APPUNTI DI MECCANICA RAZIONALE Maria Stella Mongiov`ı

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APPUNTI DI MECCANICA RAZIONALE
Maria Stella Mongiovı̀
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INTRODUZIONE
La Meccanica Razionale è quella parte della Fisica Matematica che studia le leggi generali
del movimento e dell’equilibrio dei corpi o delle loro parti. Ovviamente, nei fenomeni
fisici, il movimento non interviene mai da solo: ad esempio, se si osserva un’automobile che cammina, il fatto che i vari pezzi della carrozzeria siano rigidi proviene da certe
proprietà degli atomi che sono studiate nella Fisica dello Stato Solido, mentre la viscosità
e la fluidità del carburante, o del liquido di raffreddamento, o i fenomeni che si verificano
all’interno della camera di combustione sono strettamente legati a processi di vario tipo:
termico, chimico, elettromagnetico, ecc. La Meccanica Razionale si limita allo studio della
più semplice forma di moto, quello meccanico, intendendo per moto meccanico variazioni
con il tempo della posizione dei corpi relativamente ad altri. Poichè lo stato di equilibrio è
un caso particolare di moto, la Meccanica Razionale include anche lo studio dell’equilibrio
dei corpi.
Le osservazioni dei vari fenomeni naturali mostrano che non tutte le proprietà dei
corpi coinvolti nel fenomeno in questione influiscono sull’andamento del fenomeno o sul
suo risultato finale. Per esempio, è noto dall’esperimento che una trave poggiata su due
supporti agisce su di essi con forze che sono dipendenti essenzialmente dalla posizione dei
supporti e non dalla deflessione della trave (purchè tale deflessione sia piccola). Pertanto
nel determinare tali forze, possiamo sostituire la trave reale con una trave indeformabile
(perfettamente rigida). Nello studio di altri fenomeni, argomenti analoghi conducono alla
nozione di modelli di corpi (punto materiale, punto carico, corpo rigido, ecc.). Notiamo
tuttavia che in natura non esistono corpi rigidi, punti materiali, punti dotati di carica,
ecc. e che tutte queste sono astrazioni che ci permettono, attraverso la formulazione di un
modello matematico, di considerare teoricamente il fenomeno in questione e di risolvere
il problema proposto. Ogni tentativo, infatti, di risolvere anche il più semplice problema
senza ricorrere ad uno di tali modelli semplificati è destinato a fallire.
Il presente corso è dedicato allo studio della meccanica classica ed è basato sulle leggi
che vennero stabilite da G. Galilei e da I. Newton. Alla fine del 190 secolo ed all’inizio
del 200 secolo è stato mostrato che le leggi della meccanica classica non sono applicabili al moto di particelle subatomiche ed a corpi che si muovono con velocità vicine a
quelle della luce. La meccanica quantistica e la meccanica relativistica, che affrontano
lo studio di tali fenomeni, indicano i limiti di validità della meccanica classica. Tutto
ciò non diminuisce tuttavia il ruolo della meccanica classica che continua a rimanere uno
strumento indispensabile per lo studio del moto di corpi macroscopici le cui velocità sono
piccole confrontate con quella della luce, cioè tutti i moti di cui si occupa usualmente
l’ingegneria.
I metodi della Meccanica Razionale. La Meccanica Razionale, cosı̀ come le altre parti
della Fisica Matematica, usa largamente il metodo dell’astrazione. L’applicazione di tale
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metodo consente di stabilire, attraverso la generalizzazione dei risultati sperimentali e
della pratica tecnologica, alcune leggi generali, che prendono il ruolo di assiomi. Tutte le
altre proposizioni della disciplina possono essere derivate da questi assiomi con deduzioni
logiche e calcoli matematici. Poichè la Meccanica Razionale tratta maggiormente con
relazioni quantitative, è chiaro che in essa la Matematica deve giocare un ruolo molto
importante. Tuttavia, sebbene il corso di Meccanica Razionale contenga pochi riferimenti a studi sperimentali, anche per questa disciplina, come per ogni altra scienza, la
dimostrazione finale delle sue leggi e proposizioni risiede nella pratica e nell’esperimento:
solamente attraverso una verifica sperimentale si può decidere se una data ipotesi o una
teoria è o no corretta.
I.1. Note storiche. La Meccanica è una delle scienze più antiche. Sebbene i più antichi
manoscritti di meccanica giunti a noi appartengono al 40 secolo a.C., i resti di antiche
strutture mostano che già molto prima alcuni concetti della meccanica erano noti. La
prima parte della Meccanica Razionale che iniziò a svilupparsi fu la Statica, la scienza
che tratta dell’equilibrio dei corpi materiali. Nella prima parte del 30 secolo a.C. vennero
gettate le sue basi, principalmente nei lavori di Archimede (circa 287-212 a.C.). Egli studiando l’equilibrio della leva introdusse il concetto di baricentro, e scoprı̀ la ben nota legge
dell’idrostatica che deve a lui il nome. Le basi della Cinematica, ed, in particolare, della
Dinamica (la parte della Meccanica Razionale che studia il moto dei corpi in connessione
con le loro interazioni) vennero gettate da Galileo (1564-1642) e da Newton (1642-1727)
soltanto alla fine del 160 secolo ed all’inizio del secolo successivo. Il periodo di quasi
2000 anni separante i tempi di Archimede e di Newton, può essere caratterizzato, in relazione agli sviluppi della Meccanica, come un tempo in cui venne accumulata una grande
quantità di dati sperimentali, riguardanti vari tipi di moto meccanico (in particolare, il
moto dei corpi celesti) e di un sistematico, sebbene lento, sviluppo di metodi matematici.
Questo materiale sperimentale, lo sviluppo della Matematica, le grandi scoperte fatte da
N. Copernicus (1473-1543), da J.Kepler (1571-1630) e soprattutto da Galileo, immediato
predecessore di Newton, consentirono a quest’ultimo di scoprire le leggi generali della
Meccanica (che da lui presero il nome) e di creare adeguati metodi matematici (il calcolo differenziale ed integrale) rendendo possibile l’applicazione di queste leggi generali
e delle loro conseguenze alla risoluzione di problemi pratici. Nel 180 e 190 secolo infine
vennero formulati i metodi analitici della Meccanica Razionale (L. Euler (1707-1787),
J.D’Alembert (1717-1783), J.L. Lagrange (1736-1813), K.G.J. Jacobi (1804-1851), W.R.
Hamilton (1805-1865), J.H. Poincaré (1854-1912) e altri).
Lo sviluppo della moderna tecnologia ha condotto allo studio indipendente di alcune
particolari parti della Meccanica, cosı̀ come l’idrodinamica, l’aerodinamica, la gasdinamica, la teoria dell’elasticità, la teoria della plasticità, la resistenza dei materiali, ecc. Tuttavia, i metodi utilizzati da queste scienze nel risolvere problemi sono tutti basati sui
metodi della Meccanica Razionale e più in generale della Fisica Matematica.
I.2. Argomenti di Meccanica Razionale. Il corso di Meccanica Razionale è diviso
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in tre parti, la Cinematica, la Statica e la Dinamica. In Cinematica si studia il moto
dei corpi, in maniera puramente geometrica, senza tener conto dei fattori che lo causano.
La Statica riguarda le leggi dell’equilibrio dei corpi materiali e le regole di riduzione di
sistemi di forze a sistemi di forma più semplice. Infine la Dinamica studia il moto dei
corpi in relazione con le forze che agiscono su di essi e che lo causano.
1.3. Nozioni introduttive
Per avere una visione chiara della Meccanica è necessario possedere una descrizione
matematica rigorosa dei concetti di tempo e di spazio. Cercheremo adesso di descrivere
brevemente dal punto di vista matematico, tali concetti.
Il Tempo. Il concetto di tempo accompagna ogni nostra conoscenza, anche intuitiva,
del mondo che ci circonda. Quando prendiamo coscienza di qualcosa che esiste, questo
qualcosa non si presenta soltanto come esistente, ma come esistente ora; è inoltre possibile
introdurre un ordine negli avvenimenti, per mezzo delle relazioni di prima e di dopo. Per
poter applicare i metodi propri della matematica alla descrizione di tempo, dobbiamo ammettere, almeno in linea di principio, che sia possibile fissare, con accuratezza arbitraria,
un punto del tempo o istante, e che, dati due tali punti sia possibile dire quale venga prima
e quale dopo. Inoltre, la relazione di prima e di dopo deve avere la seguente proprietà:
se A, B e C sono tre istanti di tempo, e se A precede B e B precede C, allora A precede
C. Due istanti qualsiasi A e B, dove A precede B, determinano un intervallo orientato
di tempo, che contiene tutti gli istanti che seguono A e precedono B. Il succedersi degli
eventi, ci si presenta ordinato in un continuo, per cui, tra due istanti di tempo comunque
vicini, possiamo sempre pensare un istante intermedio, e senza buchi.
L’insieme di tutti gli istanti può dunque essere modellato, dal punto di vista matematico,
con l’insieme (continuo e ordinato) dei numeri reali.
Lo Spazio. Le nostre senzazioni ci si presentano come il susseguirsi di eventi, di cui
pensiamo di poter fissare l’immagine istantanea. In questa immagine istantanea i diversi
corpi occupano differenti posizioni: i punti dello spazio. La descrizione in termini matematici dei punti dello spazio, richiede l’uso di concetti geometrici. Anche lo spazio ci
si presenta come un continuo, ma non è unidimensionale, come il tempo: è un continuo
tridimensionale. Questo comporta l’assenza di una relazione d’ordine (non ha senso dire
che un punto dello spazio precede un’altro). Per descrivere i punti dello spazio si fissano
delle linee preferenziali, in generale delle rette (idealizzazioni di corpi rigidi), e si individua
la posizione di ogni punto dello spazio rispetto a queste rette prefissate. Un ulteriore
risultato dell’esplorazione dello spazio, è che in esso (in una prima approssimazione) vale
la geometria euclidea.
Lo spazio fisico può cosı̀ essere modellato come uno spazio puntuale euclideo di dimensione
3. Nel seguito, lo spazio fisico sarà indicato con E3 .
L’insieme a 4 dimensioni E3 × R, costituito dai quadrivettori (x, y, z, t), dove (x, y, z)
indica in punto di E3 e t ∈ R in istante temporale, prende il nome di spazio-tempo.
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PARTE I
CALCOLO VETTORIALE
E
GEOMETRIA DELLE MASSE
5
CAPITOLO 1
ALGEBRA VETTORIALE
1.1. QUANTITÀ SCALARI, VETTORIALI, TENSORIALI.
Nello studio della Meccanica Razionale si incontrano quantità di vario tipo: scalari, vettori, tensori.
Una quantità scalare, o semplicemente uno scalare, è una quantità che è specificata
soltanto dal suo valore numerico, relativo ad una fissata unità, e non è legata ad alcuna
direzione nello spazio. Esempi di quantità scalari sono la massa di un corpo o il suo
volume, la temperatura, l’energia.
Una quantità vettoriale, o semplicemente un vettore, è specificato, oltre che dal suo
valore numerico, anche da una definita direzione (orientata) nello spazio. Esempi di
vettori sono le forze, le velocità, gli spostamenti.
Una quantità tensoriale, o semplicemente un tensore, è una quantità che per essere
individuata ha bisogno di più vettori. Un endomorfismo tra spazi vettoriali è un esempio
di tensore.
1.2. I VETTORI LIBERI.
Siano A e B due punti qualunque dello spazio euclideo tridimensionale E3 . Si chiama
segmento orientato AB (indicato anche con AB o con B − A) un segmento su cui è
fissato un verso di percorrenza. Un segmento orientato AB è dunque individuato da una
coppia ordinata (A, B) di punti dello spazio. Il primo punto prende il nome di origine del
segmento, il secondo di estremo.
Due segmenti orientati AB ed A0 B 0 si dicono equipollenti se hanno la stessa direzione,
la stessa lunghezza (o modulo) e lo stesso verso.
Figura 1.2.1
6
Si verifica immediatamente che la relazione di equipollenza sopra definita gode delle
seguenti proprietà: è riflessiva (AB è equipollente a se stesso), simmetrica (se AB è
equipollente ad A0 B 0 , A0 B 0 è equipollente ad AB) e transitiva (se AB è equipollente ad
A0 B 0 ed A0 B 0 è equipollente ad A00 B 00 , allora AB è equipollente ad A00 B 00 (f ig. 1.2.1a)).
La relazione di equipollenza ora definita permette di suddividere l’insieme dei segmenti
orientati dello spazio in sottinsiemi, che chiameremo classi di equipollenza: ogni classe è
costituita da tutti e soli i segmenti orientati equipollenti ad un dato segmento. Una classe
di equipollenza è quindi individuata da uno qualsiasi dei segmenti orientati che la costituiscono, ad esempio i segmenti AB, A0 B 0 e A00 B 00 di f ig. 1.2.1a sono tutti appartenenti
alla stessa classe. Per individuare la classe si può allora scegliere come rappresentante
uno qualunque tra essi.
Chiameremo vettore libero (o vettore geometrico o vettore fisico o semplicemente
vettore) (non nullo) una classe definita dalla relazione di equipollenza. Definiamo infine
vettore nullo la classe delle coppie ordinate (A, A).
Denoteremo con V l’insieme delle classi di equipollenza sopra definite. Un vettore sarà
sempre indicato con lettere minuscole in grassetto ( x, y, z, u, v, w, ecc.), o con lettere
corsive sottosegnate (x,y,z,u,v,w, ecc.), o con freccie (~x, ~y , ~z, ~u, ~v , w,
~ ecc.); uno scalare
¯¯¯¯¯ ¯
(numero reale) con una lettera corsiva non sottosegnata (λ, µ, a, b, ecc.). Il vettore nullo
verrà indicato indifferentemente con o e con 0.
Chiameremo direzione, verso e modulo di un vettore rispettivamente la direzione,
il verso e la lunghezza di un suo qualsiasi rappresentante. Al vettore nullo non può essere
associata nè una direzione nè un verso, il suo modulo invece è zero. Un vettore libero
v, può essere rappresentato graficamente tramite una qualunque coppia di punti (A, B)
appartenenti alla classe di equivalenza individuata dal vettore v.
Il segmento orientato AB, viene anche chiamato vettore applicato, ed indicato, oltre
che AB e B − A, anche con il simbolo (A, v). Il punto A prende il nome di punto di
applicazione del vettore v; il punto B, estremo.
Si definisce Somma o Risultante di due vettori v1 e v2 il vettore v1 + v2 , che denoteremo anche con R, il cui rappresentante può essere ottenuto nel seguente modo: si
applichi il vettore v1 un un punto A qualsiasi dello spazio e si ponga successivamente
l’origine del vettore v2 nell’estremo B di v1 . Sia C l’estremo del vettore v2 , applicato in
B. Il segmento orientato AC è un rappresentante del vettore v1 + v2 . Come si verifica
immediatamente, v1 + v2 coincide con la diagonale del parallelogrammo costruito su v1 e
v2 (f ig. 1.2.1b).
Si definisce Moltiplicazione o Prodotto del vettore v per lo scalare λ il vettore, che
indicheremo con λv, avente la stessa direzione di v, lunghezza uguale al prodotto della
lunghezza di v per il valore assoluto dello scalare λ e verso concorde o discorde con v a
seconda che il numero reale λ sia positivo o negativo (f ig. 1.2.1c).
Utilizzando le notazioni AB e B − A, la somma e la differenza di due vettori possono
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essere eseguite con le seguenti regole formali:
AB + BC = AC
(B − A) + (C − B) = C − A
(1.2.1)
AC − BC = AB
(C − A) − (C − B) = B − A
(1.2.2)
OSSERVAZIONE 1.2.1: L’insieme delle classi di equipollenza V, dotato delle operazioni
sopra definite, gode delle seguenti proprietà:
a) x + y = y + x, ∀x, y ∈ V
b) (x + y) + z = x + (y + z), ∀x, y, z ∈ V
c) ∃o ∈ V tale che o + x = x, ∀x ∈ V
d) ∀x ∈ V, ∃ − x ∈ V tale che (−x) + (x) = o
e) 1x = x, ∀x ∈ V
f) a(bx) = (ab)x, ∀x ∈ V, ∀a, b ∈ R
g) (a + b)x = ax + bx ∀x ∈ V, ∀a, b ∈ R
h) a(x + y) = ax + ay ∀x, y ∈ V, ∀a ∈ R
Conseguentemente, l’insieme delle classi di equipollenza, dotato delle operazioni sopra
definite, costituisce uno spazio vettoriale sui reali.
OSSERVAZIONE 1.2.2: In maniera analoga a come abbiamo definito i vettori dello spazio
possiamo definire i vettori del piano e i vettori della retta, semplicemente scegliendo
i punti A e B su un piano o su una retta.
1.3 SOMMA O RISULTANTE DI PIÙ VETTORI
Il risultante R di tre vettori v1 , v2 e v3 può essere ottenuto applicando il vettore v1 in
un qualunque punto A, ponendo successivamente il punto di applicazione del vettore v2
sull’estremo B di v1 ed infine applicando sull’estremo C del vettore v2 il vettore v3 .
Figura 1.3.1
8
Il segmento orientato AD, congiungente l’origine A di v1 , con l’estremo D di v3 , individua
un rappresentante del vettore R. Si vede immediatamente che il vettore R è la diagonale
principale del parallelepipedo costruito sui tre vettori v1 , v2 e v3 (f ig. 1.3.1a).
Allo stesso modo, per sommare n vettori v1 , v2 , ... , vn basta costruire una poligonale
i cui elementi sono i vettori vi (i = 1, 2, ...n); il risultante R, si ottiene congiungendo
l’origine del primo vettore con l’estremo dell’ultimo. Poichè la somma di vettori soddisfa
la proprietà commutativa, il risultante R è indipendente dall’ordine utilizzato per costruire
la poligonale (f ig. 1.3.1b e c). Vale la seguente regola formale, che generalizza la (1.2.1):
A1 A2 + ... + An−1 An = A1 An
(A2 − A1 ) + ... + (An − An−1 ) = An − A1
(1.3.1)
1.4. DECOMPOSIZIONE DI UN VETTORE
Ha interesse, in Meccanica Razionale, decomporre un vettore v nella somma di due o tre
vettori, verificanti determinate proprietà.
DECOMPOSIZIONE SECONDO DUE DIREZIONI NON PARALLELE: Siano r1 ed r2
due rette non parallele, che individuano le due direzioni assegnate.
Figura 1.4.1
Per comodità supporremo tali rette complanari. Sia v un vettore appartenente alla giacitura individuata dalle due rette r1 ed r2 . Sia A il punto di intersezione delle due rette
r1 ed r2 . Applichiamo in A il vettore v. Costruiamo il parallelogramma che si appoggia
sulle due rette r1 ed r2 e che ha come diagonale il vettore v, tracciando dall’estremo B
del vettore applicato (A,v) due rette s1 ed s2 rispettivamente parallele ad r1 ed r2 . I
punti di intersezione C e D di queste rette con r1 ed r2 sono proprio gli estremi dei vettori
applicati AC e AD, rappresentanti dei vettori v1 e v2 cercati (f ig. 1.4.1). I vettori v1
e v2 cosı̀ ottenuti, prendono il nome di vettori componenti (o componenti vettoriali) di v
secondo le due direzioni orientate r1 ed r2 .
DECOMPOSIZIONE SECONDO UNA DIREZIONE ED UNA GIACITURA: Siano r e π
una retta ed un piano non paralleli, individuanti la direzione e la giacitura assegnati. Se v
è parallelo ad r o appartiene alla giacitura di π la decomposizione si effettua banalmente.
Supponiamo dunque v non parallelo ad r nè appartenente alla giacitura del piano π.
Sia A il punto di intersezione tra la retta r ed il piano π. Applichiamo il vettore v nel
punto A. Il vettore applicato (A,v) e la retta r individuano un piano π1 , non parallelo
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a π. Sia s la retta di intersezione tra i due piani π e π1 . Ripetendo nel piano π1 la
decomposizione - di cui al punto precedente - del vettore v secondo le due direzioni r ed
s, si ottengono i due vettori v1 e v2 cercati (f ig. 1.4.2). Tali vettori prendono il nome di
componenti vettoriali di v secondo la direzione orientata r e la giacitura π.
Figura 1.4.2
DECOMPOSIZIONE SECONDO TRE DIREZIONI NON COMPLANARI: Siano r1 , r2
ed r3 tre rette non complanari, individuanti le tre direzioni assegnate. Per semplicità
supporremo tali rette uscenti tutte da uno stesso punto A. Sia v un generico vettore.
Applichiamo il vettore v nel punto A. I tre vettori v1 , v2 e v3 cercati si trovano immediatamente costruendo il parallelepipedo con vertice in A, che si appoggia sulle tre rette
r1 , r2 ed r3 e che ha come diagonale principale il vettore v. Tale costruzione può essere
fatta nel seguente modo: sia π1 il piano individuato dalla retta r3 e dal vettore v; sia poi
s la retta di intersezione di tale piano π1 con il piano π2 , individuato dalle rette r1 ed r2 .
Dopo aver decomposto il vettore v nei due vettori v3 e v0 , rispettivamente paralleli ad r3
e ad s, si decomponga in vettore v0 nei due vettori v1 e v2 rispettivamente paralleli ad r1
ed r2 (f ig. 1.4.3). I tre vettori v1 , v2 e v3 prendono il nome di componenti vettoriali del
vettore v secondo le tre direzioni orientate r1 , r2 ed r3 .
Figura 1.4.3
10
1.5. MATRICI.
Siano aij numeri reali; n ed m numeri naturali. Sia:

a11

 a21

 .

A = (aij ) = 
 .

 ai1

 .
am1
a12
a22
.
.
ai2
.
am2
.
.
.
.
.
.
.
. a1j
. a2j
.
.
.
.
. aij
.
.
. amj
.
.
.
.
.
.
.
. a1n
. a2n
.
.
.
.
. ain
.
.
. amn












(1.5.1)
una matrice con m righe ed n colonne. Come è usuale, nell’elemento generico aij di questa
matrice, il primo indice è l’indice di riga, il secondo, l’indice di colonna. Indicheremo con
M(m, n) l’insieme di tutte le matrici di tipo (m, n). Se scegliamo n = 1 otteniamo
l’insieme M(m, 1) dei vettori colonna con m componenti:




a11
a1




 a21 
 a2 
 . 
 . 
 . 

.  
 .. 
v=

=

 ai1 
 ai 
 . 
 . 
 . 
 . 
 . 
 . 
am1
am
Se scegliamo m = 1 otteniamo l’insieme M(1, n) dei vettori riga ad n componenti:
³
v = a11
a12
´
· · a1i
³
· a1n = a1
a2
· · ai
· an
´
Se scegliamo m = n otteniamo l’insieme M(n, n) delle matrici quadrate.
ESEMPI DI MATRICI:
a) Si chiama Matrice nulla la matrice O i cui elementi sono tutti nulli.
O = (aij )
aij = 0
∀i, ∀j
b) Si chiama Matrice unità o Matrice identica la matrice quadrata U i cui elementi indicheremo con il simbolo U = (δij ), dove:
½
δij =
Il simbolo δij qui introdotto prende il
nulla e identica si scrivono:

0 0

O = 0 0
0 0
1
0
i=j
i 6= j
(1.5.2)
nome di simbolo di Kronecker. Se n=3 le matrici


0
0

0

1 0 0

U = 0 1 0

0 0 1
SOMMA DI DUE MATRICI: Date le due matrici A = (aij ) e B = (bij ) si definisce somma
delle matrici A e B la matrice C = (cij ) i cui elementi si ottengono sommando i rispettivi
elementi delle due matrici A e B:
C =A+B
(cij ) = (aij + bij )
11
∀i, ∀j
(1.5.3)
PRODOTTO DI UNA MATRICE PER UN NUMERO REALE: Dati la matrice A = (aij )
ed il numero reale λ, si definisce prodotto della matrice A per lo scalare λ, la matrice
C = (cij ) i cui elementi si ottengono moltiplicando i corrispondenti elementi della matrice
A per lo scalare λ:
C = λA (cij ) = (λaij )
∀i, ∀j
(1.5.4)
MATRICI SIMMETRICHE ED ANTISIMMETRICHE: Prende il nome di Matrice simmetrica una matrice quadrata i cui elementi verificano la relazione: aij = aji ∀i, ∀j.
Si chiama Matrice antisimmetrica (o emisimmetrica) una matrice quadrata i cui elementi verificano la relazione aij = −aji (∀i, ∀j).
TRASPOSTA DI UNA MATRICE: Si chiama Matrice trasposta di una matrice quadrata
A = (aij ), la matrice quadrata AT ottenuta dalla matrice A scambiando le righe con le
colonne:
AT = (aTij ) = (aji )
Si verifica immediatamente che la trasposta della trasposta di una matrice A coincide con
³
´T
la matrice di partenza: AT = A.
Osserviamo infine che se A è una matrice simmetrica risulta AT = A, mentre se A è
una matrice antisimmetrica risulta AT = −A.
MATRICI DIAGONALI: Esempi particolari di matrici simmetriche sono le Matrici diagonali. Si chiama Matrice Diagonale una matrice quadrata D i cui elementi soddisfano la
condizione: aij = 0 i 6= j.
Nel caso particolare di n=3 una matrice diagonale si scrive:

