UNIVERSIT`A DEGLI STUDI DELLA BASILICATA Corso di Laurea

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DELLA BASILICATA
Corso di Laurea in Matematica
Prova scritta di Geometria I
21 settembre 2010
Tempo concesso: 3 ore
Esercizio 1
(8 punti)
Sia f l’endomorfismo di R4 definito da f (x, y, z, t) = (z + t, z + t, z + t, −z − t).
i)
ii)
iii)
iv)
Scrivere la matrice di f rispetto alle basi canoniche;
determinare una base e la dimensione di ker(f ) e Im(f );
provare che la somma di ker(f ) ed Im(f ) non è diretta;
provare che ogni vettore di ker(f ) ∩ Im(f ) è un autovettore di f .
Esercizio 2 (8 punti) Si consideri l’endomorfismo L di R3 definito da
L(x, y, z) = (2x + 3y, 3y, −x − 2y − z).
i) Si provi che L è diagonalizzabile e si determini un riferimento B di R3 di autovettori di L;
ii) Dette A la matrice di L nel riferimento canonico di R3 e D la matrice (diagonale) di L nel
riferimento B, trovare una matrice invertibile P tale che D = P −1 AP .
Esercizio 3 (8 punti) Dire per quali valori del parametro t i due piani
π : (1 − t)x + 2y − tz = t
π 0 : x − ty + 2z = 1
dello spazio affine reale sono paralleli. Trovare una rappresentazione parametrica di π ∩ π 0 per un
diverso valore di t.
Esercizio 4 (8 punti) Consideriamo nello spazio vettoriale reale R3 , riferito alla base canonica,
la forma quadratica definita da
Q(x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 + 2xy + 2xz + 2yz, ∀(x, y, z) ∈ R3 .
i) Determinare la forma polare associata alla forma quadratica Φ.
ii) Scrivere la matrice della forma quadratica Φ e determinarne il rango.
iii) Determinare una forma canonica della forma quadratica Φ e la sua segnatura.
1
Soluzioni
Esercizio 1
(8 punti)
i) Le prime tre righe della matrice A di L rispetto alla base canonica sono (0, 0, 1, 1); la quarta
riga è (0, 0, −1 − 1).
ii) la matrice ha rango 1, quindi dim Im(f ) = 1 e una base di Im(f ) è costituita da un vettore le
cui componenti sono una delle colonne non nulle della matrice di f , ad esempio (1, 1, 1, −1)t .
Ne segue che dim ker(f ) = 3. ker(f ) è costituito da tutti i vettori che soddisfano z +t = 0, cioè
dai vettori della forma (x, y, z, −z) con x, y, z ∈ R. Quindi una base è ad esempio costituita
dai vettori (1, 0, 0, 0),(0, 1, 0, 0),(0, 0, 1, −1).
iii) Basta osservare che tutti i vettori di Im(f ), ossia tutti i vettori del tipo (a, a, a, −a) stanno
anche in ker(f ) in quanto f (a, a, a, −a) = (0, 0, 0, 0).
iv) L’affermazione è ovvia in quanto i vettori di ker(f ) sono tutti autovettori associati all’autovalore 0.
Esercizio 2 (8 punti) I piani
i) La matrice di L rispetto alla base canonica E è


2
3
0
3
0 .
A= 0
−1 −2 −1
Risolvendo l’equazione det(A − λI3 ) = 0 si trovano che gli autovalori λ = −1, 2, 3. Poichè L
possiede tre autovalori distinti, L è diagonalizzabile.
I corrispondenti autospazi sono:
V−1 (L) = {(0, 0, a) : a ∈ R} = h(0, 0, 1)iR
V2 (L) = {(−3a, 0, a) : a ∈ R} = h(−3, 0, 1)iR
V3 (L) = {(12a, 4a, −5a) : a ∈ R} = h(12, 4, −5)iR
Pertanto un riferimento B di autovettori per L è v1 = (0, 0, 1), v2 = (−3, 0, 1), v3 =
(12, 4, −5).
ii) Le matrici A e D rappresentano l’applicazione L nella base canonica E e nella base di
autovettori B. La matrice del cambiamento di coordinate dalla base B alla base E è


0 −3 12
4 .
M = MB,E (1R3 ) = 0 0
1 1 −5
Si ha quindi D = [MB,E (1R3 )]−1 AMB,E (1R3 ) e P = MB,E (1R3 ) è la matrice cercata.
Esercizio 3 (8 punti)
Esercizio 4 (8 punti)
2
i) La forma polare della forma quadratica Φ è
1
ϕ(v, v0 ) = [Φ(v + v0 ) − Φ(v) − Φ(v0 )]
2
= xx0 + yy 0 + xy 0 + x0 y + xz 0 + x0 z + yz 0 + y 0 z
ii) La matrice della forma quadratica Φ, rispetto alla

1 1

A= 1 1
1 1
base canonica, è

1
1
0
il cui rango è 2.
iii) Possiamo scrivere
Φ(x, y, z) = x2 + y 2 + 2xy + 2xz + 2yz
= (x + y + z)2 − z 2 .
Applicando il cambiamento di variabili
x0 = x + y + z
y 0 = z,
otteniamo per la forma quadratica Φ la forma canonica
2
Φ(v) = x0 − y 0
2
dove v = (x0 , y 0 , z 0 ).
La segnatura della forma quadratica Φ è (1, 2 − 1) = (1, 1).
3