Esercizi - Dmi Unipg

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DISEQUAZIONI
1. Risolvere sia algebricamente che graficamente disegnando le rette il
seguente sistema di disequazioni:
(
2x + 3 ≤ 3x − 1
−5x + 7 ≥ 2
2. Risolvere sia algebricamente che graficamente disegnando le curve il
(
2x + 3 ≥ 3x − 1
3x2 − 5x ≤ −2
3. Risolvere sia algebricamente che graficamente disegnando le curve il
(
2x + 3 ≤ x + 4
−x2 + 3x ≥ 0
4. Risolvere la disequazione
√
x + 1 < x + 1.
5. Risolvere, con il confronto grafico, la seguente disequazione:
| 2x + 1 |≤| 3x − 4 | .
6. Risolvere con metodo grafico la seguente disequazione
| 2x + 1 |<| x2 − 1 | .
7. Risolvere in IR le seguenti disequazioni:
| x + 2 |≥| x + 3 |,
log (x2 − 1) ≤ 2.
1
8. Risolvere le seguenti disequazioni:
log | x − 1 | ≥ 3;
√
arcsin x2 − 1 < arcsin x.
9. Risolvere la seguente disequazione:
log(x3 − 1) > 3.
10. Risolvere sia analiticamente che graficamente la seguente disequazione:
| x |≤ x2 .
11. Risolvere la seguente disequazione:
log(x2 − 1) < 3.
| x |≥ x3 .
|
√
3
x |≥| x | .
14. Risolvere con il confronto grafico, la seguente disequazione
| log1/2 | x | | + | x − 1 |< 1.
15. Risolvere con il confronto grafico la seguente disequazione
p
| x |+ | x2 − 1 |< 2.
16. Risolvere l’equazione 4x + 2x+2 − 5 = 0.
Interpretare geometricamente l’equazione proposta e i risultati ottenuti
(disegnare i grafici delle funzioni f1 (x) = 4x , f2 (x) = 5 − 2x+2 ).
17. Risolvere le seguenti disequazioni
e4x − 2e2x − 3 ≥ 0.
e2x − 2ex − 8 ≤ 0.
18. Risolvere in IR le seguenti disequazioni:
e(x+1) < 3
log x1 ≤ 0
2
| x |<
√
3
x.
Interpretare graficamente la disequazione.
e4x
4 −5x2 +1
< 1.
log1/5 (x2 + 4x) > −1.
22. Risolvere con il confronto grafico le seguenti disequazioni:
1
+ | x + 1 |< 1
x
ex − x+ | x | ≥ 0.
23. Risolvere con metodo grafico la seguente disequazione
| 1 + 2x |≥| 1 − x2 | .
24. Sapendo che
dell’equazione
1
2
é una sua radice doppia, trovare tutte le soluzioni
4x4 − 4x3 + 17x2 − 16x + 4 = 0.
25. Risolvere con il metodo grafico la seguente disequazione
| 3x + 1 |≤| x3 − 1 |
26. Risolvere l’equazione 9x + 3x+2 − 11 = 0.
Interpretare geometricamente l’equazione proposta e i risultati ottenuti
(disegnare i grafici delle funzioni f1 (x) = 9x , f2 (x) = 11 − 3x+2 ).
3
TRIGONOMETRIA
1. Un appezzamento di terreno ha la forma di un triangolo rettangolo i
cui lati hanno lunghezze proporzionali ai numeri 3, 4, 5. Sapendo che
l’ipotenusa é lunga 200 m, quanti ettari di terreno é l’appezzamento?
2. Due appezzamenti di terreno, uno di forma quadrata di lato 13m, l’altro
di forma rettangolare di dimensioni 13m e 20m, giacenti su due piani
orizzontali a quote diverse , sono separati da una scarpata (pendio)
lunga 10m ed avente una pendenza del 75%.
Volendo livellare il terreno spostando il minimo volume di terra , calcolare la superficie totale del terreno (una volta livellato) ed il volume
di terra rimosso.
3. Assegnato un trapezio isoscele T giacente su un piano inclinato di un
angolo α rispetto al piano orizzontale, sia m il rapporto fra l’area del
trapezio e quella della sua proiezione sul piano orizzontale. Calcolare
l’angolo α.
4. Supponiamo la terra sferica e sia R il suo raggio. Supposto che dal
punto M, al livello del mare, si misuri il segmento verticale MP = d ed
inoltre si misuri l’angolo φ che la visuale PQ all’orizzonte forma con la
normale ad MP ( φ si dice depressione di P sull’orizzonte), determinare
la misura di R.
5. Allontanandosi verticalmente dalla superficie terrestre é noto che l’orizzonte
risulta una circonferenza T. Indicato con R il raggio terrestre, determinare il raggio dell’orizzonte visivo T da un punto P a distanza 2R
dalla superficie terrestre.
6. Si narra che nel VI sec. a. C., Talete risalı́ all’altezza di un obelisco
misurando la lunghezza dell’ombra che l’obelisco stesso proiettava sul
terreno.
Sapreste fare altrettanto con il campanile di una chiesa, con un cipresso,
con un silos o con una ciminiera?
Descrivete brevemente le fasi e le operazioni eseguite per stimare l’altezza
dell’oggetto preso in esame.
4
7. Per un granaio a sezione rettangolare viene progettato un tetto a quattro pendenze (due trapezi uguali e due triangoli uguali). Sapendo che
le lunghezze delle gronde sono 8 m e 16 m e sapendo che é stata prevista
una pendenza del 75%, quanto sviluppa la superficie del tetto?
8. Durante una partita di calcio, uno dei guardalinee si trova in una posizione A che dista 28 m dalla bandierina d’angolo. Sapendo che il
campo é largo 77 m e le dimensioni delle porte sono 7 m (larghezza) e
2.5 m (altezza), determinare l’area dello ”specchio” di porta visto dal
guardalinee.
9. Una tavola da muratori della lunghezza di 4m é poggiata trasversalmente e tangenzialmente su un rullo cilindrico del diametro di 100
cm, allo scopo di formare un piano inclinato rispetto ad un piano orizzontale su cui giace una generatrice del rullo.
Determinare la pendenza percentuale del piano inclinato a minima pendenza.
10. In un edificio in costruzione, due piani consecutivi vengono collegati da
una scala diritta ad una sola rampa.
Sapendo che i gradini hanno un’alzata di 16 cm ed una pedata di 31
cm, determinare l’angolo di inclinazione (espresso in gradi) dello scivolo
porta–gradini.
11. Sono classificate strade a scorrimento veloce tutte quelle i cui tracciati
abbiano pendenza inferiore al 7%.