d1

D= 0
0
0
d2
0

0

0
d3
DECOMPOSIZIONE DI UNA MATRICE: Si verifica immediatamente che sommando ad
una matrice A la sua trasposta si ottiene una matrice simmetrica:
aij + aTij = aij + aji = aji + aTji
mentre sottraendo ad una matrice A la sua trasposta si ottiene una matrice antisimmetrica:
aij − aTij = aij − aji = −(aji − aTji )
Osservato poi che risulta
1
1
A = (A + AT ) + (A − AT )
2
2
concludiamo che una qualunque matrice A si può sempre decomporre nella somma di
due matrici, una simmetrica ed una antisimmetrica. La matrice (A + AT )/2 prende il
nome di parte simmetrica della matrice A, la matrice (A − AT )/2 prende il nome di parte
antisimmetrica della matrice A.
12
PRODOTTO DI DUE MATRICI: Date le due matrici A = (aij ) e B = (bij ), tali che il
numero di colonne di A coincida con il numero di righe di B, si definisce prodotto righe
per colonne delle due matrici la matrice C = (cij ), tale che:
C = AB
Ã n
X
(cij ) =
!
aik bkj
∀i, ∀j
(1.5.5)
k=1
DETERMINANTE DI UNA MATRICE QUADRATA: Prende il nome di determinante
di una matrice quadrata il numero reale:
detA =
X
(−1)σ(p) a1j1 a2j2 ...ahjh ...anjn
(1.5.6)
p∈P
dove la sommatoria è estesa all’insieme P costituito dalle n! permutazioni degli indici di
colonna jh e dove σ(p) è +1 o -1 a seconda che la permutazione p = (j1 , j2 , ...jn ) sia pari
o dispari rispetto a quella fondamentale.
MATRICI SINGOLARI E MATRICI NON SINGOLARI: Una matrice quadrata A si
dice non singolare o singolare a seconda che il suo determinante risulti o no diverso da
zero. Vale la seguente proprietà: Il determinante del prodotto di due matrici quadrate non
singolari A e B è uguale al prodotto dei determinanti:
det(AB) = det A det B
INVERSA DI UNA MATRICE: Data la matrice quadrata non singolare A = (aij ), si
definisce inversa di A la matrice A−1 che verifica le seguenti condizioni:
A−1 A = AA−1 = I
(1.5.7)
Posto A−1 = (bij ), ed indicato con αij l’aggiunto dell’elemento aij di A, si verifica che:
bij =
αji
detA
MATRICE ORTOGONALE: una matrice quadrata A = (aij ) si dice ortogonale se:
A−1 = AT
(1.5.8)
Le matrici ortogonali godono delle seguenti proprietà:
n
X
n
X
ahs aks = δhk
s=1
ash ask = δhk
(1.5.9)
s=1
Dimostrazione: per dimostrare la (1.5.9)1 moltiplichiamo a sinistra la (1.5.8) per la matrice
A ottenendo AAT = U , cioè:
n
X
ars aTsl = δrl
(1.5.10)
s=1
Quest’ultima relazione, poichè risulta aThk = akh , è proprio la (1.5.9)1 . La (1.5.9)2 si
verifica analogamente moltiplicando a destra la (1.5.8) per la matrice A.
13
Una matrice ortogonale è ovviamente non singolare e risulta:
det A = det AT = det A−1 = ±1
(1.5.11)
CONVENZIONE DELLA SOMMATORIA TACITA. Talvolta, in Fisica Matematica, allo scopo di semplificare le
notazioni, si utilizza la seguente convenzione, nota come convenzione di Einstein o della sommatoria tacita: ogni
volta che in un monomio compare due volte lo stesso indice, si deve sottintendere il segno di sommatoria rispetto
a quell’indice. Quando in una formula viene utilizzata la convenzione di Einstein, ogni indice deve comparire
in essa non più di due volte. In una data espressione, un indice che compare una sola volta prende il nome di
indice libero, un indice che compare due volte prende il nome di indice ripetuto o indice saturato. Supponiamo ad
esempio di scrivere una formula che contenga vettori e matrici con tre componenti: sia cioè n=3. In tal caso, ad
ogni indice libero corrispondono 3 formule, una per ogni valore dell’indice. Se in una espressione compare invece
un indice ripetuto, tale indice si deve sottintendere sommato da 1 a 3.
ESEMPI: le formule (1.5.3)2 , (1.5.5)2 (1.5.9) e (1.5.10) con la convenzione di Einstein si scivono, più semplicemente:
cij = aij + bij ,
cij = aik bkj ,
ahs aks = δhk ,
ars aTsl = δrl .
(1.5.12)
Si noti che in ciascuna delle formule sopra scritte compaiono due indici liberi, conseguentemente ciascuna di tali
formule è una forma compatta per scrivere 32 espressioni. Ad esempio, la (1.5.12)2 equivale alle 9 uguaglianze:
c11 = a11 b11 + a12 b21 + a13 b31
c21 = a21 b11 + a22 b21 + a23 b31
c31 = a31 b11 + a32 b21 + a33 b31
c12 = a11 b12 + a12 b22 + a13 b32
c22 = a21 b12 + a22 b22 + a23 b32
c32 = a31 b12 + a32 b32 + a33 b32
c13 = a11 b13 + a12 b23 + a13 b33
c23 = a21 b13 + a22 b23 + a23 b33
c33 = a31 b13 + a32 b23 + a33 b33
1.6 DIMENSIONE E BASI NELL’INSIEME DEI VETTORI LIBERI
Richiamiamo le seguenti definizioni: n vettori v1 , v2 , ..., vn si dicono linearmente dipendenti se esiste una loro combinazione lineare a coefficienti non tutti nulli, che risulti uguale
al vettore nullo. n vettori che non sono linearmente dipendenti si dicono linearmente indipendenti. Ciò equivale a dire che l’essere
λ1 v1 + λ2 v2 + λ3 v3 + ... + λn vn = o
implica λ1 = λ2 = λ3 = ... = λn = 0.
Uno spazio vettoriale V si dice di dimensione infinita se, comunque preso il numero
intero n, esistono in V n vettori linearmente indipendenti. Uno spazio vettoriale V si dice
di dimensione n se esistono in V n vettori linearmente indipendenti, ma comunque presi
n + 1 vettori essi sono linearmente dipendenti. Nel seguito ci occuperemo soltanto di spazi
vettoriali di dimensione finita n. Quando vorremo indicare esplicitamente la dimensione
dello spazio scriveremo Vn .
Si chiama base di uno spazio vettoriale Vn una qualunque n-pla di vettori linearmente
indipendenti. Nel seguito i vettori che compongono una base saranno indicati con il
simbolo ei , e l’insieme degli n vettori con {e1 , e2 , ..., en }, con {ei }(i=1,...,n) o semplicemente
con {ei }.
Si dimostra che, in uno spazio vettoriale Vn di dimensione n, comunque preso un
vettore v ed una base {ei }, sono determinati in maniera univoca n numeri reali vi , tali
che:
v = v1 e1 + v2 e2 + ... + vn en
(1.6.1)
14
Gli n numeri reali vi , cosı̀ determinati, prendono il nome di componenti (più precisamente
componenti controvarianti) del vettore v nella base {ei }.
Vettori paralleli. Due vettori x e y, non nulli, si dicono paralleli (o collineari) se hanno
la stessa direzione. Si verifica facilmente che y è parallelo a x e scriveremo y||x, se e
solo se se esiste uno scalare m 6= 0 tale che y = mx. Due vettori paralleli sono dunque
linearmente dipendenti. Se m > 0, diremo che y è parallelo e concorde con x; se m < 0,
diremo che y è parallelo e discorde con x.
Vettori complanari. Tre vettori x, y e z non nulli si dicono complanari se hanno
direzioni parallele ad uno stesso piano. Si verifica facilmente che tre vettori complanari
sono linearmente dipendenti (cioè uno di essi si può esprimere come combinazione lineare
degli altri due).
Basi nell’insieme dei vettori liberi. Abbiamo visto nel par. 1.1.4 che ogni vettore
libero dello spazio fisico può essere espresso come somma di tre vettori non complanari.
Mostriamo adesso che tre qualsiasi vettori non complanari {e1 , e2 , e3 } costituiscono una
base.
Sia dunque v un qualunque vettore e siano r1 , r2 , r3 tre rette, passanti per un generico
punto A, parallele a {e1 , e2 , e3 }. Effettuando la decomposizione di cui al punto precedente,
possiamo determinare tre vettori v1 , v2 e v3 , rispettivamente paralleli a e1 , e2 e e3 , tali
che:
v = v1 + v2 + v3
Essendo v1 , v2 , e v3 rispettivamente paralleli a e1 , e2 ed e3 esisteranno tre scalari λ1 , λ2
e λ3 tali che:
v1 = λ1 e1 ,
v2 = λ2 e 2
v3 = λ 3 v 3
possiamo cosı̀ scrivere:
v = λ1 e1 + λ2 e2 + λ3 v3
(1.6.2)
I tre scalari λ1 , λ2 , λ3 sono proprio le componenti del vettore v nella base {ei }. Abbiamo
cosı̀ mostrato che i vettori liberi dello spazio fisico costituiscono uno spazio vettoriale di
dimensione tre.
Allo stesso modo si mostra che l’insieme dei vettori del piano è uno spazio vettoriale di
dimensione 2 e che l’insieme dei vettori della retta è uno spazio vettoriale di dimensione
1.
LEGGE DEL CAMBIAMENTO DI BASE.
Siano {e1 , e2 , e3 } ed {u1 , u2 , u3 } due basi dello spazio vettoriale V3 . Convenzionalmente chiameremo vecchia la
base {ej } nuova la base {ui }. Sia poi Aij la componente i-esima del vettore ej nella nuova base {ui }; sia cioè:
e1 = A11 u1 + A21 u2 + A31 u3
e2 = A12 u1 + A22 u2 + A32 u3
e3 = A13 u1 + A23 u2 + A33 u3
La matrice A = (Aij ):
Ã
A = (Aij ) =
A11
A21
A31
15
A12
A22
A32
A13
A23
A33
(1.6.3)
!
(1.6.4)
in cui il primo indice, l’indice di riga i, è relativo alla vecchia base mentre il secondo indice, l’indice di colonna j,
è relativo alla nuova, consente di passare dai vettori della vecchia base ai vettori della nuova e prende il nome di
Matrice del cambiamento di base.
Si verifica facilmente che risulta det A 6= 0. Conseguentemente, il sistema di equazioni (1.6.3) è invertibile.
Indichiamo con A−1 la matrice inversa della matrice A; come è noto essa è definita dalla relazione:
A−1 A = AA−1 = I
La legge che consente di passare dai vettori della vecchia base a quelli della nuova si ottiene invertendo le equazioni
(1.6.3); denotando con Āij le componenti della matrice inversa della matrice A, è:
u1 = Ā11 e1 + Ā21 e2 + Ā31 e3
u2 = Ā12 e1 + Ā22 e2 + Ā32 e3
u3 = Ā13 e1 + Ā23 e2 + Ā33 e3
(1.6.5)
Un vettore, essendo un ente intrinseco, non varia al variare della base; variano invece le sue componenti.
Indichiamo con vi le componenti del vettore v nella vecchia base e con vj0 quelle nella nuova base. Poniamo cioè:
v=
3
X
v j ej =
i=1
3
X
vi0 ui
i=1
Le componenti (vj ) del vettore v nella vecchia base, risultano ovviamente legate alle componenti (vi0 ) di v nella
nuova base. Si ottiene infatti, dopo qualche calcolo:
v10 = A11 v1 + A21 v2 + A31 v3
v20 = A12 v1 + A22 v2 + A32 v3
v30 = A13 v1 + A23 v2 + A33 v3
cioè:
Ã
v10
v20
v30
!
Ã
=
A11
A21
A31
A12
A22
A32
A13
A23
A33
!Ã
(1.6.6)
v1
v2
v3
!
(1.6.7)
Abbiamo cosı̀ ottenuto la legge che consente di passare dalle vecchie componenti di un vettore v alle nuove.
Viceversa, nella legge che consente di passare dalle nuove componenti alle vecchie compare la matrice inversa
della matrice A. Si ottiene infatti:
Ã
v1
v2
v3
!
Ã
=
Ā11
Ā21
Ā31
Ā12
Ā22
Ā32
Ā13
Ā23
Ā33
!Ã
v10
v20
v30
!
(1.6.8)
Osserviamo infine che il passaggio dalla vecchia base ei alla nuova base uj (equazione (1.6.5)) è retto dalla
matrice A = (Aij ), mentre il passaggio dalle componenti di v nella base ei a quelle nella base uj , come abbiamo
osservato, è retto dalla sua inversa A−1 = (Āji ).
ESERCIZIO 1.6.1: Sia V3 uno spazio vettoriale di dimensione 3. Sia {ei } una sua base.
(a) Verificare che i vettori
u1 = e1 − 2e3
u2 = e1 + e2 − e3
u3 = e1 − e2 + e3
costituiscono un’altra base.
(b) Scrivere la matrice A del cambiamento di base e la sua inversa A−1 .
(c) Sia v un vettore di V3 . Siano (1, 2, 4) le sue componenti nella base {ei }. Determinare le componenti di v
nella base {ui }.
16
1.7. PRODOTTO SCALARE TRA DUE VETTORI LIBERI
In V3 si definisce la seguente operazione, detta Prodotto Scalare. Tale operazione associa
ad ogni coppia di vettori u e v il numero reale, che indicheremo u · v, ottenuto moltiplicando la lunghezza dei due vettori per il coseno dell’angolo α che essi formano. Indicando
con u il modulo (la lunghezza) del vettore u e con v il modulo del vettore v, si ha:
u · v = u v cosα
(1.7.1)
In particolare se u · v = ±u v, i due vettori u e v sono paralleli (concordi o discordi a
seconda che valga il segno + o il segno -).
Uno spazio vettoriale dotato di un prodotto scalare prende il nome nome di spazio
vettoriale euclideo e verrà nel seguito indicato con il simbolo E. Ad esempio, lo spazio
euclideo tridimensionale sarà indicato con E3 .
PROPRIETÀ DEL PRODOTTO SCALARE:
Il prodotto scalare gode delle seguenti proprietà: ∀x, y, z ∈ E3 , e ∀λ ∈ R
a) x · y = y · x
b) λ(x · y) = (λx) · y = x · (λy)
c) x · (y + z) = x · y + x · z
d) x · x ≥ 0 e x · x = 0 =⇒ x = o
VETTORI ORTOGONALI: due vettori v1 e v2 si dicono ortogonali se il loro prodotto
scalare si annulla: v1 · v2 = 0. In tal caso scriveremo v1 ⊥ v2 .
MODULO DI UN VETTORE: Il modulo del vettore v può essere espresso utilizzando
l’operazione di prodotto scalare, si ha infatti:
√
v = |v| = v · v ≥ 0
VERSORI: Prende il nome di versore un qualunque vettore di modulo unitario. Ha
interesse considerare il versore di un vettore v o il versore di una retta r. Il versore del
vettore v nel seguito verrà denotato con il simbolo vers v o con v̂; esso è espresso da:
v̂ = vers v =
v
.
v
(1.7.2)
COMPONENTE ORTOGONALE DI UN VETTORE RISPETTO AD UN ALTRO VETTORE. Siano u e v due vettori. Prende il nome di componente ortogonale del vettore v
rispetto al vettore u il prodotto scalare del vettore v per il versore del vettore u:
vu = v · û.
17
(1.7.3)
Utilizzando questa definizione, il prodotto scalare tra due vettori risulta espresso da:
v · u = u vu = v uv
COMPONENTE SCALARE DI UN VETTORE SECONDO UNA DIREZIONE ORIENTATA. Sia r una retta orientata ed ûr un suo versore. Prende il nome di componente
scalare (o proiezione ortogonale o componente covariante) del vettore v secondo la retta
r il prodotto scalare (f ig 1.7.1):
vr = v · ûr .
(1.7.4)
Figura 1.7.1
PROPRIETÀ DELLE COMPONENTI SCALARI DI UN VETTORE SECONDO UNA
DIREZIONE. Sia r una retta orientata e ûr il suo versore. Dati n vettori v1 , v2 , ..., vn ,
sia R = v1 + v2 + ... + vn . Per la linearità del prodotto scalare risulta:
R · ûr = v1 · ûr + v2 · ûr + ... + vn · ûr
Figura 1.7.2
Possiamo dunque affermare che la componente scalare del risultante di n vettori secondo la direzione della retta orientata r è uguale alla somma delle componenti dei singoli
vettori secondo la direzione orientata r (vedi fig. 1.7.2):
Rr = v1r + v2r + ... + vnr
18
(1.7.5)
ESERCIZIO 1.7.1: Determinare le componenti del vettore OP di fig. 1.7.3 secondo le
direzioni dell’asse x e dell’asse y in funzione delle quantità xA e ξP .
Figura 1.7.3
Detta h la lunghezza del lato AB del triangolo ed α l’angolo che BC forma con BA, si ha OP = OA + AB + BP ,
e quindi:
xP = xA + ξP sin α;
yP = h − ξP cos α.
BASI ORTONORMALI: Come abbiamo detto, nello spazio V3 una base è costituita da
tre generici vettori non complanari. Una base di vettori mutuamente ortogonali e di
modulo unitario, prende il nome di base ortonormale. Sia {c1 , c2 , c3 } una generica base
ortonormale di E3 . Si verifica immediatamente che tali vettori soddisfano le relazioni:
c1 · c1 = 1
c2 · c2 = 1
c3 · c3 = 1
c1 · c2 = 0
c1 · c3 = 0
c2 · c3 = 0
Utilizzando il simbolo di Kronecker δij , introdotto nella (1.5.2), tali relazioni possono
scriversi in forma compatta:
ci · cj = δij
∀i, j
(1.7.6)
ANGOLO TRA DUE VETTORI. COSENI DIRETTORI DI UN VETTORE E DI UNA
RETTA. Il coseno dell’angolo formato dai due vettori u e v è dato da:
d
cos u
v = û · v̂ =
u·v
.
uv
(1.7.7)
Ad esempio, i coseni degli angoli che il vettore v forma con i versori di una base ortonormale sono:
v2
v3
v1
,
cos cd
,
cos cd
,
(1.7.8)
cos cd
2v =
3v =
1v =
v
v
v
conseguentemente le componenti di un vettore in una base ortonormale non sono altro
che le proiezioni ortogonali del vettore sui versori della base.
In particolare, le componenti di un versore sono i coseni degli angoli che il versore
forma con gli assi coordinati:
d
d
v̂ = (cos cd
1 v, cos c
2 v, cos c
3 v) .
(1.7.9)
Chiameremo versore della retta orientata r, e lo indicheremo con vers r, il vettore di
modulo unitario avente la direzione ed il verso della retta r. Cosı̀ le componenti, in una
19
base ortonormale, del versore ur di una data retta r, sono proprio i coseni direttori della
retta, cioè i coseni degli angoli che la retta r forma con gli assi coordinati:
d
d
vers r = ur = (cos cd
1 r, cos c
2 r, cos c
3 r) .
(1.7.10)
COMPONENTI DI UN VETTORE DI V3 IN UNA BASE ORTONORMALE: Sia v
un vettore di V3 e {ci } una base ortonormale. Le componenti di v nella base {ci } si
identificano con le proiezioni ortogonali di v sui tre versori della base:
v1 = v · c1 ,
v2 = v · c2 ,
v3 = v · c3
(1.7.11)
Pertanto, in una base ortonormale, per un generico vettore v vale la seguente scomposizione:
v = v1 c1 + v2 c2 + v3 c3 = (v · c1 )c1 + (v · c2 )c2 + (v · c3 )c3
(1.7.12)
ESPRESSIONE DEL PRODOTTO SCALARE DI DUE VETTORI MEDIANTE LE
LORO COMPONENTI IN UNA BASE ORTONORMALE: Sia {ci } una base ortonormale in E3 . Dati i due vettori v e w, siano



v1
 
v =  v2 
v3

w1

w =  w2 

w3
(1.7.13)
le loro componenti nella base {ci }. Risulta:
v·w =(
3
X
vi c i ) ·
i=1
3
X
(wj cj )
j=1
Ricordando la (1.7.6) si deduce subito:
v · w = v1 w 1 + v2 w 2 + v3 w 3
(1.7.15)
Osserviamo infine che il prodotto scalare dei due vettori si può calcolare effettuando il
prodotto righe per colonne del vettore riga (v1 v2 v3 ), trasposto del vettore (1.7.13)1 , per
il vettore colonna (1.7.13)2 :

³
v · w = v1
v2
v3
´

w1

·
 w2 
w3
(1.7.15)
ESERCIZIO 1.7.2 Sia {ci } una base ortonormale nell’insieme dei vettori fisici V3 .
a) Determinare il modulo ed il versore del vettore v le cui componenti nella base {ci }
sono (1,2,-3).
b) Dato il vettore v=(1,1,1) determinare la componente (scalare) del vettore v, secondo
la bisettrice dell’angolo formato dai versori c1 e c2 .
20
c) Sia v1 = 1 la prima componente di un vettore v; siano α = √12 e β = √12 i coseni degli
angoli che il vettore v forma con i versori c1 e c2 . Determinare il modulo di v e le
componenti v2 e v3 .
RELAZIONE TRA COMPONENTI E PROIEZIONI ORTOGONALI DI UN VETTORE
IN UNA BASE OBLIQUA: Come abbiamo visto, in una base ortonormale, le componenti
del vettore v si identificano con le proiezioni ortogonali di questo vettore sui versori della
base. Questa proprietà ovviamente non è più vera in una base non ortonormale.
A titolo di esempio, determiniamo la relazione tra componenti e proiezioni ortogonali
di uno stesso vettore x ∈ V2 in una base di vettori non ortonormale.
Figura 1.7.4
Sia {e1 , e2 } una base obliqua di V2 . Per semplificare sopporremo i due vettori e1 ed
e2 di modulo unitario. Sia cioè e1 · e1 = 1, e2 · e2 = 1 e e1 · e2 = cos θ, essendo θ l’angolo
formato dai due versori e1 e e2 (vedi f ig. 1.7.4).
Denotiamo con x1 e x2 le componenti del vettore x di V2 , e con x̃1 e x̃2 le proiezioni
ortogonali di x sui due versori della base. Si ha:
x̃1 = x · e1 = (x1 e1 + x2 e2 ) · e1 = x1 e1 · e1 + x2 e2 · e1 = x1 + cos θ x2
x̃2 = x · e2 = (x1 e1 + x2 e2 ) · e2 = x1 e1 · e2 + x2 e2 · e2 = cos θ x1 + x2
Le componenti e le proiezioni ortogonali del vettore x sono indicate in f ig. 1.7.4.
Come si vede in una base obliqua esse non coincidono. Le componenti di x sono infatti
i due lati del parallelogramma (di lati rispettivamente paralleli ai due versori della base)
di cui x è la diagonale, che differiscono dalle proiezioni ortogonali del vettore x sulle rette
di versori e1 ed e2 .
Allo stesso modo si verifica che le componenti di un vettore v di V3 , in una base
obliqua di versori, sono i tre lati del parallelepipedo (di lati rispettivamente paralleli ai
versori della base) di cui v è la diagonale, e differiscono dalle proiezioni ortogonali di v
sui versori della base obliqua.
Notiamo infine che in una base obliqua un vettore può essere individuato sia dalle sue
componenti che dalle sue proiezioni ortogonali sui versori della base. Per questo motivo, le
21
proiezioni ortogonali vengono talvolta chiamate anch’esse componenti del vettore x. Per
distinguere i due tipi di componenti in una base obliqua, le prime si chiamano componenti
oblique (o controvarianti), le seconde componenti ortogonali (o covarianti). L’utilizzo
dei termini componenti controvarianti e componenti covarianti fà riferimento alla legge
di variazione di queste quantità al variare della base. Infatti, come abbiamo visto nel
paragrafo 1.6, le componenti oblique si trasformano al variare della base con la legge
(1.6.8) in cui compare la matrice inversa della matrice del cambiamento di base A; si può
verificare invece che le proiezioni ortogonali al variare della base si trasformano con una
legge in cui compare la matrice A.
CARATTERE VETTORIALE O TENSORIALE DI UN ENTE MATEMATICO. Spesso,
nella pratica, un vettore viene fissato assegnando una terna di numeri, cioè assegnando
le sue componenti in una data base. Tuttavia, come abbiamo detto, un vettore è un
ente intrinseco, cioè indipendente dalla particolare base scelta per rappresentarlo. Conseguentemente, per assegnare un vettore non è lecito assegnare semplicemente una n-pla
di numeri, ma bisogna anche assegnare la legge con cui questi numeri si trasformano al
variare della base. Ciò vale in generale anche per enti matematici più complessi (a due o
più indici).
1.8. SPAZI ORIENTATI. BASI CONCORDI E DISCORDI. SCALARI, VETTORI E TENSORI
DISPARI. Indichiamo con B l’insieme di tutte le basi di uno spazio vettoriale Vn di dimensione n.
Due basi {ei } e {ui } si dicono concordi o discordi a seconda che il determinante della matrice A che consente
di passare dall’una all’altra sia positivo o negativo. Si ottiene in tal modo una relazione tra basi, che risulta
essere una relazione di equivalenza. Una base è infatti banalmente concorde con se stessa. Poi se risulta positivo
il determinante della matrice che consente di passare dalla base {ei } alla base {ui }, risulta ovviamente anche
positivo il determinante della matrice inversa, che consente di passare dalla base {ui } alla {ei }; infine siano {ei },
{ui } e {ci } tre basi, e sia {ei } concorde con {ui } ed {ui } concorde con {ci }; si verifica facilmente che {ei } risulta
concorde con {ci }. La relazione testè definita induce nello spazio vettoriale Vn un orientamento. Tale relazione
infatti induce nell’insieme di tutte le basi B una suddivisione in classi di equivalenza. Conveniamo di chiamare
positive le basi appartenenti ad una qualsiasi delle due classi definite dalle relazione di equivalenza, negative le
altre. Indichiamo con B+ e B− tali classi. Lo spazio vettoriale Vn , dotato delle sole basi B+ , si dice orientato
positivamente, e verrà nel seguito da noi denotato con Vn+ . Lo spazio vettoriale Vn , dotato delle sole basi B− , si
dice orientato negativamente e verrà denotato con Vn− .
Si chiamano pseudoscalari o scalari dispari gli scalari, dipendenti da elementi di Vn , che cambiano segno
quando Vn cambia orientamento.
Si chiamano pseudovettori o vettori dispari gli enti geometrici ad un indice che cambiano segno quando Vn
cambia orientamento.
Si chiamano pseudotensori o tensori dispari gli enti geometrici a due o più indici che cambiano segno quando
Vn cambia orientamento.
Riassumendo, gli scalari, i vettori e i tensori dispari sono degli enti matematici che hanno carattere vettoriale
(tensoriale) separatamente in Vn+ e in Vn− , ma si mutano nell’opposto quando Vn cambia orientamento.
22
1.9. SPAZI DI PUNTI
Nei numeri precedenti, partendo dal concetto intuitivo di spazio fisico, abbiamo costruito
lo spazio vettoriale dei vettori geometrici liberi, associando ad ogni coppia di punti (A,B)
di tale spazio un segmento orientato, e poi definendo nell’insieme dei segmenti orientati la
relazione di equipollenza. Viceversa, partendo dal concetto geometrico astratto di spazio
vettoriale si può associare ad esso un insieme di punti, e trasportare su tale insieme la
struttura di spazio vettoriale e di spazio euclideo.
Sia V uno spazio vettoriale reale. Sia E un qualsiasi insieme i cui elementi saranno
chiamati punti ed indicati con le lettere dell’alfabeto latino A,B,C.....
L’insieme E si dice uno spazio puntuale affine associato a V, se esiste una applicazione
τ : E ×E −→ V che ad ogni coppia ordinata di punti (A,B) di E associa un ben determinato
vettore v di V (v = τ (A,B)) che soddisfa i seguenti assiomi:
a) Fissato ad arbitrio un punto O di E, ad ogni vettore v di V, è associato in maniera
unica un altro punto P di E, tale che τ (O,P)= v.
b) Se alla coppia ordinata (A,B) l’applicazione τ associa il vettore v1 ed alla coppia
ordinata (B,C) il vettore v2 , allora alla coppia (A,C) deve corrispondere il vettore
v1 + v2 :
Osserviamo che, fissato ad arbitrio un vettore v ∈ V, in base all’assioma a) esistono
infinite coppie ordinate (A,B) tali che τ (A,B)=v. Prefissando un punto O, ne scegliamo
una. Conseguentemente, la proprietà a) stabilisce che i punti di uno spazio affine possono
essere messi in corrispondenza biunivoca con gli elementi di uno spazio vettoriale, una
volta prefissato un punto O dello spazio affine.
In uno spazio affine E la coppia ordinata (O,P) ∈ V ×V prende il nome di vettore applicato nel punto O e si indica con uno qualunque dei seguenti simboli: (O,P)=(O,v)=(v,O)=
P-O.
Si verificano facilmente le seguenti ulteriori proprietà di uno spazio affine:
c) L’applicazione τ fa corrispondere alla coppia ordinata (A,A) il vettore nullo.
d) Se alla coppia ordinata (A,B) corrisponde il vettore v, alla coppia ordinata (B,A)
corrisponde il vettore -v.
RIFERIMENTI IN UNO SPAZIO AFFINE. I concetti di dimensione e di base per uno
spazio vettoriale conducono in maniera immediata ai concetti di riferimento in uno spazio
puntuale affine e di coordinate (cartesiane) di un punto P di uno spazio affine.
Prende il nome di dimensione di uno spazio puntuale affine En , la dimensione dello
spazio vettoriale Vn cui è associato lo spazio affine.
In uno spazio puntuale affine En , prende il nome di retta, passante per il punto O ed
individuata dal vettore u, il luogo di punti P tali che P-O = λu, dove λ è un qualunque
numero reale.
23
Dati due punti A e B la retta passante per tali punti è ovviamente l’insieme dei punti
P tali che P-A= λ AB.
L’insieme {O,ei } di un punto O ∈ En e di una base {ei } dello spazio Vn , prende il
nome di riferimento di En di origine O. Le rette passanti per O, individuate dai vettori ei ,
(i = 1, 2, ...n), si chiamano assi del riferimento. Le componenti xi del vettore OP=P-O
nella base {ei }, si chiamano coordinate cartesiane o coordinate rettilinee del punto P nel
riferimento di origine O ed assi xi .
RIFERIMENTI ORTONORMALI. In uno spazio puntuale euclideo, prende il nome di
riferimento ortonormale l’insieme {O,ci } di un punto O ∈ En e di una base {ci } di vettori
ortogonali e di modulo unitario.
RIFERIMENTI NEL PIANO.
Indichiamo con E2 l’insieme dei punti del piano. Come abbiamo visto nel numero precedente, prefissato un punto O∈ E2 , i punti del piano possono essere messi in corrispondenza
biunivoca con i vettori di V2 . Sia {c1 , c2 } una base ortonormale dello spazio vettoriale
bidimensionale V2 . Come si verifica immediatamente, i vettori di tale base, individuano
nel piano, due rette mutuamente ortogonali, passanti per O. Denoteremo con x1 , x2 tali
rette. L’insieme {O, c1 , c2 } (o indifferentemente l’insieme {O, x1 , x2 }) prende il nome di
riferimento cartesiano ortogonale di origine O assi x1 , x2 e versori c1 e c2 , o semplicemente
di riferimento ortonormale nel piano.
Figura 1.9.1
Siano (x1 , x2 )T , le componenti di un generico vettore x nella base {c1 , c2 }. Poichè,
prefissato un punto O, i punti del piano possono essere messi in corrispondenza biunivoca
con i vettori di V2 , il vettore x individua nel piano un punto P (l’estremo del vettore OP).
I due numeri (x1 , x2 ) individuano univocamente il punto P, nel riferimento {O, x1 , x2 } e
prendono il nome di coordinate cartesiane ortogonali del punto P dello spazio E2 , nel
riferimento dato.
ORIENTAMENTO DEL PIANO.
Agli spazi puntuali si trasporta un maniera naturale il concetto di orientamento introdotto
per gli spazi vettoriali (par. 1.8).
Nel piano prende il nome di riferimento positivo un riferimento {O, x1 , x2 } in cui x1
ruota in senso antiorario per sovrapporsi a x2 (f ig. 1.9.1a). Ovviamente, un riferimento
24
negativo nel piano è un riferimento in cui x1 ruota in senso orario per sovrapporsi a x2
(f ig. 1.9.1b).
RIFERIMENTI NELLO SPAZIO.
Indichiamo con E3 l’insieme dei punti dello spazio fisico. Prefissato un punto O∈ E3 , i punti
dello spazio fisico possono essere messi in corrispondenza biunivoca con i vettori di V3 .
Sia {c1 , c2 , c3 } una base dello spazio vettoriale V3 . Come si verifica immediatamente,
i vettori di tale base, individuano nello spazio fisico, tre rette mutuamente ortogonali,
passanti per O. Denoteremo con x1 , x2 , x3 tali rette.
L’insieme {O, c1 , c2 , c3 } (o indifferentemente l’insieme {O, x1 , x2 , x3 }) prende il nome
di riferimento ortonormale nello spazio fisico o di terna trirettangola di origine O assi
x1 , x2 , x3 e versori c1 , c2 e c3 .
Siano (x1 , x2 , x3 )T , le componenti di un generico vettore x nella base {ci }. Poichè,
prefissato un punto O, i punti dello spazio fisico possono essere messi in corrispondenza
biunivoca con i vettori di V3 , il vettore x individua nello spazio fisico un punto P (l’estremo
del vettore OP). I tre numeri (x1 , x2 , x3 ) individuano univocamente il punto P, nel riferimento {O, x1 , x2 , x3 } e prendono il nome di coordinate cartesiane ortogonali del punto P
dello spazio E3 , nel riferimento dato.
Figura 1.9.2
ORIENTAMENTO DELLO SPAZIO.
Nello spazio prende il nome di riferimento ortonormale positivo o anche terna trirettangola
levogira quel riferimento in cui un osservatore disposto come c3 (come x3 ) e guardante c1
(x1 ) abbia c2 (x2 ) alla sua sinistra (f ig. 1.9.2).
Si chiama riferimento ortonormale negativo o anche terna trirettangola destrogira quel
riferimento in cui un osservatore disposto come c3 (come x3 ) e guardante c1 (x1 ) abbia
c2 (x2 ) alla sua destra.
Una terna obliqua di vettori {ei } (linearmente indipendenti) si dice positiva o negativa
25
a seconda che risulti positivo il determinante della matrice che consente di passare dalla
base {ei } alla base {ci }.
1.10. ISOMETRIE
In Meccanica, particolarmente nello studio dei moti rigidi e nei moti relativi, hanno particolare importanza le
bijezioni tra spazi vettoriali e tra spazi affini che conservano le lunghezze e gli angoli.
Siano En ed Fn due spazi euclidei di uguale dimensione. Una bijezione f di En in Fn si dice isometrica, se
conserva il prodotto scalare. In altre parole, diremo che i due spazi vettoriali euclidei En ed Fn sono isometrici, se,
presi ad arbitrio due vettori x1 e x2 di En , detti y1 ed y2 i corrispondenti elementi di Fn (y1 = f (x1 ) y2 = f (x2 )),
risulta
x1 · x2 = y1 · y2
(1.9.1)
Ovviamente una isometria f , conservando il prodotto scalare tra due vettori, conserva anche l’angolo che essi
formano e le loro lunghezze.
Una bijezione f tra due spazi puntuali euclidei En e Fn si dice isometrica se, detti A1 , A2 , A3 , A4 quattro punti
arbitrari di En e B1 , B2 , B3 , B4 i loro corrispondenti in Fn secondo l’applicazione f , risulta:
A1 A2 · A3 A4 = B1 B2 · B3 B4
(1.9.2)
Una isometria tra due spazi puntuali euclidei è pertanto una bijezione che conserva le distanze tra i punti e gli
angoli tra le rette.
1.11. PRODOTTO VETTORIALE
Sia V3+ uno spazio vettoriale euclideo di dimensione 3, dotato delle sole basi levogire (cioè
uno spazio orientato positivamente). Siano u e v due vettori di V3+ .
Prende il nome di prodotto vettoriale o esterno di u e v un vettore, che indicheremo
con u ∧ v, la cui direzione è ortogonale alla giacitura individuata da u e v, il cui modulo
è uguale all’area del parallelogramma costruito su u e v ed il cui verso è tale che la terna
u, v, u ∧ v sia levogira (fig 1.11.1).
Figura 1.11.1
Indicato con α il minore tra gli angoli che formano i due vettori u e v, risulta:
|u ∧ v| = uv sin α
(1.11.1)
PROPRIETÀ DEL PRODOTTO VETTORIALE: si verificano facilmente le seguenti proprietà:
a) il prodotto vettoriale di due vettori u e v si annulla se uno dei due vettori è nullo
oppure se i due vettori sono paralleli.
26
b) il prodotto vettoriale è anticommutativo, risulta infatti:
u ∧ v = −v ∧ u
(1.11.2)
c) il prodotto vettoriale di due vettori è bilineare; si ha infatti:
(λu) ∧ v = u ∧ (λv) = λ(u ∧ v)
u ∧ (v1 + v2 ) = u ∧ v1 + u ∧ v2
(u1 + u2 ) ∧ v = u1 ∧ v + u2 ∧ v
(1.11.3)
Le proprietà a) e b) sono di verifica immediata. La proprietà c) verrà dimostrata alla fine
del prossimo paragrafo.
Osserviamo infine che, indicati con c1 , c2 , c3 i versori di un un riferimento trirettangolo
levogiro, risulta:
c1 ∧ c2 = c3 c2 ∧ c3 = c1 c3 ∧ c1 = c2
(1.11.4)
c1 ∧ c1 = 0 c2 ∧ c2 = 0 c3 ∧ c3 = 0
In V−
3 il prodotto vettoriale dei due vettori u e v può essere definito come quel vettore
la cui direzione è ortogonale alla giacitura individuata da u e v, il cui modulo è uguale
all’area del parallelogramma costruito su u e v ed il cui verso è tale che la terna u, v,
u ∧ v sia destrogira, cioè concorde con l’orientamento di V−
3 . Il prodotto vettoriale dei
due vettori u e v si muta dunque nell’opposto quando si passa da un riferimento positivo
ad uno negativo: esso pertanto costituisce uno pseudovettore e non un vettore.
1.12. PRODOTTO MISTO
Sia V3+ uno spazio vettoriale euclideo di dimensione 3, dotato delle sole basi levogire.
Siano u, v e w tre vettori di V3+ .
Prende il nome di Prodotto misto dei tre vettori u, v e w lo scalare che si ottiene moltiplicando vettorialmente tra loro i primi due vettori e moltiplicando quindi scalarmente il
risultato cosı̀ ottenuto per il terzo vettore:
u ∧ v · w = (u ∧ v) · w
(1.12.1)
Ricordando le definizioni di prodotto scalare e di prodotto vettoriale, indicando con θ
l’angolo che formano i due vettori u e v e con φ l’angolo che il vettore w forma con u ∧ v,
si ottiene:
u ∧ v · w = uvw sin θ cos φ
(1.12.2)
Figura 1.12.1
27
Deduciamo dunque che il modulo del prodotto misto dei tre vettori u, v e w è il volume
del parallelepipedo costruito sui tre vettori u, v e w (vedi f ig. 1.12.1). Possiamo dire poi
che il prodotto misto dei tre vettori u, v e w è positivo o negativo a seconda che i tre
vettori costituiscano, nell’ordine, una terna positiva o una terna negativa.
In precedenza abbiamo definito terne positive quelle individuate da una base di vettori
positiva (vedi paragrafo 1.9). Quel che precede ci porta ad individuare un facile metodo
per stabilite se una terna è concorde o discorde con una terna trirettangola levogira. Si
verifica infatti che una terna obliqua è levogira se i vettori w e u ∧ v formano un angolo
minore di π/2, cioè se si trovano dallo stesso lato rispetto al piano individuato da u e
v, è destrogira se l’angolo che essi formano è maggiore di π/2. Conseguentemente, una
terna è levogira se il prodotto misto dei tre versori che la individuano è positivo, è invece
destrogira, se tale prodotto misto è negativo.
Da quanto detto si deduce che condizione necessaria e sufficiente perchè tre vettori
siano complanari è che il loro prodotto misto si annulli.
SIMBOLO DI RICCI O LEVI-CIVITA
In V3+ si definisce il seguente ente matematico a tre indici, noto come tensore alternante o simbolo di Ricci o
simbolo di Levi-Civita:
(
²ijk =
1
0
−1
se (ijk) è una permutazione di posto pari su (123)
se almeno due dei tre indici (ijk) sono uguali
se (ijk) è una permutazione di posto dispari su (123)
(1.12.3)
In una base ortonormale levogira si verifica subito che si ha:
²ijk = ci ∧ cj · ck
(1.12.4)
Come mostra la precedente relazione il tensore di Levi-Civita non è un tensore, ma uno pseudo tensore, in quanto
esso cambia segno nel passare da una base levogira ad una base destrogira.
LINEARITÀ DEL PRODOTTO VETTORIALE
Dimostriamo adesso la linearità del prodotto vettoriale (Proprietà c). E’ sufficiente far
vedere che si ha:
u ∧ (λ1 v1 + λ2 v2 ) = λ1 u ∧ v1 + λ2 u ∧ v2
(1.12.4)
Moltiplichiamo il primo membro della (1.12.5) per un qualsiasi vettore w di V3+ . Risulta:
u ∧ (λ1 v1 + λ2 v2 ) · w = w ∧ u · (λ1 v1 + λ2 v2 ) =
= λ1 (w ∧ u · v1 ) + λ2 (w ∧ u · v2 ) =
= λ1 (u ∧ v1 · w) + λ2 (u ∧ v2 · w) =
= (λ1 u ∧ v1 + λ2 u ∧ v2 ) · w
Conseguentemente, qualunque sia w, risulta:
[u ∧ (λ1 v1 + λ2 v2 ) − λ1 u ∧ v1 − λ2 u ∧ v2 ] · w = 0
da quest’ultima relazione, per l’arbitrarietà di w si deduce la (1.12.5).
COMPONENTI DEL PRODOTTO VETTORIALE IN UNA BASE ORTONORMALE
LEVOGIRA: Calcoliamo la componente k-esima del prodotto vettoriale di u ∧ v. Utiliz28
zando la proprietà appena dimostrata, possiamo scrivere:
3
X
(u ∧ v)k = u ∧ v · ck (
i=1
ui c i ) ∧ (
3
X
vj c j ) · c k =
j=1
3 X
3
X
ui vj ci ∧ cj · ck
i=1 j=1
otteniamo cosı̀:
u ∧ v = (u2 v3 − u3 v2 )c1 + (u3 v1 − u1 v3 )c2 + (u1 v2 − u2 v1 )c3
(1.12.6)
Concludiamo dunque che le componenti del prodotto vettoriale dei due vettori u e v, di
componenti (u1 , u2 , u3 ) e (v1 , v2 , v3 ), sono proprio i minori di secondo ordine della matrice
in cui, ordinatamente, nella prima riga vi sono le componenti del vettore u, nella seconda
le componenti del vettore v:
µ
¶
u1 u2 u3
(1.12.7)
v1 v2 v3
Una regola pratica per calcolare il prodotto vettoriale di due vettori, di cui sono note
le componenti in una data base ortonormale, consiste nel calcolare il determinante di una
matrice in cui nella prima riga vi sono i versori degli assi, nella seconda le componenti del
primo vettore, nella terza le componenti del secondo vettore:
¯
¯c
¯ 1
¯
u ∧ v = ¯ u1
¯
¯ v1
c2
u2
v2
¯
c3 ¯¯
¯
u3 ¯
¯
v3 ¯
(1.12.8)
Un’altra espressione del prodotto vettore in componenti verrà data nel capitolo successivo,
quando sarà introdotto l’operatore assiale.
ESPRESSIONE DEL PRODOTTO MISTO IN UN RIFERIMENTO ORTONORMALE
LEVOGIRO: Come abbiamo visto, le componenti del prodotto vettoriale dei due vettori
u=(u1 , u2 , u3 ) e v=(v1 , v2 , v3 ) sono espresse dalle relazioni:
(u ∧ v)1 = u2 v3 − u3 v2
(u ∧ v)2 = u3 v1 − u1 v3
(u ∧ v)3 = u1 v2 − u2 v1 (1.12.9)
o anche dai minori di secondo ordine della matrice (1.12.7).
Ricordando quindi l’espressione del prodotto scalare di due vettori in una base ortonormale, si ottiene subito:
u ∧ v · w = (u2 v3 − u3 v2 )w1 + (u3 v1 − u1 v3 )w2 + (u1 v2 − u2 v1 )w3
o anche:
¯
¯u
¯ 1
¯
u ∧ v · w = ¯¯ v1
¯ w1
u2
v2
w2
¯
u3 ¯¯
¯
v3 ¯¯
w3 ¯
ESERCIZIO 1.12.1. Calcolare l’area del triangolo avente come vertici i punti
P = (2, 3, 5), Q = (4, 2, −1), R = (3, 6, 4).
29
(1.12.10)
(1.12.11)
ESERCIZIO 1.12.2. Calcolare il volume del parallelepipedo costruito sui tre vettori le
cui componenti in un riferimento ortonormale levogiro sono:
v1 = (3, −1, 0)
v2 = (0, 1, 2)
v3 = (1, 5, 4)
1.13. DOPPIO PRODOTTO VETTORIALE
Sia V3 lo spazio vettoriale euclideo di dimensione 3, non orientato, dotato cioè sia delle
basi levogire che di quelle destrogire. Siano u, v e w tre vettori di V3 .
Prende il nome di doppio prodotto vettoriale il vettore:
(u ∧ v) ∧ w
(1.13.1)
Come si verifica immediatamente, il doppio prodotto vettoriale risulta un vettore di V3 ,
e non uno pseudovettore.
Osserviamo che il risultato del doppio prodotto vettoriale (1.13.1), dovendo essere
ortogonale sia a u ∧ v che a w, deve giacere nel piano di u e di v. il risultato del
doppio prodotto (1.13.1) deve potersi esprimere, dunque, come combinazione lineare dei
due vettori u e v. Si dimostra che vale la seguente identità:
(u ∧ v) ∧ w = (u · w)v − (v · w)u
(1.13.2)
La dimostrazione della (1.13.2) si può effettuare osservando che entrambi i membri della
(1.13.2) hanno le stesse le componenti in una base ortonormale assegnata; mostriamo che
si identificano le componenti secondo la direzione del primo versore. Risulta infatti:
(u ∧ v) ∧ w]1 =
[(u ∧ v) ∧ w] · c1 =
= (u2 v3 − u3 v2 )c1 ∧ w · c1 + (u3 v1 − u1 v3 )c2 ∧ w · c1 +
+(u1 v2 − u2 v1 )c3 ∧ w · c1 =
= (u3 v1 − u1 v3 )w3 c2 ∧ c3 · c1 + (u1 v2 − u2 v1 )w2 c3 ∧ c2 · c1 =
= (u3 v1 − u1 v3 )w3 − (u1 v2 − u2 v1 )w2
ma è anche:
[(u · w)v − (v · w)u]1
= [(u · w)v − (v · w)u] · c1 =
= (u1 w1 + u2 w2 + u3 w3 )v1 − (v1 w1 + v2 w2 + v3 w3 )u1 =
= (u2 w2 + u3 w3 )v1 − (v2 w2 + v3 w3 )u1
PROPRIETÀ DEL DOPPIO PRODOTTO VETTORIALE:
Il doppio prodotto vettore non è associativo. Dalla (1.13.2) si deduce che il doppio
prodotto vettore non gode della proprietà associativa:
(u ∧ v) ∧ w 6= u ∧ (v ∧ w)
(1.13.3)
u ∧ (v ∧ w) = (w ∧ v) ∧ u = (u · w)v − (v · u)w
(1.13.4)
Si ha infatti:
30
Concludiamo dunque che il doppio prodotto vettoriale soddisfa la proprietà associativa
(u ∧ v) ∧ w = u ∧ (v ∧ w) solo se il vettore v risulta contemporaneamente ortogolare sia a
u che a w (v · u = v · w = 0), oppure se i vettori u e w sono paralleli: (v · u)w = (v · w)u.
Identità di Jacobi: Il doppio prodotto vettoriale soddisfa la seguente identità, detta
identità di Jacobi, di verifica immediata:
u ∧ (v ∧ w) + v ∧ (w ∧ u) + w ∧ (u ∧ v) = 0
(1.13.5)
1.14. DIVISIONE VETTORIALE
Dati due vettori non nulli u e v la divisione vettoriale consiste nel ricercare quei vettori
x tali che:
v∧x=u
(1.14.1)
Scelto un riferimento ortonormale in V3 , dette (ui ) e (vi ) le componenti dei vettori u e
v, e indicate con (xi ) quelle del vettore incognito x, la (1.14.1) equivale ad un sistema di
tre equazioni nelle incognite (x1 , x2 , x3 ):

