonferenza di centro C(4,0) e raggio 1 (si noti come la proprietà caratteristica dei due insiemi ne diventa l’equazione cartesiana ) . Definizione . Dati due insiemi A e B , si dice insieme differenza di A e di B l’insieme A-B avente come elementi gli oggetti che appartengono ad A e che non appartengono a B In simboli : A-B = {x / x ∈A ∧ x ∉B } . Ad esempio : {0,1,2,3 } - {-,1,0,2,-2 } = {1,3} R - {x∈ R / x >0 } = {x∈ R / x ≤ 0 } = (− ∞,0] Z – 2Z = {x ∈Z / ∃ y ∈Z ∧ x = 2y + 1 } -5- Se la differenza viene effettuata tra un insieme e un suo sottoinsieme , si parla di complementare del secondo insieme nel primo . Così, riferendoci all’ultimo esempio, l’insieme dei numeri dispari è il complementare dell’insieme dei numeri pari nell’insieme degli interi . Definizione . Dati due insiemi A e B , si dice insieme differenza simmetrica di A e di B l’insieme A ∆ B avente come elementi gli oggetti che appartengono ad A e che non appartengono a B e gli oggetti che appartengono a B e che non appartengono a A. In simboli : A ∆ B = {x / x ∈A ∧ x ∉B } U {x / x ∈B ∧ x ∉A } = (A-B) U (B-A) . Ad esempio {0,1,2,3 } ∆ {-1,0,2,-2 } = {1,3} U {-1,-2 }{-1,1,-2,3 } . Quest’ultima operazione ha la seguente applicazione : date due specie biologiche e denotati con A l’insieme dei caratteri morfologici della prima e con B quelli della seconda , l’ordine di A ∆ B indica la distanza tra le due specie in esame . Definizione . Dati due insiemi A e B non vuoti, si dice insieme prodotto cartesiano di A e di B l’insieme AxB avente come elementi le coppie ordinate di elementi di A e di B . In simboli : AxB = {(a,b) / a ∈A ∧ b ∈B } Ad esempio , se A = {0,1,2 } e B = {2,3 } , si ha AxB = {(0,2), (0,3), (1,2), (1,3), (2,2), (2,3)} . Il prodotto cartesiano RxR , indicato anche con R2, è l’insieme di tutte le coppie ordinate di numeri reali , che, come è noto, è in corrispondenza biunivoca con l’insieme dei punti del piano cartesiano. RxR = R2 = {(a,b) / a ∈R ∧ b ∈ R} La coppia (a,b) è rappresentata nel piano cartesiano dal punto di ascissa a e di ordinata b. -6-