Supposto che la differenza delle altitudini sul livello del mare di due
localitá A e B sia 300 m e che la distanza in linea d’aria sia 5 km,
dire se é possibile collegarle con un tratto rettilineo di una strada a
scorrimento veloce nel rispetto della normativa suddetta.
12. Due tiranti sono tesi tra la cima A di un palo verticale e i punti B e
C sul terreno, essendo C 10 m piú vicino di B alla base del palo. Se
i tiranti AC ed AB formano rispettivamente angoli di π3 e di π6 con
l’orizzontale, calcolare la lunghezza del palo.
13. Indicati con A, B, C, i vertici di un triangolo rettangolo e assegnati
b
il cateto AC e l’angolo α = ABC,
determinare il cateto AB e
l’ipotenusa BC.
5
14. Usando relazioni di trigonometria, provare che se due rette assegnate
y = mx + q e y = m0 x + q 0 sono perpendicolari allora m · m0 = −1.
15. Esprimere usando le funzioni trigonometriche l’area di un parallelogrammo dati i lati a, b e l’angolo θ.
6
FUNZIONI E PROCESSI ITERATIVI
1. Completare la seguente tabella.
x1
x2
x3
x4
2
4
6
8
3
5
7
9
2
4
8
16
2
10
50
250
3
9
15
21
4
8
12
16
3
7
11
15
5
7
9
11
-1/3
1/5
-1/7
1/9
5/2
10/3
15/4
4
1
3/2
5/3
7/4
xn
2·n
T (x)
x+2
2. Disegnare un possibile grafico della temperatura in funzione del tempo
in accordo con la seguente descrizione:
la temperatura è aumentata per tutta la mattina, poi improvvisamente,
verso mezzogiorno si è fatto freddo per un temporale improvviso. Dopo
il temporale si è fatto più caldo per poi rinfrescarsi verso il tramonto.
7
3. Subito dopo che ad un paziente sofferente di tachicardia è stata somministrata una medicina, il ritmo cardiaco si è abbassato drasticamente
e poi è tornato lentamente ad aumentare man mano che la medicina
perdeva il suo effetto.
Disegnare un grafico che descriva il ritmo cardiaco in funzione del
tempo.
4. Ogni anno il consumo mondiale di elettricità aumenta, ma aumenta
anche l’incremento di tale consumo.
Disegnare un possibile grafico del consumo annuale di elettricitàin funzione del tempo.
5. Un medicina è iniettata per endovena ad un paziente per cinque minuti.
Durante la somministrazione la quantità di medicina nel sangue è cresciuta linearmente; appena si è cessata la somministrazione essa è diminuita esponenzialmente. Descrivere in un grafico l’andamento della
quantità di medicina in funzione del tempo.
6. Considerate le tabelle
x
0
1
2
3
f(x) 4.30 6.02 8.43 11.80
t
0
1
2
3
g(t) 5.50 4.40 3.52 2.82
Individuare una possibile formulazione per le funzioni f e g.
7. I valori di tre funzioni sono riportati nelle tabelle sottostanti (i numeri
sono approssimati alla seconda cifra decimale).
Due funzioni sono funzioni potenza, rispettivamente quadratica e cubica, mentre l’altra è esponenziale.
Qual’è la funzione quadratica e quella cubica?
8
x
f(x)
8.4 5.93
9.0 7.29
9.6 8.85
10.2 10.61
10.8 12.60
11.4 14.82
x g(x)
5.0 3.12
5.5 3.74
6.0 4.49
6.5 5.39
7.0 6.47
7.5 7.76
x
0.6
1.0
1.4
1.8
2.2
2.6
k(x)
3.24
9.01
17.66
29.19
43.61
60.91
8. Supponiamo di voler registrare i risultati di un esperimento di dosaggio
biologico. Supponiamo di voler stabilire una soglia oltre la quale una
certa sostanza chimica somministrata ad soggetto genera un effetto
indesiderato.
Indichiamo con d la dose di sostanza chimica e con r la risposta.
Poniamo r = 0 se la dose somministrata non genera l’effetto voluto,
poniamo r = 1 nel caso contrario.
Indichiamo con d0 il più piccolo valore della dose che produce l’effetto
desiderato.
Otteniamo la funzione:
(
r(d) =
0 se d < d0
1 se d ≥ d0
Disegnare il grafico della funzione.
9. Si considerino le seguenti tabelle:
t
2.0
2.2
2.4
2.6
2.8
3.0
f(t)
4.40
5.32
6.34
7.44
8.62
9.90
t
g(t)
1.0 3.00
1.2 5.18
1.4 8.23
1.6 12.29
1.8 17.50
2.0 24.00
t
h(t)
0.0 2.04
1.0 3.06
2.0 4.59
3.0 6.89
4.0 10.33
5.0 15.49
Le tre funzioni sono del tipo
9
Y = abt ,
y = at2 ,
y = bt3
Associare a ciascuna funzione la legge corrispondente.
10. Per il noleggio di un’automobile si può scegliere tra tre diverse tariffe:
• si paga una quota fissa di 10 euro, più un importo di 13 centesimi
di euro per ogni Km di percorrenza;
• si paga una quota fissa di 13 euro, più un importo di 10 centesimi
di euro per ogni Km di percorrenza;
• non si paga alcuna quota fissa, ma solo un importo di 25 centesimi
di euro per ogni Km di percorrenza, col vincolo di un minimo di
50 Km (ossia percorrenze inferiori a 50 Km vengono conteggiate
come se fossero percorsi esattamente 50 Km).
Esprimete nei tre casi la spesa complessiva in funzione della percorrenza e visualizzate la situazione in un opportuno sistema di riferimento
cartesiano.
Discutete quindi della convenienza delle tre tariffe.
11. Una dieta prevede un consumo giornaliero di
• 50 g di grassi,
• 100 g di proteine,
• 250 g di carboidrati.
Volendo consumare tre soli alimenti A, B, C, calcolare le quantità necessarie per ciascuno di essi, conoscendo le rispettive composizioni percentuali (in peso):
COMPOSIZIONE
Grassi
Proteine
Carboidrati
Altre sostanze
ALIMENTO A ALIMENTO B ALIMENTO C
30%
5%
5%
10%
20%
10%
20%
15%
40%
40%
60%
45%
10
12. Una dieta prevede un consumo giornaliero di
• 100 g di proteine,
• 250 g di carboidrati,
non si impongono invece limitazioni sulla quantità dei grassi.
È possibile attuare tale dieta mediante i soli alimenti A,B di cui all’esercizio
precedente?
E mediante i soli alimenti A e C?