0

 v3
−v2
−v3
0
v2




v2
x1
u1




−v1   x2  =  u2 
0
x3
u3
(1.14.2)
In generale, l’equazione (1.14.1) non ammette soluzioni. La condizione di compatibilità
si determina subito osservando che, se esiste un vettore x che soddisfa la (1.14.1), deve
essere anche, ovviamente:
v∧x·v =u·v
e quindi i due vettori u e v devono essere ortogonali:
u·v =0
(1.14.3)
Osserviamo ancora che, in base al teorema di Rouché-Capelli, se è soddisfatta la (1.14.3),
l’equazione (1.14.1) ammette infinite soluzioni.
Tra le infinite soluzioni della (1.14.1) ricerchiamo quella individuata dal vettore x0 che
risulta ortogonale sia a u che a v. A tale scopo, scritta la (1.14.1) con x0 al posto di x,
moltiplichiamo vettorialmente a destra entrambi i membri di tale equazione per il vettore
v:
(v ∧ x0 ) ∧ v = u ∧ v
Sviluppando il doppio prodotto vettore che compare a primo membro della precedente
equazione e tenendo conto della ortogonalità tra u ed x0 , si ottiene:
v 2 x0 = u ∧ v
Pertanto, la soluzione cercata è:
x0 =
u∧v
v2
31
(1.14.4)
Tutte le altre soluzioni della (1.14.1) si ottengono ora aggiungendo al vettore x0 dato dalla
(1.14.4) un qualsiasi vettore parallelo a v.
Concludiamo dunque che, sotto l’ipotesi di compatibilità (1.14.3), la (1.14.1) ammette
le infinite soluzioni:
u∧v
x = x0 + λv =
+ λv
(1.14.5)
v2
ESERCIZIO 1.14.1. Dati i due vettori v=(1,1,1) e w=(2,-2,0), risolvere l’equazione
vettoriale:
w =x∧v
1.15. BASE RECIPROCA
Come abbiamo visto, in uno spazio (vettoriale o affine) euclideo, è sempre possibile introdurre una base ortonormale. Nei problemi concreti che incontreremo nello studio della meccanica razionale, sceglieremo, di solito, come
base del nostro spazio proprio una siffatta base.
In alcuni problemi di fisica e di meccanica, è talvolta più opportono introdurre basi oblique. Ciò accade, ad
esempio, nello studio dei reticoli cristallini: la loro conformazione infatti porta naturalmente a introdurre basi tali
che i piani da essi individuati siano proprio i piani di ”simmetria” del cristallo. Anche in altri problemi (ad es. lo
studio dell’ellisse d’inerzia) è utile il concetto di base reciproca.
Sia V3 uno spazio vettoriale euclideo di dimensione 3. Siano {ui } e {cj } una base obliqua ed una base
ortonormale di V3 . Fissato un generico vettore v di V3 , denotiamo con vi le sue componenti nella base obliqua
{ui } e con vj0 quelle nella base ortonormale {cj }:
v=
3
X
vi ui =
i=1
3
X
vj0 cj
(1.15.1)
j=1
Determiniamo la relazione tra le componenti controvarianti di v nella base obliqua e quelle nella base ortonormale. Sia A = (Aji ) la matrice del cambiamento di base; riscriviamo la legge del cambiamento di base (1.6.6):
(
v10 = A11 v1 + A21 v2 + A31 v3
v20 = A12 v1 + A22 v2 + A32 v3
v30 = A13 v1 + A23 v2 + A33 v3
(1.15.2)
È questo un sistema di tre equazioni nelle tre incognite v1 , v2 , v3 . Osserviamo che nelle colonne della matrice
di tale sistema compaiono le componenti, nella base ortonormale, dei vettori ui della base obliqua. Si ha dunque:
det(Aji ) = u1 ∧ u2 · u3 6= 0
(1.15.3)
Si ha poi:
u2 ∧ u3
u3 ∧ u1
u1 ∧ u2
·v
v2 =
·v
v3 =
·v
(1.15.4)
u1 ∧ u2 · u3
u1 ∧ u2 · u3
u1 ∧ u2 · u3
Vediamo dunque che le componenti controvarianti del vettore v nella base {ui } si possono ottenere moltiplicando
scalarmente il vettore v per i tre vettori:
v1 =
U1 =
u2 ∧ u3
u1 ∧ u2 · u3
U2 =
u3 ∧ u1
u1 ∧ u2 · u3
U3 =
u1 ∧ u2
u1 ∧ u2 · u3
(1.15.5)
I tre vettori U1 , U2 ed U3 , cosı̀ definiti sono tre vettori linearmente indipendenti, e costituiscono la cosiddetta
base reciproca della base {ui }. Essi soddisfano la relazione:
ui · Uj = δij
(1.15.6)
Utilizzando i vettori {Uj } della base reciproca possiamo scrivere:
v = (v · U1 )u1 + (v · U2 )u2 + (v · U3 )u3
(1.15.7)
v = (v · u1 )U1 + (v · u2 )U2 + (v · u3 )U3
(1.15.8)
Si ha poi dualmente:
32
1.16. ESERCIZI DI RIEPILOGO
1) In una base ortonormale levogira {c1 , c2 , c3 } siano dati i vettori v1 = c1 − 2c2 + c3 e
v2 = 3c1 + c2 + 2c3 . Calcolare il coseno dell’angolo che essi formano.
2) Sia V3 uno spazio vettoriale di dimensione 3 e sia {ei } una sua base.
(a) Verificare che i vettori u1 = −2e3 u2 = e1 + e2 − e3 u3 = e1 − e2 + e3 sono
linearmente indipendenti, mentre i vettori w1 = e2 − 2e3 w2 = e1 − e3 w3 =
e1 − e2 + e3 sono linearmente dipendenti.
(b) Mostrare che le due terne di numeri (4,-1,3), (5,7,1) non si possono interpretare
come le componenti oblique (o controvarianti) di uno stesso vettore nelle due
basi {ei } ed {ui }.
3) Sia E3 uno spazio vettoriale euclideo e {ci } una base ortonormale. Dato il vettore v di
componenti (1,2,3), nella base {ci }, determinare la sua componente scalare secondo
la bisettrice, orientata in un qualunque verso, dell’angolo individuato dai versori c1
e c2 .
4) In una terna trirettangola levogira trovare il coseno dell’angolo formato dalle bisettrici
c e yz,
c supposto prefissato su tali rette un orientamento.
degli angoli xy
√
√
5) In uno spazio vettoriale euclideo sia {ci } una base ortonormale. Siano v1 = ( 3, 2, 2)
√ √
e v2 = (1, 5, 3) due vettori. Determinare i vettori s = v1 + v2 e d = v1 − v2 .
Dimostrare che s ⊥ d.
6) Calcolare l’angolo formato dalle diagonali del quadrilatero avente i vertici in (0,0,0),
(3,2,0), (4,6,0), (1,3,0).
7) Sia V2 uno spazio vettoriale di dimensione 2 ed {c1 , c2 } una sua base ortonormale.
Siano
µ ¶
µ ¶
2
1
e1 =
e2 =
1
1
due vettori di V2 .
(a) Mostrare che costituiscono una base di V2 .
(b) Determinare le componenti oblique e le proiezioni ortogonali del vettore v =
5e1 + 3e2 nella base {e1 , e2 }.
(c) Determinare l’area del parallelogrammo costruito su e1 ed e2 .
8) Calcolare l’area del triangolo avente come vertici i punti P=(1,3,-1), Q=(0,2,1),
R=(3,6,1).
33
9) Calcolare il volume del parallelepipedo costruito sui tre vettori le cui componenti in un
riferimento ortonormale levogiro sono v1 = (0, −1, 0), v2 = (0, 1, 2), v3 = (1, 2, 4).
10) Determinare il volume del parallelepipedo avente un vertice nell’origine O degli assi
e gli spigoli uscenti da O, unitari e paralleli alle bisettrici degli angoli xy,
ˆ yz
ˆ e xz.
ˆ
11) Dati i due vettori v=(0,1,1) e w=(2,2,-2), determinare il luogo dei punti P dello
spazio tali che:
w = OP ∧ v
12) Siano i, j, k i versori di una base ortonormale. Dati i tre vettori
u1 = 3i − 4j
u2 = 3j + 4k
u3 = −i + j + 2k
(a) mostrare che essi costituiscono una base e determinare la base reciproca {Ûj }.
(b) esprimere il vettore v: v = 5i−3j+8k come combinazione lineare dei tre vettori
{ui } e dei tre vettori {Ûj }.
34
CAPITOLO II
TRASFORMAZIONI LINEARI E TENSORI
2.1 TRASFORMAZIONI LINEARI
Siano V e V0 due spazi vettoriali reali. Come è noto, prende il nome di omomorfismo o
applicazione lineare di V in V0 l’applicazione L di V in V0
L : x ∈ V −→ τ x ∈ V0
(2.1.1)
che soddisfa le relazioni:
a) L(x + y) = Lx + Ly
b) L(λx) = λLx,
∀x, y ∈ V
∀x ∈ V, ∀λ ∈ R
Prende il nome di trasformazione lineare o operatore lineare o endomorfismo un’applicazione lineare L di V in sè.
L’insieme di tutte le trasformazioni lineari di V in sè verrà nel seguito indicato con il
simbolo Lin (V):
Lin (V) = {L : V → V : L lineare}
(2.1.2)
Come è noto, in un generico spazio vettoriale di dimensione finita, ad ogni endomorfismo può essere associato un ente a due indici (la matrice delle sue componenti, in una
data base), che si trasforma al variare della base con una legge tensoriale. Per questo
motivo, gli endomorfismi in uno spazio vettoriale vengono anche chiamati tensori doppi o
tensori del secondo ordine.
ESEMPI DI TRASFORMAZIONI LINEARI
In un generico spazio vettoriale reale sono definiti, in particolare, i seguenti endomorfismi:
1) L’endomorfismo nullo O, che associa ad ogni vettore x il vettore nullo o:
O : x ∈ V −→ O x = o
2) L’endomorfismo identico U, che associa ad ogni vettore x il vettore x stesso:
U : x ∈ V −→ U x = x
3) L’omotetia vettoriale τλ , detta anche moltiplicazione per lo scalare λ, che associa ad
ogni vettore x il vettore ad esso parallelo λx:
τλ : x ∈ V −→ τλ x = λx
35
2.2. TENSORI DOPPI NEGLI SPAZI EUCLIDEI
Come abbiamo visto nel capitolo precedente, gli spazi vettoriali che si incontrano nello
studio della Meccanica Razionale sono spazi, a due o tre dimensioni, dotati di prodotto
scalare. Ci limiteremo pertanto a studiare gli endomorfismi in un spazio vettoriale euclideo,
di dimensione 2 e di dimensione 3.
TRASFORMAZIONI LINEARI IN UNO SPAZIO EUCLIDEO BIDIMENSIONALE.
Sia E2 uno spazio vettoriale euclideo bidimensionale (l’insieme dei vettori del piano). È
noto che, scelta una base in E2 , l’insieme dei vettori piani può essere messo in corrispondenza biunivoca e isomorfa con le coppie ordinate di numeri reali e quindi con l’insieme dei
numeri complessi C. In particolare, scelta in E2 una base ortonormale positiva {c1 , c2 },
al vettore x, di componenti (x1 , x2 ), possiamo far corrispondere biunivocamente il numero
complesso z di parte reale x1 e coefficiente dell’immaginario x2 :
x = (x1 , x2 ) ∈ E2 ←→ z = x1 + ix2 ∈ C
Cosı̀ come un numero complesso, ogni vettore del piano x è suscettibile di una rappresentazione esponenziale. Detti infatti x il modulo del vettore x e θ l’angolo che il vettore x
forma con il vettore c1 , ricordando la formula di Eulero, possiamo scrivere:
x = x(cos θ + i sin θ) = xeiθ
Nell’insieme dei numeri complessi la moltiplicazione per un numero complesso prefissato z0 è una trasformazione lineare; è immediato infatti constatare che la trasformazione
che al numero complesso z associa il numero complesso z0 z verifica la relazione:
z0 (λ1 z1 + λ2 z2 ) = λ1 z0 z1 + λ2 z0 z2
∀z1 , z2 ∈ C
∀λ1 , λ2 ∈ R
In base all’isomorfismo tra vettori piani e numeri complessi l’operazione di moltiplicazione
per un numero complesso può essere definita anche nell’insieme E2 dei vettori piani. Dato
il numero complesso z = x1 + ix2 , la moltiplicazione del vettore v=(v1 , v2 ) per il numero
complesso z, viene definita nel seguente modo:
z : v = (v1 , v2 ) ∈ E2 −→ zv = (x1 v1 − x2 v2 , x1 v2 + x2 v1 ) ∈ E2
Posto v=veiθ , la moltiplicazione del vettore v per il numero complesso z = ρeiφ dà
come risultato il vettore di modulo ρv ed argomento θ + φ:
w = zv = ρvei(θ+φ)
Consideriamo in particolare la moltiplicazione di un vettore piano per il numero complesso i:
i : v = (v1 , v2 ) ∈ E2 −→ iv = (−v2 , v1 ) ∈ E2
π
π
utilizzando la notazione esponenziale iv = ei 2 (veiθ ) = vei(θ+ 2 ) , è immediato constatare
che il vettore iv si ottiene ruotando di 90o in verso antiorario il vettore x; la moltiplicazione
36
per i si identifica dunque con l’operatore che ruota i vettori del piano di 90o in verso
antiorario. Per tale motivo, la moltiplicazione per il numero complesso i viene anche
chiamata operatore manovella. Si verifica anche facilmente che la moltiplicazione del
vettore x per il numero complesso z di modulo ρ ed argomento φ, consiste nel moltiplicare
il vettore x per il modulo ρ del numero complesso z e quindi ruotare il vettore cosı̀ ottenuto
di un angolo φ in verso antiorario.
L’OPERATORE ASSIALE
Consideriamo lo spazio euclideo tridimensionale dotato delle sole basi positive E+
3 . Sia u
+
un generico vettore di E3 . Prende il nome di operatore assiale o semplicemente assiale
l’endomorfismo che associa ad ogni vettore x appartenente a E+
3 il risultato del prodotto
vettoriale tra u ed x:
u∧
+
: x ∈ E+
3 −→ (u∧)x = u ∧ x ∈ E3
(2.2.1)
L’endomorfismo assiale, dunque, trasforma i vettori dell’intero spazio E+
3 , nei vettori
+
ortogonali ad u; manda cioè i vettori dell’intero spazio E3 , nei vettori di un piano, la cui
giacitura è ortogonale a quella del vettore u.
Sia {i, j, k} una terna di versori tra di loro ortogonali. L’assiale k∧ agisce sui vettori
dell’intero spazio, trasformandoli nei vettori del piano π ortogonale a k. Se consideriamo
dunque la restrizione dell’operatore k∧ ai vettori del piano π (individuato dai versori i e
j) constatiamo immediatamente che l’operatore k∧ agisce su ogni vettore di π ruotandolo
di 90o in verso antiorario. Esso dunque si identifica con l’operatore manovella i.
LA DIADE O PRODOTTO TENSORIALE
Sia E un generico spazio vettoriale euclideo. Siano u e v due vettori di E. Prende il nome
di prodotto tensoriale o diade fra i due vettori u e v il tensore, che indicheremo con u⊗v
(un’altra notazione, frequentemente usata, è uv) che agisce sul vettore x moltiplicandolo
scalarmente per il vettore u e moltiplicando infine lo scalare ottenuto per il vettore v:
u ⊗ v : x ∈ E −→ u ⊗ v x = (u · x)v
(2.2.2)
La diade quindi, trasforma i vettori dell’intero spazio E nel sottinsieme di E costituito
dai vettori paralleli al vettore v.
OPERATORI DI PROIEZIONE
Consideriamo la diade u ⊗ u, dove u è un versore, ad esempio il versore di una data direzione r, ed analizziamo
come essa agisce sui vettori dell’intero spazio. Si ha, ∀x ∈ E:
u ⊗ u x = (u · x)u = xr u.
Come vediamo la diade u ⊗ u agisce sul vettore x trasformandolo nel suo vettore proiezione secondo la direzione
della retta r. Nel seguito denoteremo tale operatore con:
P|| (u) := u ⊗ u
e lo chiameremo operatore di proiezione sulla retta r di versore u.
37
(2.2.3)
In particolare, se c1 , c2 e c3 sono i versori di un riferimento ortogonale in uno spazio tridimensionale E3 ,
possiamo scrivere:
x = x1 c1 + x2 c2 + x3 c3 = (c1 ⊗ c1 + c2 ⊗ c2 + c3 ⊗ c3 ) x,
da cui deduciamo:
U = c1 ⊗ c1 + c2 ⊗ c2 + c3 ⊗ c3 .
(2.2.4)
P⊥ (u) := U − u ⊗ u
(2.2.5)
Infine, l’operatore
è il vettore proiezione nel piano perpendicolare ad u, infatti si ha:
[P⊥ (u)x] · x = [(U − u ⊗ u) x] · x = 0
e
P|| (u) + P⊥ (u) = I.
2.3. COMPONENTI DI UN OPERATORE LINEARE
Ci limiteremo, in questo paragrafo, a considerare le componenti di un operatore lineare in
uno spazio euclideo tridimensionale V3 in una base ortonormale.
Siano L un tensore doppio di E3 e c1 , c2 , c3 i versori di una base ortonormale. Applichiamo
il tensore L ai versori della base, e sia Lij la componente i-esima del vettore Lcj nella
base ortonormale {ci }. Poniamo cioè:
Lij = ci · (Lcj )
ovvero:



L11


Lc1 =  L21 
L31
(2.3.1)


L12


Lc2 =  L22 
L32
I 9 numeri Lij prendono il nome di componenti
matrice:

L11

L = (Lij ) =  L21
L31

L13


Lc3 =  L23 
L33
(2.3.2)
del tensore L nella base {ci } mentre la
L12
L22
L32

L13

L23 
L33
(2.3.3)
prende il nome di matrice delle componenti del tensore L nella base {ci }.
Mostriamo che tale matrice determina univocamente il tensore L, una volta scelta la
base. Sia dunque v un generico vettore di E3 . Indichiamo con w il risultato dell’applicazione
del tensore L al vettore v:
w = Lv
(2.3.4)
Siano vi le componenti del vettore v nella base {ci } e wi quelle del vettore w:




w1

w=
wi ci = 
 w2 
i=1
w3
v1

v=
vj cj = 
 v2 
j=1
v3
3
X
3
X
Si ha, per la linearità dell’operatore L:
w = Lv = L(
3
X
vj c j ) =
j=1
38
3
X
j=1
vj Lcj
(2.3.5)
Il vettore w trasformato del vettore v tramite l’operatore L si ottiene come combinazione
lineare, con coefficienti vi , dei trasformati degli elementi della base {ci }. Conseguentemente, esso risulta individuato una volta noti i tre vettori Lc1 , Lc2 e Lc3 , trasformati
degli elementi della base.
Sostituendo adesso le (2.3.2) nella (2.3.5) si ricava:
w=
3
X
wi ci =
i=1
3
X
vj Lij ci
i,j=1
cioè:
wi =
3
X
Lij vj
(2.3.6)
j=1
ovvero, utilizzando la notazione matriciale:



w1
L11



 w2  =  L21
w3
L31
L12
L22
L32


L13
v1
 
L23   v2 
L33
v3
ESEMPI
Componenti dell’endomorfismo nullo e dell’endomorfismo identico. Applicando
la (2.3.1), si deduce subito:
Oij = ci · (Ocj ) = 0
Uij = ci · (Ucj ) = δij
(2.3.7)
quindi, le matrici delle componenti di tali endomorfismi, in un spazio euclideo tridimensionale sono proprio la matrice nulla e la matrice identità:



0 0 0


(Oij ) =  0 0 0 
0 0 0

1 0 0


(Uij ) =  0 1 0 
0 0 1
(2.3.8)
Componenti dell’operatore assiale. Si ha, applicando la (2.3.1):
(u∧)ij = ci · (u ∧ cj ) =
3
X
uk ci · (ck ∧ cj ) = −
k=1
3
X
uk ci · (cj ∧ ck )
(2.3.11)
k=1
P
Utilizzando il tensore di Ricci ²ijk = ci ·(cj ∧ck ), la (2.3.11) si scrive (u∧)ij = − 3k=1 ²ijk uk .
Concludendo, nello spazio euclideo tridimensionale, orientato positivamente E+
3 , la
matrice delle componenti dell’assiale è:

0

((u∧)ij ) =  u3
−u2
−u3
0
u1

u2

−u1 
0
(2.3.12)
Componenti della diade. Si ha, applicando la (2.3.1):
(u ⊗ v)ij = ci · (u ⊗ v cj ) = uj vi
39
(2.3.9)
deduciamo quindi che, in un spazio euclideo tridimensionale, la matrice delle componenti
del prodotto tensoriale tra u e v è:

u1 v 1

((u ⊗ v)ij ) =  u1 v2
u1 v 3

u2 v1
u2 v2
u2 v3
u3 v 1

u3 v 2 
u3 v 3
In particolare, si ha, detti c1 , c2 , c3 i versori di una base ortonormale:
Ã
((c1 ⊗ c1 )ij ) =
Ã
((c2 ⊗ c1 )ij ) =
Ã
((c3 ⊗ c1 )ij ) =
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
!
Ã
, ((c1 ⊗ c2 )ij ) =
!
Ã
, ((c2 ⊗ c2 )ij ) =
!
Ã
, ((c3 ⊗ c2 )ij ) =
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
!
(2.3.10)
Ã
, ((c1 ⊗ c3 )ij ) =
!
Ã
, ((c2 ⊗ c3 )ij ) =
!
Ã
, ((c3 ⊗ c3 )ij ) =
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
!
,
!
,
!
.
Componenti dell’operatore manovella. Ricordando che l’operatore manovella è la
restrizione ad E+
2 dell’operatore c3 ∧ possiamo scrivere:
µ
(irs ) =
0 −1
1 0
¶
(2.3.13)
2.4. OPERAZIONI TRA ENDOMORFISMI. PRODOTTO TRA TENSORI
Nell’insieme Lin (V) delle trasformazioni lineari vengono definite, in maniera naturale,
la somma ed il prodotto per uno scalare.
Prende il nome di somma dei due operatori L1 e L2 , l’operatore L1 + L2 tale che:
(L1 + L2 )v = L1 v + L2 v
(2.4.1)
Prende il nome di prodotto dell’operatore L per il numero reale λ (scalare), l’operatore λL
tale che:
(λL)v = λ(Lv)
(2.4.2)
L’insieme Lin (V) munito di tali operazioni assume la struttura di spazio vettoriale;
l’elemento neutro di tale spazio vettoriale è l’endomorfismo nullo O, l’elemento unità è
l’endomorfismo identico U.
Nell’insieme Lin (V) è definito anche il prodotto tra tensori L1 ◦L2 , nel seguente modo:
(L1 ◦ L2 )v = L1 (L2 v)
(2.4.4)
Si verifica immediatamente che le componenti in una base {ei } della somma di due
operatori, del prodotto di un operatore per uno scalare e del prodotto di due operatori
sono:
40
(L1 + L2 )ij = (L1 )ij + (L2 )ij
(λL)ij = λLij
(L1 ◦ L2 )ij =
Pn
h=1 (L1 )ih (L2 )hj
BASI NELLO SPAZIO DELLE TRASFORMAZIONI LINEARI
Se E ha dimensione n, Lin (E) è uno spazio vettoriale di dimensione n2 . Una base di tale spazio vettoriale è
costituita dagli n2 tensori ci ⊗ cj .
Ad esempio, nel caso in cui n = 3, si verifica facilmente che, detta L una qualunque trasformazione lineare di
E3 , si ha:
L=
3
X
Lij ci ⊗ cj .
(2.4.3)
i,j=1
2.5. TRASPOSTO DI UN TENSORE. DILATAZIONI
OPERATORE TRASPOSTO DI UN OPERATORE A.
In uno spazio vettoriale euclideo En si chiama operatore trasposto o aggiunto del tensore
A l’operatore AT (indicato anche A+ o Ã) definito dalla relazione:
(Ax) · y = x · (AT y)
∀x, ∀y
(2.5.1)
Vale la seguente proprietà, che ci limitiamo ad enunciare: se A è lineare, anche l’operatore
AT è lineare.
Il tensore AT in una data base, è individuato da n2 componenti. Sia {ci } una base
ortonormale; scritta la (2.5.1) per i versori di tale base, risulta:
(Aci ) · cj = ci · (AT cj ).
(2.5.2)
Il primo membro della (2.5.2), per la (2.3.1), è la componente Aji dell’operatore A nella
base prefissata, mentre il secondo membro è la componente di posto ij dell’operatore AT ;
denotata quest’ultima con ATij , la (2.5.2) porge:
ATij = Aji
(2.5.3)
Pertanto, in una base ortogonale, la matrice delle componenti dell’operatore aggiunto AT
di un operatore A è la matrice trasposta della matrice delle componenti dell’operatore A.
TENSORI SIMMETRICI O DILATAZIONI
Un operatore D che coincide con il suo aggiunto, cioè tale che
(Dx) · y = x · (Dy)
∀x, ∀y
(2.5.5)
prende il nome di operatore autoaggiunto o anche tensore simmetrico o dilatazione.
In una base ortonormale la matrice delle componenti di una dilatazione D è una matrice
simmetrica.
41
ESEMPIO: La diade (v, v) è una dilatazione. Infatti:
[(v, v)x] · y = (v · x)(v · y) = x · [(v, v)y]
Tensori simmetrici si incontrano nello studio della dinamica dei corpi rigidi (tensore
d’inerzia) e nello studio della cinematica e della meccanica dei continui deformabili. Il
termine dilatazione per indicare un tensore simmetrico trae origine proprio dallo studio
della deformazione dei continui tridimensionali.
DIREZIONI UNITE E SPETTRO DI UN TENSORE SIMMETRICO
Sia D un tensore. Cerchiamo, se esistono delle direzioni u tali che:
Duku
(2.5.6)
cioè tali che la dilatazione del vettore u sia ad esso parallela. Ricordiamo che prende il
nome di autovettore v dell’operatore D corrispondente all’autovalore λ un vettore v tale
che
Dv = λv
(2.5.7)
Osservato che se v è un autovettore associato all’autovalore λ anche il prodotto di v per
un qualunque numero reale λ è un autovettore, possiamo affermare che l’equazione (2.5.7)
individua semplicemente una direzione che prende il nome di direzione unita dell’operatore
D associata all’autovettore λ.
È noto che un operatore simmetrico ammette sempre tre autovalori λi reali (eventualmente coincidenti) e tre autovettori linearmente indipendenti. Mostreremo adesso
che questi tre autovettori individuano tre direzioni unite mutualmente ortogonali, mostreremo cioè che, detti u1 , u2 ed u3 i versori di queste direzioni unite, risulta:
ui · uj = δij
(2.5.8)
Supponiamo dapprima che i tre autovalori λ1 , λ2 e λ3 siano distinti. Siano u1 , u2 e u3
tre autovettori associati ai tre autovalori λi ; sia cioè:
Du1 = λ1 u1
Du2 = λ2 u2
Du3 = λ3 u3
(2.5.9)
Calcoliamo, ad esempio, il prodotto scalare u1 · u2 ; utilizzando (2.5.5), (2.5.7) e (2.5.9),
si deduce:
1
λ2
1
u1 · u2 = (Du1 ) · u2 = u1 · (Du2 ) = u1 · u2
λ1
λ1
λ1
Da questa relazione, essendo λ1 6= λ2 si deduce u1 · u2 = 0.
Supponiamo adesso che ad uno stesso autovalore λ siano associati i due autovettori
e1 ed e2 . In questo caso, come si verifica immediatamente, ogni vettore combinazione
lineare di e1 ed e2 è ancora un autovettore associato all’autovalore λ. All’autovalore λ
sono dunque associate infinite direzioni unite, tutte quelle del piano individuato da e1 ed
e2 . Possiamo quindi scegliere due vettori u1 ed u2 che, appartendo al piano individuato
da e1 ed e2 , risultano direzioni unite per l’operatore simmetrico D e sono ortogonali.
42
Concludendo, possiamo affermare che se λ1 6= λ2 6= λ3 esistono tre direzioni privilegiate
lungo le quali la dilatazione del vettore v è parallela al vettore stesso. Se i versori di queste
direzioni vengono scelti come base del nostro spazio vettoriale, la matrice delle componenti
di D assume forma diagonale. Nel caso in cui due dei tre autovalori sono uguali, sono
direzioni unite tutte quelle di un piano, nonchè la direzione ortogonale alla giacitura di
suddetto piano. Nel caso infine in cui tutti e tre gli autovalori sono uguali allora ogni
direzione è una direzione unita.
DECOMPOSIZIONE SPETTRALE
Sia Y un sottospazio lineare di E. Chiamiamo complemento ortogonale di Y il sottospazio lineare di E definito
da:
Y⊥ := {x ∈ E : x · y = 0, ∀y ∈ Y }
I due sottospazi Y e Y⊥ decompongono E, nel senso che, fissato un qualunque vettore x di E, esistono e sono
unici due vettori y e y⊥ , il primo appartenente a Y il secondo a Y⊥ tali che:
x = y + y⊥
Sia D un tensore simmetrico e supponiamo che esso ammetta tre autovalori λ1 , λ2 e λ3 distinti. Come abbiamo
visto, esistono tre sottospazi di E (i tre autospazi costituiti dai vettori paralleli agli autovettori u1 , u2 ed u3 ) che
sono invarianti sotto l’azione di D. Se i versori di queste direzioni vengono scelti come base di E3 , la matrice Dhk
delle componenti di D assume la seguente forma diagonale:
Ã
λ1
0
0
0
λ2
0
0
0
λ3
!
Da quanto detto si deduce che il tensore D ammette la seguente decomposizione:
D = λ1 u1 ⊗ u1 + λ2 u2 ⊗ u2 + λ3 u3 ⊗ u3
(2.5.10)
detta decomposizione spettrale. In generale, anche quando gli autovalori non sono tutti distinti, gli autospazi di
un tensore simmetrico D in Lin(E) decompongono lo spazio vettoriale E. Nel caso in cui gli autovalori di D sono
tutti coincidenti, la matrice delle componenti di D è una matrice diagonale in un qualunque sistema di riferimento
ed il tensore D è un tensore isotropo.
2.5a. FORMA QUADRATICA ASSOCIATA AD UNA DILATAZIONE
Sia D un endomorfismo simmetrico nello spazio vettoriale En di dimensione n. Nello
spazio puntuale euclideo En associato allo spazio vettoriale En , si consideri la forma
quadratica f definita dal seguente prodotto scalare:
f = (D OP ) · OP
(2.5.11)
Detto {O, xi } (i = 1, 2, ..., n) un generico riferimento ortogonale, in componenti la
forma quadratica è individuata da un polinomio omogeneo di secondo grado nelle variabili
(x1 , x2 , ...xn ) = x. Si ottiene infatti, sviluppando:
f=
n
X
Dhk xk xh
h,k=1
Ricordiamo che una forma quadratica f si dice
definita positiva se f (x) > 0, ∀x ∈ Rn ;
43
(2.5.12)
definita negativa se f (x) < 0, ∀x ∈ Rn ;
semidefinita positiva se f (x) ≥ 0, ∀x ∈ Rn , con f (x) = 0 per almeno un x;
semidefinita negativa se f (x) ≤ 0, ∀x ∈ Rn , con f (x) = 0 per almeno un x;
indefinita se f (x) assume valori sia positivi che negativi.
CONICA ASSOCIATA AD UN ENDOMORFISMO SIMMETRICO IN E2
Nel piano affine E2 , prende il nome di conica associata alla trasformazione lineare
simmetrica D (o conica indicatrice della dilatazione D) il luogo dei punti di E2
definiti dalla uguaglianza:
D OP · OP = costante
(2.5.13)
Nel riferimento {O; x, y} l’equazione (2.5.13) si scrive:
D11 x2 + D22 y 2 + 2D12 xy = cost
(2.5.14)
Osserviamo che a seconda del segno degli autovalori della dilatazione D, la forma quadratica (2.5.12) risulta definita, semidefinita o indefinita, e la conica associata (2.5.14) è un
ellisse, una parabola degenere in due rette parallele, o un iperbole. In particolare, se
la forma quadratica (2.5.12) è definita positiva (cioè se tutti e due gli autovalori della
dilatazione D sono positivi) e la costante c è anch’essa positiva, la conica è un ellisse.
BREVI RICHIAMI SULLE CONICHE A CENTRO.
Ricordiamo che una conica è una curva algebrica del secondo ordine, pertanto essa è il
luogo dei punti del piano che soddisfa un’equazione del tipo:
a11 x2 + a22 y 2 + 2a12 xy + 2a13 x + 2a23 y + a33 = 0
(2.5.15)
Se si effettua un cambiamento del sistema di riferimento l’equazione (2.5.15) si trasforma,
come si può verificare facilmente, in un’equazione dello stesso tipo. Si verifica però che il
cambiamento di riferimento lascia invariate le seguenti tre quantità scalari, dette invarianti
della conica:
¯
¯
¯ a
¯
¯
¯
¯ 11 a12 a13 ¯
¯ a
¯
¯
¯
¯ 11 a12 ¯
D = ¯ a21 a22 a23 ¯
D33 = ¯
¯
T = a11 + a22
(2.5.16)
¯
¯
¯ a21 a22 ¯
¯ a31 a32 a33 ¯
Una conica C si dice di tipo ellittico, parabolico o iperbolico a seconda che risulti D33 > 0,
D33 = 0, D33 < 0. Nel seguito ci interesseremo soltanto delle coniche per le quali risulta
D33 6= 0, dette coniche a centro.
Si può dimostrare facilmente che, con un opportuno cambiamento di variabili, se risulta
D33 6= 0, si può fare in modo che i termini lineari nella (2.5.15) si annullino. In questo
caso l’equazione della conica si scrive:
a11 x2 + a22 y 2 + 2a12 xy + a33 = 0
(2.5.17)
e, come si vede, è del tipo (2.5.14). Nel seguito considereremo coniche a centro scritte
nella forma (2.5.14) (o (2.5.17)). Come vedremo in questo caso il centro della conica, che
è centro di simmetria, coincide con l’origine del sistema di riferimento.
44
DIREZIONI CONIUGATE DI UN ENDOMORFISMO SIMMETRICO
Data una dilatazione D, prendono il nome di direzioni coniugate della dilatazione
due direzioni, individuate dai versori u e u0 , tali che
u · Du0 = u0 · Du = 0
(2.5.18)
La corrispondenza che associa ad ogni direzione u la direzione u0 ad essa coniugata prende
il nome di involuzione delle direzioni coniugate.
In componenti, posto u = (α, β) e u0 = (α0 , β 0 ), la (2.5.18) si scrive:
a11 αα0 + a12 (αβ 0 + α0 β) + a22 ββ 0 = 0.
(2.5.19)
DIAMETRI DI UNA CONICA.
Si consideri una conica C ed un fascio di rette parallele che la intersecano. Sia u = (α, β)
il versore che individua la direzione comune delle rette del fascio.
Prende il nome di diametro della conica C coniugato alla direzione u il luogo
dei punti P soddisfacenti la relazione:
LOP · u = 0
(2.5.20)
(a11 x + a12 y)α + (a12 x + a22 y)β = 0
(2.5.21)
che in componenti si scrive
Come si vede, fissato il versore u, il diametro coniugato alla direzione u è una retta
passante per il punto O, che prende il nome di centro della conica. Come si può
verificare facilmente, per tale punto passano anche tutti gli altri diametri della conica.
FIGURA 2.5.1
Sono di facile verifica le seguenti due proprietà, che ci limitiamo ad enunciare:
PROPRIETÀ 1: Il diametro della conica C coniugato alla direzione u è il luogo dei punti
medi delle corde della conica ottenute intersecando la conica con le rette del fascio di
direzione u.
PROPRIETÀ 2 : Se il diametro d coniugato alla direzione u incontra la conica in un
punto P , la retta s passante per P di versore u è tangente alla conica C in P .
45
In particolare, i diametri della conica coniugati alle direzioni degli assi coordinati hanno
equazioni:
a11 x + a12 y = 0
a12 x + a22 y = 0
(2.5.22)
Il punto O è centro di simmetria della conica; infatti il diametro d coniugato alla
direzione u contiene una corda P Q della conica con direzione u0 individuata dalla (2.5.18)
e quindi il diametro d0 , coniugato alla direzione u0 , per la proprietà 2, passerà per il punto
O, punto medio della corda P Q.
FIGURA 2.5.2
La corrispondenza nel fascio di rette di centro O individuata dalla (2.5.18) che associa al
diametro d il suo diametro coniugato d0 si dice involuzione dei diametri coniugati.
ASSI DI UNA CONICA A CENTRO.
Mostriamo che in una conica a centro esistono sempre due diametri mutuamente ortogonali. Questi diametri si chiamano assi di simmetria ortogonale della conica, o semplicemente assi della conica.
Per determinarli basta osservare che essi devono soddisfare le due relazioni:
½
u · Du0 = 0
u · u0 = 0
(2.5.23)
Questo sistema o ammette infinite soluzioni, nel caso in cui C è una circonferenza (perchè
allora ogni diametro è asse di simmetria ortogonale) o ammette due soluzioni reali che
individuano due direzioni fra loro ortogonali, che sono gli assi di simmetria ortogonale
della conica, le loro intersezioni reali con C si chiamano vertici.
EQUAZIONE CANONICA DI UNA CONICA A CENTRO.
Gli assi della conica sono proprio le direzioni unite dell’endomorfismo D a cui la conica
è associata; infatti, se si assume come sistema di riferimento {O; x, y} quello coincidente
con gli assi della conica, quest’ultima sarà rappresentata dall’equazione
λ 1 x2 + λ 2 y 2 = c
(2.5.24)
dove λ1 e λ2 sono gli autovalori della dilatazione D.
Supposto ad esempio λ1 > 0, escludendo i casi in cui la conica sia immaginaria o
degenere, a seconda dei segni di λ2 e c, si hanno le seguenti equazioni canoniche;
46
Ellisse. Supponiamo che sia λ1 > 0, λ2 > 0. Posto allora λ1 = c/a2 e λ2 = c/b2 si ottiene:
x2 y 2
+ 2 =1
a2
b
che è l’equazione canonica dell’ellisse. Come caso particolare si ottiene la circonferenza se
risulta λ1 = λ2 > 0
Iperbole: Se risulta λ1 > 0, λ2 < 0, posto λ1 = c/a2 e λ2 = −c/b2 si ottiene:
x2 y 2
− 2 =1
a2
b
QUADRICA ASSOCIATA AD UNA DILATAZIONE IN E3 .
Nello spazio puntuale euclideo E3 associato allo spazio vettoriale E3 , si consideri la forma
quadratica f definita dal seguente prodotto scalare:
f = (D OP ) · OP
(2.5.30)
Detto {O, xi } un generico riferimento ortogonale, in componenti si ha:
f=
3
X
Dhk xk xh
(2.5.31)
h,k=1
Prende il nome di quadrica associata alla dilatazione D (o quadrica indicatrice
della dilatazione D) il luogo dei punti di E3 definiti dalla uguaglianza:
D OP · OP = costante
(2.5.32)
Nel riferimento {O; x, y, z} la (2.5.32) si scrive:
D11 x2 + D22 y 2 + D33 z 2 + 2D12 xy + 2D13 xz + 2D23 yx = cost
(2.5.33)
Osserviamo che a seconda del segno degli autovalori della dilatazione D, la forma
quadratica (2.5.31) risulta definita, semidefinita o indefinita, e la quadrica associata
(2.5.33) è un ellissoide, un paraboloide o un iperboloide. In particolare, se la forma
quadratica (2.5.31) è definita positiva (cioè se tutti e tre gli autovalori della dilatazione
D sono positivi) e la costante c è anch’essa positiva, la quadrica è un ellissoide, la cui
equazione è proprio la (2.5.33). Da quanto dedotto in precedenza, si deduce infine che,
se si effettua in E3 un cambiamento del sistema di riferimento, scegliendo come nuovi
assi y1 , y2 , y3 proprio le direzioni unite della dilatazione, l’equazione (2.5.33) assume la
seguente forma canonica:
λ1 y12 + λ2 y22 + λ3 y32 = c
In tale nuovo riferimento, la matrice dhk delle componenti dell’operatore D assume forma
diagonale:


λ1 0 0


0 
 0 λ2
0 0 λ3
47
ESERCIZIO 1: Nello spazio vettoriale euclideo V3 sia
ortonormale {ci }, sono:
Ã
d1
Dij =
0
0
(a) mostrare che si tratta di una dilatazione singolare.
data la dilatazione D, le cui componenti, in una base
0
1
−1
0
−1
1
!
(b) determinare le direzioni unite della dilatazione D.
(c) Scrivere la matrice delle componenti di D, nella base individuata dai versori delle direzioni unite.
(d) Individuare la quadrica associata alla dilatazione.
ESERCIZIO 2: Nello spazio vettoriale euclideo E3 sia data
ortonormale {ci }, sono:
Ã
d1 2
D=
2
1
3 −1
(a) mostrare che si tratta di una dilatazione non singolare.
la dilatazione D, le cui componenti, in una base
3
−1
1
!
(b) determinare le direzioni unite della dilatazione D.
(c) Scrivere la matrice delle componenti di D, nella base individuata dai versori delle direzioni unite.
(d) Individuare la quadrica associata alla dilatazione.
TENSORI ANTISIMMETRICI. DECOMPOSIZIONE DI UN TENSORE
Accanto ai tensori simmetrici si definiscono i tensori antisimmetrici, come quei tensori
tali che
WT = −W
(2.5.14)
Si verifica facilmente che la matrice delle componenti di un tensore antisimmetrico è
una matrice antisimmetrica. Un esempio di tensore antisimmetrico, nello spazio E3 è
l’operatore assiale. Viceversa, si può mostrare che ad ogni tensore antisimmetrico W si
può associare sempre un vettore w tale che W = w∧.
L’insieme di tutti i tensori doppi simmetrici S(E) costituisce un sottospazio vettoriale
dello spazio Lin (E) e cosı̀ anche l’insieme W(E) di tutti i tensori antisimmetrici.
Ogni tensore L ∈ Lin (E) può essere decomposto nella somma di un tensore simmetrico
Ls e di un tensore antisimmetrico Lw nel seguente modo:
L = Ls + Lw
dove
1
Ls := (L + LT )
2
1
Lw := (L − LT )
2
(2.5.15)
2.6. TENSORI ORTOGONALI.
In uno uno spazio vettoriale euclideo E, prende il nome di tensore ortogonale o operatore
isometrico un operatore Q che conserva il modulo di ogni vettore x:
|Qx| = |x|
(2.6.1)
Un tensore ortogonale Q soddisfa le seguenti proprietà:
PROPRIETÀ 1: Un tensore ortogonale è invertibile ed il suo inverso Q−1 è anch’esso
un tensore ortogonale.
48
Il fatto che il tensore Q è invertibile discende subito dall’osservare che il nucleo di Q (cioè
l’insieme dei vettori x tali che Qx=o) coincide col vettore nullo. Ovviamente, anche il
tensore Q−1 è ortogonale; infatti, posto u=Qx, la (2.6.1) equivale alla uguaglianza:
|u| = |Q−1 u|
PROPRIETÀ 2: Un tensore ortogonale Q conserva il prodotto scalare tra due generici
vettori.
Qx · Qy = x · y
∀x, y
(2.6.3)
Dimostrazione: Essendo Q ortogonale, risulta:
|Q(x + y)| = |x + y|
Ma si ha, ricordando la definizione di modulo di un vettore x:
|Q(x + y)|2 = Q(x + y) · Q(x + y) = |Qx|2 + |Qy|2 + 2Qx · Qy
|x + y|2 = (x + y) · (x + y) = |x|2 + |y|2 + 2x · y
Uguagliando le due ultime relazioni, tenendo presente la (2.6.1) e semplificando, si ricava
la (2.6.3).
PROPRIETÀ 3: Il tensore inverso di un tensore ortogonale coincide con il suo trasposto:
Q−1 = QT
(2.6.4)
Dimostrazione: Sia QT il trasposto del tensore Q e siano x e y due generici vettori di E.
Applicando la (24.7) ai vettori x e Qy possiamo scrivere:
Qx · Qy = x · QT (Qy)
cioè, tenendo presente la (2.6.3):
x · [(QT ◦ Q)y] = x · y
da quest’ultima relazione, per l’arbitrarietà di x e di y, si deduce:
QT ◦ Q = U
PROPRIETÀ 4. Dalla definizione (2.6.1) e dalla (2.6.3) si deduce la seguente importante
proprietà dei tensori ortogonali:
Un tensore ortogonale conserva il modulo di ogni vettore e l’angolo tra due vettori; esso
è pertanto una isometria di E in sè. Un tensore ortogonale Q trasforma dunque i vettori
cs di una base ortonormale nei vettori Js = Qcs di un’altra base, anch’essa ortonormale.
Js = Qcs
49
(2.6.5)
Osserviamo in particolare che, dato in En un generico vettore v=(vi ), risulta:
w = Qv =
3
X
Qvs cs =
s=1
3
X
vs J s
(2.6.6)
s=1
cioè il tensore Q trasforma il generico vettore v in un vettore w, che ha come componenti,
rispetto alla nuova base {Jh } le stesse componenti del vettore v nella vecchia base {ck }.
Ricordando adesso la (2.6.4), moltiplicando a sinistra la (2.6.5) per il trasposto QT del
tensore Q, si ottiene:
cs = QT Js .
(2.6.7)
Determiniamo le componenti dell’operatore Q nella base {ci }. Si ha:
Qhk = ch · (Qck ) = ch · Jk ;
(2.6.8)
d’altra parte risulta anche:
3
X
ch =
(ch · Jk )Jk
Jh =
k=1
Si ha cioè:
ch =
3
X
Qhk Jk
3
X
(Jh · ck )ck
(2.6.9)
k=1
Jh =
k=1
3
X
k=1
Qkh ck =
3
X
QThk ck
(2.6.10)
k=1
da cui constatiamo, ricordando la formula (2.6) del capitolo 1, che la matrice Qhk è una
matrice di cambiamento di base, tra basi ortonormali. Essa infatti consente di passare
dalla nuova base {Jh } alla vecchia base {ck }. La sua inversa Q−1 = QT consente di
passare dalla vecchia base alla nuova.
Concludiamo dunque che il tensore Q ha due interpretazioni differenti. La prima
interpretazione (detta attiva) consente di passare dai versori ci di una base ortonormale ad
i versori Ji di un’altra base anch’essa ortonormale. La seconda (detta passiva) interpreta
la matrice Qhk come matrice di cambiamento di base: dai vettori Ji ai vettori ci .
PROPRIETÀ 5: La matrice delle componenti di un operatore ortogonale, in una base
ortonormale, è una matrice ortogonale.
Dimostrazione. Sia {ci } una base ortonormale; sia poi (Qij ) la matrice delle componenti
dell’operatore Q nella base assegnata. Dalla (2.6.4) si deduce:
T
Q−1
rs = Qrs = Qsr
Concludiamo dunque che, in una base ortonormale, la matrice delle componenti di un
tensore ortogonale è una matrice ortogonale. Se si interpreta tale matrice come matrice
di cambiamento di base tra basi ortonormali, ritroviamo la nota proprietà che, in uno
spazio vettoriale euclideo, la matrice di cambiamento di base - tra basi ortonormali - è
una matrice ortogonale.
Mostriamo adesso che gli elementi di una matrice ortogonale non sono indipendenti.
Tenendo presente la (2.6.10)2 e ricordando che jh sono i versori di una base ortonormale,
si ricava:
jh · jk =
3
X
(Qih ci )(Qsk cs ) =
i,s=1
3
X
i,s=1
50
Qih Qsk δis =
3
X
s=1
Qsh Qsk
cioè:
3
X
Qsh Qsk = δhk
(2.6.11)
s=1
Allo stesso modo, utilizzando la (2.6.10)1 , si ricava:
3
X
Qhs Qks = δhk
(2.6.12)
s=1
Osserviamo infine che la matrice delle componenti di un operatore ortogonale soddisfa
la relazione
det(Qij ) = ±1
(2.6.13)
Un tensore ortogonale Q, per cui risulta det(Qij ) = +1 è detto operatore ortogonale
positivo.
Un operatore ortogonale Q, per cui risulta det(Qij ) = −1 è detto operatore ortogonale negativo.
In particolare, se Q è un tensore ortogonale positivo, esso conserva anche l’orientamento
delle basi, invece un tensore ortogonale negativo manda una base levogira in una base
destrogira e viceversa.
PROPRIETÀ 6:
I tensori ortogonali formano un gruppo rispetto al prodotto di tensori definito nella (24.6).
Si lascia come esercizio al lettore la verifica di questa proprietà.
Denoteremo con O(E) il gruppo dei tensori ortogonali:
O(E) := {Q ∈ Lin (E) : Qx · Qx = x · x, ∀x ∈ E}
(2.6.14)
e lo chiameremo gruppo ortogonale.
TENSORI ORTOGONALI POSITIVI. ROTAZIONI
Consideriamo uno spazio vettoriale euclideo di dimensione 3, e lo spazio affine E3 ad esso
associato. Le considerazioni ora fatte, ci portano ad affermare che, fissato un punto O
di E3 , il tensore Q agisce su un riferimento levogiro di origine O ed assi x1 , x2 , x3 di
versori c1 , c2 , c3 , trasformandolo in un riferimento levogiro di origine O ed assi y1 , y2 , y3 di
versori J1 , J2 , J3 . Possiamo dunque dire che un tensore ortogonale positivo caratterizza
una rotazione rigida dello spazio intorno ad un punto fisso O.
ESEMPIO 1. L’operatore manovella, già definito nel paragrafo 2, è un operatore
ortogonale, infatti esso, ruotando semplicemente i vettori di E2 , non ne altera il modulo.
Esso inoltre conserva l’orientamento delle basi; è dunque un operatore ortogonale positivo.
Verifichiamo che la matrice (19.13) delle sue componenti è una matrice ortogonale. È
sufficiente mostrare che il prodotto righe per colonne della matrice (iij )T per la matrice
51
(iij ) è uguale alla matrice identità:
µ
QT ◦ Q =
0 −1
1 0
¶µ
0 1
−1 0
¶
µ
=
1 0
0 1
¶
(2.6.15)
ESEMPIO 2. Nello spazio euclideo tridimensionale E3 , è un ortogonale positiva la
rotazione Qz (φ) di un angolo φ, intorno ad un asse, ad esempio l’asse di versore c3 .
Infatti, tale operatore, come nel piano l’operatore manovella, non altera il modulo dei
vettori di E3 , nè l’orientamento delle basi. Come si verifica immediatamente, la matrice
delle sue componenti è:


cos φ − sin φ 0


(Qz (φ))ij =  sin φ cos φ 0 
0
0
1
(2.6.16)
Ovviamente tale matrice è una matrice ortogonale.
³ ´
Osservazione. Se si pone φ = π2 , otteniamo Qz π2 , cioè la rotazione di 90o in verso antiorario, intorno all’asse z. Ovviamente la restrizione di tale operatore ai vettori del piano
c1 , c2 si identifica con l’operatore manovella. Come mostrato nel paragrafo 2, l’operatore
manovella
è anche la restrizione, allo spazio E2 , dell’operatore c3 ∧. Tuttavia i due tensori
³ ´
π
Qz 2 e c3 ∧ non si identificano, come si evidenzia subito osservando che, mentre il primo
è un tensore ortogonale positivo, non singolare, il secondo, avendo come componenti una
matrice antisimmetrica, è singolare.
I tensori ortogonali positivi costituiscono un sottogruppo (proprio) del gruppo ortogonale O(E), che si indica con
SO(E) := {Q ∈ O(E) : detQ = 1}
52
(2.6.17)
CAPITOLO III
SISTEMI DI VETTORI APPLICATI
Nello studio dei fenomeni meccanici si incontrano spesso grandezze vettoriali che dipendono anche dal punto dello spazio in cui vengono applicate. Esempi di tali grandezze
sono le Forze. Le forze, infatti vengono applicate a punti di corpi materiali, ed il loro
effetto dipende dal punto del corpo in cui vengono applicate. È dunque indispensabile,
nello studio della Meccanica, approfondire lo studio degli insiemi di vettori applicati.
3.1. VETTORI APPLICATI.
Ricordiamo che prende il nome di vettore applicato una coppia ordinata (A,B) di
punti dello spazio E3 . Un vettore applicato è dunque quel particolare ente geometrico caratterizzato da modulo, direzione, verso e punto di applicazione. Nel seguito lo
indicheremo con il simbolo
(A, v).
(3.1.1)
La retta a passante per A e parallela al vettore v si dice retta di applicazione o retta
di azione del vettore v.
Figura 3.1.1
Accanto al concetto fondamentale di vettore applicato, si introduce in Meccanica
Razionale anche il concetto di cursore. Prende il nome di cursore l’ente geometrico
caratterizzato da modulo, direzione, verso e retta di applicazione, che verrà nel seguito
indicato con il simbolo
(a, v).
(3.1.2)
Cosı̀, ad esempio, i due vettori applicati (A,v) e (B,v) di f ig 3.1.1 rappresentano lo
stesso cursore. Invece (A,v) e (C,v) rappresentano due cursori diversi, perchè applicati
su diverse rette di applicazione. I tre vettori applicati (A,v), (B,v) e (C,v) sono invece
tre rappresentanti dello stesso vettore v.
53
3.2. MOMENTO POLARE
Sia (A,v) un vettore applicato nel punto A, e Q un punto qualsiasi dello spazio puntuale
euclideo tridimensionale E3 .
Si chiama momento polare del vettore applicato (A,v) rispetto al polo Q il prodotto
vettoriale:
MQ = QA ∧ v
(3.2.1)
Si noti che al momento polare MQ ora definito non viene associato alcun punto di applicazione. Esso è pertanto un vettore libero.
DETERMINAZIONE ANALITICA DEL MOMENTO POLARE
Sia {O, x, y, z} un riferimento ortonormale positivo in E3 e siano i, j, k i suoi versori. Dette
(xA , yA , zA ) le coordinate del punto A, (xQ , yQ , zQ ) le coordinate del punto Q e (vx , vy , vz )
le componenti del vettore v, risulta:
¯
¯
i
¯
¯
QA ∧ v = ¯¯ xA − xQ
¯
vx
j
yA − yQ
vy
¯
¯
k
¯
¯
zA − zQ ¯¯
vz ¯
(3.2.2)
Esercizio 3.2.1: Calcolare il momento del vettore v= (3, −1, 2)T , applicato nel punto P
di coordinate (0,1,2), rispetto al punto Q di coordinate (3,1,0).
DETERMINAZIONE SINTETICA DEL MOMENTO POLARE
Si consideri il piano π contenente la retta di applicazione a del vettore applicato (A,v) ed
il punto Q, che si suppone esterno alla retta a (f ig. 3.2.1a). Il momento polare MQ , che
per comodità è stato applicato in Q, è un vettore (libero), diretto normalmente al piano
π, che vede antioraria la rotazione che porta QA su v. Per individuare facilmente il verso
del vettore momento polare di (A,v) rispetto al polo Q, possiamo anche dire che il verso è
tale che il vettore MQ , supposto applicato in Q, veda scorrere il vettore v sulla sua retta
di applicazione, in verso antiorario.
Figura 3.2.1
Se si sceglie nel piano π, che contiene a e Q, un riferimento con origine Q, assi x e y
su questo piano e z ortogonale a π, in modo che {Q,x, y, z} sia un riferimento ortogonale
levogiro, detti i, j e k i versori di tali assi, il momento del vettore v rispetto al polo Q
54
risulta parallelo all’asse z, mentre il suo verso è concorde con k (cioè uscente dal foglio)
se il punto Q vede scorrere v sulla sua retta di applicazione in verso antiorario (vedi
f ig. 3.2.1a), è discorde con k (cioè entrante dentro il foglio) se il punto Q vede scorrere v
sulla sua retta di applicazione in verso orario (vedi f ig. 3.2.1b).
Figura 3.2.2
Il modulo del momento polare MQ , essendo uguale all’area del parallelogrammo costruito
su QA e v, è dato da:
MQ = |MQ | = |QA| |v| sin α
dove α è l’angolo tra QA e v. Denotiamo con b la distanza della retta a di applicazione
del vettore v dal polo Q e con v il modulo del vettore v; possiamo scrivere:
MQ = bv
(3.2.3)
Il numero reale positivo b ora introdotto, prende anche il nome di braccio del vettore
applicato (A,v) rispetto al polo Q.
Il momento polare soddisfa le seguenti proprietà:
Proprietà 3.2.1: Il momento polare di un vettore applicato si annulla se e solo se il
punto Q appartiene alla retta a di applicazione del vettore v.
MQ = 0
⇐⇒
Q∈a
(3.2.4)
Proprietà 3.2.2: Il momento polare di un vettore applicato non varia se si sposta il
vettore sulla sua retta di applicazione.
DIMOSTRAZIONE: Sia A’ un qualunque altro punto della retta a di applicazione del
vettore v (f ig. 3.2.3). Si ha:
QA’ ∧ v = (QA+AA’) ∧ v = QA ∧ v + AA’ ∧ v
essendo AA’ e v paralleli, il loro prodotto vettoriale si annulla, otteniamo cosı̀:
QA’ ∧ v = QA ∧ v
55
(3.2.5)
Figura 3.2.3
Pertanto, il concetto di momento polare resta definito anche per i cursori; notiamo invece
che tale concetto non ha senso per i vettori liberi.
L’esigenza di introdurre in Meccanica il concetto di momento di un vettore rispetto a
un punto (e quindi il concetto di prodotto vettoriale tra vettori) appare evidente quando
si considera ad esempio l’effetto di una forza (A,F), applicata in un punto A di un corpo
rigido girevole intorno ad un asse fisso, passante per Q: infatti, come si vedrà in seguito,
il vettore QA∧F rappresenta totalmente tale effetto, in quanto è in grado di tener conto,
con il suo modulo |MQ | = bF , della forza F e della sua distanza dall’asse di rotazione,
con la sua direzione dell’asse di rotazione e con il suo verso del senso della rotazione.
Il concetto di momento di una forza rispetto a un punto è un concetto fondamentale della statica (cioè dell’equilibrio) dei corpi rigidi. Ciò si comprende, ad esempio,
considerando una leva (cioè un’asta AB, di lunghezza l, imperniata in un suo punto C).
L’esperienza insegna che, se il perno C è il punto medio dell’asta AB, se si applica una forza
F sul punto A della leva, perchè l’asta sia in equilibrio è necessario applicare nel punto B
una forza F, identica a quella che è stata applicata in A. Se invece il perno C è posto ad
una distanza disuguale dai due estremi, ad esempio, |AC| = l/3 e |CB| = 2l/3, le forze
che devono essere applicate nei punti A e B della leva sono inversamente proporzionali
alle distanze di A e B dal perno C. Soddisfano cioè la relazione:
CA ∧ FA = −CB ∧ FB
3.3. MOMENTO ASSIALE
Sia (A,v) un vettore applicato, a la sua retta di applicazione, r una retta orientata dello
spazio, di versore û, e Q un qualunque punto di r.
Si chiama Momento assiale del vettore applicato (A,v) rispetto alla retta orientata
r, lo scalare:
Mr = QA ∧ v · û
(3.3.1)
DETERMINAZIONE ANALITICA DEL MOMENTO ASSIALE
Sia {O, x, y, z} un riferimento ortonormale positivo in E3 , dette (xA , yA , zA ) le coordinate
del punto A, (xQ , yQ , zQ ) le coordinate del punto Q, (vx , vy , vz )T le componenti del vettore
56
v, (ux , uy , uz )T le componenti del versore û, possiamo scrivere:
¯
¯x − x
Q
¯ A
¯
QA ∧ v · û = ¯ vx
¯
¯
ux
yA − yQ
vy
uy
¯
zA − zQ ¯¯
¯
vz ¯
¯
uz ¯
(3.3.2)
Osserviamo che la definizione di momento assiale sembra non ben posta, in quanto appare
dipendere dal punto Q della retta r. Vale invece la seguente:
Proprietà 3.3.1. Il momento assiale non varia quando si fa variare Q sulla retta r.
DIMOSTRAZIONE: Sia Q’ un punto di r, distinto da Q. Calcoliamo il prodotto misto
dei tre vettori Q’A, v, e û. Si ha:
Q’A ∧ v · û = (Q’Q+QA) ∧ v · û = Q’Q ∧ v · û + QA ∧ v · û
Osservando che Q’Q è parallelo a û, si deduce che il prodotto misto Q’Q ∧ v · û si annulla;
conseguentemente:
Q’A ∧ v · û = QA ∧ v · û
(3.3.3)
Ovviamente, anche per il momento assiale vale la seguente:
Proprietà 3.3.2. Il momento assiale non varia quando si fa variare il punto di applicazione del vettore v sulla retta a.
Notiamo cosı̀ che il concetto di momento assiale, come quello di momento polare, resta
definito anche per i cursori.
È importante osservare la seguente:
Proprietà 3.3.3. Il momento assiale si annulla se e solo se la retta di azione di v è
parallela od incidente la retta a.
Infatti, in tal caso, i tre vettori QA, v e û risultano complanari, e quindi il loro prodotto
misto si annulla.
DETERMINAZIONE SINTETICA DEL MOMENTO ASSIALE
Consideriamo dapprima il caso particolare in cui la retta a di applicazione del vettore
v e la retta r risultano perpendicolari tra loro e non incidenti. È questo il caso che si
presenta quando il vettore v appartiene ad un piano π e la retta r è ortogonale al piano
π. Denotiamo con z tale retta, con k il suo versore, e sia Q il punto di intersezione tra z e
π (vedi f ig. 3.3.1a). In questo caso il momento polare MQ risulta parallelo a z, ed il suo
modulo coincide con il valore assoluto del momento assiale Mz . In questo caso, pertanto,
il momento polare del vettore v rispetto al punto Q si scrive:
MQ = Mz k
con
Mz = ±|MQ |
(3.3.4)
Detta b la distanza della retta a dal polo Q, v il modulo del vettore v e k il versore del
piano π, si ha:
Mz = QA ∧ v · k = ±bv
(3.3.5)
dove è da prendere il segno + se il versore k, uscente da π, supposto applicato in Q, vede
il vettore v scorrere in verso antiorario, il segno - nel caso opposto (vedi f ig. 3.3.1b).
57
Figura 3.3.1
Consideriamo adesso il caso in cui le rette r ed a non sono perpendicolari tra di loro. Sia
Q un punto di r e π il piano che contiene Q e la retta di applicazione a del vettore v
(f ig. 3.3.2).
Figura 3.3.2
Sia α l’angolo che la retta r forma con la direzione di MQ (ovviamente ortogonale a π).
Detto b il braccio di v rispetto a Q, risulta:
Mr = bv cos α
(3.3.6)
Una differente determinazione del momento assiale si ottiene considerando il piano π
per A ortogonale ad r; sia Q il punto di intersezione tra r e π (vedi f ig. 3.3.3a). Decomponiamo v secondo le tre direzioni mutuamente ortogonali individuate da r, QA e dalla
direzione ortogonale al piano π, (tali componenti si sogliono anche chiamare componenti
cilindriche del vettore v). Siano v1 , v2 , v0 tali vettori componenti. Solo il componente v0
di v ortogonale sia ad r che a QA contribuisce al prodotto misto. Detta d la lunghezza
del vettore QA, si ha:
Mr = ±dv 0
(3.3.7)
58
(a)
(b)
Figura 3.3.3
Un altro modo per effettuare una determinazione sintetica del momento assiale è il
seguente. Siano Q∗ ∈ r e A∗ ∈ a i punti di minima distanza tra r ed a (vedi figura
3.3.3b). Come è noto, il vettore Q∗ A∗ che congiunge tali punti è ortogonale sia ad r
che ad a. Calcoliamo il momento assiale del vettore applicato (A,v) rispetto ad r. Se si
scompone v nei suoi componenti v⊥ e v00 , rispettivamente normale e parallelo ad r, solo
il componente v⊥ ortogonale ad r contribuisce al momento assiale. Si ottiene cosı̀, detto
u il versore di r:
Mr = QA ∧ v · u = Q∗ A∗ ∧ v⊥ · u
(3.3.8)
Notiamo adesso che i tre vettori Q∗ A∗ , v⊥ ed u sono mutuamente ortogonali. Denotata
con b∗ = |Q∗ A∗ | la distanza tra le due rette a ed r, e con v⊥ il modulo del vettore v⊥ ,
risulta:
Mr = ±b∗ v⊥
(3.3.9)
ove è da prendersi il segno + o il segno - a seconda che la terna Q∗ A∗ , v⊥ e u sia levogira
o destrogira.
ESERCIZIO 3.3.1. Determinare il momento del vettore v = (−1, 1, 2)T applicato nel
punto A = (1, 1, 0) rispetto all’asse z.
DETERMINAZIONE ANALITICA. Si ha:
¯
¯ 1
¯
¯
Mz = OA ∧ v · c3 = ¯ −1
¯
¯ 0
¯
1 0 ¯¯
¯
1 2¯ = 2
¯
0 1¯
DETERMINAZIONE SINTETICA. Con riferimento alla figura 3.3.3b, scelto Q coincidente con O e la retta r come asse z, decomponiamo il vettore v nei due componenti
parallelo e ortogonale all’asse z. Si ha: v⊥ = (−1, 1, 0)T e v00 = (0, 0, 2)T . Constatato che
√
solo v⊥ contribuisce a Mz e che OA è perpendicolare a v⊥ , osservando che |OA| = 2 e
√
|v⊥ | = 2, si deduce subito
√ √
Mz = 2 2 = 2
59
3.4. SISTEMI DI VETTORI APPLICATI: RISULTANTE E MOMENTO
Dicesi Sistema di vettori applicati l’insieme formato da più vettori applicati.
Un sistema di forze applicate in punti di un corpo rigido è un esempio di sistema di
vettori applicati. Un insieme costituito da un numero finito di forze applicate in punti
distinti dello spazio si dirà discreto, un insieme costituito da infiniti vettori applicati in
una regione continua dello spazio si dirà continuo. Parleremo nel primo caso di forze
concentrate in punti del corpo rigido (ad esempio un insieme di molle o di funi), nel
secondo caso di una sollecitazione distribuita (o continua) di forze (ad esempio la forza
peso, che agisce su ogni elemento del corpo rigido in esame).
RISULTANTE DI UN SISTEMA DI VETTORI APPLICATI
Sia Σ = {(A1 , v1 ), (A2 , v2 ), ..., (An , vn )} un sistema di vettori applicati.
Si definisce Risultante di Σ il vettore libero, somma vettoriale dei singoli vettori applicati:
n
R=
X
vi
(3.4.1)
i=1
MOMENTO RISULTANTE POLARE DI UN SISTEMA DI VETTORI APPLICATI
Si definisce Momento risultante polare MQ di Σ rispetto al polo Q il vettore libero,
somma dei momenti polari dei singoli vettori applicati:
MQ =
n
X
QAi ∧ vi
(3.4.2)
i=1
Lo studente stia ben attento a non confondere il momento risultante di Σ con il momento
del risultante R. Non ha senso, infatti, parlare di momento del risultante R, in quanto,
quest’ultimo, come del resto MQ è un vettore libero.
MOMENTO RISULTANTE ASSIALE DI UN SISTEMA DI VETTORI APPLICATI
Si definisce Momento risultante assiale Mr di Σ rispetto alla retta r di versore û
lo scalare somma dei momenti assiali dei singoli vettori applicati:
Mr =
n
X
QAi ∧ vi · û
(3.4.3)
i=1
FORMULA DI TRASPOSIZIONE DEI MOMENTI
Determiniamo la legge di variazione del momento risultante MQ al variare del polo Q
rispetto a cui esso è calcolato. Preso comunque un altro punto P, decomponendo il vettore
PAi nella somma di P Q e di QAi , si ottiene:
MP =
n
X
P A i ∧ vi =
i=1
n
X
(P Q + QAi ) ∧ vi
i=1
60
applicando la linearità del prodotto vettoriale:
MP =
n
X
i=1
P Q ∧ vi +
n
X
QAi ∧ vi = P Q ∧
i=1
n
X
vi + MQ
i=1
Ricordando la definizione di risultante del sistema di vettori applicati, otteniamo infine
la seguente Legge di variazione del momento polare:
MP = MQ + PQ ∧ R
(3.4.4)
È importante osservare la seguente proprietà, di cui si lasca la verifica al lettore:
Proprietà 3.4.1: Il momento risultante polare MQ non dipende dal polo se e solo se il
sistema Σ è a risultante nullo.
COPPIE.
Si chiama coppia il sistema formato da due vettori applicati, paralleli, discordi e di uguale
modulo.
Si chiama intensità della coppia il valore comune del modulo di ciascun vettore della
coppia. Si chiama braccio della coppia la distanza tra le rette di applicazione dei due
vettori.
Una coppia di braccio nullo è una coppia di vettori che hanno la stessa retta di
applicazione.
Figura 3.4.1
Valgono le seguenti proprietà, di verifica immediata:
Proprietà 3.4.2: Il risultante di una coppia è nullo: R=0.
Proprietà 3.4.3. il momento di una coppia non dipende dal polo:
MQ = MP
∀Q, ∀P
Per questo motivo, nel seguito, nell’indicare il momento di una coppia, scriveremo semplicemente M, senza indicare il polo.
Siano (A,v) e (B,-v) i due vettori della coppia. Sia π il piano che la contiene e N il
versore normale al piano π.
Determiniamo il momento della coppia. Scegliamo come polo il punto di applicazione
di uno dei due vettori, ad esempio B. Si ha:
M = MB = BA ∧ v = ±bvN
61
(3.4.6)
Figura 3.4.2
Il momento polare è un elemento caratteristico delle coppie, in quanto, data una coppia, è unico il suo momento M; viceversa, dato un vettore momento M, esso è sempre
rappresentabile tramite una coppia in cui il vettore v ed il braccio b siano tali che vb = M
e la terna AB, v, M sia levogira. Ovviamente, vi sono infinite coppie atte a rappresentare
un dato momento M.
In particolare osserviamo che il momento di una coppia non varia se il piano che la
contiene si sposta parallelamente a se stesso o ruota di un angolo qualsiasi intorno ad un
asse ad esso perpendicolare.
Infine, il momento assiale di una coppia rispetto ad una retta orientata r, di versore
u, denotato con α l’angolo formato tra il versore N ortogonale al piano della coppia ed il
versore u della retta r, è dato da:
Mr = ±bv cos α.
3.5. TEOREMI DI VARIGNON.
Vale il seguente teorema di Varignon per il momento polare:
Teorema 3.5.1: Se i vettori di Σ sono applicati su rette concorrenti in un punto A, il
momento risultante di Σ rispetto ad un polo Q coincide con il momento rispetto a Q del
risultante R di Σ applicato in A.
Figura 3.5.1
DIMOSTRAZIONE: Ricordando che il momento polare non varia trasportando i vettori lungo la loro retta di applicazione, si ha:
MQ =
n
X
i=1
QAi ∧ vi =
n
X
QA ∧ vi = QA ∧
i=1
n
X
i=1
62
vi = QA ∧ R
Vale un analogo teorema di Varignon per il momento risultante assiale:
Teorema 3.5.2: Se i vettori di Σ sono applicati su rette concorrenti in un punto A, il
momento risultante assiale di Σ rispetto ad una retta r coincide con il momento rispetto
ad r del risultante R di Σ applicato in A.
La dimostrazione di questo teorema è una immediata conseguenza del teorema precedente.
3.6. INVARIANTE SCALARE, MOMENTO MINIMO E ASSE CENTRALE
Prende il nome di invariante scalare o trinomio invariante del sistema di vettori applicati
Σ il prodotto scalare del momento polare MQ per il risultante R.
I = MQ · R
(3.6.1)
Come si verifica facilmente, tale quantità risulta invariante al variare del polo. Infatti:
MQ · R = (MP + QP ∧ R) · R = MP · R
Anche la componente di MQ parallela ad R non varia al variare del polo. Si verifica
infatti immediatamente:
MQ · vers R = MP · vers R
(3.6.2)
È utile decomporre il vettore MQ nei suoi due componenti parallelo e normale al vettore
R; denotiamo con ~µ il vettore proiezione di MQ su R e con NQ il vettore proiezione di
MQ sul piano π ortogonale ad R:
~µ = P||R MQ = (MQ · vers R) vers R,
NQ = P⊥R MQ = MQ − ~µ.
(3.6.3)
Come si verifica facilmente, risulta:
MQ · R = (~µ + NQ ) · R = ~µ · R
da cui, indicato con µ il modulo del vettore ~µ, si ha:
I = ±µR
(3.6.4)
ove è da prendere il segno + o il segno - a seconda che i due vettori ~µ ed R siano concordi
o discordi.
Osserviamo infine che, essendo ~µ ed NQ ortogonali tra loro risulta:
|MQ | ≥ µ
Mostreremo nel prossimo paragrafo che esistono punti di E3 rispetto ai quali il momento
del sistema di vettori applicati Σ è proprio uguale a ~µ. Per questo motivo ~µ prende il
nome di momento minimo (cioè di modulo minimo) del sistema Σ ed è anche spesso
indicato con Mmin . Risulta:
~µ = Mmin =
I
I
vers R = 2 R.
R
R
63
(3.6.5)
ASSE CENTRALE DI UN SISTEMA DI VETTORI APPLICATI
Sia Σ un sistema di vettori applicati, di risultante R e momento risultante rispetto al
polo Q MQ . Decomponiamo MQ nei suoi due componenti parallelo e normale al vettore
R; con le notazioni introdotte nel numero precedente:
MQ = ~µ + NQ
(3.6.6)
Determiniamo il luogo dei punti A dello spazio tali che:
NQ = QA ∧ R
(3.6.7)
Si tratta di un’equazione vettoriale nella incognita QA. Quest’equazione ammette certamente soluzioni poichè per costruzione NQ è ortogonale ad R. In quest’ipotesi, come
mostrato nel primo capitolo, sappiamo che l’equazione vettoriale ammette infinite soluzioni,
e che il luogo cercato è una retta. Per determinarla moltiplichiamo l’ultima equazione a
destra vettorialmente per R; si ottiene:
NQ ∧ R = (QA ∧ R) ∧ R = (QA · R)R − R2 QA
Ricavando da quest’equazione QA, si ha:
QA =
R ∧ NQ QA · R
+
R
R2
R2
Il vettore (R ∧ NQ )/R2 è un vettore ortogonale sia ad R che a NQ , di modulo NQ /R; il
vettore (QA · R/R2 )R è un generico vettore parallelo ad R. Otteniamo cosı̀:
QA =
R ∧ NQ
+ λR
R2
(3.6.8)
Figura 3.6.1
Mostriamo che la retta a cosı̀ trovata non dipende dal punto Q, rispetto a cui è stato
calcolato il momento risultante di Σ. A tale scopo, supponiamo che, scegliendo come polo
un punto Q0 , diverso da Q, si pervenga ad una retta a0 . Denotati con A0 i punti della
retta a0 , possiamo scrivere:
MQ0 = ~µ + Q0 A0 ∧ R
ma anche
MQ = ~µ + QA ∧ R
64
Sottraendo membro a membro:
MQ0 − MQ = (Q0 A0 − QA) ∧ R
(3.6.9)
ma è anche, per la formula di trasposizione dei momenti:
MQ0 − MQ = QQ0 ∧ R
(3.6.10)
Uguagliando (3.6.9) e (3.6.10), si ottiene:
(Q0 Q -Q0 A0 + QA) ∧ R = 0
deduciamo dunque A0 A∧R=0; il che implica che A0 A è parallelo a R. Poichè A appartiene
alla retta a, ed A0 alla retta a0 , deduciamo che le due rette a e a0 devono coincidere.
Il luogo cercato è dunque la retta a, parallela ad R, contenuta nel piano π, passante
per Q, ortogonale a NQ e distante dal punto Q la quantità d = NQ /R. Infine, la retta a
è tale che la terna QA∗ , R, NQ è levogira, avendo indicato con A∗ il punto di a distante
d da Q.
La retta a di cui si è provata l’esistenza e l’unicità prende il nome di asse centrale
del sistema di vettori applicati Σ. Per determinarla, una volta noti i vettori caratteristici
del sistema Σ possiamo utilizzare la formula (3.6.8), che si può anche scrivere, ricordando
che essendo ~µ parallelo ad R risulta R ∧ NQ = R ∧ MQ , nel seguente modo:
QA =
R ∧ MQ
+ λR
R2
(3.6.11)
o anche, fissato un qualunque punto O:
OA = OQ +
R ∧ MQ
+ λR
R2
(3.6.12)
Questa relazione consente di scrivere l’equazione dell’asse centrale a in forma parametrica,
in funzione del parametro λ.
PROPRIETÀ DELL’ASSE CENTRALE
L’asse centrale di un sistema di vettori applicati gode delle seguenti proprietà:
a) è parallelo al risultante R di Σ.
b) è il luogo dei punti A∈ E3 tali che MA ||R oppure è nullo. Risulta infatti MA = ~µ.
c) è il luogo dei punti A∈ E3 rispetto ai quali il momento del sistema di vettori applicati
è minimo.
Oltre che sfruttando la formula (3.6.12), l’asse centrale di un sistema di vettori applicati
Σ può essere determinato facilmente utilizzando la proprietà b).
Introduciamo per semplicità un sistema di assi cartesiani ortogonali con origine O
coincidente con Q e tale che il risultante R di Σ sia parallelo all’asse z ed il momento
risultante rispetto a O sia contenuto nel piano y, z (f ig. 3.6.1). Denotiamo con (0, 0, Rz )T
le componenti del risultante R, con (0, MOy , MOz )T le componenti del momento MO e
65
con (xA , yA , zA ) le coordinate del punto A. Applicando la formula di trasposizione (3.4.4)
il momento risultante del sistema rispetto al polo A vale:
MA = (−Rz yA , MOy + Rz xA , MOz )
Imponendo che MA coincida con ~µ si ottiene l’equazione dell’asse centrale (nel riferimento
scelto):
½
yA = 0
M
xA = − ROy
ESERCIZIO 3.6.1. Dato il sistema di quattro vettori applicati
Σ = {( A 1 ,v1 ) ;(A2 , v2 ) ; (A3 , v3 ) ;(A4 , v4 ) }
dove
A1 =(0,0,1), v1 = [1, 1, 0]T ;
A2 =(-1,0,1), v2 = [−1, 1, 0)]T ;
A3 =(0,1,1), v3 = [1, 1, 1]T ;
A4 =(0,0,1), v4 = [0, 0, 1)]T ;
determinare:
a) il risultante ed il momento risultante di Σ rispetto ai poli O=(0,0,0) e Q=(0,0,2);
b) l’invariante scalare;
c) i due componenti µ
~ ed NQ del momento polare parallelo e normale al risultante;
d) l’asse centrale di Σ.
√
RISOLUZIONE. Si ha R = (1, 3, 2)T e R = |R| = 14.
Per il calcolo di MO , osservato che A1 e A4 coincidono, applicando il teorema di
Varignon, possiamo sostituire ai due vettori applicati (A1 , v1 ) e (A4 , v4 ) il loro risultante
w1 = v1 + v4 applicato in A1 = A4 . Ugualmente, possiamo sostituire ai due vettori
applicati (A2 , v2 ) e (A3 , v3 ) il loro risultante w2 = v2 + v3 applicato in A2 = A3 . Si ha:

 

 






0 −1 0
1
0 2 0
0
−1
−1
−2

  
 

 



MO =  1 0 0   1  +  −2 0 0   2  =  1  +  0  =  1 
0 0 0
1
0 0 0
1
0
0
0
Per calcolare MQ possiamo applicare la legge di trasposizione dei momenti, ottenendo



 


−2
0 2 0
1
4

 
 

MQ = MO + QO ∧ R =  1  +  −2 0 0   3  =  −1 

0
0 0 0
2
0
L’invariante scalare è:
I = MO · R = 1
Il momento minimo ~µ è:
 
I
1 1
µ = 2R =
3
R
14 2
66
Si ha poi
µ
¶
2
55 17
,− ,−
14 14 14
Infine, l’equazione dell’asse centrale si può determinare con la formula (3.6.12):
NQ = MQ − µ =



 


−2 +λ
1
R ∧ Mo
1  0 −2 3   −2 
 
 414
OA =
+ λR =
0 −1   1  + λ  3  =  − 14 + 3λ 
 2

2
R
14 −3 1
7
0
0
2
+ 2λ
− 14
ESERCIZIO 3.6.2
Cinque forze, di uguale intensità F = 2N , sono applicate nei vertici di un cubo, di spigolo
l = 10 cm, come in figura. Determinare:
a) il risultante ed il momento risultante di Σ rispetto ai poli O=(0,0,0) e Q=(0,10,10);
b) l’invariante scalare;
c) i due componenti µ
~ ed NQ del momento polare parallelo e normale al risultante;
d) l’asse centrale di Σ.
ESERCIZIO 3.6.3
Un corpo rigido è sottoposto all’azione di tre forze F1 , F2 e F3 , parallele agli assi coordinati, dirette come in figura. I loro punti di applicazione A, B e C distano a, b e c
dall’origine degli assi. Determinare
a) i due componenti µ
~ ed NO del momento polare parallelo e normale al risultante;
b) la condizione che devono soddisfare le tre forze perchè il loro asse centrale passi per
l’origine O delle coordinate.
67
3.7. EQUIVALENZA E RIDUCIBILITÀ DI SISTEMI DI VETTORI APPLICATI
Il concetto di equivalenza tra sistemi di vettori applicati è strettamente legato al problema
dello studio dell’equilibrio e del moto dei sistemi rigidi: come vedremo in seguito, infatti,
sistemi di forze equivalenti applicate ad un corpo rigido, producono gli stessi effetti (globali,
non le stesse azioni interne) sul comportamento meccanico (statico e dinamico) dei corpi
rigidi.
DEFINIZIONE: Due sistemi di vettori applicati Σ e Σ0 si dicono equivalenti se hanno
uguale risultante ed uguale momento risultante rispetto ad un qualsiasi polo:
R = R0
MQ = M0 Q ,
∀Q ∈ E3
(3.7.1)
Osserviamo che basta verificare che R = R0 e che MQ = M0 Q per un solo Q. Sotto queste
ipotesi infatti si ha:
MP = MQ + PQ ∧ R = M0 Q + PQ ∧ R0 = M0 P
(3.7.2)
3.7.1 OPERAZIONI INVARIANTIVE.
È importante determinare le operazioni che è possibile effettuare su un sistema di vettori
applicati Σ se si vuole ottenere un sistema Σ0 equivalente al sistema dato. Tali operazioni
prendono il nome di operazioni invariantive.
Dato un sistema di vettori applicati Σ, consideriamo il seguente gruppo di operazioni,
dette Operazioni elementari.
a) la sostituzione di più vettori applicati in un punto con il loro risultante applicato in
quel punto o viceversa la sostituzione di un vettore applicato con più vettori applicati
nello stesso punto e che lo ammettono come risultante.
b) l’aggiunta o la soppressione di una coppia di braccio nullo.
Si ha la seguente importante proprietà, di verifica immediata:
Proprietà 3.7.1: le operazioni elementari non alterano il risultante ed il momento risultante di un sistema di vettori applicati Σ.
Conseguentemente, applicando ad un insieme di vettori applicati Σ un numero finito
di operazioni elementari si ottiene un sistema Σ0 equivalente al sistema di partenza.
Si definisce anche la seguente Operazione di trasporto: c) il trasporto di un vettore
lungo la sua retta di applicazione.
Conseguenza immediata della proprietà 3.2.2 è la seguente
Proprietà 3.7.2: le operazioni di trasporto non alterano il risultante ed il momento
risultante di un sistema di vettori applicati Σ.
68
Osserviamo che si può trasportare un vettore lungo la sua retta di applicazione con due
successive operazioni elementari di tipo b). Sia (A,v) un vettore applicato sulla retta a.
Sia B un altro punto della stessa retta a. Aggiungiamo al sistema Σ la coppia di braccio
nullo costituita dai vettori {(B,v), (B, -v)}. Sottraiamo al sistema cosı̀ ottenuto la coppia
costituita dai vettori {(A,v), (B, -v) }. Si ottiene in tal modo il vettore (B,v).
3.7.2. SISTEMI EQUILIBRATI
Un sistema Σ si dice riducibile a 0 o equilibrato se con sole operazioni elementari si
può passare dai vettori di Σ ad una o più coppie di braccio nullo.
In un sistema equilibrato risulta:
½
R=0
MQ = 0
∀Q
(3.7.3)
3.7.3. MUTUA RIDUCIBILITÀ DI SISTEMI DI VETTORI APPLICATI.
Le operazioni introdotte nei numeri precedenti in modo formale sono particolarmente
significative quando il sistema Σ è un sistema di forze applicate ai punti di un corpo
rigido; in tal caso, infatti, operando sul sistema di forze con le operazioni invariantive non
si alterano la quiete o il movimento del corpo rigido.
DEFINIZIONE: Si dice che il sistema di vettori applicati Σ è riducibile al sistema di
vettori applicati Σ0 se con sole operazioni invariantive si può passare dai vettori di Σ ai
vettori di Σ0 .
Poichè le operazioni elementari non alterano il risultante ed il momento risultante
del sistema possiamo dire che due sistemi che sono riducibili l’uno all’altro sono
equivalenti.
Viceversa, si può dimostrare che due sistemi di vettori applicati equivalenti Σ
e Σ0 , costituiti ciascuno da un numero finito di vettori applicati, si possono sempre
ridurre l’uno all’altro con un numero finito di operazioni invariantive. Basta
infatti osservare che entrambi i sistemi Σ e Σ0 possono essere ridotti, con il procedimento
illustrato negli esempi 3.8.3, 3.8.4 e 3.8.9 ad un vettore (il risultante R = R0 ) applicato
in un punto prefissato A e ad una coppia di momento MA = M0 A .
Nel caso di sistemi costituiti da infiniti vettori applicati (come ad esempio nel caso di
forze distribuite) questa asserzione perde di senso. L’esperienza ci insegna tuttavia che
anche i sistemi di forze distribuite possono essere sostituiti da un numero finito di forze.
Nei problemi concreti si presentano spesso forze distribuite di natura diversa, equivalenti
ciascuna ad un numero finito di forze applicate in più punti, ed è quindi importante saper
effettuare in maniera semplice, ad esempio per via grafica, la riduzione di tale sistema di
forze ad un sistema di forze più semplice.
69
3.8. APPLICAZIONI ED ESEMPI
Mostriamo adesso, con semplici esempi, come è possibile da un dato sistema di vettori
applicati Σ ottenerne un altro equivalente attraverso operazioni elementari e di trasporto.
SISTEMI PIANI
ESEMPIO 3.8.1. Dato il sistema di due vettori applicati Σ = {( A 1 , v1 ); (A2 , v2 )},
contenuti nel piano π, non formanti coppia. Mostrare che questo sistema è equivalente al
risultante R = v1 + v2 applicato in un punto opportuno.
I caso: le rette di azione dei due vettori sono incidenti nel punto C. (Figura 3.8.1a)
Effettuiamo le seguenti operazioni:
a) trasportiamo i due vettori v1 e v2 nel punto C.
b) sostituiamo ai due vettori (C,v1 ) e (C,v2 ) il loro risultante R= v1 + v2 applicato in C.
Figura 3.8.1a
Figura 3.8.1b
II caso: le rette di azione dei due vettori sono parallele (Figura 3.8.1b).
Effettuiamo le seguenti operazioni:
a) aggiungiamo la coppia di braccio nullo (A1 ,w); (A2 , w).
b) sostituiamo ai due vettori (A1 , v1 ) e (A1 , w), applicati nello stesso punto il loro risul
tante v1 + w applicato in A1 e ai due vettori (A2 , v2 ) e (A2 , −w), applicati nel punto
A2 , il loro risultante v2 − w applicato in A2 .
c) trasportiamo i due vettori v1 + w e v2 − w nel punto C, intersezione delle loro rette di
applicazione.
d) sostituiamo ai due vettori (C,v1 + w) e (C, v2 − w) il loro risultante R = v1 + v2
applicato in C.
OSSERVAZIONE: In entrambi i casi la retta di applicazione del risultante R è l’asse
centrale del sistema di vettori applicati.
ESEMPIO 3.8.2. Nel piano π, mostrare che un vettore applicato (P,v), è equivalente a
tre vettori applicati su tre rette a, b e c non concorrenti prefissate.
70
Sia C l’intersezione della retta di applicazione del vettore v con la retta c. Dopo aver
trasportato il vettore v in C, lo si decomponga nei due vettori vc e v0 , rispettivamente
paralleli alla retta c ed alla retta CQ, essendo Q l’intersezione delle rette a e b. Trasportato
il vettore v0 nel punto Q, lo si decomponga infine nei due vettori va e vb , rispettivamente
paralleli alle rette a e b.
Figura 3.8.2
ESEMPIO 3.8.3. Nel piano π, mostrare che una coppia (P,v), (Q, -v) è equivalente ad
un’altra coppia i cui punti di applicazione sono due punti assegnati A e B (di π).
Basta decomporre il vettore v secondo le direzioni PA e PB ed il vettore -v secondo le
direzioni di QA e QB. I quattro vettori ottenuti, si trasportano quindi nei due punti A
e B e si sommano a due a due. Si ottiene una nuova coppia, i cui punti di applicazione
sono proprio P e Q.
Figura 3.8.3
ESEMPIO 3.8.4. Nel piano π, mostrare che una coppia (P,v), (Q, -v) è equivalente
ad un’altra coppia i cui vettori sono perpendicolari alla retta che congiunge i punti di
applicazione dei vettori.
71
Basta decomporre i due vettori v e -v secondo la direzione PQ e la direzione perpendicolare
a PQ. Dei quattro vettori che si ottengono, due costituiscono una coppia di braccio nullo,
gli altri due una coppia equivalente alla data.
Figura 3.8.4
3.8.5. COPPIA DI TRASPORTO
Dato un vettore applicato (P,v), costruire un sistema equivalente, in cui il vettore v è
applicato in un punto O, esterno alla retta r di applicazione di v.
Basta aggiungere la coppia di braccio nullo (O,v), (O,-v). Si ottiene il sistema costituito
dal vettore (O,v), e dalla coppia (P,v), (O,-v) di momento M=±bv, essendo b la distanza
del punto Q dalla retta di applicazione di (P,v). La coppia {(P, v), (O, −v)} prende il
nome di coppia di trasporto.
Figura 3.8.5
3.8.6. POLIGONO FUNICOLARE.
Introduciamo adesso un metodo grafico di riduzione, valido per i sistemi di vettori piani,
detto metodo del poligono funicolare. Per semplicità lo illustreremo nel caso di un sistema
di tre vettori applicati.
Sia dato un sistema piano di tre vettori Σp = {( A1 , v1 ); (A2 , v2 ); (A3 , v3 )}, appartenenti al piano π, a risultante non nullo. Siano r1 , r2 e r3 le rette di applicazione di tali
vettori.
Fissato un qualsiasi punto O0 di π, che chiameremo origine del poligono funicolare,
costruiamo, a partire da questo punto la poligonale O0 , O1 , O2 , O3 , con i vettori v1 , v2 e
v3 ; risulta ovviamente R=O0 O3 = O0 P + P O3 .
Consideriamo un qualsiasi punto P di π, che chiameremo polo del poligono funicolare,
non appartenente a nessuna delle rette contenenti i lati della poligonale tracciate, nè alla
retta che contiene R. Congiungiamo P con O0 , O1 , O2 , O3 , ottenendo rispettivamente i
72
quattro segmenti PO0 , PO1 , PO2 , PO3 , che prendono il nome di raggi proiettanti (primo,
secondo, terzo e quarto raggio proiettante).
Sia b0 una qualunque retta di π parallela al raggio proiettante PO0 . Dalla sua intersezione C1 con r1 conduciamo la parallela b1 al raggio proiettante PO1 , fino ad incontrare,
in C2 la retta di applicazione del secondo vettore; da C2 tracciamo la retta b2 parallela
al raggio proiettante PO2 , fino ad incontrare in C3 la retta di applicazione del terzo vettore; infine da C3 conduciamo la retta b3 parallela all’ultimo raggio proiettante PO3 . La
poligonale di lati b0 , b1 , b2 e b3 prende il nome di poligono funicolare di polo P.
Figura 3.8.6
Vale il seguente:
Teorema del poligono funicolare. Il sistema Σp è equivalente al vettore O0 P, applicato
su b0 più il vettore POn , applicato su bn (PO3 , nell’esempio illustrato in figura).
Osserviamo dapprima che:
v1 = O0 P + PO1 ,
v2 = O1 P + PO2 ,
v3 = O2 P + PO3 .
Trasportiamo quindi ciascun vettore vi lungo la propria retta di azione, fino ad avere
punto di applicazione in Ci . Quindi scomponiamo ciascun vettore vi in due vettori,
rispettivamente paralleli ai lati del poligono funicolare passanti per Ci . Sui lati intermedi
b1 e b2 del poligono funicolare si ottengono coppie di braccio nullo, che si possono eliminare.
Il sistema Σp è quindi equivalente al sistema di due soli vettori applicati O0 P applicato
in b0 e O3 P applicato in b3 . (c.v.d.)
Osservato che i lati b0 e b3 si incontrano nel punto Ω, possiamo ancora trasportare i
vettori O0 P e O3 P in tale punto Ω e poi sommarli. Si ottiene il risultante R applicato
in Ω. Ovviamente, la retta di applicazione del vettore R è l’asse centrale del sistema di
vettori applicati.
73
Infine, nel caso in cui Σ ha risultante nullo il punto O0 coincide con il punto On . Ne
consegue che b0 e bn sono paralleli e Σ si riduce alla coppia di vettori O0 P e PO0 applicati
rispettivamente su b0 e su bn . Nel caso in cui b0 coincide con bn il sistema si riduce ad
una coppia di braccio nullo.
SISTEMI DI VETTORI APPLICATI NELLO SPAZIO
ESEMPIO 3.8.7. Mostrare che un vettore applicato (P,v), è equivalente a tre vettori
applicati in tre punti prefissati A, B e C, non allineati.
Si scelga un punto Q sulla retta di applicazione di v, che non appartenga al piano individuato dai tre punti A, B e C. Si considerino le rette a, b e c che congiungono Q con i
tre punti prefissati A, B e C. Dopo aver trasportato il vettore v in Q lo si decomponga
secondo le tre direzioni (non complanari) delle rette a, b e c. Si trasportino infime i vettori
cosı̀ ottenuti nei punti A,B e C.
Figura 3.8.7
ESEMPIO 3.8.8. Dato il sistema di n vettori applicati Σ = {( A i , vi )}(i=1,2,...,n) . Mostrare
che questo sistema è equivalente a tre vettori applicati in tre punti prefissati A, B e C,
non allineati.
Basta effettuare per ciascun vettore del sistema la decomposizione dell’esempio 3.8.2 e
quindi sostituire a ciascuno degli n vettori applicati nei punti A, B e C che cosı̀ si ottengono
la loro somma applicata in quel punto.
ESEMPIO 3.8.9. Dato il sistema di n vettori applicati Σ = {( A i , vi )}(i=1,2,...,n) , mostrare
che questo sistema è equivalente a due vettori applicati, dei quali uno in un punto prefissato
A.
Per quanto detto nell’esempio 3 basta far vedere che un sistema di tre vettori Σ = {( A
, vA ); (B , vB ); (C , vC )}, è equivalente ad un sistema di due vettori dei quali uno applicato
in A. Se i due vettori applicati (B , vB ) e (C , vC ) sono complanari il problema è subito
risolto affettuando per questi due vettori la riduzione dell’esempio 1. Analogamente se
74
A appartiene alla retta di applicazione di (B , vB ) o a quella di (C , vC ), il problema si
risolve trasportando (B , vB ) (o (C , vC )) in A.
Esclusi questi casi, consideriamo i piani πB e πC passanti per A e contenenti rispettivamente i vettori vB e vC , certamente distinti. Sia r la loro intersezione, passante per A.
Scelto su r un qualunque punto Q diverso da A, scomponiamo il vettore vB , nel piano πB
in due vettori vB1 e vB2 aventi le direzioni di AB e QB ed il vettore vC , nel piano πC in
due vettori vC1 e vC2 aventi le direzioni di AC e QC. Facciamo scorrere i quattro vettori
cosı̀ ottenuti lungo le loro rette di applicazione, fino in A e Q. Il sistema di partenza risulta
cosı̀ equivalente ad un sistema di 5 vettori, tre applicati in A e due applicati in Q; a loro
volta questi 5 vettori sono equivalenti a due vettori, uno applicato in A e l’altro applicato
in Q.
Figura 3.8.8
ESEMPIO 3.8.10. Un sistema di vettori applicati è equivalente ad un vettore (il risultante)
applicato in un punto prefissato A e ad una coppia.
Con la costruzione dell’esempio 3.8.9 riduciamo dapprima il sistema ad un vettore v
applicato in A e ad un vettore w applicato in Q; trasportiamo anche il secondo vettore in
A aggiungendo al sistema la coppia di braccio nullo (A,w), (A,-w). Otteniamo un sistema
equivalente costituito dal vettore R=v+w, applicato in A, e dalla coppia (A,w), (Q,-w).
Figura 3.8.9
75
3.9. OPERAZIONI DI RIDUZIONE
Come si è detto, è molto importante, nelle applicazioni, ridurre un sistema di vettori
applicati Σ ad un altro Σ0 che sia più semplice, anzi il più semplice possibile. Si pensi
all’utilità di questa operazione nello studio delle condizioni di quiete o di moto di un corpo
rigido sotto l’azione di un sistema Σ di forze; si può studiare il problema applicando al
corpo un qualunque altro sistema di forze Σ0 equivalente al sistema Σ.
3.9.1 RIDUZIONE DI SISTEMI AD INVARIANTE SCALARE DIVERSO DA ZERO
3.9.1A. Riduzione al polo Q: prende il nome di riduzione al polo Q la trasformazione di
un sistema di vettori applicati Σ ad un altro equivalente, costituito da un vettore applicato
in Q più una coppia.
Per effettuarla, calcolati R ed MQ , basta applicare R in Q e costruire una coppia (A,v),
(B,-v), di momento MQ , cioè una coppia di vettori, che giace in un piano ortogonale ad
MQ , tale che il prodotto tra l’intensità della coppia v ed il suo braccio sia uguale a MQ e
tale che MQ , supposto applicato in B, veda scorrere v in verso antiorario. Il sistema
Σ0 = {(Q,R) ; (A,v) ; (B,-v)}
è equivalente a Σ.
Al variare del polo Q, varia il sistema ridotto, poichè varia il punto di applicazione di
R e varia la coppia di momento MQ . Se si sceglie come polo per effettuare la riduzione
un punto A dell’asse centrale, si ottiene la seguente operazione:
3.9.1B. Riduzione ad un polo A sull’asse centrale: In questo caso il sistema Σ viene
ridotto al risultante R applicato sull’asse centrale e ad una coppia di momento ~µ parallelo
all’asse centrale, cioè ad una coppia di vettori che giace in un piano ortogonale all’asse
centrale.
3.9.1C. Riduzione a due vettori di cui uno applicato in un punto prefissato Q.
Basta effettuare un’operazione di riduzione al polo Q, scegliendo uno dei due vettori che
compongono la coppia applicato in Q; si ottiene il sistema:
Σ0 = {(Q,R) ; (A,v) ; (Q,-v)}
equivalente a Σ; componendo i due vettori applicati in Q, si ottiene infine il sistema:
Σ00 = {(Q,R-v) ; (A,v)}
ESERCIZIO 3.9.1. Dato il sistema di vettori applicati Σ, con risultante RT = [0, 2, 1] e
momento risultante rispetto al punto O MT0 = [0, 0, 3]
a) effettuarne la riduzione al polo O;
b) effettuarne la riduzione ad un polo sull’asse centrale.
c) effettuarne la riduzione a due vettori di cui uno applicato in un polo prefissato.
RISOLUZIONE.
Quesito a: per effettuare la riduzione al polo O, basta applicare il risultante R di Σ in O
e costruire una qualunque coppia di vettori {(P, v); (Q, −v)} di momento uguale ad M0 .
76
Se vogliamo ulteriormente ridurre il sistema a due soli vettori di cui uno applicato in
O (quesito c), basta scegliere uno dei due punti di applicazione dei vettori della coppia
nel punto O e poi effettuare le operazioni indicate al punto 3.9.1C.
Come coppia di momento M0 possiamo scegliere
{(O, −v), (P, v)},
con P ≡ (1, 0, 0), v ≡ [0, 3, 0]T
Si ottiene il sistema:
Σ0 = {( O,R) ; (P , v) ; (O, -v) }
equivalente a Σ; componendo i due vettori applicati in O si ottiene infine il sistema
Σ00 = {(O, R − v), (P, v)} ,
con
(R − v)T ≡ [0, −1, 1]T
equivalente a Σ0 e quindi a Σ.
Quesito b: per prima cosa determiniamo l’asse centrale a di Σ.
Detto A un punto dell’asse centrale, utilizziamo la proprietà MA ||R. Si ha:
 





