Controlli Automatici 1

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Capitolo 7
Osservabilità
Un sistema è detto osservabile se si può conoscere lo stato osservandone l’uscita.
Lo stato è dato da:
Z t
eA(t−τ ) Bu(τ )dτ
x(t) = eAt x(0− ) +
(7.1)
0
L’uscita è data da:
y(t) = CeAt x(0− ) + C
t
Z
eA(t−τ ) Bu(τ )dτ + Du(τ )
0
l’evoluzione forzata dello stato non è osservabile dall’uscita, ma il segnale di controllo è sicuramente visibile dall’eserno.
Le incognite da trovare sono x(t) e x(0− ). Si può osservare (o misurare) y(t) e si conoscono le quantità A, B e u(t).
Quindi si può calcolare xf (t) e, sapendo C e D, anche yf (t). L’incognita che resta nella seconda equazione è lo stato
iniziale x(0− ), conoscendo il quale si potrebbe ricavare completamente lo stato.
Definizione 7.1. Si dice che un sistema è completamente osservabile se, dall’osservazione dell’andamento delle
funzioni dell’uscita y(τ ) e del controllo u(τ ) per 0 < τ < t e conoscendo la struttura del sistema (ovvero le matrici
A, B, C, D) si può ricavare x(0− ), ovvero la condizione iniziale dello stato
Definizione 7.2. Si dice che un sistema è completamente ricostruibile se, note A, B, C, D e osservando y(τ ) e
u(τ ) per 0 < τ < t si può ricavare lo stato x(t).
Dalla prima equazione (7.1)
x(t) = eAt x(0− ) + xf (t)
se un sistema è completamente osservabile allora si può ottenere x(0− ) e quindi si conosce x(t). Dall’osservabilità si
ottiene la ricostruibilità. L’implicanzione vale anche per i sistemi a tempo discreto. Invece, solo per i sistemi a tempo
continuo, essendo
x(t) = xl (t) + xf (t)
xl (t) = x(t) − xf (t) = eAt x(0− )
essendo la matrice eAt sempre invertibile ([eAt ]−1 = e−At ) allora, premoltiplicando l’espressione per e−At si ottiene x(0− ). Quindi, per i sistemi a tempo continuo vale anche l’implicazione inversa: dalla ricostruibilità si ottiene
l’osservabilità.
Si v ∈ Rn uno stato iniziale del sistema, tale che, se x(0− ) = v, allora l’uscita libera yf sia identicamente nulla.
Allora
yl (t) = CeAt v
Il kernel di una matrice è l’insieme dei vettori tali che il prodotto tra la matrice e uno di questi vettori sia nullo.
Si considera un generico stato x̄. Ponendo il sistema in quello stato come condizione iniziale, ovvero x(0− ) = x̄,
l’evoluzione corrispondente dell’uscita sarà:
ȳ(t) = ȳl (t) + ȳf (t)
applicando un certo controllo ū(t). Se lo stato iniziale fosse x(0− ) = x̄ + v, allora applicando ū(t), si avrebbe la
seguente uscita:
y(t) = yl (t) + yf (t)
con yf (t) = ȳf (t). In base alla sovrapposizione degli effetti su yl (t), si ottiene
yl (t) = ȳl (t) + 0 = ȳl (t)
dove il primo termine è la risposta libera yl relativa a x̄, mentre 0 è la risposta libera relativa a v. La risposta libera
yl (t) è uguale se lo stato è x̄, poiché la risposta libera yl (t) relativa a v è nulla. Il sistema è quindi completamente
osservabile.
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CAPITOLO 7. OSSERVABILITÀ
Definizione 7.3. Se x(0− ) = x̂ e yl (t) = 0, ∀t 0 allora si dice che x̂ è uno stato indistinguibile dallo stato zero.
L’insieme degli stati indistinguibili dallo stato zero è detto insieme degli stati non osservabili. Il sottospazio
di non osservabilità è indicato con XN O .
Dimostrazione. Dati due stati indistioguibili, una qualunque loro combinazione è ancora indistinguibile: se x0 , x00 ∈
NN O allora
x(0− ) = x0 ⇒ yl (t) = 0 = yl0
x(0− ) = x00 ⇒ yl (t) = 0 = yl00
x(0− ) = αx0 + βx00 ⇒ yl (t) = αyl0 + βyl00 = 0
Il sottospazio XN O comprende l’origine.
7.0.1
Teorema di Kallman di osservabilità
Si definisce la matrice Q seguente:



Q,



C
CA
CA2
...
CAn−1





dove C ∈ Mqxn e A ∈ Mnxn . Il kernel della matrice Q è uguale al sottospazio XN O :
Ker Q = Xno
Un sistema può essere completamente osservabile, se l’unico stato indistinguibile dallo stato zero è solo l’origine, oppure
non osservabile.
XN O = 0 sistema completamente osservabile
dim XN O 0 sistema non osservabile
Condizione necessarie e sufficiente per la completa osservabilità è che
ker Q = 0
dim ker Q = 0
si verifica quando ρ(Q) = n, infatti ker Q + ρ(Q) = n.
Esempio
Si considera il sistema seguente:

1
x0 =  0
0
y=

 
0
1
1 x +  0 u
0
1
0
0
0
0
1
0
x
Mentre l’analisi di controllabilità impiega le matrici A e B, l’osservabilità richiede le matrici A e C.
Matrice P di controllabilità:


1 1 1
P = B|AB|A2 B =  0 1 0 
1 0 0
si ha: ρ(P ) = nR = 3. Poiché il rango è massimo, si ha completa
Matrice Q di osservabilità:

 
C
0
Q =  CA  =  0
CA2
0
controllabilità: ϕC (s) = ϕ(s).
1
0
0

0
1 
0
si ha: ρ(Q) = 2. Poiché il rango non è massimo, allora dim XO = 2, dim ker Q = 1, XN O = ker Q.
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7.0.2
Calcolo del kernel
Dato un vettore generico


α
x= β 
γ
esso appartiene al kernel di una matrice Q se Qx = 0. Data la

0 1
Q= 0 0
0 0
seguente matrice Q si procede con il calcolo:

0
1 
0
Qx = α [0, 0, 0] + β [1, 0, 0] + γ [0, 1, 0] = [β, γ, 0] = [0, 0, 0]
se β = 0 e γ = 0 allora


α
kerQ =  0 
0
∀α ∈ R.
7.0.3
Proprietà di osservabilità
L’uscita di un generico sistema è:
y(t) = yl (t) + yf (t)
essendo
t
Z
eA(t−τ ) Bu(τ )dτ + Du(τ )
yf (t) = C
0
il valore di yf è noto, oppure è calcolabile conoscendo il controllo. Esso non dipende dal valore iniziale. L’osservabilità
dipende solo dalla risposta libera yl (t). Essa si può calcolare in questo modo:
yl (t) = y(t) − yf (t)
dove y(t) è misurabile e yf (t) è calcolabile utilizzando un simulatore. Un simulatore è un sistema identico a quello
studiato, dove viene inserito lo stato iniziale x(0− ) = 0:
Figura 7.1: Impiego di un simulatore per misurare la risposta forzata
nel dominio di Laplace, la quantità CeAt corrisponde a C(sI − A)−1 . Le matrici notevoli da analizzare sono:
• (sI − A)−1 stabilità (evoluzione libera dello stato xl )
• (sI − A)−1 B controllabilità (evoluzione forzata dello stato xf )
• C(sI − A)−1 osservabilità (evoluzione libera dell’uscita yl )
A partire dal kernel di Q si ottiene il sottospazio di non osservabilità XN O . Si può costruire una matrice TN O con
colonne costituite da una base per XN O .
ker Q = n ⇐⇒ Q = 0 ⇐⇒ Qx = 0 ∀ x ⇐⇒ x ∈ ker(Q) ∀ x
Si considera una matrice TO lei cui colonne siano base per XO , e una matrice T costruita nel modo seguente:
T = [TO |TN O ]
effettuando un cambiamento di base
z0
= Ãz + B̃u
(7.2)
y
= C̃z + D̃u
(7.3)
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CAPITOLO 7. OSSERVABILITÀ
si dimostra che:
0
z =
0
zO
0
zN O
=
Ã11
Ã12
0
Ã22
z0
zno
zO
zN O
ipotizzando che B̃ = 0 e D̃ = 0 si ha:
y=
C̃1
0
z=
C̃1
0
ZN O non influenza l’uscita y direttamente a causa dello 0 presente nell’equazione dell’uscita y o indirettamente
attraverso zO a causa dello 0 presente nell’equazione di z 0 . Infatti, le equazioni sono:
y
=
C̃1 zO
(7.4)
0
zO
=
Ã11 zO
(7.5)
quindi l’evoluzione di ZN O non può influenzare l’uscita. Nel sistema esiste una parte di stato che non può influenzare
l’uscita e dunque non è osservabile a partire da quest’ultima. Se esistono componenti dello stato che non influenzano
l’uscita, allora il sistema non è completamente osservabile: non si può sapere lo stato iniziale. Un tale sistema permette
di osservare zO ma non zN O .
Esempio
Si considera il seguente sistema:
0
x =
1
C
CA
y=
0
1
1
1
0
x
x
si esegue la decomposizione di Kalmann:
Q=
=
1
1
1
1
si ha ρ(Q) = 1, quindi XN O = ker(Q) = {x : Qx = 0}. Svolgendo i calcoli si ottiene:
1 1
α
0
=
1 1
β
0
da cui
α+β
=
0
(7.6)
α+β
=
0
(7.7)
quindi β = −α. Il kernel di Q è:




α
1
ker(Q) =  −α  = α  −1 
0
0
l’uscita è data da
y=
1
1
x = x1 + x2
si osserva la somma di x1 + x2 ma non i singoli componenti x1 e x2 .
L’equazione del sistema sono:
Ã11
0
0
z =
z
Ã21 Ã22
y = C̃1 0
Nella matrice Ã11 sono presenti gli autovalori relativi all’evoluzione di zO , mentre in Ã22 sono presenti gli autovalori
relativi a zN O . Il polinomio caratteristico ϕ̃(s) è uguale a ϕ(s) perché il polinomio caratteristico non muta con il
cambiamento di base. Il polinomio caratteristico è:
ϕ(s) = ϕ̃(s) = det(sI11 − Ã11 )det(sI22 − Ã22 )
il primo termine è relativo a ϕO e il secondo termine a ϕN O . Quindi
ϕ̃O (s) = det(sI11 − Ã11 )
è il polinomio caratteristico della matrice C̃(sI − Ã)−1 . Si ha deg ϕ̃O (s) = n − dim XN O = dim XO = n − dim ker Q =
ρ(Q). Si ha ϕ(s) = ϕ̃(s) e ϕO (s) = ϕ˜O (s), quindi non è necessario cambiare base, ma è sufficiente calcolare ρ(Q) =
deg ϕO (s), dove ϕO (s) è il polinomio caratteristico di C(sI − A)−1 .
Per calcolare l’osservabilità di un sistema si può:
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• usare il teorema di Kallman: ricavare XN O , nO = n − dim NN O . Se nO = n, ovvero ρ(Q) = n allora il sistema
è completamente osservabile.
• usare la matrice C(sI − A)−1 : ricavare nO = deg ϕO (s) e ϕO (s), quindi i poli della matrice C(sI − A)−1 che
influenzano l’uscita libera.
I poli osservabili sono le radici di ϕO (s). Un polo non è osservabile se non influenza l’uscita libera yl = C(sI −
A)−1 x(0− ).
Esempio
Si considera il seguente sistema:
0
x =
x
−1
y= 1 1 x
0
1
0
La matrice Q è:
Q=
1
1
1
−1
T
quindi ρ(Q) = n, quindi il sistema è completamente osservabile. Considerando x(0− ) = [1 1] , si ha:
1
1 1 s−1
0
−1
= s−1
C(sI − A) = 1 1
1
s−1
0
s−1
L’uscita libera è:
L −1 C(sI − A)−1
in questo caso
CeAt = et e−t 1(t)
1
considerando x(0− ) = [1 0], allora yl (t) = CeAt
= et 1(t). In quest’ultimo, lo stato iniziale scompare. Conside0
rando invece x(0− ) = [0 1] allora yl (t) = e−t 1(t). Un polo, con la sua molteplicità, è osservabile se esistono condizioni
iniziali che fanno in modo da visualizzarne il contributo (con la sua molteplicità) nell’uscita libera.