E mediante i soli alimenti B e C?
13. Una dieta prevede un consumo giornaliero di proteine compreso tra i 75
g e i 125 g e di carboidrati compreso tra i 250 g e i 300 g, con l’ulteriore
vincolo che la quantità complessiva di proteine e carboidrati non deve
superare i 375 g.
Èpossibile attuare tale diet mediante i soli alimenti A e B la cui composizione percentuale è descritta nell’esercizio ......?
E con i soli alimenti A, C?
E con i soli alimenti B, C?
Per ciascuna delle tre domande disegnate, nel piano cartesiano, la regione i cui punti rappresentano le coppie di quantità ”ammissibili” dei
due alimenti.
14. Se il tasso di interesse è del 3/% annuo, quanti anni sono necessari per
raddoppiare il capitale rispettivamente in un investimento a capitalizzazione semplice oppure composta?
15. Due banche X e Y offrono un interesse annuo dell’8%. La banca X
capitalizza l’interesse annualmente, mentre la banca Y ogni tre mesi.
Calcolare la differenza tra i due montanti al termine del primo anno.
16. Stabilire se è più conveniente un interesse annuo del 5% capitalizzato
annualmente oppure un interesse annuo del 4.8% capitalizzato mensilmente.
11
17.
• Determinare il tempo di raddoppio T per investimenti al tasso
rispettivamente del 2%, 3%, 4%, 5%, i% annuo. Poichè T decresce al crescere dell’interesse i, si potrebbe supporre che T
sia inversamente proporzionale ad ı, cioè T = k/i.
• Utilizare il modello di cui al punto precedente per ottenere una
conferma di questa ipotesi. Si troverà che T = 70/i. (Questa
è la cosı̀ detta regola del 70 usata dalle Banche per calcolare
approssimativamente il tempo di raddoppio di un capitale.
18. Un brodo di coltura è infetto da N0 batteri. Modellare il processo di
proliferazione, sapendo che le cellule dei batteri si dividono ogni due
ore.
Quanti batteri ci saranno nel brodo dopo 24 ore?
A quale stadio il numero dei batteri raggiunge il 25% del totale dello
stadio precedente?
19. Un biologo sta studiando la crescita di un puledro.
Nel primo mese il peso cresce del 20%. Nel secondo mese il peso cresce
di nuovo del 20%. Quale è l’incremento totale nei due mesi?
Modellare il processo di crescita, supposto ch el’incremento del peso sia
costante.
20. Si stima che la popolazione di un certo paese si accresca con un tasso annuo del 2%. Supponiamo che questo tasso di accrescimento si mantenga
costante nel tempo, si stimi quale sarà la dimensione della popolazione
dopo n anni.
Quanti anni impiegherà questa popolazione per raddoppiare?
21. Il ciclo di lavaggio di una lavatrice prevede una fase iniziale di lavaggio, con immissione di circa 80 g di detersivo, seguita da una serie di
risciacqui con acqua pura.
Al termine di ciascuna fase, la lavatrice scarica l’acqua (con relativo
detersivo che vi è disciolto), ma rimane nella lavatrice un residuo di detersivo pari al 5% della quantità che vi si trovava nella fase precedente.
Calcolare:
12
• la quantità di detersivo rimasta nella lavatrice al termine della
prima, seconda, terza, ...., n - esima fase.
• quanti risciacqui sono necessari, se si vuole che la quantità residua
di detersivo non superi lo 0.02% della quantità immessa all’inizio
del ciclo.
22. Si supponga che una moneta negli ultimi 10 anni si sia svalutata del
complessivamente del 250%.
Calcolare il tasso di svalutazione medio annuo, supponendolo costante
di anno in anno.
23. Quando nel 1968 si tennero le Olimpidi a Città del Messico, si discusse
a lungo circa i possibili effetti che l’altitudine (2237 metri) avrebbe potuto avere sul rendimento degli atleti.
Supposto che la pressione dell’aria diminuisce dello dello 0,4% ogni 30
metri, di quale percentuale è inferiore la pressione atmosferica da Atene
(sul livello del mare) rispetto a Città del Messico?
24. Il decadimento di una certa sostanza radioattiva è tale che dopo 10
anni rimane solo il 70% della radioattività.
• Quanto sarà la radioattività ancora presente dopo 50 anni?
• Qual’è il tempo di dimezzamento della sostanza?
• Quanto si dovrà aspettare affinchè la radioattività residua sia solo
del 20%? e del 10%?
25. In un laboratorio scientifico i topi utilizzati per un certo esperimento
sono raggruppati per età. Le età dei gruppi si susseguono secondo
una progressione geometrica. Se il gruppo più giovane ha tre settimane di vita e il sucessivo ha 9/2 settimane di vita, determinare le età
dei due gruppi che seguono. Sapendo che vengono utilizzati solamente
topi con età non superiore a 20 settimane, determinare il numero massimo di gruppi che possono essere contemporaneamente disponiili per
l’esperimento.
26. Una tarma femmina (Tinea pellionella) depone approssimativamente
150 uova. In un anno si possono avere fino a cinque generazioni. Sup13
poniamo che i 2/3 delle larve muoia e che il 50% delle larve rimanenti
siano femmine.
• Determinare il numero delle tarme femmina alla n-esima generazione, supposto che al primo stadio ci sia una sola femmina.
• Se ogni larva mangia 20 mg di lana, calcolare la quantità di lana
che puòessere distrutta dai discendenti di una femmina in un anno.
• Dopo quanti anni i discendenti di una stessa generazione possono
distruggere 20Kg di lana?
27. Allo stadio zero una cellula madre si divide per mitosi in due cellule
figlia; allo stadio uno ciascuna cellula figlia si divide in ulteriori due
cellule figlia e cosı́ via.
A quale stadio il numero delle cellule eguaglia e supera il numero positivo a?
28. In una data regione un’epidemia é individuata con un certo ritardo,
quando ormai vi sono circa 1000 casi di malattia. Se i tempo di raddoppio della malattia é di circa 10 mesi, quanto tempo prima si puó
presumere che l’epidemia abbia avuto inizio?
29. In alcune aziende la classe di stipendio attribuita ad un dipendente
é funzione degli anni di servizio maturati, come specificato: classe 0
all’atto dell’assunzione in servizio, classi 1, 2, 3, ...... al compimento
del quarto, ottavo, dodicesimo,...... anno di servizio, rispettivamente.
Indicati con n gli anni di anzianitá di servizio e con f(n) la rispettiva
classe di stipendio attribuita, scrivere la legge che definisce la funzione
f : IN → IN, n → f (n).