0
0 −1 2
x
−y + 2z
  
 


MA = MO + R ∧ OA =  0  +  1
0 0y  = 
x

3
−2 0 0
z
3 − 2x
Imponendo il parallelismo tra questo vettore ed R si ottiene:
½
−y + 2z = 0
x = 65
che è l’equazione dell’asse centrale (si ricordi che nello spazio una retta è l’intersezione di
due piani). Il sistema Σ è dunque equivalente al vettore R, applicato in un punto dell’asse
centrale e ad una coppia di momento ~µ:


0
R


~µ = (MO · R) 2 =  6/5 
R
3/5
Se vogliamo ulteriormente ridurre il sistema Σ a due vettori, di cui uno applicato
sull’asse centrale (quesito c), dobbiamo fissare un punto sull’asse centrale ed una coppia
di momento ~µ.
Scegliamo
´ come punto A dell’asse centrale rispetto a cui fare la riduzione il punto
³
6
A = 5 , 0, 0 , e scegliamo la coppia di momento ~µ con uno dei due vettori, −v, applicato
in A. Il secondo vettore della coppia v deve essere applicato in un punto P (appartenente
al piano passante per A ortogonale al risultante), scelto in modo tale che il momento di
questo vettore rispetto ad A sia proprio µ
~ . Queste condizioni si scrivono:

µ
 AP ∧ v = ~

AP · ~µ = 0
v · ~µ = 0
Vi sono infiniti vettori v ed infiniti punti P che soddisfano queste relazioni. Possiamo
scegliere, ad esempio:
P = (6/5, −1, 2) e v = [3/5, 0, 0]T .
77
Con questa scelta, il sistema Σ è infine equivalente al sistema:
Σ000 = {( O,R-v) ; (P, v )}
con
R − v = [−3/5, 2, 1]T .
ESERCIZIO 3.9.2. Dato il sistema di quattro vettori applicati
Σ = {( P1 ,v1 ) ;(P2 , v2 ) ; (P3 , v3 ) ;(P4 , v4 ) }
dove P1 =(1,1,1), v1 = [0, 1, 0]T ;
P2 =(1,0,0), v2 = [1, 2, 2]T ;
P3 =(0,1,0), v3 = [−1, 0, 0]T ;
P4 =(0,0,1), v4 = [2, 2, 0]T ,
ridurlo a due vettori di cui uno applicato nell’origine.
RISOLUZIONE.
Si ha R = [2, 5, 2]T e MO = [−3, 0, 4]T .
Il sistema può essere ridotto al risultante R applicato in O, e ad una coppia di momento
M0 . Per ridurre ulteriormente il sistema a due soli vettori, di cui uno applicato in O,
basta scegliere uno dei due punti di applicazione dei vettori della coppia nel punto O.
Come coppia di momento M0 possiamo scegliere
{(O, −v), (P, v)},
con P ≡ (4, 1, 3), v ≡ [0, 1, 0]T
Si ottiene il sistema:
Σ0 = {( O,R) ; (P , v) ; (O, -v) }
equivalente a Σ; componendo i due vettori applicati in O si ottiene infine il sistema
Σ00 = {(O, R − v), (P, v)} ,
con
(R − v) ≡ [2, 4, 2]T
equivalente a Σ0 e quindi a Σ.
3.9.2. RIDUZIONE DI SISTEMI A INVARIANTE SCALARE NULLO
Per tali sistemi si ha
MO · R = ±µR = 0
Conseguentemente, in un sistema ad invariante scalare nullo o si annulla il momento
minimo Mmin = ~µ o si annulla il risultante R. Escludendo il caso in cui il sistema è
equilibrato (R = 0 e ~µ = 0), possono verificarsi due casi:
A) µ
~ = 0 e R 6= 0;
B) R = 0 e µ
~ 6= 0.
A. Riducibilità di un sistema con Mmin = 0.
Si ha la seguente:
Proprietà 3.9.2A. Un sistema Σ di vettori applicati con Mmin = 0 è riducibile al risultante R applicato in un punto dell’asse centrale.
DIMOSTRAZIONE. Basta osservare che il sistema costituito dal solo risultante R, applicato in un punto A dell’asse centrale
Σ0 = {(A, R)}
ha risultante coincidente con il risultante R di Σ e momento MA = Mmin = 0.
78
B. Riducibilità di un sistema con R=0.
Si ha la seguente:
Proprietà 3.9.2B. Un sistema Σ di vettori applicati con R = 0 è riducibile ad una sola
coppia di momento M = ~µ.
DIMOSTRAZIONE. Basta osservare che, essendo il risultante di Σ nullo il momento
risultante non dipende dal polo. Quindi, una qualunque coppia Σ0
Σ0 = {(A, v); (B, −v)}
tale che BA ∧ v = ~µ è equivalente al sistema Σ.
3.10. SISTEMI PIANI.
Un sistema di vettori applicati, contenuti tutti un un piano π prende il nome di sistema
piano. Lo indicheremo con Σπ .
Un sistema Σπ gode della seguente:
Proprietà 3.10.1: L’invariante scalare di un sistema piano è nullo.
DIMOSTRAZIONE: Risulta infatti R||π ed inoltre, detto Q un punto qualunque del
piano π, risulta MQ perpendicolare a π e quindi ad R.
Come conseguenza, deduciamo la seguente:
Proprietà 3.10.2: Un sistema piano è riducibile o ad un solo vettore applicato in un
punto dell’asse centrale o ad una coppia.
ESERCIZIO 3.10.1
Nei punti P1 = (1, 0), P2 = (0, 1) e P3 = (1, −1) di una lamina rigida piana sono applicate
le tre forze F1 = i, F2 = 2j, F3 = 2i + j. Ridurre il sistema alla forma più semplice.
RISOLUZIONE: Si tratta di un sistema piano con risultante diverso da zero, riducibile
dunque ad un sola forza, applicata sull’asse centrale. È R = 3i + 3j, MO = −3k.
L’asse centrale è, questo caso, il luogo dei punti di momento nullo, ed ha equazione:
y =x+1
Il sistema è dunque riducibile al vettore R applicato in un punto dell’asse centrale, ad
esempio A = (0, 1).
ESERCIZIO 3.10.2
Sia dato il sistema Σ = {(A1 , v1 ), (A2 , v2 ), (A3 , v3 )} di tre vettori applicati:
A1 = (3, 1, 0), A2 = (1, 1, 0), A3 = (1, −1, 0); v1 = −3j, v2 = 3i + 3j, v3 = −3i + 3j
a) determinare l’asse centrale a di Σ.
b) ridurre graficamente il sistema Σ ad un solo vettore applicato in un punto opportuno.
ESERCIZIO 3.10.3
Nei punti A1 = (3, 1), A2 = (1, 1) e A3 = (0, 1) di una lamina rigida piana sono applicate
le tre forze F1 = 2i, F2 = 2i + j, F3 = 2i − j.
Determinare sia analiticamente che graficamente l’asse centrale a del sistema di forze.
79
3.11. SISTEMI DI VETTORI APPLICATI PARALLELI.
Sia Σp un sistema di n vettori applicati paralleli:
Σp = {(Ai , vi )}
vi kvj ,
∀i, j
(3.11.1)
Sia u il versore della direzione comune ai vettori di Σp . Si ha
n
X
R=
vi || u
MQ =
n
X
i=1
QAi ∧ vi ⊥ u
(3.11.2)
i=1
e quindi il sistema Σp è un sistema ad invariante scalare nullo:
MO · R = 0
(3.11.3)
Se ne deduce che un sistema di vettori applicati paralleli è riducibile o ad un unico vettore
applicato sull’asse centrale o ad una coppia.
Supponiamo R 6= 0. Il sistema Σp è riducibile al vettore R applicato in un punto
dell’asse centrale. Per determinare l’asse centrale, denotiamo con vi0 la componente di vi
secondo la direzione di u; si ha:
vi = vi0 u,
ed anche
R=
n
X
vi =
i=1
n
X
vi0 = vi · u = ±|vi |
con
vi0 u = R0 u,
con
(3.11.4)
R0 = R · u =
i=1
n
X
vi0
(3.11.5)
i=1
Poichè il trinomio invariante è nullo, l’asse centrale è il luogo dei punti A che soddisfano
l’equazione
MA = 0.
Si ha:
MA =
n
X
i=1
AAi ∧ vi =
n
X
vi0 AAi
∧u=
i=1
Ã n
X
!
vi0 AAi
∧u=0
i=1
Pertanto l’asse centrale a è definito dalla condizione:
n
X
vi0 AAi k u
(3.11.6)
i=1
ed il sistema Σp è equivalente al vettore R applicato in un punto della retta a.
CENTRO DI UN SISTEMA DI VETTORI APPLICATI PARALLELI
Al variare di u, otteniamo un nuovo sistema di vettori applicati paralleli, il cui asse
centrale sarà una nuova retta, parallela al nuovo versore u.
Mostriamo che al variare di u gli assi di tutti questi sistemi di vettori applicati paralleli formano una stella di rette. Il centro C di questa retta, se esiste, deve essere tale che
rispetto ad esso il momento risultante di tutti questi sistemi di vettori applicati paralleli
è zero, indipendentemente dalla direzione comune di tutti questi vettori, cioè indipendentemente da u. È
Ã
!
MC =
n
X
vi0 CAi ∧ u
i=1
80
(3.11.7)
La condizione che individua questo punto C allora si scrive:
MC = 0,
∀u
n
X
⇐⇒
vi0 CAi = 0
(3.11.8)
i=1
Il punto C cosı̀ individuato prende il nome di centro del sistema Σp . Esso è definito
dalla relazione:
n
X
vi0 CAi = 0
(3.11.9)
i=1
Determiniamo le coordinate di tale punto C in un generico riferimento di origine O.
n
X
vi0 CAi
i=1
e quindi
=
n
X
vi0 (OAi − OC) = 0
i=1
n
X
vi0 OC =
n
X
vi0 OAi
i=1
i=1
pertanto
OC =
n
1 X
v 0 OAi
R0 i=1 i
(3.11.10)
Le coordinate del punto C, detti x, y, z gli assi di un sistema di riferimento avente origine
in O, ed (xi , yi , zi ) le cordinate del punto Ai , sono date da:
xC =
n
1 X
v 0 xi ,
R0 i=1 i
yC =
n
1 X
v 0 yi ,
R0 i=1 i
zC =
n
1 X
v 0 zi .
R0 i=1 i
(3.11.11)
ESERCIZIO 3.11.1. Determinare il centro del sistema Σp :
Σ = {(P1 , v1 ); (P2 , v2 ); (P3 , v3 ); (P4 , v4 )}
dove
P1 =(1,0,0), v1 = [1, −2, 3]T ;
P3 =(1,1,1), v3 = [3, −6, 9]T ;
P2 =(0,1,0), v2 = [1/3, −2/3, 1]T ;
P4 =(0,0,1), v4 = [−2, 4, −6]T ;
RISOLUZIONE.
È R = [7/3, −14/3, 7]T 6= 0. Posto û = vers v1 , si ha:
√
√
√
√
√
v10 = 14 ; v20 = 14/3 ; v30 = 3 14 ; v40 = −2 14 ; R0 = 14/3.
Pertanto è:
√
Ã
!
4
√
√
√
3
1 X
14
0
v OAi = √
OP2 + 3 14OP3 − 2 14OP4
OC = 0
14OP1 +
R i=1 i
3
14
da cui:
OC = 6c1 −
81
10
c2 + c3
3
3.11.1. CENTRO DI UN SISTEMA DI DUE VETTORI PARALLELI
Come applicazione consideriamo il sistema di due vettori applicati paralleli a risultante
non nullo:
Σp = {(A1 , v1 ), (A2 , v2 )}, con v1 ||v2 e R = v1 + v2 6= 0
vale la seguente proprietà:
Il centro del sistema Σp appartiene alla retta r che congiunge A1 e A2 , è interno al
segmento A1 A2 se v1 e v2 sono concordi, esterno se v1 e v2 sono discordi, e le sue
distanze da A1 ed A2 sono inversamente proporzionali ai moduli di v1 e v2 .
Dimostrazione: La (22), nel caso in esame, porge:
OC =
1 0
(v OA1 + v20 OA2 )
R0 1
(3.11.12)
con O arbitrario. Scegliendo O sulla retta r passante per i due punti di applicazione A1
A2 si vede che C appartiene a tale retta.
Prendendo poi O ≡ C, deduciamo:
v10 CA1 + v20 CA2 = 0
cioè
CA2 = −
v10
CA1
v20
(3.11.13)
da cui segue che se il rapporto v10 /v20 è positivo C è interno al segmento A1 A2 , mentre se
risulta v10 /v20 negativo C è esterno al segmento A1 A2 . Infine, in ogni caso, si ha:
|v1 |
|CA2 |
=
|CA1 |
|v2 |
(3.11.14)
Determinazione grafica del centro di due vettori paralleli
La proporzionalità inversa, espressa dalla (3.11.14), suggerisce la determinazione grafica
del centro di Σp illustrata in figura 3.11.1.
Figura 3.11.1
82
Il centro di un sistema di vettori applicati paralleli gode delle seguenti importanti
proprietà.
PROPRIETÀ 3.11.1. Il centro di un sistema Σp (a risultante non nullo) non varia, nè se
si fanno ruotare tutti i vettori di uno stesso angolo, nè se si moltiplicano per uno stesso
numero.
PROPRIETÀ 3.11.2. Un sistema Σp (a risultante non nullo) è equvalente al risultante
applicato nel centro.
Queste due prime proprietà discendono immediatamente dalla definizione di centro di
un Σp .
PROPRIETÀ 3.11.3. Questa proprietà è nota sotto il nome di
PROPRIETÀ DISTRIBUTIVA DEL CENTRO dei sistemi di vettori applicati paralleli.
Il centro di un sistema di vettori applicati paralleli Σp , a risultante non nullo, non varia se
Σp si decompone in più sistemi parziali (ciascuno a risultante non nullo) e si sostituisce
a ciascuno di questi il proprio risultante applicato nel relativo centro.
Dimostrazione: Basta provarla nell’ipotesi che Σp sia decomposto in due soli sottosistemi
(2)
(1)
Σ(1)
p e Σp . Sia Σp un sistema di n vettori paralleli. Supponiamo, per semplicità, che Σp
sia costituito dai primi m vettori di Σp e Σ(2)
p dai rimanenti n − m. Sia cioè
Σp = Σ(1)
p
[
Σ(2)
p
(3.11.15)
con
Σ(1)
p = {(Ai , vi ), (i = 1, 2, ...m)}
Σ(2)
p = {(Aj , vj ), (j = m + 1, m + 2, ...n)}
Spezzando la sommatoria in due sommatorie, la prima estesa ai vettori di Σ(1)
p e la seconda
(2)
ai vettori di Σp , si ha


