1. Calcolo vettoriale Definizioni elementari Definito un sistema di

1. Calcolo vettoriale
Definizioni elementari
r
Definito un sistema di riferimento cartesiano xyz, un vettore generico a si esprime secondo
le sue componenti ax,y,z:
r
r
v
r
a = ax i + ay j + az k
r r v
essendo i , j , k versori (cioè vettori di modulo unitario) diretti secondo x, y, z.
z
k
az
ax
x
i
a
ay
y
j
Mentre in molti libri di testo i vettori vengono indicati con caratteri in neretto (esempio:
a=axi+ayj+azk), per essere il più possibile espliciti in questi appunti si è scelto di indicare il
carattere vettoriale di una grandezza mettendole una freccina sopra.
NOTA: per evitare pericolose confusioni durante i calcoli e anche nell’impostazione di
esercizi, è essenziale distinguere i vettori da grandezze scalari (semplici numeri), indicando i
r
vettori o con la freccina ( a ) o con una sottolineatura (a).
r
r
2
2
2
Il modulo (cioè la “lunghezza”) del vettore a è dato da a = a = a x + a y + az . È evidente
r
che scrivere “a” non è la stessa cosa che scrivere a o a !!!
Operazioni fra vettori
r
r
r
r r
Somma: a + b = (ax + bx ) i + (ay + by ) j + (az + bz ) k
r
r
r
r
Moltiplicazione per uno scalare (numero) “c”: c a = c ax i + c ay j + c az k
r
r
r r
v r r r
r r
r
Esempio: se a = 2 i j + k , b = 2 j 3k , si può calcolare 2 a + b = 4 i k .
r r
Prodotto scalare: a • b = ax bx + ay by + az bz
r
i
r r
Prodotto vettoriale: a b = a x
bx
r
j
ay
by
r
k
r
r
r
az = ( ay bz azby ) i (ax bz az bx ) j + ( ax by a ybx ) k
bz
Si noti che la definizione di prodotto vettoriale conduce a un calcolo formalmente analogo a
quello del determinante di una matrice 3x3. Siccome nella prima riga ci sono i versori
anzichè dei numeri, si parla di pseudo-determinante.
NOTA: Nel prodotto vettoriale, scambiando i fattori il risultato cambia segno! Più avanti nel
corso, fare molta attenzione a scrivere le definizioni di momento (di una forza e della quantità
di moto) nell’ordine corretto!!!
Significato “fisico” delle operazioni “prodotto scalare e vettoriale”
r
r
r
r
r
Consideriamo per semplicità a = ai (vettore orientato come l’asse x) e b = bx i + by j .
Questa semplificazione non fa perdere generalità al risultato perchè due vettori individuano
un piano, quindi si può sempre scegliere un sistema cartesiano xyz che contenga i vettori nel
piano xy.
r r
Dalla definizione di prodotto scalare si ottiene a • b = abx = ab cos , che evidentemente non
contiene informazioni sul sistema di riferimento assunto, ma solo sulla disposizione relativa
dei due vettori (loro lunghezze e angolo che formano).
Nota: l’angolo nel disegno è evidentemente quello necessario a ruotare un vettore per
allinearlo con l’altro.
Il prodotto scalare si interpreta anche come “la lunghezza di un vettore per la proiezione
dell’altro sul primo”. Fisicamente l’operazione si usa per quantificare l’effetto che ha un
vettore (una forza, ad esempio) nella direzione che caratterizza un altro vettore (la velocità,
secondo l’esempio scelto: questa è la base del concetto di lavoro).
r
r
r r
Applicando la definizione di prodotto vettoriale si ottiene invece a b = aby k = absin k .
Anche in questo caso il risultato dipende solo dalla disposizione relativa dei vettori e non
dalla scelta del sistema di riferimento. Si è ottenuta quindi un’altra ricetta per il calcolo del
prodotto vettoriale, comoda da applicare in molte situazioni:
r r
Il prodotto vettoriale a b ha per componente il prodotto dei moduli ab per il seno
r r
dell’angolo compreso, ed è diretto ortogonalmente al piano individuato da a e b . L’angolo
r
r
compreso è quello minimo per ruotare a in modo da allinearlo a b , e si misura positivo in
senso antiorario (verso indicato sul disegno).
In altro modo: il verso è quello del pollice della mano destra quando le dita indicano il verso
r
r
della rotazione (nel piano dei vettori) del primo vettore ( a ) verso il secondo ( b ), nel senso in
cui si descrive l’angolo minimo. Attenzione all’ordine dei fattori!
Fisicamente, il prodotto vettoriale si usa per esprimere l’efficacia di un vettore a produrre una
r
rotazione in un piano. Per esempio, se b fosse una forza applicata ad un’asta orientata come
r
a e imperniata nell’origine O, tenderebbe a far ruotare l’asta nel piano xy attorno all’asse z
(asse di rotazione). L’effetto sarebbe massimo per =±90°, e minimo per =0° o 180° (forza
parallela all’asta).
r
r r
i j k
r
r
r r r
r
r
v r r r
r r
r
Esempio: a = 2 i j + k , b = 2 j 3k . a • b = 5 , a b = 2 1 1 = i + 6 j + 4 k
0 2 3
Altre proprietà utili (facili da dimostrare):
r r r r
r r r
a • b +c = a•b + a•c
(
)
r r r r
r r r
a b +c = a b +a c
(
)