30. Supponiamo che P migliaia di lire siano investite ad un tasso di interesse annuale del 100r%. Se l’interesse accumulato é accreditato sul
conto alla fine dell’anno, l’interesse é detto ”composto annualmente”;
se é accreditato ogni sei mesi, é detto ”composto semestralmente”, se
accreditato ogni tre mesi é detto ”composto trimestralmente”.
(a) Determinare il valore dell’investimento dopo t anni nel caso in cui
l’interesse sia composto n volte in un anno ad intervalli ugualmente
spaziati.
(b) Immaginando che l’interesse sia composto ogni istante (interesse
”composto continuamente”)ed utilizzando il risultato di (a) determinare
il valore dell’investimento dopo t anni.
14
31. Disegnare il grafico della funzione f (x) = sin x nell’intervallo [−π, π].
Disegnare i grafici delle seguenti funzioni e specificare il loro codominio:
−f (x) + 2
− 2f (x)
− −f (x)
− f (−x).
32. Disegnare il grafico della funzione f (x) = [x].
Determinare il suo codominio e stabilire se é biiettiva, monotona e
invertibile.
33. Determinare il campo di esistenza delle seguenti funzioni:
f1 (x) = q
log | x − 1 |
f2 (x) = ex21−1
34. Assegnate le funzioni
f1 (x) =
√
x2 + 4x + 4
f2 (x) =| x2 − 1 |
f3 (x) = arcsin log x
(
se x < 0
− x1
f4 (x) =
log x
se x > 0
f5 (x) =
f6 (x) =
1
x−1
√
x2 − 1
f7 (x) = [x − 1].
determinarne il campo di esistenza, il codominio e stabilire se sono
biiettive, monotone, invertibili.
35. Studiare la limitatezza della funzione f : [−1, 1] → IR definita da
f (x) =
x6 + x5 + 1 √
1 − x2 .
(x8 + 1)
15
36. Nel piano siano dati n punti (n ≥ 2), tre a tre non allineati. Dimostrare per induzione che le rette che li congiungono a due a due sono
n(n−1)
.
2
37. In un opportuno sistema di riferimento, disegnare il grafico della funzione f (x) = ex . Disegnare successivamente i grafici di:
- f1 (x) = e−x
- f2 (x) = ex+1
- f3 (x) = −ex
- f4 (x) = −ex+1
- f5 (x) = e|x|
38. Assegnata la funzione
f (x) = log(x + 1) − log(x + 2)
- determinare il campo di esistenza e il codominio,
- provare che la funzione é invertibile e trovare la funzione inversa f −1 .
39. Usare il principio di induzione per dimostrare che
Pn
3
3
3
3
2
k=1 k = 1 + 2 + 3 + ... + n = [n(n + 1)/2] .
40. Assegnata la funzione f (x) =| −x2 + 3x | determinare il suo campo
di esistenza e stabilire se essa é biiettiva o monotona.
Disegnare il grafico.
41. Usando il principio di induzione, provare che ogni poligono piano con
n (> 3) lati é unione di (n − 2) triangoli.
√
42. Assegnata la funzione f (x) = 1 − 6x + 9x2 determinare il suo campo
di esistenza e stabilire se essa é biiettiva e/o monotona.
43. Supponiamo che una certa popolazione biologica aumenti ogni anno
di una quantitá proporzionale al numero di individui presenti, con un
coefficiente di proporzionalitá k ( che rappresenta l’eccedenza dei nati
sui morti). Allora, indicato con an il numero dei soggetti presenti
all’anno n-esimo, si ha
an+1 = an + kan .
Calcolare il termine generale della successione in funzione della dimensione a0 della popolazione all’inizio dello studio.
16
44. Dimostrare per induzione l’identitá (n ≥ 1) :
1
1
1
1
+
+ ... +
=1−
.
12 23
n(n + 1)
n+1
45. In un opportuno sistema di riferimento, disegnare il grafico della funzione f (x) = x1 . Disegnare successivamente i grafici di:
- f1 (x) = x1 + 1
- f2 (x) = − x1
- f3 (x) =| x1 |
1
- f4 (x) = x+1
46. Di ciascuna funzione dell’esercizio precedente determinare il campo di
esistenza e il codominio.
Stabilire se la funzione f3 (x) =| x1 | é biiettiva, monotona, limitata.
47. Siano assegnate f : A → B, g : B → C. Ragionando per assurdo
provare che se f, g sono monotone strettamente crescenti, anche la
funzione composta g ◦ f é strettamente crescente.
Sussiste anche l’affermazione opposta?
48. Unendo i punti medi dei lati di un triangolo equilatero si divide la figura
in quattro ulteriori triangoli equilateri.
Iterando il procedimento provare per induzione che l’area di ciascun
triangolo ottenuto all’n-esima divisione é A/4n essendo A l’area del
triangolo iniziale (n = 0).
49. Determinare il campo di esistenza, il codominio e la funzione inversa
della seguente
h(x) = 2 − 3−x .
50. Dare la definizione e un esempio di progressione geometrica e di progressione aritmetica.
Assegnata una progressione geometrica sn , provare che passando ai
corrispondenti logaritmi (in base a qualsiasi) si ottiene una progressione aritmetica loga sn .
51. E’ dato un sistema di due equazioni di primo grado in due incognite:
(
ax + by + c = 0
dx + ey + f = 0
17
Nel piano cartesiano, ciascuna delle due equazioni del sistema rappresenta una retta. Interpretate in termini algebrici e geometrici le tre
alternative possibili:
- Il sistema ammette un’unica soluzione.
- Il sistema é impossibile.
- Il sistema é indeterminato.
52. Determinare m e n in modo che il grafico della funzione f (x) =
log(mx + n) passi per i punti A = (1, −1), B = (6, 0).
53. Dimostrare che per ogni x ∈ [−1, −1] risulta
arcsin x + arccos x =
π
2
(L’esercizio si puó risolvere: 1) verificando la formula in un punto,
utilizzando la caratterizzazione delle funzioni costanti in un intervallo
e la continuitá della funzione assegnata...
oppure: 2) partendo dalla formula trigonometrica cos(π/2 − y) = ....
e usando le funzioni trigonometriche inverse....
54. Assegnata la successione definita per ricorrenza
a1 =
√
2,
an+1 =
√
2 + an ,
provare che
- (an )n é monotona crescente (si puó usare il principio di induzione:
si prova a2 > a1 , supposto an+1 > an .... )
- (an )n é limitata (si puó usare il principio di induzione....)
- limn→+∞ an = ....