m
n
X
X
1
OC = 0  vi0 OAi +
vi0 OAi  .
R
Posto
0
R(1)
=
i=1
m
X
i=m+1
vi0
0
R(2)
i=1
=
n
X
vi0
i=m+1
(2)
e denotando con C1 e C2 rispettivamente i centri dei due sottosistemi Σ(1)
p e Σp , si ottiene:
OC =
´
1 ³ 0
0
R
OC
+
R
OC
1
2 .
(1)
(2)
R0
(3.11.16)
PROPRIETÀ 3.11.4: Se i punti di applicazione dei vettori di un sistema Σp parallelo,
a risultante non nullo, appartengono tutti ad uno stesso piano π anche il centro di Σp
appartiene a π.
83
PROPRIETÀ 3.11.5: Se i punti di applicazione dei vettori di un sistema Σp parallelo,
a risultante non nullo, appartengono tutti ad una stessa retta r anche il centro di Σp
appartiene a ad r.
Entrambe queste proprietà discendono immediatamente dalla (3.11.10), prendendo O
su π per la proprietà 4 e prendendo O su r per la proprietà 5.
PROPRIETÀ 3.11.6: Questa proprietà è nota sotto il nome di
PROPRIETÀ DI UBICAZIONE DEL CENTRO dei sistemi di vettori applicati paralleli.
Il centro C di un sistema di vettori applicati paralleli e concordi Σp è non esterno ad ogni
dominio convesso contenente tutti i punti di applicazione Ai dei vettori di Σp .
Ricordiamo che un dominio D si dice convesso se contiene il segmento congiungente
due suoi punti qualsiasi. Dimostreremo la proprietà applicando il principio di induzione
matematica.
La proprietà è vera per n = 2, come si è visto nel paragrafo 3.11.1.
Supposta vera per un Σp costituito da n − 1 vettori, mostriamo che è vera per un Σp
con n vettori.
Scomposto Σp nell’unione dei due sottosistemi
Σ(1)
p = {(Ai , vi ), (i = 1, 2, ...n − 1)}
Σ(2)
p = {(An , vn ))}
siano C1 ed R0 rispettivamente il centro ed il risultante del sistema Σ(1)
p costituito dai primi
n − 1 vettori di Σp . Per ipotesi, C1 è non esterno ad ogni dominio convesso contenente
gli n − 1 punti A1 , A2 , .., An−1 ed è quindi anche non esterno ad ogni dominio convesso
contenente tutti i punti Ai (i = 1, 2, .., n).
Consideriamo un qualsiasi dominio convesso D contenente tutti i punti Ai (i = 1, 2, .., n).
Tale dominio contiene C 0 ed An e quindi anche il centro C del sistema costituito dal risultante di Σ(1)
p applicato in C1 e da (An , vn ). Ma, per la proprietà distributiva, tale centro
C è proprio il centro di Σp , da cui l’asserto.
84
3.12. ESERCIZI DI RIEPILOGO
1) Nei punti A1 = (0, 1, 0), A2 = (0, 1, 0) e A3 = (0, 0, 1) di un corpo rigido sono applicate
le tre forze
F1 = 2j,
F2 = 2j + k,
F3 = −j − k,
a) determinare l’asse centrale a del sistema di forze.
b) ridurre graficamente, se possibile, il sistema ad una sola forza e analizzare la
differenza tra il sistema considerato ed il sistema costituito dal solo risultante R
applicato sull’asse centrale.
2) Nei punti A1 = (0, 1, 1), A2 = (1, 1, 0) e A3 = (0, 1, 0) di un corpo rigido sono applicate
le tre forze
F1 = 2i,
F2 = 2i + j,
F3 = 2i − j,
a) determinare l’asse centrale a del sistema di forze.
b) analizzare la differenza tra il sistema considerato ed il sistema costituito dal solo
risultante R applicato sull’asse centrale.
3) Ad un cubo rigido sono applicate le tre forze {(A1 , F1 ), (A2 , F2 ), (A3 , F3 )} , dove:
A1 = (a, 0, 0), A2 = (0, a, 0), A3 = (0, 0, a);
F1 = (0, X, X), F2 = (X, X, 0), F3 = (X, 0, X)
a) Determinare la condizione che devono soddisfare tali forze perchè siano riducibili
ad un solo vettore.
b) Determinare il loro asse centrale.
4) Un corpo rigido è sottoposto all’azione di tre forze F1 , F2 e F3 , parallele agli assi
coordinati, ma dirette in un verso o nell’altro. I loro punti di applicazione A, B e C
distano a, b e c dall’origine degli assi. Determinare
a) la condizione che devono soddisfare tali forze perchè siano riducibili ad un solo
vettore.
b) la condizione che devono soddisfare le tre forze perchè il loro asse centrale passi
per l’origine O delle coordinate.
85
5) Effettuare la riduzione ad un punto dell’asse centrale del sistema di sei forze di uguale
intensità applicate al cubo rigido di figura.
6) Effettuare la riduzione al polo A del sistema di quattro forze di uguale intensità
applicate al cubo rigido di figura.
7) Effettuare la riduzione al polo A del sistema di dodici forze di uguale intensità applicate
al cubo rigido di figura.
8) Effettuare la riduzione ad un punto dell’asse centrale del sistema di due forze di uguale
intensità applicate al tetraedo rigido di figura.
86
9) Effettuare la riduzione ad un punto dell’asse centrale del sistema di tre forze di uguale
intensità applicate al tetraedo rigido di figura.
10) Effettuare la riduzione ad un punto dell’asse centrale del sistema di tre forze di uguale
intensità applicate al parallelepipedo rigido di figura.
11) Effettuare la riduzione al polo O del sistema di sei forze di uguale intensità applicate
al parallelepipedo rigido di figura.
87
CAPITOLO 4
BARICENTRI E MOMENTI D’INERZIA
4.1. MASSA. DENSITÀ.
Nella trattazione dei Principi della Meccanica, ad ogni punto materiale P è stato associato
un numero positivo m detto massa. Anche nello studio della meccanica di un sistema
materiale S, è utile introdurre in concetto di massa del sistema S; ciò vien fatto in maniera
naturale, postulando che la massa sia una quantità additiva.
Sia S un sistema di n punti materiali Pi , di massa mi . Si chiama massa del sistema
particellare S il numero positivo:
m=
n
X
mi
(4.1.1)
i=1
Sia S un corpo che occupa una regione C dello spazio, come ad esempio una trave
o l’acqua contenuta all’interno di un recipiente. In questo caso, è utile la descrizione
del corpo S, come un corpo continuo. Tale descrizione, presuppone che sia possibile
continuare a suddividere il corpo in porzioni ∆S di volume ∆τ sempre più piccolo, in
modo che le quantità fisiche che caratterizzano le varie porzioni in cui il corpo S è stato
suddiviso siano, all’interno di ciascuna porzione, sempre più uniformi. Tuttavia è noto
che ciò è vero, purchè il volume ∆τ occupato dall’elementino non sia troppo piccolo. Se
infatti il volume ∆τ scende al di sotto di un volume critico ∆τ0 , dobbiamo prendere in
considerazione la struttura microscopica della materia e considerare il nostro corpo come
costituito da un numero estremamente grande di molecole; lo studio, in questo caso non
può che essere affrontato utilizzando la meccanica statistica.
Nella schematizzazione di un sistema materiale come corpo continuo, si affronta lo
studio della materia ad un livello intermedio (detto mesoscopico), che prescinde dalla
struttura microscopica della materia. Si postula allora che suddividendo la regione di
spazio C occupata da S in regioni ∆C sempre più piccole, il rapporto tra la massa ∆m
contenuta in ∆C ed il volume ∆τ di ∆C, ammetta limite, al restringersi della regione ∆C
intorno a P:
∆m
lim
= µ(P)
(4.1.2)
∆C→P ∆τ
Il numero µ cosı̀ introdotto prende il nome di densità del corpo S nel punto P.
La densità µ = µ(P) è detta lineare, superficiale o cubica, a seconda che il corpo S sia
ad una, due o tre dimensioni.
L’ipotesi fatta di arrestarci ad un livello mesoscopico, ci consente di affermare che la
funzione µ(P) è una funzione continua del punto P. Conseguentemente, se il volume ∆τ
di ∆C risulta sufficientemente piccolo, la massa in esso contenuta è data da µ(P)∆C.
88
Ricordando la definizione di integrale multiplo, come limite, al tendere a zero del
massimo diametro δ delle regioni ∆C, definiamo massa del corpo continuo S l’integrale:
Z
m=
C
µ(P)dC.
(4.1.3)
Se la densità è costante, il corpo S, si dice omogeneo. In tal caso è:
m = µ · mis C
(4.1.4)
Se, come abbiamo supposto in ciò che precede, il corpo S occupa una regione dello spazio
tridimensionale mis C è il volume della regione C. Se il corpo S occupa una regione
bidimensionale (una porzione di piano o di superficie), con mis C intendiamo l’area della
regione di piano (o della superficie), se infine il corpo S occupa una regione lineare con
mis C intendiamo la lunghezza della linea.
4.2. BARICENTRO DI UN SISTEMA PARTICELLARE O CONTINUO.
Sia S un sistema di n punti materiali Pi , di massa mi . Si chiama baricentro G del
sistema particellare S il centro di un qualunque sistema di vettori paralleli, concordi e di
modulo proporzionale alle masse, applicati nei punti del sistema:
OG =
n
1 X
mi OPi
m i=1
(4.2.1)
Detta {O,x, y, z} una qualunque terna di riferimento, dette (xG , yG , zG ) le coordinate del
punto G e (xi , yi , zi ) quelle del punto Pi , risulta:
xG =
1
m
yG =
1
m
zG =
1
m
Pn
i=1
Pn
i=1
Pn
i=1
mi xi
mi yi
(4.2.2)
mi zi
Sia S un corpo continuo, che occupa, ad un dato istante t, una regione C dello spazio
E3 . Si chiama baricentro G del sistema continuo S il punto G definito da:
OG =
1 Z
µ(P)OPdC
m C
(4.2.3)
Dette (xi , yi , zi ) le coordinate del punto Pi , le coordinate di G sono espresse da:
xG =
1 R
m C
µxdC
yG =
1 R
m C
µydC
zG =
1 R
m C
µzdC
(4.2.4)
Il punto G è dunque il limite a cui tende il baricentro del sistema particellare Sn cosı̀
costituito:
Si suddivide la regione C occupata da S in n regioni parziali ∆Ci e si sceglie all’interno
di ciascuna regione un punto Pi . Si considera il sistema particellare Sn costituito dagli n
89
punti Pi , ciascuno dotato di massa mi = µ(Pi ) mis (∆Ci ). Passando al limite, al tendere
a zero del massimo diametro δ delle regioni ∆Ci , si ottiene proprio G.
FIGURA 4.2.1
Se il corpo S è omogeneo, la densità µ è costante; pertanto risulta:
OP =
1 Z
OPdC
mis C C
(4.2.5)
4.3. PROPRIETÀ DEL BARICENTRO.
Il baricentro di un sistema materiale S gode delle proprietà di cui gode il centro di un
sistema di vettori applicati paralleli e concordi. Ricordiamo qui alcune di tali proprietà.
a) La definizione di baricentro è indipendente dalla scelta del punto O.
b) Se il sistema S è costituito tutto da punti appartenenti ad un piano π, il baricentro G
del sistema appartiene al piano π.
c) Se il sistema S è costituito tutto da punti appartenenti ad una retta r, il baricentro G
del sistema appartiene alla retta r.
d) Il baricentro di un sistema S appartiene alla più piccola regione convessa dello spazio
che contiene S.
4.3.1. Proprietà distributiva. Se si suddivide il sistema S in n sistemi parziali Si , il
baricentro G di S coincide con il baricentro del sistema dei baricentri Gi dei sistemi Si ,
considerati come punti materiali aventi come massa la massa del sistema Si .
FIGURA 4.3.1
FIGURA 4.3.2
Chiusura convessa di un insieme
Proprieta’ distributiva del baricentro
90
4.3.2. Piano diametrale e piano di simmetria.
Per una più semplice determinazione del baricentro G di alcuni sistemi materiali, è utile
introdurre la nozione di piano diametrale.
Si dice che il piano π è per il sistema particellare (continuo) S un piano diametrale
coniugato alla direzione della retta r, se i punti di S che non appartengono a π, si suddividono in coppie di punti P P0 , di uguale massa (densità) e tali che il segmento PP0 sia
parallelo ad r e dimezzato da π.
Un piano π coniugato alla sua direzione ortogonale prende il nome di piano di simmetria.
Un piano π coniugato ad una direzione non ortogonale ad esso si chiama anche piano
di simmetria obliqua.
Sussiste la seguente importante proprietà:
Ogni piano diametrale per un sistema S contiene il baricentro G di S.
Infatti, possiamo considerare il sistema S come l’unione (di un numero finito o infinito)
di sottosistemi:
[
S = {Pi , P0i } ∪ Sπ
i∈I
dove con Sπ si è indicato il sottinsieme di punti di S che appartiene a π. Poichè ogni
coppia di punti {Pi ,P0i } ha il baricentro appartenente al piano π, come conseguenza della
proprietà distributiva del baricentro, si ha la tesi.
FIGURA 4.3.3
FIGURA 4.3.4
Piano diametrale
Piano di simmetria
Come conseguenza della proprietà f), se un sistema S ammette tre piani diametrali
il suo baricentro, viene determinato immediatamente come il punto di intersezione dei
tre piani diametrali. Se un sistema S è piano, ed ammette due piani diametrali, il suo
baricentro è il punto di intersezione del piano che contiene il sistema e dei due piani
diametrali. Se un sistema S è contenuto in una retta ed ammette un piano diametrale,
il suo baricentro è il punto di intersezione della retta che contiene il sistema e del piano
diametrale.
91
4.3.4. Teoremi di Pappo-Guldino.
Per il calcolo del baricentro di solidi o di superfici di rotazione possono essere applicati i
seguenti teoremi, di omettiamo la dimostrazione.
Primo teorema di Pappo-Guldino. Una figura piana ruota ruota intorno ad un asse complanare, che non la interseca. Il volume da essa generato è pari al prodotto dell’area A
della figura per il cammino percorso dal suo baricentro durante la rotazione.
Questo teorema può essere utilizzato per determinare la posizione del baricentro di una
figura piana quando sono note le misure dell’area A e del volume da essa generato.
ESEMPIO: Baricentro di un semicerchio. Si ha:
V = A · 2πyG
=⇒
yG =
V
4R
=
2πA
3π
Figura 4.3.5
Secondo teorema di Pappo-Guldino. Un arco di curva piano ruota intorno ad un asse complanare, che non lo interseca. L’area della superficie da esso generata è pari al prodotto
della lunghezza della curva l per il cammino percorso dal suo baricentro durante la rotazione.
Questo teorema può essere utilizzato per determinare la posizione del baricentro di una
curva quando sono note le misure della sua lunghezza e dell’area della superficie da essa
generata.
ESEMPIO: Baricentro di una semicirconferenza. Si ha:
S = l · 2πyG
=⇒
92
yG =
S
2R
=
2πl
π
4.4. CALCOLO DI BARICENTRI.
Esempio 4.4.1. Baricentro di un’asta non omogenea.
Sia AB un’asta, di lunghezza l, la cui densità varia con la legge µ = kx, essendo x la
distanza del punto generico dell’asta dall’estremo A. Si ha:
Z l
Z l
1
m=
µ(x)dx =
kxdx = k l2
2
0
0
2m
e quindi k = l2 . Si ha poi:
1 Zl
1 Zl 2
2 l3
2
µ(x)xdx =
kx dx = 2 = l
m 0
m 0
l 3
3
Vediamo cosı̀ che il baricentro dell’asta AB ha la stessa ascissa del triangolo omogeneo
ABC, costruito sul lato AB, il cui lato AC ha equazione y = kx. In generale, se la densità
dell’asta è la funzione µ = µ(x) il baricentro di AB ha la stessa ascissa del baricentro del
trapezoide costruito sul lato AB relativo alla funzione densità µ = µ(x).
xG =
FIGURA 4.4.1
Esempio 4.4.2. Baricentro di un arco di circonferenza omogenea.
Si consideri un arco di circonferenza omogeneo di raggio R e semiaperura α. Si scelga
come sistema di riferimento il sistema {O, x, y} di figura.
FIGURA 4.4.2
Poichè l’asse x è un asse di simmetria per la figura, il baricentro G dell’arco ha ordinata
yG = 0. Si ha poi, ricordando che è x = R cos θ e che l’elemento d’arco ds = Rdθ:
1Z α
1 Zα 2
R sin α
xG =
x ds =
R cos θ dθ =
l −α
2αR −α
α
93
In particolare, il baricentro di una semicirconferenza si ottiene ponendo α = π/2. Si
ottiene in tal caso xG = 2R
. Allo stesso risultato si perviene utilizzando il secondo
π
teorema di Pappo-Guldino.
Esempio 4.4.3. Baricentro di un triangolo omogeneo.
Il baricentro di un triangolo coincide con l’intersezione delle tre mediane, e dista da ognuno
dei tre vertici i due terzi della lunghezza della mediana uscente da quel vertice.
Dimostrazione: Osserviamo che ognuno dei tre piani ortogonali al piano del triangolo e
passante per una sua mediana è piano diametrale conuigato alla direzione del lato relativo
alla mediana. Mostriamo che il piano π, ortogonale al piano del triangolo ABC di fig.
5.1, passante per la mediana CH è piano diametrale coniugato alla direzione del lato
AB. Decomponiamo a tale scopo il triangolo ABC in striscie (infinitesime) di altezza dh,
parallele al lato AB. Come si constata immediatamente, questa striscia è dimezzata dal
piano π in due semistriscie identiche per dimensione e densità.
FIGURA 4.4.3
Si conclude dunque che il baricentro G del triangolo è il punto di intersezione delle tre
mediane. Detta l la lunghezza della mediana CH, mostriamo che risulta
AG= 23 AN.
Siano M ed N i punti medi dei lati AB e BC. Dai punti M ed N tracciamo leparallele
alla mediana CH, che intersecheranno le mediane AN e BM nei punti L e P; essendo
il quadrilatero LMNP ottenuto un parallelogramma risulta |LG| = |GN|, |MG| = |GF|.
Osservato poi che i triangoli AML e ACG sono simili, deduciamo che |AL| = 2 |AG|.
Esempio 4.4.4. Baricentro di un parallelogramma omogeneo.
Il baricentro di un parallelogramma (in particolare di un rettangolo) si trova nel punto di
intersezione delle diagonali.
FIGURA 4.4.4
94
Infatti il piano ortogonale al piano del parallelogramma, contenente una diagonale, è un
piano diametrale coniugato alla direzione dell’altra diagonale.
Esempio 4.4.5. Baricentro di un quadrangolo omogeneo.
Sia dato il quadrangolo semplice (cioè non intrecciato) ABCD. Le diagonali AC e BD
lo decompongono ciascuna in due triangoli ABC, ADC e ABD, CDB. Determiniamo i
baricentri G1 , G2 , G3 e G4 di ciascuno di questi triangoli. Per la proprietà distributiva, il
baricentro G del quadrangolo è il baricentro dei due punti G1 e G2 dotati rispettivamente
delle masse dei due triangoli ABC e ABD. Pertanto G è interno al segmento G1 G2 . Allo
stesso modo si deduce che G è interno al segmento G3 G4 . In conclusione G si troverà
nell’intersezione dei due segmenti G1 G2 e G3 G4 .
FIGURA 4.4.5
Esempio 4.4.6. Baricentro di un trapezio omogeneo.
La determinazione del baricentro di un trapezio può effettuarsi osservando che esso è un
particolare quadrangolo, oppure può essere utilizzato il seguente procedimento.
Dato il trapezio ABCD. Osserviamo che il piano ortogonale al piano del trapezio, che
contiene i punti medi M ed N dei lati paralleli AB e CD, è un piano diametrale coniugato
alla direzione del lato AB. Il baricentro del trapezio si trova dunque sul segmento MN. Per
determinarlo graficamente, osserviamo che la diagonale AC decompone il trapezio nei due
triangoli ABC e ADC. Come conseguenza della proprietà distributiva possiamo affermare
che il baricentro del trapezio si trova sulla congiungente i due baricentri G1 G2 dei due
triangoli ABC e ADC. Il baricentro del trapezio è dunque l’intersezione del segmento MN
con il segmento G1 G2 .
FIGURA 4.4.6
95
Esempio 4.4.7. Baricentro di una trave a L.
Si consideri la sezione di una trave ad L indicata in figura. Scelto come sistema di
riferimento il sistema {O, x, y} di figura, si constata immediatamente che la retta x = y è
un’asse di simmetria per la figura. Il baricentro G della sezione, si trova pertanto su tale
retta. Si ha:
´
³
a(a + b) a2 + ab a + 2b
a(a2 + 3ab + b2 )
xG = y G =
=
2b2 + a2
2(2ab + a2 )
Una determinazione grafica immediata di G si ottiene decomponendo la figura in due
rettangoli. Il baricentro G si trova sull’intersezione del segmento G1 G2 che congiunge i
due rettangoli con la bisettrice del primo quadrante.
FIGURA 4.4.7
Esempio 4.4.8. Baricentro di una trave a T.
Si consideri la sezione di una trave a T indicata in figura. Scelto come sistema di riferimento il sistema {O, x, y} di figura, si constata immediatamente che l’asse y è un’asse di
simmetria per la figura. Il baricentro G della sezione, si trova pertanto su tale retta. Si
ha:
ac 2c + bd(c + d2
ac2 + bd2 + 2bcd
yG =
=
ac + bd
2(ca + bd)
Lo studente effettui una determinazione grafica del baricentro G, applicando la teoria dei
sistemi di vettori applicati paralleli, nel caso in cui b = c.
FIGURA 4.4.8
96
Esempio 4.4.9. Baricentro di un pendolo.
Si schematizzi il pendolo di un orologio con un disco omogeneo di massa m collegato
rigidamente ad un asta anch’essa omogenea, di uguale massa m. Sia d la lunghezza
dell’asta. Applicando la proprietà distributiva del baricentro, si verifica immediatamente
che il baricentro G coincide con il punto di medio del segmento G1 G2 .
FIGURA 4.4.9
Esempio 4.4.10. Baricentro di una lamina circolare forata.
Sia S la lamina forata omogenea tratteggiata in figura. Sia S1 il cerchio di raggio R e
centro G1 , sia S2 il cerchio di raggio R/2 e centro G2 , sia G il baricentro di S. Sia infine
d = R/2 la distanza tra G2 e G1 . Si ha:
mOG + m2 OG2 = m1 OG1
E‘ m1 = µπR2 , m2 = µπR2 /4, m = m1 − m2 = 3µπR2 /4. Scelto O coincidente con G1 ,
si ha:
mG1 G + m2 G1 G2 = 0
Si ottiene cosı̀:
1
G1 G = − G1 G
3
FIGURA 4.4.10
Esempio 4.4.11. Baricentro di un esagono regolare forato.
Sia S la lamina forata omogenea tratteggiata in figura. Sia S1 l’esagono regolare di centro
O e lato a, sia S2 il cerchio di raggio r e centro G2 , sia G il baricentro di S. Sia infine b
la distanza tra G2 e O.
97
FIGURA 4.4.11
Con lo stesso procedimento utilizzato nell’esempio precedente, si ottiene:
S OG + S1 OG2 = 0;
√
ricordando che la superficie dell’esagono è data da S2 = 3 2 3 a2 , si ottiene:
Ã √
!
3 3 2
2
a − πr xG + πr2 b = 0
2
Esempio 4.4.12. Baricentro di una lamina piana unione di più lamine di differente densità.
Si consideri la lamina non omogenea di figura. Per considerazioni di simmetria, G si trova
sull’asse y, indicato in figura. Si ha poi, per la proprietà distributiva:
h
yG =
i
h
2
2 µa2 a2 + 2 3µ a2
a
3
2
7µa
i
h
2
+ 2 2µ a2
2a
3
i
FIGURA 4.4.12
Esempio 4.4.13. Baricentro di un settore di corona circolare omogenea.
Sia S un settore di corona circolare, di raggi r ed R, sotteso da un angolo al centro di
semiapertura α.
Scelto come sistema di riferimento il sistema {O, x, y} di figura, essendo l’asse x un
asse di simmetria, il baricentro G di S ha ordinata yG = 0. Si ha poi:
xG =
1 Z
x dC
mis C C
98
FIGURA 4.4.13
Passando in coordinate polari, il dominio C si trasforma nel rettangolo D = {(ρ, θ)|r ≤
ρ ≤ R, − α ≤ θ ≤ α}, mentre è x = ρ cos θ. L’elemento di superficie in coordinate polari
si scrive dC = ρdρdθ. Si ha quindi:
RR
xG =
D
ρ2 cos θdρdθ
2 R3 − r3 sin α
=
3 R2 − r 2 α
D ρdρdθ
RR
In particolare, il baricentro di un semicerchio si ottiene ponendo r = 0 e α = π/2, si
ottiene:
4R
xG =
3π
Esempio 4.4.14. Baricentro del sistema costituito da due sfere tangenti di
diametri differenti.
Siano R ed r i raggi delle due sfere, G1 e G2 i due centri. Per la proprietà distributiva del
baricentro, possiamo scrivere:
(S1 + S2 )OG = S1 OG1 + S2 OG2
FIGURA 4.4.14
Scelto O coincidente con G1 , si ottiene:
OG =
S2
OG2
S1 + S2
99
Scelto come sistema di riferimento il sistema {O, x, y, z} di figura, si ha:
yG = 0
xG =
r3
(R + r)
r 3 + R3
Esempio 4.4.15. Baricentro di un prisma retto omogeneo, di altezza h.
Sia C un prisma retto omogeneo, di altezza h. Il piano π ortogonale alle generatrici del
prisma, distante h/2 dalle due basi, è un piano di simmetria. Il baricentro G appartiene dunque a tale piano. Inoltre, le sezioni di C con piani paralleli alla base sono tutte
uguali. Allora, decomposto il cilindro C in sezioni di altezza ∆z, il baricentro di ciascuna
di tali sezioni appartiene ad una stessa retta a, parallela alle generatrici del prisma. Conseguentemente, il baricentro G di C è l’intersezione della retta a con il piano di simmetria.
FIGURA 4.4.15
Esempio 4.4.16. Baricentro di un prisma forato omogeneo.
Sia S un prisma di altezza h e sezione quadrata di lato l. Sia r il raggio del foro cilindrico, e
d la distanza dell’asse del cilindro dall’asse del prisma. Utilizzando i risultati dell’esempio
4.4.15, è sufficiente calcolare il baricentro di una generica sezione. Scelto come sistema di
riferimento il sistema {O, x, y, z} di figura, con lo stesso procedimento dell’esempio 4.5.14
si ottiene:
h(l2 − πr2 )xG + hπr2 d = 0
e quindi:
xG = −
πr2
d
l2 − πr2
FIGURA 4.4.16
100
Esempio 4.4.17. Baricentro di settore sferico omogeneo.
Sia S un settore sferico omogeneo, di raggio R ed angolo al centro α e C la regione di
spazio da esso occupato.
FIGURA 4.4.17
Scelto come sistema di riferimento il sistema {O, x, y, z} di figura, il baricentro G di S
ha ascissa e ordinata nulle xG = 0, yG = 0. Si ha poi:
zG =
1 Z
z dC
mis S C
Passando in coordinate polari, il dominio C si trasforma nel parallelepipedo D = {(ρ, θ, φ)|0 ≤
ρ ≤ R, 0 ≤ θ ≤ α, 0 ≤ φ ≤ 2π}, mentre è z = ρ cos θ. L’elemento di volume in coordinate
polari si scrive
dC = ρ2 sin θdρdθdφ. Si ha quindi:
Z Z Z
mis C =
e
2
ρ2 sin θdρdθdφ = πR3 (1 − cos α)
3
D
RRR
ρ3 sin θ cos θdρdθdφ
3
sin2 α
= R
mis C
8 1 − cos α
In particolare, il baricentro di una semisfera si ottiene ponendo α = π/2, si ottiene:
zG =
D
3
xG = R
8
Esempio 4.4.18. Baricentro di un cono rotondo omogeneo.
Sia S un cono rotondo omogeneo di raggio di base R ed altezza h e C la regione di spazio
da esso occupata.
Scelto come sistema di riferimento il sistema {O, x, y, z} di figura, il baricentro G di
S ha ascissa e ordinata nulle xG = 0, yG = 0. Per calcolare zG utilizzeremo la formula
di integrazione per sezioni, osservando che la sezione Cz è il cerchio di centro l’origine e
raggio rz = hr z. Si ha:
Z Z Z
mis C =
C
dC =
Z h
0
101
Z
dz
Cz
dxdy =
πR2 h
3
e
R
z dC
zG = R
=
C dC
C
Rh
0
RR
zdz Cz dxdy
3
= h
mis C
4
FIGURA 4.4.18
FIGURA 4.4.19
Esempio 4.4.19. Baricentro di una calotta sferica omogenea.
Sia S una calotta sferica omogenea, di raggio R ed angolo al centro α.
ha ascissa e ordinata nulle xG = 0, yG = 0.
Dette m1 e zG1 la massa e la quota del baricentro del settore sferico, dette m2 e zG2 la
massa e la quota del baricentro del cono rotondo di altezza h = R cos α e dette infine m
e zG la massa e la quota del baricentro della calotta sferica, si ha:
mzG + m2 zG2 = m1 zG1
Utilizzando i risultati degli esempi 4.4.17 e 4.4.18 si ottiene subito la quota zG cercata.
Esempio 4.4.20. Baricentro di una superficie semisferica omogenea.
Sia S una superficie semisferica omogenea, di raggio R.
FIGURA 4.4.20
ha ascissa e ordinata nulle xG = 0, yG = 0, mentre è:
1 Z
zG =
zdσ
2πR2 S
L’elemento di superficie si scrive dσ = R2 sin θdθdφ; inoltre è z = ρ cos θ. Il dominio base
della superficie è D = {(θ, φ)| 0 ≤ θ ≤ π2 , 0 ≤ φ ≤ 2π}. Si ha quindi:
RR
zG =
D
R
R cos θ R2 sin θdθdφ
=
2
2πR
2
102
4.5. MOMENTI STATICI (O DI PRIMO ORDINE)
Sia S un sistema di punti materiali Pi di masse mi . Sia G il baricentro S.
Dato un piano π, se non contiene G, orientiamo la normale d a tale piano verso il
baricentro G di S, se invece G ∈ π orientiamo la normale a π in un verso qualunque.
Figura 4.5.1
Si chiama momento statico di S rispetto a π, la quantità scalare:
Sπ =
n
X
mi δi ,
(4.5.1)
i=1
dove con δi si è indicata la distanza (con segno) del punto Pi dal piano π. Fissato un
punto O qualunque su π e denotato con n̂ il versore dell’asse d ortogonale a π, il momento
statico Sπ (che sarà anche indicato con Sn̂ ), risulta uguale a:
Sπ = Sn̂ =
n
X
mi (OPi · n̂).
(4.5.2)
i=1
Se S è un sistema continuo, indicando con C la regione di spazio occupata dal corpo
S, prende il nome di momento statico di S rispetto a π, la quantità scalare:
Z
Sπ = Sn̂ =
Z
C
µδdC =
C
µ(OP · n̂)dC.
(4.5.3)
Ricordando la definizione di baricentro, ricaviamo subito la relazione:
Sπ = mdG
(4.5.4)
P
avendo indicato con dG la distanza del baricentro G di S dal piano π e con m = ni=1 mi
la massa del sistema S. Dalla (4.5.4) deduciamo la seguente importante proprietà
PROPRIETÀ 4.5.1: il momento statico di un qualunque sistema materiale rispetto ad un
piano coincide con quello dell’intera sua massa concentrata nel baricentro.
103
In particolare, se π è un piano passante per il baricentro G di S, il momento statico di
S rispetto a tale piano è nullo. Vale anche la seguente
PROPRIETÀ 4.5.2: se sono noti i tre momenti statici di S rispetto a tre piani non
paralleli è individuata univocamente la posizione del baricentro G di S.
Infatti, se tali piani sono mutuamente ortogonali, possiamo sceglierli come piani coordinati
e quindi scrivere:
Sc
Sc
Sc
OG = 1 c1 + 2 c2 + 3 c3
(4.5.4)
m
m
m
La proprietà rimane valida anche se i tre piani non sono tra di loro perpendicolari. Ci
limiteremo a verificarla nel caso di un sistema S che giace nel piano (x, y). In questo
caso il momento statico rispetto ad un piano τ ortogonale a π, che interseca il piano π
secondo una retta a viene più semplicemente chiamato momento statico rispetto all’asse
a. Ad esempio, i momenti statici rispetto ai piani (x, z) e (y, z), vengono chiamati,
rispettivamente, momenti statici rispetto agli assi x e y.
Figura 4.5.2
Consideriamo due assi qualsiasi ξ e η giacenti nel piano π, uscenti da un punto O e
formanti un angolo α. Siano e1 ed e2 i versori di questi due assi. Fissato un punto Pi
qualunque di S si ha: OPi = ξi e1 + ηi e2 . Tenendo presente la definizione di baricentro,
possiamo scrivere
mOG =
n
X
mi OPi =
i=1
n
X
mi (ξi e1 + ηi e2 ) =
i=1
n
X
mi ξi e1 +
i=1
n
X
mi ηi e2
i=1
dalla figura 4.5.2 deduciamo, dette δi e δi0 le distanze del punto Pi dai due assi ξ e η:
δi0 = ξi sin α,
δi = ηi sin α
e quindi
n
X
Ã
n
X
!
n
n
X
X
1
1
(Sη e1 + Sξ e2 )
mOG =
mi ξi e1 +
mi ηi e2 =
mi δi0 e1 +
mi δi e2 =
sin α i=1
sin α
i=1
i=1
i=1
conseguentemente, si ha
OG =
1
(Sη e1 + Sξ e2 )
m sin α
104
4.6. MOMENTI D’INERZIA
La posizione del baricentro non consente di caratterizzare in maniera completa la distribuzione nello spazio delle masse di un sistema materiale. Si consideri ad esempio il sistema
di figura 4.6.1.
FIGURA 4.6.1
Se la distanza d dall’asse z di ognuna delle due sfere A e B, omogenee di uguale raggio
ed uguale densità, aumenta di una stessa grandezza, la posizione del centro di massa del
sistema non varia, ma, come si verifica sperimentalmente, la velocità angolare del sistema
intorno all’asse z risulterà rallentata. Constatiamo cosı̀ che una diversa distribuzione
delle masse modifica il moto del sistema. Pertanto, nello studio della dinamica dei sistemi
materiali è necessario introdurre ulteriori concetti, allo scopo di caratterizzare meglio la
distribuzione delle masse; abbiamo già introdotto, nei numeri precedenti, il concetto di
momento statico (o momento di primo ordine) di un sistema materiale rispetto ad un
piano, ed abbiamo mostrato che esso è legato al concetto di baricentro. Introdurremo
adesso i momenti di secondo ordine, tra di questi è di fondamentale importanza per lo
studio della dinamica dei sistemi materiali il concetto di momento di inerzia assiale.
4.6.1. MOMENTO D’INERZIA ASSIALE
Si definisce momento di inerzia di un punto P rispetto ad una retta r (o momento di
inerzia assiale) il prodotto della massa m di P per il quadrato della sua distanza d dalla
rettar:
Ir = md2
(4.6.1)
Sia S un sistema materiale, ad esempio particellare, costituito da un numero finito n
di punti Ps . Si definisce momento di inerzia del sistema S rispetto ad una retta r la
somma dei prodotti delle masse ms dei singoli punti Ps del sistema per i quadrati delle
loro distanze ds dalla retta r:
Ir =
n
X
ms d2s
(4.6.2)
s=1
Da questa definizione segue che il momento di inerzia di un qualunque sistema rispetto
ad una retta r è una grandezza positiva (o eventualmente nulla, nel caso limite di un
sistema avente tutti i punti sulla retta r). Nel seguito mostreremo che nel moto rotatorio di
un corpo rigido attorno ad un asse fisso, il momento di inerzia assiale svolge lo stesso ruolo
105
svolto dalla massa nel moto traslatorio, cioè cosı̀ come la massa è la misura dell’inerzia di
un corpo rigido in moto traslatorio, il momento di inerzia assiale è la misura dell’inerzia
di un corpo rigido in moto rotatorio.
Scelto un riferimento ortogonale {O; x, y, z}, i momenti di inerzia del sistema S rispetto
agli assi x, y e z sono dati dalle formule
Ix =
n
X
ms (ys2
+
zs2 ),
s=1
Iy =
n
X
ms (x2s
+
zs2 ),
Iz =
s=1
n
X
ms (x2s + ys2 ).
(4.6.3)
s=1
I momenti d’inerzia rispetto agli assi coordinati si sogliono anche indicare con i simboli
Ix = I11 , Iy = I22 e Iz = I33 .
La precedente definizione si estende in modo ovvio a sistemi materiali continui. Si
consideri ad esempio un corpo continuo S, occupante una regione tridimensionale C.
Si suddivida la regione C occupata dal sistema S in n regioni parziali ∆Cs e si scelga
all’interno di ciascuna regione un punto Ps . Si consideri il sistema particellare Sn costituito dagli n punti Ps , ciascuno dotato di massa ms = µ(Ps ) mis (∆Cs ) e si calcoli il
momento d’inerzia di questo sistema particellare rispetto alla retta r. Passando al limite,
al tendere a zero del massimo diametro δ delle regioni ∆Cs , la sommatoria che figura
nell’uguaglianza (4.6.2) si trasforma in un integrale. Nel caso di continui bidimensionali o
monodimensionali, si ripete ovviamente lo stesso ragionamento con le dovute modifiche.
In particolare, tenendo presente che dm = µdC, dove µ è la densità e dC è l’elemento
di volume, si ottiene, indicando con δ la distanza del generico punto P di C dalla retta r:
Z
Ir =
C
Z
δ 2 dm =
C
µδ 2 dC
(4.6.4)
In questa relazione, la densità µ = µ(P ) e la distanza δ = δ(P ) dipendono dalle coordinate
dei punti del corpo e l’integrale è esteso alla regione C occupata dal sistema.
Le formule (4.6.3) per i corpi continui si scrivono:
Z
Ix = I11 =
Z
C
µ(y 2 + z 2 )dC,
Iy = I22 =
Z
C
µ(x2 + z 2 )dC,
Iz = I33 =
C
µ(x2 + y 2 )dC.
(4.6.5)
Osserviamo infine che il momento d’inerzia assiale del sistema S rispetto alla retta r,
passante per O, di versore ûr si può anche esprimere nel seguente modo equivalente:
Ir =
n
X
ms [OPs ∧ ûr ]2 .
s=1
FIGURA 4.6.2
106
(4.6.6)
4.6.2. RAGGIO D’INERZIA
Nelle applicazioni si usa spesso la nozione di raggio di inerzia. Si definisce raggio
d’inerzia di un sistema materiale rispetto all’asse r la grandezza lineare ρin definita
dall’uguaglianza
Ir = mρ2in
(4.6.7)
dove m è la massa del sistema.
Dalla definizione segue che il raggio di inerzia individua la distanza dalla retta r del
punto in cui bisogna concentrare la massa dell’intero sistema, affinchè il momento di
inerzia di questo punto sia uguale al momento di inerzia di tutto il corpo. Conoscendo
il raggio di inerzia, si può trovare, dalla (4.6.4), il momento di inerzia di un corpo e
viceversa.
Altri momenti di secondo ordine
Oltre al concetto di momento assiale appena introdotto, esistono altri momenti di secondo
ordine, alcuni dei quali risulteranno utili nello studio della dinamica dei corpi rigidi.
Le definizioni che daremo si riferiscono ad un sistema S di n punti materiali Ps di
masse ms e si estendono in modo ovvio a sistemi materiali continui.
4.6.3. MOMENTI DI DEVIAZIONE
Si consideri una coppia di piani π, π 0 non paralleli, di rispettivi versori normali n e n0 .
Prende il nome di momento di deviazione o momento centrifugo o prodotto di
inerzia del sistema S rispetto ai due piani π, π 0 non paralleli, la quantità scalare:
In,n0 =
n
X
ms ds d0s ,
(4.6.8)
s=1
dove ds e d0s sono rispettivamente le distanze con segno del punto Ps dai piani π e π 0 .
La (4.6.8) può anche scriversi nella seguente forma equivalente, che sarà utilizzata nel
seguito:
In,n0 =
n
X
ms [OP · n̂][OP · n̂0 ],
s=1
con O punto arbitrario della retta intersezione dei due piani π e π 0 .
FIGURA 4.6.3
107
(4.6.9)
Fissato un riferimento ortogonale {O; x, y, z}, i momenti di deviazione rispetto alle
coppie di piani coordinati (assumendo come versori normali i versori degli assi c1 , c2 , c3 )
si definiscono nel seguente modo:
Ic1 c2 =
n
X
ms xs ys ,
Ic1 c3 =
s=1
n
X
ms xs zs ,
Ic2 c3 =
s=1
n
X
ms ys zs .
(4.6.10)
s=1
momenti di deviazione rispetto alle coppie di piani coordinati sono spesso indicati con i
simboli Ic1 c2 = C 0 , Ic1 c3 = B 0 , Ic2 c3 = A0 .
I momenti d’inerzia ed i momenti di deviazione ora definiti verranno applicati nello
studio della dinamica dei corpi rigidi.
4.6.4. MOMENTI POLARI
Prende il nome di momento polare rispetto a un punto O lo scalare:
IO =
n
X
ms (OP )2 .
(4.6.11)
s=1
Fissato un riferimento ortogonale {O; x, y, z}, si ha:
IO =
n
X
ms (x2s + ys2 + zs2 )
s=1
Come si verifica facilmente risulta:
IO =
1
(Ix + Iy + Iz )
2
(4.6.12)
4.6.5. MOMENTI PLANARI DI SECONDO ORDINE
Prende il nome di momento planare di secondo ordine rispetto ad un piano π, lo
scalare:
n
Iπ =
X
ms [OPs · n̂]2 .
(4.6.13)
s=1
con O punto arbitrario di π ed n̂ versore normale a π.
Si osservi che dei quattro momenti di secondo ordine sopra definiti (momenti d’inerzia,
di deviazione, polari e planari) soltanto il momento di deviazione può essere negativo.
4.6.6. CALCOLO DI MOMENTI DI SECONDO ORDINE
Determiniamo i momenti di inerzia di alcuni corpi rigidi.
1. Sistema di due punti materiali (molecola biatomica).
Determiniamo il momento d’inerzia del sistema S di due punti materiali P1 e P2 fissati rigidamente agli estremi di un’asta, rispetto ad un asse baricentrale ortogonale alla
congiungente i due punti.
108
Siano m1 ed m2 le masse dei due punti e d la distanza tra i due punti; indichiamo con
δ1 e δ2 le distanze dei due punti P1 e P2 dal baricentro della molecola. Per la definizione
2
1
di baricentro, si ha m1 δ1 = m2 δ2 , e quindi δ1 = m1m+m
d e δ2 = m1m+m
d.
2
2
FIGURA 4.6.4
Allora per il momento d’inerzia della molecola biatomica rispetto all’asse baricentrale,
si ha:
m1 m2
Ir = m1 δ12 + m2 δ22 =
d
(4.6.14)
m1 + m2
2. Asta omogenea di lunghezza l e di massa M .
Calcoliamo il momento di inerzia Ir di un’asta omogenea AB di lunghezza l e massa M ,
rispetto alla retta r passante per un suo estremo e formante con essa un angolo α.
FIGURA 4.6.5
Scegliamo l’asse x lungo l’asta AB. Si ha:
Ir =
Z l
0
δ 2 dm
La distanza del generico punto x dell’asta dall’asse r è δ = x sin α, mentre la massa
elementare è dm = µdx, dove µ = M/l è la massa dell’unità di lunghezza dell’asta. Si
ottiene cosı̀
Z l
Z l
l3
Ir = µ (x sin α)2 dx = µ sin2 α x2 dx = µ sin2 α
3
0
0
Sostituendo µ con il suo valore, si ha infine
Ir =
M l2
sin2 α
3
109
(4.6.15)
3. Anello circolare omogeneo (superficie cilindrica omogenea).
Determiniamo il momento d’inerzia di un anello circolare omogeneo di raggio R e massa
M , rispetto all’asse z perpendicolare al piano dell’anello e passante per il suo centro C.
L’elemento lineare dell’anello, di lunghezza ds e massa dm = µds, ha momento d’inerzia
dIz = dm δ 2 , dove δ indica la distanza dell’elemento dall’asse. Poichè tutti i punti
dell’anello hanno uguale distanza δ = R dall’asse (figura 4.6.6), si ha dIz = R2 dm; quindi:
Z
Z
Iz =
C
R2 dm = R2
C
dm
Di conseguenza
Iz = mR2 .
(4.6.16)
FIGURA 4.6.6
Un risultato analogo si ottiene, evidentemente, per il momento di inerzia di una superficie cilindrica di massa M e di raggio R rispetto al suo asse.
4. Lamina circolare omogenea (cilindro omogeneo).
Calcoliamo il momento di inerzia di una lamina circolare omogenea di raggio R e massa
M rispetto all’asse z perpendicolare alla lamina e passante per il suo centro C. A tal fine
consideriamo un anello elementare di raggio r e di larghezza dr (fig. 4.6.7). La superficie
di questo anello è uguale a 2πrdr, mentre la massa è
dm = µdS = µ2πrdr,
dove µ = M/πR2 è la massa dell’unità di area della lamina. Quindi, in base alla formula
(4.6.14), per l’anello elementare avremo
dIz = r2 dm = 2πµr3 dr
mentre per tutta la lamina si ottiene
Iz = 2πµ
Z R
0
r3 dr = 2πµ
1
R4
= πµR4
4
2
Sostituendo µ con il suo valore, si trova infine
1
Iz = M R2
2
110
(4.6.17)
FIGURA 4.6.7
La stessa formula si ottiene anche per il momento di inerzia Iz di un cilindro omogeneo
circolare di massa M e di raggio R rispetto al suo asse.
Omettendo i calcoli (che lasciamo come esercizio al lettore), riportiamo le formule che
determinano i momenti di inerzia dei seguenti corpi :
5. Triangolo omogeneo di massa M e altezza h, l’asse z è diretto lungo la base del
triangolo.
1
Iz = M h2
(4.6.18)
6
6. Lamina rettangolare omogenea di massa M con lati AB = a e BD = b (l’asse x è
diretto lungo il lato AB, l’asse y lungo BD, l’asse z perpendicolare al piano della lamina
passante per un vertice):
1
Ix = M b 2
3
1
Iy = M a2
3
1
Iz = M (a2 + b2 )
3
(4.6.19)
7. Cono circolare retto omogeneo di massa M e raggio della base R (l’asse z è diretto
lungo l’asse del cono):
Iz =
3
M R2
10
(4.6.20)
8. Sfera omogenea di massa M e raggio R (l’asse z è diretto lungo un diametro):
2
(4.6.21)
Iz = M R2
5
I momenti di inerzia di corpi non omogenei e di corpi di configurazione complessa
possono essere determinati sperimentalmente con l’aiuto di opportuni strumenti. Uno di
questi metodi verrà studiato in seguito.
111
4.7. ENDOMORFISMO D’INERZIA, MATRICE D’INERZIA
Sia r una retta generica uscente da un punto Ω, ed ur il suo versore. Vogliamo studiare
come varia il momento d’inerzia del sistema al variare della retta r passante per un punto
Ω. A tale scopo è utile usare l’espressione (4.6.6), che riscriviamo nel seguente modo:
Ir =
n
X
ms (ΩPs ∧ ûr ) · (ΩPs ∧ ûr ).
(4.7.1)
s=1
FIGURA 4.7.1
Il prodotto scalare (ΩPs ∧ûr )·(ΩPs ∧ûr ) può essere considerato come prodotto misto dei
tre vettori ΩPs ∧ ûr , ΩPs ed ûr ; permutando ciclicamente questi tre vettori, ed applicando
la proprietà di anticommutazione del prodotto vettoriale, si ottiene
Ir =
n
X
ms [(ΩPs ∧ ûr ) ∧ ΩPs ] · ûr = −
s=1
n
X
ms [ΩPs ∧ (ΩPs ∧ ûr )] · ûr .
s=1
Constatiamo dunque che il momento d’inerzia del sistema rispetto alla retta r si ottiene
applicando due volte l’operatore assiale ΩPs ∧ al versore ûr della retta r, moltiplicando
il risultato ottenuto per la massa del punto Ps , sommando su tutti i punti del sistema,
e, dopo aver cambiato di segno il risultato ottenuto, moltiplicando il tutto scalarmente
per il versore ûr della retta r. Possiamo più semplicemente dire che il momento d’inerzia
P
del sistema rispetto alla retta r si ottiene applicando l’operatore − ns=1 ms (ΩPs ∧)2 , che
denoteremo con σΩ (o anche con IΩ ), definito dalla relazione:
σΩ = −
n
X
ms (ΩPs ∧)2
(4.7.2)
s=1
al versore ûr e moltiplicando scalarmente il risultato ottenuto per ûr :
Ir = [σΩ ûr ] · ûr
(4.7.3)
L’operatore σΩ cosı̀ definito è un operatore lineare (un endomorfismo), infatti ciascun
singolo addendo della sommatoria si ottiene mediante la successiva applicazione di due
prodotti vettoriali, cioè di due operatori assiali -che come sappiamo, sono particolari
endomorfismi- e moltiplicando il risultato ottenuto per ms . Pertanto l’operatore σΩ ,
112
come combinazione lineare di endomorfismi, è un endomorfismo. Esso prende il nome di
operatore d’inerzia, o tensore d’inerzia, relativo al punto Ω.
All’operatore σΩ è quindi associata, in una data base, una matrice (la matrice delle sue
componenti). Scegliamo di scrivere la matrice delle componenti di σΩ in un riferimento
di origine Ω, assi x1 , x2 , x3 e versori c1 , c2 , c3 . Come mostreremo, denotate con σhk le
componenti dell’operatore σΩ , risulta:
Ω
Ω
σhk
= ch · (σΩ ck ) = ck · (σΩ ch ) = σkh
(4.7.4)
La matrice delle componenti di σΩ è pertanto una matrice simmetrica. Le componenti di
σΩ , in un riferimento solidale, si indicano solitamente nel seguente modo:


A −C 0 −B 0

B −A0 
σΩ =  −C 0

−B 0 −A0
C
(4.7.5)
Gli elementi A, B, C, e A0 , B 0 , C 0 che compaiono nella matrice (4.7.5) si calcolano utilizzando le relazioni (4.7.3) e (4.7.4). Si ottiene, applicando la (4.7.3) ai versori degli assi
coordinati:
A = ĉ1 · [σΩ ĉ1 ] = Ix ,
B = ĉ2 · [σΩ ĉ2 ] = Iy ,
C = ĉ3 · [σΩ ĉ3 ] = Iz .
(4.7.6)
Vediamo dunque che gli elementi della diagonale principale della matrice delle componenti di σΩ sono proprio i momenti d’inerzia del corpo rispetto agli assi del sistema di
riferimento. Denotate con xs , ys , zs le coordinate del generico punto Ps del sistema, per
la (4.6.3), si ottiene:
n
X
ms (ys2 + zs2 ),
n
X
ms (x2s + zs2 ),
n
X
ms (x2s + ys2 ).
(4.7.7)
σ12 = σ21 = ĉ1 · [σΩ ĉ2 ] σ13 = σ31 = ĉ1 · [σΩ ĉ3 ] σ23 = σ32 = ĉ2 · [σΩ ĉ3 ]
(4.7.8)
A=
B=
s=1
C=
s=1
s=1
Gli elementi fuori diagonale risultano espressi da:
Calcoliamo, a titolo di esempio, l’elemento σ12 ; si ha,
"
σ12 = ĉ1 · [σΩ ĉ2 ] = ĉ1 · −
n
X
#
ms ΩPs ∧ (ΩPs ∧ ĉ2 ) = −
s=1
n
X
ms ĉ1 · [ΩPs ∧ (ΩPs ∧ ĉ2 )]
s=1
che si può scrivere, calcolando il doppio prodotto vettoriale:
σ12 = −
n
X
i
h
ms (ΩPs · ĉ1 )(ΩPs · ĉ2 ) − |ΩPs |2 ĉ1 · ĉ2 = −
n
X
ms (ΩPs ·ĉ1 )(ΩPs ·ĉ2 ) = −Ic1 c2 .
s=1
s=1
Come si verifica immediatamente, scambiando nella relazione precedente ĉ1 con ĉ2 si
ottiene lo stesso risultato. Pertanto σ12 = σ21 .
Notiamo che gli elementi fuori diagonale della matrice delle componenti di σΩ sono
gli opposti dei momenti di deviazione di S rispetto alle coppie di piani coordinati.
113
Denotate con xs , ys , zs le coordinate del generico punto Ps del sistema, per la (4.6.10), si
ha:
n
n
n
A0 =
X
B0 =
ms ys zs ,
X
s
m s xs z s ,
C0 =
s
X
ms xs ys .
(4.7.9)
s
La matrice σΩ caratterizza completamente le proprietà geometriche delle masse che
costituiscono un dato sistema materiale, ad esempio un dato corpo rigido.
La conoscenza della matrice σΩ consente di determinare il momento d’inerzia del sistema rispetto ad una qualunque retta r passante per Ω ed il momento di deviazione rispetto
ad una qualunque coppia di piani passanti per Ω. Scelto un riferimento con origine in Ω
ed assi x, y, z, denotato con û = (α, β, γ) il versore della retta r, la (4.7.3), in componenti
si scrive:



A −C 0 −B 0
α
h
i



B −A0 
Ir = [σΩ ûr ] · ûr = α β γ  −C 0
(4.7.10)
 β 
−B 0 −A0
C
γ
Da cui:
Ir = Aα2 + Bβ 2 + Cγ 2 − 2A0 βγ − 2B 0 αγ − 2C 0 αβ
(4.7.11)
Siano poi û = (α, β, γ) e û0 = (α0 , β 0 , γ 0 ) i versori ortogonali a due piani π e π 0 tra loro
perpendicolari, passanti per Ω. Si ha:


−In̂n̂0 = n̂0 · [σΩ n̂] =
h
α0 β 0 γ 0
i

A −C 0 −B 0
α



B −A0 
 −C 0
 β 
−B 0 −A0
C
γ
(4.7.12)
−In̂n̂0 = Aαα0 + Bββ 0 + Cγγ 0 − A0 (βγ 0 + β 0 γ) − B 0 (αγ 0 + α0 γ) − C 0 (αβ 0 + α0 β) (4.7.13)
Se i due piani π e π 0 non sono perpendicolari, la determinazione del momento di
deviazione del sistema S rispetto ai due piani non è cosı̀ immediata. Infatti, se û =
(α, β, γ) e û0 = (α0 , β 0 , γ 0 ) sono i versori normali a due piani π e π 0 non perpendicolari tra
loro, si ha:
"
0
0
n̂ · [σΩ n̂] = n̂ · −
n
X
#
ms ΩPs ∧ (ΩPs ∧ n̂) = −
s=1
n
X
ms n̂0 · [ΩPs ∧ (ΩPs ∧ n̂)]
s=1
che si può scrivere, calcolando il doppio prodotto vettoriale:
0
n̂ · [σΩ n̂] = −
n
X
h
i
ms (ΩPs · n̂)(ΩPs · n̂0 ) − |ΩPs |2 n̂ · n̂0 =
s=1
=−
n
X
ms (ΩPs · n̂)(ΩPs · n̂0 ) −
s=1
n
X
ms |ΩPs |2 n̂ · n̂0
s=1
Ricordando la definizione (4.6.9) di momento di deviazione rispetto a due piani e la
definizione (4.6.11) di momento polare, si deduce subito:
In̂n̂0 = −n̂0 · [σΩ n̂] − IΩ n̂ · n̂0
114
(4.7.14)
ASSI PRINCIPALI ED ASSI CENTRALI D’INERZIA
La matrice σΩ è reale e simmetrica. Questa proprietà ci consente di affermare che esiste
una base ortonormale (cioè un sistema di riferimento con origine in Ω) rispetto alla quale
essa assume la seguente forma diagonale:


A 0 0


σΩ =  0 B 0 
0 0 C
(4.7.15)
Questa base ortonormale è costituita dagli autovettori di σΩ relativi ai suoi tre autovalori
(reali) A, B, C. Denoteremo con i1 , i2 , i3 gli autovettori di σΩ di modulo unitario.
Gli assi del riferimento {Ω, i1 , i2 , i3 }, che distingueremo dagli assi della generica terna
solidale indicandoli con ξ, η, ζ, sono chiamati assi principali d’inerzia relativi ad Ω, e
gli elementi non nulli A, B, C di σΩ sono i momenti principali d’inerzia rispetto agli
assi ξ, η, ζ. Essi sono ancora definiti dalle (4.7.7), che ora si scrivono:
A=
n
X
s
ms (ηs2 + ζs2 ),
B=
n
X
s
ms (ξs2 + ζs2 ),
C=
n
X
s
ms (ξs2 + ηs2 ).
(4.7.16)
mentre le (4.7.9) diventano:
A0 =
n
X
ms ηs ζs = 0,
s
B0 =
n
X
ms ξs ζs = 0,
C0 =
s
n
X
ms ξs ηs = 0.
(4.7.17)
s
Se ne conclude che nel sistema di riferimento costituito dalla terna principale {Ω, ξ, η, ζ},
che prende il nome di riferimento principale d’inerzia, si annullano tutti i momenti
di deviazione.
La formula (4.7.11) che fornisce l’espressione del momento d’inerzia rispetto ad una
retta passante per Ω e la formula (4.7.13) che fornisce l’espressione del momento di deviazione rispetto a piani passanti per Ω perpendicolari tra loro, quando si sceglie come
riferimento il riferimento principale d’inerzia, si scrivono semplicemente:
Ir = Aα2 + Bβ 2 + Cγ 2
(4.7.18)
−In̂n̂0 = Aαα0 + Bββ 0 + Cγγ 0
(4.7.19)
Il tensore d’inerzia relativo al baricentro G del sistema S prende in nome di tensore centrale d’inerzia, il riferimento con origine in G rispetto al quale la matrice
delle componenti del tensore centrale d’inerzia assume forma diagonale prende il nome di
riferimento centrale d’inerzia, gli assi di questo riferimento si chiamano assi centrali
d’inerzia ed infine i momenti d’inerzia del sistema S rispetto agli assi centrali d’inerzia
si chiamano momenti centrali d’inerzia.
ELLISSOIDE D’INERZIA
Il tensore d’inerzia (4.7.2) è suscettibile di una utile interpretazione geometrica.
A tale scopo si consideri la formula (4.7.3) che fornisce la legge di variazione del momento d’inerzia rispetto alle rette passanti per Ω e si cerchi il luogo dei punti L = (x, y, z)
115
della generica retta r, passante per Ω, la cui distanza da Ω sia inversamente proporzionale
alla radice quadrata del momento d’inerzia, cioè tali che:
s
|ΩL| =
1
.
Ir
(4.7.31)
Detto u il versore della retta r si ha:
s
ΩL =
1
u
Ir
q
o anche
u=
Ir ΩL;
(4.7.32)
sostituendo quest’espressione nella (4.7.28) si ricava Ir = Ir ΩL · [σΩ ΩL].
L’equazione del luogo cercato è quindi la quadrica:
ΩL · [σΩ ΩL] = 1
(4.7.33)
FIGURA 4.7.2
In un riferimento {Ω, xyz} la (4.7.33) si scrive:
Ax2 + By 2 + Cz 2 − 2A0 yz − 2B 0 xz − 2C 0 xy = 1
(4.7.34)
Poichè la matrice d’inerzia è simmetrica e definita positiva, quest’equazione rappresenta
un ellissoide di centro Ω, chiamato ellissoide d’inerzia del sistema relativo al punto
Ω. Anch’esso è completamente individuato dalla matrice d’inerzia σΩ , e nel sistema di
riferimento solidale costituito dagli assi principali d’inerzia ξ, η, ζ la sua equazione si riduce
alla forma canonica:
Aξ 2 + Bη 2 + Cζ 2 = 1
(4.7.35)
dove A, B, C sono i momenti principali d’inerzia relativi ad Ω.
116
SIMMETRIE. GIROSCOPI.
Se i momenti principali d’inerzia rispetto a due assi di simmetria dell’ellissoide sono uguali,
allora l’ellissoide d’inerzia è di rotazione attorno al terzo asse principale, e il sistema
materiale si definisce a struttura giroscopica rispetto al punto Ω. Se tutti e tre i
momenti
q principali d’inerzia sono uguali, l’ellissoide d’inerzia è la sfera di centro Ω e
raggio 1/Ir .
Se Ω coincide con il baricentro G del sistema, l’ellissoide relativo a G è chiamato
ellissoide centrale d’inerzia, i suoi assi di simmetria sono gli assi centrali d’inerzia
e i momenti A, B, C rispetto a tali assi sono i momenti centrali d’inerzia del sistema.
Se i momenti centrali d’inerzia rispetto a due assi di simmetria dell’ellissoide sono uguali,
allora l’ellissoide d’inerzia è rotondo, e il sistema materiale prende il nome di giroscopio.
Le proprietà dell’ellissoide d’inerzia sono legate all’esistenza di simmetrie nel sistema
materiale. L’individuazione di un piano di simmetria per il sistema materiale consente
spesso di determinare con facilità i momenti principali d’inerzia.
In particolare, valgono le seguenti proprietà, di facile verifica:
PROPRIETÀ 1. Se il sistema ammette un piano di simmetria π, la retta normale a π
passante per ogni suo punto Ω è asse principale d’inerzia relativo ad Ω.
PROPRIETÀ 2. Se il sistema ammette due piani di simmetria π1 e π2 perpendicolari fra
loro, la retta intersezione dei due piani è asse principale d’inerzia relativo ad ogni suo
punto A. Gli altri due assi principali d’inerzia relativi a tale punto A sono le due rette,
appartenenti a π1 e a π2 , normali alla retta intersezione dei due piani, passanti per A.
PROPRIETÀ 3. Se il sistema ammette due piani di simmetria non perpendicolari fra
loro, il sistema è a struttura giroscopica rispetto ad ogni punto A della retta intersezione
dei due piani.
TEOREMI DI TRASPOSIZIONE
TEOREMA DI TRASPOSIZIONE PER IL TENSORE D’INERZIA
In questo paragrafo determineremo la legge di variazione del tensore d’inerzia σΩ (e quindi
in particolare dei momenti d’inerzia e dei momenti di deviazione) al variare del polo.
Consideriamo in particolare il tensore d’inerzia del sistema S relativo al suo baricentro,
detto tensore centrale d’inerzia. Esso è per definizione l’applicazione (lineare) che
P
associa al vettore u il vettore − ns=1 ms GPs ∧ (GPs ∧ u):
σG
:
u
−→
−
n
X
ms GPs ∧ (GPs ∧ u)
(4.7.39)
s=1
e scriveremo
σG = −
n
X
ms (GPs ∧)2
s=1
117
(4.7.40)
Determiniamo il legame tra i due tensori σΩ e σG . Calcoliamo σΩ u; si ha:
σΩ u = −
n
X
ms ΩPs ∧(ΩPs ∧u) = −
s=1
=−
n
X
n
X
ms (ΩG+GPs )∧[(ΩG+GPs )∧u] =
s=1
ms {GPs ∧(GPs ∧u)+ΩG∧(ΩG∧u)+ΩG∧(GPs ∧u)+GPs ∧(ΩG∧u)} (4.7.41)
s=1
Otteniamo la somma di quattro addendi, che studiamo separatamente. Si ha
−
n
X
ms GPs ∧ (GPs ∧ u) = σG u
−
s=1
n
X
ms ΩG ∧ (ΩG ∧ u) = −m(ΩG∧)2 u (4.7.42)
s=1
come si vede, la prima sommatoria è proprio il tensore d’inerzia relativo al baricentro
applicato al vettore u; la seconda sommatoria rappresenta il tensore d’inerzia, relativo al
punto Ω, che competerebbe al sistema costituto da un solo punto materiale, il baricentro,
in cui si immagina conentrata l’intera massa del sistema. Infine, le altre due sommatorie
risultano nulle,
−
n
X
ms ΩG ∧ (GPs ∧ u) = 0
−
s=1
n
X
ms GPs ∧ (ΩG ∧ u) = 0
s=1
P
in quanto, per definizione di baricentro, si ha ns=1 ms GPs = 0.
Concludendo, abbiamo ottenuto il seguente legame:
σΩ = σG − m(ΩG∧)2
(4.7.43)
Questa formula costituisce il teorema di trasposizione per il tensore d’inerzia, che
si enuncia: Il tensore d’inerzia di un sistema materiale rispetto ad un generico punto Ω è
dato dalla somma del tensore d’inerzia del sistema materiale rispetto al baricentro e del
tensore d’inerzia che competerebbe al baricentro qualora in esso fosse concentrata tutta la
massa del sistema.
Dalla (4.7.43) si deducono immediatamente i teoremi di trasposizione per il momento
d’inerzia e per i momenti di deviazione; per ottenerli basta infatti considerare le componenti, in un generico riferimento, dei due membri della (4.7.43).
Si ottengono cosı̀ i seguenti teoremi:
Teorema di trasposizione per il momento d’inerzia o teorema di Huygens:
Il momento d’inerzia di un sistema materiale rispetto ad una generica retta a è dato dalla
somma del momento d’inerzia del sistema materiale rispetto ad una retta aG , parallela
alla retta a, passante per il baricentro, e del momento d’inerzia, rispetto alla retta a, che
competerebbe al baricentro qualora in esso fosse concentrata tutta la massa del sistema.
Denotata con d la distanza tra le due rette a e aG , otteniamo:
Ia = IaG + md2
118
(4.7.44)
Teorema di trasposizione per i momenti di deviazione.
Il momento di deviazione di un sistema materiale rispetto a due piani π1 e π2 tra di
loro perpendicolari è dato dalla somma del momento di deviazione del sistema materiale
(G)
(G)
rispetto a due piani π1 e π2 , paralleli rispettivamente ai piani π1 e π2 e passanti per il
baricentro, e del momento di deviazione (rispetto ai due piani π1 e π2 ) che competerebbe
al baricentro qualora in esso fosse concentrata tutta la massa del sistema.
Denotate con d1 e d2 le distanze (con segno) di G dai due piani π1 e π2 , otteniamo:
Iπ1 π2 = Iπ(G) π(G) + md1 d2
1
2
119
(4.7.45)
4.9. TENSORE D’INERZIA PER I SISTEMI PIANI
Se il sistema materiale è piano, il piano che lo contiene è un piano di simmetria, pertanto
la retta normale al piano e passante per un suo punto qualsiasi Ω è asse principale d’inerzia
relativo ad Ω. In tal caso, il momento principale d’inerzia rispetto a questa retta normale
si denota con IΩ (senza indicare l’asse normale al piano del moto).
Inoltre, il momento d’inerzia IΩ è la somma dei momenti d’inerzia del sistema piano
rispetto a due assi ortogonali passanti per Ω e contenuti nel piano del sistema.
Scegliamo il piano π che contiene del sistema S come piano x, y e sia O un qualunque
punto di π. Sia z l’asse passante per Ω ortogonale al piano π e chiamati x e y due assi
ortogonali a z uscenti da Ω, si ha:
A = Ix =
n
X
mi yi2 ,
B = Iy =
i=1
n
X
mi x2i ,
i=1
C = Iz =
n
X
mi (x2i + yi2 ),
(4.9.1)
i=1
e quindi Iz = Ix + Iy . Inoltre si ha:
A0 =
n
X
i=1
mi yi zi = 0,
B0 =
n
X
mi xi zi ,
C 0 = Jxy =
i=1
n
X
m i xi y i
(4.9.2)
i=1
Pertanto le componenti del tensore d’inerzia di un sistema piano, nel riferimento
{O; xyz} sono:


Ix −Jxy 0
Iy
0 
σΩ = 
(4.9.3)
 Jxy

0
0
Iz
Il momento d’inerzia del sistema rispetto ad una retta r passante per Ω di versore u =
(α, β, γ) è:
Ir = Aα2 + Bβ 2 + (A + B)γ 2 − 2C 0 αβ
(4.9.4)
e l’equazione dell’ellissoide d’inerzia relativo al punto O si scrive:
Ax2 + By 2 + (A + B)z 2 − 2C 0 xy = c
(4.9.4a)
ESERCIZIO
Si consideri il sistema piano costituito da 5 punti collegati rigidamente tra di loro, le cui
coordinate, nel riferimento di figura, sono:
P1 ≡ (0, 0), P2 ≡ (l, 0), P3 ≡ (2l, l), P4 ≡ (0, 2l), P5 ≡ (−l, l).
Le masse di P1 , P2 , P3 e P4 sono tutte uguali ad m, la massa di P5 è scelta in modo tale
che il riferimento {c1 , c2 , c3 } sia un riferimento principale d’inerzia per il sistema relativo
ad O. Determinare il tensore d’inerzia del sistema relativo al suo baricentro.
120
ELEMENTI DI GEOMETRIA DELLE AREE
In questo paragrafo considereremo sistemi piani omogenei e supporremo unitaria la loro
densità. Parleremo di sistemi piani o di figure (aree) piane.
Nello studio di tali sistemi è sufficiente considerare la restrizione del tensore d’inerzia
σO ai vettori del piano π. Si verifica infatti facilmente che se S è un sistema piano, che
giace su π, l’operatore d’inerzia ad esso associato σO , con O punto qualsiasi del piano π,
trasforma vettori appartenenti a π in vettori appartenenti ancora a π. Infatti, scelto il
piano π come piano x, y, preso un qualunque vettore v = (v1 , v2 , 0), si ha:

Ix −Jxy

Iy
σO v =  −Jxy
0
0




0
v1
Ix v1 − Jxy v2



0   v2  =  −Jxy v1 + Iy v2 

Iz
0
0
(4.9.5)
La matrice delle componenti di σO si scrive semplicemente:
"
σO =
Ix −Jxy
−Jxy
Iy
#
(4.9.5a)
Il momento d’inerzia del sistema rispetto ad una retta r passante per Ω di versore
u = (α, β) è:
Ir = u · (σO u) = Ix α2 + Iy β 2 − 2Jxy αβ
(4.9.4a)
ELLISSE D’INERZIA
Fissato un punto O del piano (x, y) e fissata una costante positiva c, il luogo dei punti L
del piano tali che risulti:
OL · (σO OL) = c
(4.9.6)
prende il nome di conica indicatrice associata all’endomorfismo simmetrico σO .
Come già visto nel caso dei sistemi spaziali, i punti L che appartengono a questo luogo
sono legati al momento d’inerzia del sistema Ir rispetto alla retta r dalla relazione:
|OL|2 Ir = c
(4.9.7)
Determiniamo l’equazione cartesiana di questo luogo. Posto OL = (x, y) e ur = (α, β), e
sostituendo nella (4.9.6), si ottiene:
Ix x2 + Iy y 2 − 2Jxy xy = c
(4.9.8)
Fissato un valore per la costante c tale luogo è una conica (anzi è un’ellisse, poichè
essendo Ir sempre diverso da zero i punti L sono tutti al finito), che prende il nome di
ellisse d’inerzia, relativa al punto O, dell’area piana A. Come si verifica immediatamente,
tale ellisse è l’intersezione dell’ellissoide d’inezia di equazione (4.9.4) con il piano π di
equazione z = 0.
Se scegliamo come assi del riferimento proprio gli assi principali d’inerzia passanti per
O, denotati con X e Y tali assi, poichè in questo caso il momento di deviazione JXY è
121
zero, l’equazione dell’ellisse d’inerzia si scrive:
IX X 2 + IY Y 2 = c
(4.9.9)
essendo IX e IY i momenti principali d’inerzia del sistema relativi ad O.
Ricordando la definizione di raggio d’inerzia ρr , ed indicando con ρX e ρY i raggi
d’inerzia relativi agli assi principali d’inerzia X e Y (i raggi principali), l’equazione
dell’ellisse d’inerzia si scrive:
c
ρ2X X 2 + ρ2Y Y 2 = .
(4.9.10)
A
Al variare di c otteniamo tante ellissi simili tra loro. Nello studio della Scienza delle
Costruzioni ha particolare importanza un’ellisse d’inerzia, detta ellisse di Culmann, che
si ottiene ponendo nella (4.9.10):
c = A ρ2X ρ2Y
(4.9.11)
Con questa scelta della costante c l’equazione dell’ellisse d’inerzia di Culmann si scrive in
forma canonica:
X2 Y 2
+ 2 =1
(4.9.12)
ρ2Y
ρX
Si verifica in particolare la seguente importante proprietà: Il raggio d’inerzia relativo
ad un diametro dell’ellisse d’inerzia è uguale alla lunghezza del semidiametro coniugato.
FIGURA 4.9.1
DETERMINAZIONE DEGLI ASSI PRINCIPALI D’INERZIA
Sia dato il tensore d’inerzia σO , e sia
"
σΩ =
Ix −Jxy
−Jxy
Iy
#
(4.9.5)
la sua matrice d’inerzia in un dato riferimento, con origine in O. Vogliamo determinare
gli assi principali d’inerzia passanti per O. Dobbiamo cioè determinare (nel piano (x, y))
una coppia di assi, perpendicolari tra loro, rispetto ai quali la matrice delle componenti
σO assume forma diagonale.
Detti ξ, η questi assi e i1 e i2 i rispettivi versori, deve risultare:
Jξη = i1 · (σi2 ) = 0
122
(∗)
detto α è l’angolo che l’asse principale ξ forma con l’asse x, è
i1 = (cos α, sin α)
i2 = (− sin α, cos α)
conseguentemente la condizione (*) si scrive:
"
− sin α
cos α
Jξη =
#"
Ix −Jxy
−Jxy
Iy
#"
#
cos α
sin α
=0
(Iy − Ix ) sin α cos α − 2Jxy (cos2 α − sin2 α) = 0
e quindi
2Jxy
Iy − Ix
tan 2α =
DIREZIONI CONIUGATE DELL’ENDOMORFISMO D’INERZIA
Dato un endomorfismo simmetrico, ad esempio il tensore d’inerzia σO , prendono il nome
di direzioni coniugate dell’endomorfismo due direzioni, individuate dai versori u e
u0 , tali che
u · σO u0 = u0 · σO u = 0
(4.9.13)
La corrispondenza che associa ad ogni direzione u la direzione u0 ad essa coniugata prende
il nome di involuzione delle direzioni coniugate.
In componenti, posto u = (α, β) e u0 = (α0 , β 0 ), la (4.9.13) si scrive:
Ix αα0 − Jxy (αβ 0 + α0 β) + Iy ββ 0 = 0.
(4.9.14)
ASSI A MOMENTO DI DEVIAZIONE NULLO
Dato il tensore d’inerzia σO , ha interesse determinare le coppie di assi uscenti per O,
rispetto alle quali il momento di deviazione del sistema S si annulla.
Siano dunque ξ e ξ 0 due rette uscenti da O, denotiamo con û e û0 i versori normali
rispettivamente a ξ e a ξ 0 . Si ha:
J
ξξ 0
=
n
X
0
ms [OPs · û][OPs · û ] =
s=1
n
X
ms δs δs0 ,
(4.9.15)
s=1
dove abbiamo indicato con δs e δs0 le distanze (con segno) del punto Ps dagli assi ξ e ξ 0 .
Ma si ha anche, detti n̂ e n̂0 i versori normali a û e û0 :
"
0
0
n̂ · [σO n̂] = n̂ · −
n
X
#
ms OPs ∧ (OPs ∧ n̂) = −
s=1
=−
n
X
n
X
ms n̂0 · [OPs ∧ (OPs ∧ n̂)] =
s=1
0
ms (OPs ∧ û) · (û ∧ OPs ) = −
s=1
n
X
s=1
123
ms δs δs0
(4.9.16)
confrontando con la (4.9.15) si ottiene infine:
Jξξ0 = −n̂0 · [σO n̂]
(4.9.17)
Vediamo cosı̀ che il momento di deviazione di un sistema materiale rispetto a due assi
uscenti da O si annulla se e solo se i versori normali a questi assi sono direzioni coniugate
per l’endomorfismo d’inerzia σO .
124

APPUNTI DI MECCANICA RAZIONALE Maria Stella Mongiov`ı

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