1 Prodotto vettoriale

1
Prodotto vettoriale
Dal momento che faremo uso massiccio del prodotto vettoriale tra due vettori facciamo
un riassunto dell’argomento. Dati due vettori u e v nello spazio, si chiama prodotto
vettoriale il vettore A che abbia le seguenti caratteristiche:
1) sia ortogonale ai due vettori u e v;
2) sia orientato in modo che i tre vettori u, v, A presi in quest’ordine,
formino una terna destra;
3) abbia modulo uguale all’area del parallelogramma formato dai due vettori.
Si scriverà
def
A = u×v
(1)
La lettera A è stata usata per mettere in evidenza che questo vettore ha come modulo
l’area del parallelogramma. Di qui ne viene che il prodotto vettoriale di due vettori
paralleli è nullo.
Dal momento che il vettore v si può decomporre in una
z
z
~v
~k
~
A
~
A
~β
L
~j
~i
~u
h
y
x
j
x
~
L
α
y
i
Figura 1: (sinistra) Il prodotto vettoriale di due vettori.(destra) L’area di un
triangolo è uguale alla metà del prodotto vettoriale dei vettori dei lati.
componente v ⊥ perpendicolare ad u ed una componente v k parallela ad u, con
riferimento alla fig. (??) si può scrivere:
A = u×v ≡ u×(v ⊥ + v k ) ≡ u×v ⊥
def
(2)
Geometricamente questo significa che l’area di un parallelogramma è uguale a quella
di un rettangolo che ha la stessa base e la stessa altezza, cosa ben ovvia.
Dalla definizione dedurremo le le tre proprietà: emisimmetrica, omogenea e di-
1
~
2A
~
A
~v
~v
~v
~u
~u
~
−A
2 ~u
Figura 2: Proprietà emisimmetrica e omogenea del prodotto vettoriale di due
vettori.
~v ⊥
~v
~v ⊥
~v
~u
~v
k
~u
Figura 3: Un parallelogramma ed il rettangolo equivalente.
2
~u
stributiva:
v×u = −u×v
proprietà di emisimmetria
(λu)×v = λ(u×v)
proprietà omogenea
(u1 + u2 )×v = u1 ×v + u2 ×v proprietà distributiva
(3)
Le prime due proprietà sono ovvie. Per dimostrare la terza proprietà, quella distributiva, partiamo dalla relazione (2) e facciamo riferimento alla figura (4). Indicato
con v ⊥ un vettore perpendicolare al piano di u1 e u2 avremo
(u1 + u2 )×v ≡ (u1 + u2 )×v ⊥
(4)
D’altro canto i due vettori
A1 = u1 ×v ⊥
A2 = u2 ×v ⊥
e
(5)
essendo rispettivamente perpendicolari ad u1 ed u2 formano fra loro lo stesso angolo
formato tra i due vettori u1 ed u2 . Ciascuno di essi poi giace nello stesso piano di u1
ed u2 . I loro moduli sono A1 = u1 v ⊥ e A2 = u2 v ⊥ , dunque proporzionali ai moduli
~v ⊥
~u
~v
~u2
~u1
~2
A
~1
A
~
A
Figura 4: La proprietà distributiva del prodotto vettoriale.
u1 ed u2 rispettivamente. Ne viene che il parallelogramma da essi formato è simile a
quello formato dai vettori u1 ed u2 . Quindi la diagonale del parallelogramma A1 , A2
sta nella stessa proporzione con la diagonale del parallelogramma u1 , u2 vale a dire
A = u v ⊥ . Ne viene
u1×v+u2×v ≡ u1×v ⊥ +u2×v ⊥ = A1 +A2 = A = u×v ⊥ = (u1 +u2 )×v ⊥
q.e.d. (6)
Stabilita la definizione e le proprietà vediamo come si possano esprimere le componenti cartesiane del prodotto vettoriale A in termini delle componenti cartesiane
dei vettori u e v. Essendo
u = ux i + u y j + u z k
v = vx i + vy j + vz k
3
(7)
si possono utilizzare le proprietà distributiva e quella omogenea nonché le relazioni
i×j = k
j×i = −k
j×k = i
k×j = −i
k×i = j
i×k = −j
(8)
per scrivere


A













def
=
≡
≡
≡
=
u×v
(ux i + uy j + uz k)×(vx i + vy j + vz k)
+ux i×(vx i + vy j + vz k) + uy j×(vx i + vy j + vz k) + +uz k×(vx i + vy j + vz k)
ux (vy k − vz j) + uy (−vx k + vz i) + uz (vx j − vy i)
(uy vz − uz vy ) i − (ux vz − uz vx ) j + (ux vy − uy vx ) k
(9)
donde
Ax = uy vz − uz vy
ovvero
¯
¯ u
Ax = ¯¯ y
¯ vy
uz
vz
Ay = −(ux vz − uz vx )
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯ u
Ay = − ¯¯ x
¯ vx
uz
vz
¯
¯
¯
¯
¯
Az = u x v y − u y v x
¯
¯ u
Az = ¯¯ x
¯ vx
uy
vy
¯
¯
¯
¯
¯
(10)
(11)
Il vettore A può allora scriversi
¯
¯ u
¯
A = Ax i + Ay j + Az k = +i ¯ y
¯ vy
uz
vz
¯
¯
¯
¯ u
¯
¯ x
¯ − j¯
¯
¯ vx
uz
vz
¯
¯
¯
¯ u
¯
¯ x
¯ + k¯
¯
¯ vx
uy
vy
¯
¯
¯
¯.
¯
(12)
Si può facilmente ricordare il tutto usando il determinante simbolico1
¯
¯ i
¯
A = ¯¯ ux
¯
¯ vx
¯
j k ¯¯
uy uz ¯¯ .
¯
vy vz ¯
(13)
Questa è l’espressione cartesiana del prodotto vettoriale.
fine
1
“Simbolico” in quanto composto da numeri e da vettori ed ha come risultato un vettore: il
determinante è un numero ottenuto moltiplicando e sommando debitamente dei numeri.
4