55. Una coppia di cellule é composta da una cellula di tipo A e una cellula di
tipo B. Ad ogni stadio ogni cellula A genera un’altra cellula dello stesso
tipo, mentre ogni cellula B genera altre due cellule B. Determinare, se
esiste, uno stadio n del processo per cui il numero delle cellule totali
superi di 37 volte le cellule di tipo A presenti allo stadio n+3.
56. Consideriamo la trasmissione di una malattia contagiosa. Supponiamo
di avere due infetti X e Y e tre persone che chiameremo A, B, e C;
chiediamo ad A, B e C se hanno avuto contatti con X e Y, attribuiamo
alla risposta affermativa il numero 1 ed alla risposta negativa il numero
18
0 e costruiamo la relativa tabella (si chiama matrice di contagio)
A B C
X 0 1 1
Y 1 1 0
Interroghiamo ora altre quattro persone che conveniamo di chiamare
P, Q, R e S, chiediamo loro se hanno avuto contatti con A, B, e C e
compiliamo la relativa tabella
P Q R
A 0 0 1
B 1 0 1
C 1 0 0
S
1
0
0
Determinare la tabella che rappresenta i valori rispetto cui un membro
del terzo gruppo (P, Q, R, S) puó essere stato (indirettamente) contagiato da un membro del primo gruppo (X, Y) e darne un’interpretazione.
57. La costruzione di una diga sul corso di un torrente ha dato luogo alla
formazione di un laghetto, della capienza di 12000m3 d’acqua. Poiché
il torrente sbarrato dalla diga immette mediamente nel bacino 200m3
di detriti all’anno:
a) individuare l’espressione che descrive la progressiva diminuzione della
capienza del laghetto per effetto dell’interramento;
b) determinare dopo quanti anni la capienza del laghetto sará ridotta
alla metá di quella iniziale e dopo quanti anni esso sará completamente
interrato.
58. La popolazione di un paese é raddoppiata nel giro di 18 anni. Calcolate
il corrispondente tasso di accrescimento annuo (supposto costante nel
tempo).
59. Sia assegnato un sistema di riferimento cartesiano ortogonale Oxy; consideriamo un altro sistema di riferimento avente la stessa origine e gli
assi ruotati di 60o in senso antiorario. Determinare le formule di
rotazione degli assi.
60. Sono assegnate una progressione geometrica di dato iniziale a0 = 3 e
di ragione q = 4 e una progressione aritmetica di dato iniziale b0 = 5
e ragione r = 7. Indicata con f (x) la funzione in variabile x relativa
alla progressione geometrica e con g(x) quella relativa alla aritmetica,
disegnare i grafici delle due funzioni nello stesso piano cartesiano.
19
61. É assegnata un progressione geometrica di dato iniziale a0 = 3 e di
ragione q = 5; dimostrare che a partire da un certo indice n0 (quale?)
i valori della successione superano 104 .
62. Un capitale é investito da lungo tempo ad un tasso fisso di interesse
annuo del 6%. Se attualmente il capitale, aumentato degli interessi
via via maturati, é di 26000 euro, quale era l’ammontare del capitale
10 anni fa?
63. Considerare le successioni
an = 3n
bn = 2002n
Dimostrare che a partire da un certo indice n0 (quale?) i valori della
prima superano quelli della seconda.
64. Considerare le successioni
an =
1 2
n
10
bn = 1000n + 200
Dimostrare che a partire da un certo indice n0 (quale?) i valori della
prima superano quelli della seconda
65. L’allungamento di un’asta metallica esposta ad una fonte di calore, per
piccole variazioni di temperatura, é descritto dalla formula seguente
l − l0 = a · l0 (t − t0 )
dove l0 é la lunghezza della barra alla temperatura iniziale t0 ed
l é quella corrispondente alla temperatura t; a é una costante che
dipende dal tipo di metallo di cui é costituita la barra.
a) Esprimere l come funzione lineare di t. Individuare, in particolare,
l’inclinazione e l’intercetta sull’asse delle ordinate.
b) Supposto che la barra sia costituita di un metallo cui corrisponde
una costante a = 10−5 e che a 10o C essa sia lunga 100cm, quanto
dovrá essere elevata la temperatura affinché la barra si allunghi del
25%?
66. Determinare il campo di esistenza, il codominio e la funzione inversa
della seguente
f (x) = 1 − 2−x .
20
Tracciare approssimativamente il grafico di f (x) (non é richiesto lo
studio di funzione).
67. Quanti avi (genitori, nonni) sono presenti nelle ultime sette generazioni
del tuo albero genealogico?
68. Il costo totale di produzione di una azienda é la somma di costi fissi e
costi variabili; questi ultimi sono proporzionali alle unitá prodotte.
Tre diverse aziende A, B, C producono lo stesso prodotto;
- A e B hanno lo stesso costo variabile VA = VB = 13 u, ma B ha il
doppio dei costi fissi di A, che ammontano a 500 ∈,
- C ha gli stessi costi fissi di B, ma i costi variabili sono la metá di quelli
di B.
Dopo aver rappresentato in un opportuno sistema di riferimento cartesiano i grafici delle funzioni che rappresentano i costi totali di produzione delle tre aziende rispetto alle unitá prodotte, determinare quale
azienda ha la produzione piú vantaggiosa.
69. Presentare la funzione
f (x) =
√
3
x−1
evidenziandone tutte le proprietá.
70. Una palla lasciata cadere rimbalza verticalmente raggiungendo ad ogni
rimbalzo i 9/10 della quota precedente. Modellare il processo e determinare l’altezza raggiunta dalla palla all’n-esimo rimbalzo.
Dopo quanti rimbalzi l’altezza raggiunge il 12% della quota iniziale?
71. Come é noto l’inventore del gioco degli scacchi chiese di essere compensato con chicchi di grano: un chicco sulla prima casella, due sulla
seconda, quattro sulla terza e cosı́ via, sempre raddoppiando il nua
mero dei chicchi fino alla 64 casella. Assumendo che 1000 chicchi
pesino circa 37,5 g, calcolare il peso in tonnellate della quantitá di grano
pretesa dall’inventore.
21
LIMITE E CONTINUITÁ
1. Studiare la continuitá e classificare gli eventuali punti di discontinuitá
delle seguenti funzioni:
f (x) = [x]
f (x) = x − [x]
f (x) =
x
|x|
f (x) =
1
x
(
f (x) =
1 se x ∈ IQ
−1 se x ∈ IR \ IQ
(
f (x) =
(
x sin x1 se x 6= 0
0
se x = 0
(
x2 sin x1 se x 6= 0
0
se x = 0
f (x) =
f (x) =
sin x1 se x 6= 0
0
se x = 0
2. Determinare e classificare i punti di discontinuitá della seguente funzione:

x

 e se x ≤ 0
f (x) =
x se 0 < x ≤ 1


−x se > 1
3. Provare che le seguenti equazioni possiedono una sola soluzione reale:
x5 + x3 − 1 = 0
log x + x2 = 0
22
ex − x2 = 0
ex + x3 = 0
1
x
− log x = 0
4. Provare che il polinomio P (x) = −2x3 + 7x2 − 7x + 1 ammette almeno
una radice x0 ∈ IR e determinare un intervallo [a, b] con b − a ≤ 18
in modo da aversi x0 ∈ [a, b].
