scheda vettori

A) Il vettore nel riferimento cartesiano
r
r
r
Dato un vettore nel piano, per componenti cartesiane a = a xi + a y j , ricorda che è possibile calcolare il modulo e
l’angolo che il vettore forma con l’asse delle x, sfruttando rispettivamente il teorema di Pitagora e le relazioni
trigonometriche:
modulo
r
a = a x2 + a 2 y
angolo
α = tan −1
ay
α
ay
ax
ax
E’ possibile anche fare il contrario, noti modulo e angolo, sempre sfruttando le relazioni goniometriche si possono
trovare le componenti cartesiane ( attenzione, in questo caso l’angolo da considerare è quello che il vettore forma
con il semiasse positivo delle ascisse)
a
r
a x = a cos α
y
r
a y = a sin α
ay
ax
ϑ
ϑ
a
ϑ
ay
ax
x
B) Le operazioni tra vettori per componenti
r
r r
r
r
r
Dati due vettori per componenti a = a xi + a y j e b = bx i + by j ricorda che valgono le seguenti relazioni:
somma algebrica
Prodotto scalare
Prodotto vettoriale
Prodotto tra uno scalare
un vettore
e
r
r
r r
a ± b = (a x ± bx )i + (a y ± by ) j
r r
a ⋅ b = a xbx + a yby
r
r r
a ∧ b = (a xby − a y bx )k
r
r
r
ha = ha x i + ha y j

Angolo tra i due vettori
Vettore
Scalare
Vettore
vettore


α = cos 

 a x2 + a 2y ⋅ b x2 + b y2 


−1 
a x bx + a y b y
Angolo
C) Le operazioni tra vettori noti moduli e direzioni
somma algebrica
Prodotto scalare
Prodotto vettoriale
Prodotto tra uno
scalare e un vettore
1
Graficamente: regola del parallelogrammo o della poligonale
Numericamente: eccetto i casi particolari, si utilizzano le
componenti cartesiane
r r r r
a ⋅ b = a b cos α
r r
Modulo: a b sin α
Vettore
Scalare
r
r
Direzione: perpendicolare al piano individuato da a e b
Verso: regola della mano destra
r
Modulo: h a
Vettore
r
Direzione: del vettore a
r
r
Verso: del vettore a se h è positivo, opposto ad a se h è
negativo
vettore
I vettori
A) Il vettore nel riferimento cartesiano
Rappresenta i seguenti vettori in un riferimento cartesiano e determina il modulo e l’angolo formato con
l’asse x.
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
3r 7 r
3r
1) a = 3i + 4 j ; 2) b = −i + 6 j ;
5) e =
3) c = 2i − 2 j ;
4) d = − i − j
i + 3j
2
4
3
Determina le componenti cartesiane dei seguenti vettori e scrivi i vettori per componenti:
r
a =5
ϑ = 50°
r
a =5 x
r
a =5
y
ϑ = 50°
ϑ = 50°
ϑ = 50°
r
a =5
y
x
B) Le operazioni tra vettori per componenti.
Dati i seguenti vettori per componenti, rappresentali in un riferimento cartesiano e calcola e rappresenta
(quando ha senso) quanto richiesto:
r
r r
r
r
r
r r
r r
r r
r r
1) Dati a = 2i + 3 j b = 4i − 2 j trova a + b ;
a −b;
a ⋅b ;
a ∧b
r
r r
r
r
r
r r
r r
r r
r r
2) Dati a = 3i + 2 j b = 2i − 3 j trova a + b ;
a −b;
a ⋅b ;
a ∧b
r
r
r
r
r
r
r
r r
b = 4i + 3 j trova a ; b ;
a ⋅b ;
angolo tra i due vettori
3) Dati a = −2i
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
4) Dati a = −4i + 3 j b = −i − j
trova a ; b ;
a ⋅b ;
angolo tra i due vettori
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r r
5) Dati a = 5i + j
b = 10i + 2 j trova 2a − b ;
a − 2b ;
a ∧b
r
r
r
r r
r r r
r r r
6) Dati a = i + 3 j
b = 2j
trova a ∧ b + k ;
a ∧b +a
C) Le operazioni tra vettori noti moduli e direzioni
Considera due vettori di moduli 2 e 4, posti come nelle figure sotto; calcola e rappresenta somma,
differenza e prodotto vettoriale.
2
1
60°
5
2
3
60°
6
4
30°
7
30°
8
I vettori