Somma e differenza mediante i versori i e j
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Somma e differenza mediante i versori i e j
Somma e differenza mediante i versori i e j οΏ½β e οΏ½πβ due vettori non collineari e tali da avere l'origine O in comune con |a| = OA e |b| = OB. Siano π Possiamo pertanto esprimere un qualsiasi vettore del piano come in figura πβ = πβπ₯ + πβπ¦ οΏ½οΏ½β=a π x π€β + ay π₯β cx=ax+bx cy=ay+by οΏ½β e i vettori cxi e cyj come i e identificare la coppia (ax; ay) come le componenti cartesiane di π οΏ½β. vettori componenti cartesiani del vettore π Quanto detto ha notevole importanza è possiamo in base a ciò considerare il seguente esempio. οΏ½οΏ½βun vettore somma π οΏ½β = π οΏ½β + οΏ½πβ con a = axi + ay j e b = bxi + by j Sia π οΏ½β = π οΏ½β + οΏ½πβ = ax i + ay j + bx i + by j π οΏ½οΏ½β π = ( ax + bx ) i + ( ay +by) j Differenza tra due vettori mediante i versori πβ e πβ L'origine comune dei versori |a|=OA ,|b|= OB ;c=OC . οΏ½β e οΏ½πβ Dati i due vettori π οΏ½οΏ½οΏ½β= 2 i + 4 j π οΏ½οΏ½οΏ½β= 2i β 4 j π οΏ½β è dato da Il vettore π οΏ½β =2i +4j β 2i +4j=4i οΏ½β=π οΏ½β+π π οΏ½β=2i-4j-(2i+4j=2i-4j-2i-4j=8j οΏ½β=π οΏ½β β π π οΏ½β= - 4 i + 2 j οΌ Esercizio π 4j οΏ½β = π οΏ½β + οΏ½πβ Calcolare π οΏ½β βπ οΏ½β= π οΏ½β- οΏ½πβ π οΏ½β = 2i β π οΏ½β= οΏ½πβ π Possiamo determinare il vettore R con il metodo del poligono funicolare traslando ogni vettore e ponendoli uno consecutivamente allβaltro possiamo ottenere R unendo lβorigine con il punto estremo. Esercizio:Dati i vettori a e b calcolare il loro prodotto vettoriale Si può ottenere lo stesso risultato graficamente οΏ½β οΏ½π© οΏ½β si può calcolare π οΏ½β=AxB mediante una matrice Dati i vettori οΏ½π¨ οΏ½οΏ½οΏ½β π=Bxi +Byj +Bzk οΏ½β= Ax i + Ay j +Az k π οΏ½β x οΏ½πβ si può ottenere considerando la seguente matrice di valori Analiticamente il prodotto vettoriale π i οΏ½οΏ½οΏ½βx οΏ½πβ = π j k Ax Ay Bz Bx By Bz Il modulo di |a x b| è lβarea del parallelogramma con lati a ,b οΏ½β x π οΏ½οΏ½β= | b| |c| k π οΏ½β x οΏ½πβ = - | c| |b| k π οΏ½β x π οΏ½β = | c| |a| i π οΏ½β x π οΏ½β = - | a| |c| i π Proprietà del prodotto vettoriale i x i =j x j= k x k =0 i x j= k jxk=i j J kxi=j i jxi= -k k kxj= -i ix k=-j j i k οΏ½β= π οΏ½β x οΏ½πβ = | a| |b| j π οΏ½β x π οΏ½β= π οΏ½οΏ½οΏ½β= - | a| |b| j π Esercizi : Dati i due vettori a e b determinare il prodotto vettoriale a x b οΏ½β= 1 i + 2j +3k π οΏ½οΏ½οΏ½β π= 2 i + 1j + 1k i οΏ½β = οΏ½β x π π 1 2 j k 2 3 1 = 1 a x b = 1 * 2*i + 2 *3 j + 1 *1 * k β 2 * 2 *k β 1 * 1 j β 1*3 *i=-1*i +5*j β3*k axb οΏ½β= 1 i + 2j +3k π οΏ½οΏ½οΏ½β π= 2 i + 1j + 1k οΏ½β=-1 i + 5 j β 3k π