5. Provare che c’é un unico punto c ∈ IR in cui la funzione f (x) =
non é definita.
6. Determinare con una approssimazione inferiore ad
reale delle seguenti equazioni
1
10
1
log x+x
una soluzione
x3 + x2 − 1 = 0
2x3 + x − 1 = 0
x4 + 2x − 2 = 0
x6 − 6x + 2 = 0
2
7. Sia assegnata la funzione f (x) = x4 − sin x, verificare con un metodo
grafico che l’equazione f (x) = 0 ammette una sola soluzione positiva.
Calcolare con il metodo di bisezione tale soluzione con un errore inferiore a 10−1 .
8. Tramite la definizione di limite, provare che non esiste
lim 2 sin x + 3 = ...
x→+∞
9. Calcolare i seguenti limiti
lim (cosx + 2)ex = ....
x→+∞
lim log(1 +
x→+∞
sin x
) = ....
x
10. Quali delle seguenti funzioni possono essere prolungate con continuitá
nel punto x0 ?
1
f1 (x) = e− x2 ,
x0 = 0;
23
f2 (x) =
x
,
|x|
x0 = 0;
f3 (x) = log | x |,
x0 = 0.
11. Studiare, tramite la definizione, il seguente limite:
lim | sin x |=
x→+∞
12. Calcolare i seguenti limiti:
3−x
=
x→−∞
x
lim
√ |x|
x
=
x→+∞
x
lim
13. Studiare la continuitá e classificare i punti di discontinuitá della seguente
funzione:
g(x) = [2x].
E’ possibile modificare il valore solo nei punti di discontinuitá in modo
da renderla continua in IR?
14. Provare che l’equazione
ex − 1/x = 0
ammette una sola soluzione reale.
Stimare il numero delle successive bisezioni al fine di ottenere una approssimazione dell’ordine di 10−3 .
15. Calcolare anche con il teorema di L’Hospital
lim xex .
x→−∞
16. Disegnare il grafico della funzione
f (x) = sin − | x |.
Dire se f (x) é continua per x = 0 e se é ivi derivabile.
della seguente equazione
x5 + 3x − 1 = 0
dopo averne provato l’esistenza e l’unicitá.
24
1
10
la soluzione reale
18. Calcolare i seguenti limiti
ex
=
x→+∞ x100
lim
log(1 + x)
=
x→0
x
ex + e−x − 2
lim
=
x→0
x2
lim
19. Determinare se la funzione g(x) = sin 2x/x é prolungabile con continuitá in x = 0. Presentare alcune proprietá di questa funzione e
approssimarne il grafico.
20. Mostrare che l’equazione x3 + x − 1 = 0 ha esattamente una sola
radice e calcolarla con due cifre decimali corrette mediante il metodo
di bisezione.
21. Provare che l’equazione f (x) = x3 + 2x − 1 = 0 ammette una unica
soluzione reale.
Determinare tramite il metodo di bisezione tale soluzione con un errore
di approssimazione inferiore a 10−2 .
sin x + x − 1 = 0
ammette un’unica soluzione reale e stimare il numero delle successive
bisezioni necessarie per avere un’approssimazione con errore inferiore a
10−3 .
x − cos x = 0
ammette una sola soluzione positiva e visualizzarla graficamente.
24. La popolazione di un paese é raddoppiata nel giro di 18 anni. Calcolate
il corrispondente tasso di accrescimento annuo (supposto costante nel
tempo).
25. Determinare se la funzione g(x) = sin 2x/x é prolungabile con continuitá in x = 0. Presentare alcune proprietá di questa funzione e
approssimarne il grafico.
25
26. Calcolare, se esistono, i seguenti limiti
lim
√
x→+∞
x2 + 1 − x =
lim ex sin
x→+∞
1
=
ex
27. Determinare tramite la definizione di limite,
lim tan x =
x→+∞
della seguente equazione
1
x3 + x − 1 = 0
3
dopo averne provato l’esistenza e l’unicitá.
26
1
10
la soluzione reale
DERIVATE, PROBLEMI DI MASSIMO O MINIMO
non derivabilitá.
√
x2 − 1, e determinarne i punti di
2. Assegnata la funzione f (x) = [x], trovare l’espressione della derivata
e indicare gli eventuali punti di non derivabilitá.
Trovare l’equazione della retta tangente nel punto x = 1/2.
3. Determinare a e b in modo che la curva y = ax3 + bx + 7 risulti
tangente alla retta 8x + y − 10 = 0 nel punto (1,2).
Stabilire inoltre se tale curva interseca l’asse delle x e, in caso di risposta
affermativa, discutere in quanti punti.
2
2
4. Assegnata l’ellisse x9 + y16 = 1 determinare il perimetro del rettangolo (con i lati paralleli agli assi coordinati) di area massima inscritto
nell’ellisse.
5. Un pozzo di petrolio é situato nell’oceano in un punto W che si trova
a 5 km dal piú vicino punto A della costa che ha andamento rettilineo.
Il petrolio deve essere portato fino ad un punto B della costa lontano 8
km da A per mezzo di un oleodotto subacqueo rettilineo da W a P (vedi
fig.) e poi con un altro oleodotto lungo la costa da P a B. Se il costo
dell’oleodotto subacqueo é di 100 milioni per km e quello dell’oleodotto
su terra é di 75 milioni per km, dove dovrebbe essere situato il punto
P (rispetto ad A) per minimizzare il costo dell’oleodotto?
6. La piú semplice equazione differenziale é
(∗)
x0 (t) = a x(t),
a costante.
L’equazione differenziale esprime un legame tra la funzione incognita
x(t) e la sua derivata prima. La soluzione (o le soluzioni) é quindi una
funzione e non un numero reale (o piú numeri reali).
L’equazione (∗) interpreta modelli di crescita a tasso a costante
(crescita esponenziale). Supporremo x(t) > 0.
Si risolva l’equazione (∗) dopo averla trasformata nell’equazione integrale equivalente
Z 0
Z
x (t)
dt = a dt.
x(t)
27
(Risolvere i due integrali indefiniti e poi ricavare nell’equazione la funzione incognita x(t)).
