Equazioni parametriche di secondo grado

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di
Enzo Zanghì
Equazioni parametriche di secondo grado
Diciamo che un'equazione di secondo grado è parametrica quando i suoi coefficienti dipendono da
uno o più parametri (lettere variabili).
Per risolvere i problemi riguardanti le equazioni parametriche di secondo grado è necessario
ricordare le relazioni che esistono tra i coefficienti dell'equazione e le sue radici, cioè:
b
c
x1 x2 = ; x1 + x2 = − .
a
a
Analizziamo, qui di seguito, i casi più ricorrenti che contengono un solo parametro.
2 x 2 + (2k − 1) x + k − 1 = 0
Data l'equazione:
determina il valore del parametro k affinché:
(1)
x1 = 2
Sostituiamo
questo
valore
nella
(1)
e
otteniamo:
8 + (2k − 1) ⋅ 2 + k − 1 = 0 ⇒ k = −1
Verifichiamo adesso che per k = −1 la (1) ha una
3±5
1
soluzione uguale a 2. Infatti 2 x 2 − 3x − 2 = 0; x =
x1 = − ; x2 = 2
4
2
1
c
k −1
b) x1 = −
⇔ x1 ⋅ x2 = −1 in questo caso poniamo:
= −1 ovvero
= −1 e
a
2k − 1
x2
2
otteniamo k = ;
3
c) una soluzione sia nulla.
Ricordando che un'equazione di secondo grado ha una
soluzione nulla quando è spuria (c = 0) , poniamo
k − 1 = 0 e ricaviamo k = 1
a)
d) l'equazione abbia radici reali distinte. In tal caso ∆ > 0 ovvero (2k − 1)2 − 8(k − 1) > 0 da
3
cui ricaviamo: (2k − 3)2 > 0 ⇒ ∀k ∈ ¡ −  
2
3
∆ = 0 per k =
e) l'equazione abbia radici reali coincidenti
2
f) l'equazione abbia radici opposte
In tal caso l'equazione deve essere pura (b = 0)
1
per cui: 2k − 1 = 0 ⇒ k =
2
b
−
1 1
x1 + x2
b
2k − 1
g)
+ =2 ⇔
−
= 2 ⇒ k = 1.
=2 ⇔ a =2⇔− =2
c
k −1
x1 x2
c
x1 x2
a
2
c b 2 − 2ac
1
 b
h) x12 + x2 2 =
Poiché
x12 + x2 2 = ( x1 + x2 )2 − 2 x1 x2 =  −  − 2 =
a
a2
4
 a
scriviamo:
i)
(2k − 1)2 − 4(k − 1) 1
=
4
4
Poiché
3abc − b3
a3
poniamo:
=
3
k =1
3
7
x + x2 =
8
3
1
e otteniamo
c b
 b
x + x2 = ( x1 + x2 ) − 3 x1 x2 ( x1 + x2 ) =  −  − 3  −  =
a a
 a
6(2k − 1)( k − 1) − (2k − 1)3 7
−3 ± 21
=
⇒ k=
.
8
8
2
3
1
3
3