7. Determinare l’incremento approssimato dell’area di un cerchio se il suo
raggio R = 11cm viene allungato di 3mm.
(Non fare i conti svolgendo il quadrato, ma applicare il metodo
di approssimazione della retta tangente.)
8. Determinare l’incremento approssimato del volume di una sfera se il
suo raggio R = 15cm viene allungato di 2mm.
(Non fare i conti svolgendo il cubo, ma applicare il metodo di
approssimazione della retta tangente.)
9. Una grande compagnia petrolifera vuole acquistare una raffineria che
sará rifornita da tre cittá portuali. Il porto B é ubicato 300 km ad Est
e 400 km a Nord del porto A, mentre il porto C si trova 100 km ad
Est e 100 km a Sud del porto B. Considerato un sistema di riferimento
con origine coincidente con il porto A, si determini la localizzazione
della raffineria tale da minimizzare la quantitá totale di tubi occorrenti
per collegare la raffineria al porto, con il vincolo ”naturale” (data la
simmetria del triangolo) che essa sia situata lungo la bisettrice del primo
quadrante.
10. Assegnato il grafico della funzione h(x)
4
3
y 2
1
–4
–3
–2
–1
1
2
x
3
–1
–2
–3
–4
disegnare il grafico della derivata h0 (x).
28
4
11. Trovare l’errore nella seguente proposizione:”La derivata della funzione
g(x) = x2 + x + 1 calcolata per x = 0 vale 0 (zero), infatti f (0) = 1,
che é una costante e la derivata di una costante é 0.”
12. Assegnata la funzione
(
h(x) =
sinx
se x ≤ 0
ax2 + bx + c se x > 0
dimostrare la possibilitá di scegliere a, b, c in modo che h sia
a) continua, ma non derivabile nell’origine;
b) derivabile in IR;
c) due volte derivabile in IR.
Si verifichi che quest’ultima condizione determina univocamente a, b, c.
13. I cateti di un triangolo rettangolo misurano rispettivamente 5cm e
12cm. Da tale triangolo si vuole ritagliare un rettangolo di area massima, disposto come in figura. Calcolare le dimensioni del rettangolo.
14. Ai quattro angoli di un foglio metallico quadrato si tagliano quattro
piccoli quadrati; poi si piega il foglio in modo da formare una scatola aperta. Quali devono essere le dimensioni dei quadratini perché il
volume della scatola sia massimo?
15. Assegnata la funzione f (x) = log | x | determinare
- il campo di esistenza,
- gli asintoti,
- l’espressione della derivata prima e seconda e il loro campo di esistenza,
- crescenza, decrescenza e eventuali punti di massimo e minimo,
- codominio Disegnare il grafico.
16. Disegnare il grafico della funzione f (x) = log(x + 1) e quindi il grafico
di g(x) =|| f (x) | −3 | .
Determinare il campo di esistenza e l’espressione della derivata prima
di g(x) , individuando gli eventuali punti di non derivabilitá.
17. Individuare gli eventuali punti di massimo o minimo relativo e studiare
la concavitá e convessitá della funzione g(x) dell’esercizio precedente.
18. Assegnata la famiglia di curve fγ (x) = 2x2 +γx4 −3γx3 +5 determinare
il valore di γ ∈ IR tale che la tangente al grafico nel punto di ascissa
x = 2 risulti parallela alla retta 2y − 4x + 1 = 0. )
29
19. Il perimetro di una finestra é di 10 m e la sua forma é un rettangolo
con il lato superiore sostituito da un semicerchio. Determinare le dimensioni del rettangolo affinché la finestra permetta il passaggio della
massima quantitá di luce.
f (x) = e−|x| .
Dire se f (x) é continua per x = 0 e se é ivi derivabile.
21. Determinare l’angolo formato dalle tangenti alle curve di equazioni
y = 1 + log x,
y = 1/x
nel loro punto di intersezione. (Iniziare l’esercizio provando l’esistenza
e l’unicitá del punto di intersezione quindi determinarlo esattamente).
22. Provare che il tasso di variazione (derivata) del volume di una sfera
rispetto al raggio é uguale all’area della sua superficie.
23. Sia assegnata una circonferenza di centro O e sia ABP un triangolo
equilatero avente i punti A, B sulla circonferenza. Determinare il
valore massimo di P O.
24. La relazione tra l’altezza x di un individuo e il suo peso corporeo
standard y puó essere espressa mediante la formula matematica y =
kx3 . Il valore numerico di k puó essere determinato fissando le misure
ideali di un individuo ”campione”: per es. x = 1.70m, y = 65Kg.
Usando il metodo di approssimazione della retta tangente, determinare
il peso di un individuo ugualmente ben proporzionato alto x = 1.80m.
Stimare l’errore commesso.
25. Applicare il metodo di Newton all’equazione dell’esercizio precedente e
confrontare le velocitá di approssimazione dei due metodi.
26. Provare che la funzione g(x) = x2 log | x | puó essere prolungata con
continuitá e con derivabilitá nel punto x0 = 0
27. Sapendo che il periodo T del pendolo
q é funzione della sua lunghezza
l secondo la nota legge T (l) = 2π gl , dove g é l’accelerazione di
gravitá, approssimare con il metodo della retta tangente il periodo di
un pendolo lungo l = 1, 01m.
30
28. Assegnato il grafico della funzione h(x)
4
3
y 2
1
–4
–3
–2
–1
1
2
x
3
4
–1
–2
–3
–4
individuare quale delle seguenti curve corrisponde al grafico della derivata
h0 (x).
–4
–4
–3
–3
–2
–2
4
4
3
3
y 2
y 2
1
1
–1
1
2
x
3
4
–4
–3
–2
–1
–1
–1
–2
–2
–3
–3
–4
–4
4
4
3
3
y 2
y 2
1
1
–1
1
2
x
3
4
–4
–3
–2
–1
–1
–1
–2
–2
–3
–3
–4
–4
31
1
2
x
3
4
1
2
x
3
4
(∗)
x0 (t) = a x(t),
a costante.
Z
Z 0
x (t)
dt = a dt.
x(t)
30. Assegnata la famiglia di primitive
x(t) = keat , t > 0, a costante assegnata
determinare quella che nell’istante t = 0 vale x0 .
31. Dimostrare che la retta tangente al grafico della funzione f (x) = ex
nel punto di ascissa x0 taglia l’asse delle ascisse nel punto x0 − 1,
comunque si scelga x0 .
32. Determinare i coefficienti reali a, b, c tali che il grafico della funzione
2
g(x) = ax +bx+c
sia tangente all’asse delle ascisse nel punto A = (2, 0)
x3
e intersechi lo stesso asse in un ulteriore punto di ascissa x = −1.
33. Gli studenti possono accumulare crediti seguendo un ciclo di seminari di
20 ore. Precisamente ogni ora di frequenza ai primi sei seminari equivale
ad 1/5 di credito; ogni ora del secondo ciclo (settimo-quattordicesimo
seminario) corrisponde a 1/3 di credito; ciascuna delle ultime sei lezioni
assegna 1/2 di credito. La frequenza deve essere continuativa, in caso
di assenza si perdono tutti i diritti sulle frequenze seguenti.
Disegnare la funzione ”valore unitario in crediti dei seminari” .
Discutere le proprietá di questa funzione (continuitá, derivabilitá, punti
di massimo o minimo relativi, convessitá).
32
34. Relativamente all’esercizio precedente, disegnare e interpretare la funzione ”valore dei crediti accumulati (in funzione del numero delle ore
continuative frequentate)” .
35. Individuare i punti di non derivabilitá della funzione
f (x) =| 4 − x2 |
disegnare il grafico e determinare gli eventuali punti di massimo o minimo relativo.
36. Provare che la funzione
f (x) = x sin 1/x
é prolungabile con continuitá in IR.
Discutere la derivabilitá del prolungamento.
37. Rappresentare mediante un diagramma cartesiano i seguenti dati statistici relativi alle importazioni ed esportazioni dall’Italia negli anni dal
1972 al 1984:
Importazioni
Esportazioni
Anni
10.840
1972
11.265
12.898
1973
16.343
19.826
1974
26.715
22.866
1975
25.200
31.167
1976
36.731
39.968
1977
42.429
47.505
1978
47.868
59.962
1979
64.597
66.719
1980
85.564
86.040
1981
103.674
99.231
1982
116.216
110.530
1983
121.978
129.015
1984
148.178
a) Descrivere le proprietá del diagramma (spezzata) che rappresenta le
importazioni : esistenza del limite, continuitá, derivabilitá.
b) Calcolare la pendenza del primo segmento nel diagramma importazioni.
33
c) Calcolare l’area sottesa dai primi due segmenti del diagramma importazioni.
38. Interpretare il seguente grafico (campo di esistenza, codominio, limiti e
asintoti, continuitá e punti di discontinuitá, derivabilitá e punti di non
delivabilitá).
6
4
y
2
–6
–4
–2
2
4
x
6
8
10
–2
–4
–6
39. Verificare che la retta di equazione y = x − 1 é tangente alla parabola
di equazione y = 41 x2 .
40. 10 ml di una medicina sono iniettati per endovena ad un paziente in
5 minuti. Durante la somministrazione la quantitá di medicina nel
sangue cresce linearmente, appena si cessa la somministrazione essa
diminuisce esponenzialmente.
Individuare la legge che meglio rappresenta l’andamento della quantitá
di medicina in funzione del tempo e tracciarne il grafico.
41. Discutere alcune proprietá del grafico dell’esercizio precedente (monotonia, segno, continuitá, derivabilitá).
Rappresentare graficamente l’andamento della funzione derivata.
42. Nella famiglia di parabole y = k 2 x2 −2kx+5 determinare il parametro
k in modo che la retta tangente alla parabola nel punto di ascissa
x = 1 sia parallela alla retta di equazione 2x + 3y − 3 = 0.
34
43. Data la funzione
f (x) =| log | 4 − x2 ||
definire il campo di esistenza, le intersezioni con l’asse delle x e,
facendo uso anche di considerazioni grafiche, l’insieme nel quale é derivabile.
44. Scrivere l’equazione della retta tangente nel punto di ascissa x = 1
delle seguenti funzioni:
f1 (x) = 3
f2 (x) = 2x3 + 5
f3 (x) = [x]
f4 (x) =| x | +2
45. Sia assegnata la funzione f : IR → IR definita da
(
2x − 5 se x ≤ 1
f (x) =
cx + 4 se x > 1
Determinare il valore del parametro reale c rispetto il quale la funzione
f (x) é continua su IR e disegnare il grafico di f (x) rispetto a tale
valore.
Esiste un valore del parametro per cui la funzione risulta derivabile?
46. Le dimensioni di un rettangolo sono a e b. A partire da ogni vertice e
procedendo in senso orario, individuare su ogni lato il punto a distanza
x, in modo che congiungendo i quattro punti cosı́ ottenuti si abbia un
parallelogramma di area minima.
2
47. Assegnata la funzione f (x) = −2e−x /2 determinare
- il campo di esistenza e il codominio;
- biiettivitá e monotonia;
- gli asintoti;
- il grafico della funzione derivata;
48. Dopo aver scritto l’equazione della retta tangente all’iperbole y = 4/x
nel punto di ascissa x = a, a > 0, determinare a in modo che risulti
minima la lunghezza del segmento intercettato dagli assi cartesiani sulla
retta tangente.
35
49. Per recintare due superfici, una quadrata e una circolare, sono disponibili 100 m di rete. Dimensionare le due superfici in modo che l’area
totale racchiusa sia massima o minima.
50. Una cornice per un quadro è larga 20 cm sui bordi superiore e inferiore e
10 cm sui lati. Supposto che il costo della cornice sia proorzionale alla
superficie a vista, determinare quali sono le dimensioni della cornice
meno cara con la quale si possa incorniciare una superficie di m2 1.
51. Un’industria alimentare produce due cofetture A e B che contengono
rispettivamente il 32% e il 48% di zucchero.
Determinare la strategia di produzione che rende massimo il ricavo,
sapendo che la disponibilità settimanale di zucchero ammonta a 80 q e
che il rapporto tra i prezzi unitari delle confetture B ed A è 4/3.
52. Una compagnia di autotrasporti urbani ha in media 5000 passeggeri se
il costo del biglietto è 0,50 euro.
Per ogni incremento del biglietto di 0,05 è prevista una perdita di 200
passeggeri al giorno. Determinare il prezzo del biglietto che ottimizza
l’incasso giornaliero.
Se la perdita fosse di p passeggeri, per quali valori del parametro p
sarebbe ancora conveniente aumentare il costo del biglietto?
Fissato un tale valore p, quale sarebbe l’aumento ottimale?
53. Una pay TV ha 20000 abbonati che pagano 10 euro al mese.
Secondo un’indagine demoscopica, ogni riduzione di 0,50 euro del canone
permetterebbe di acquisire 500 nuovi clienti. Qual è il canone che determina il massimo ricavo?
36
INTEGRALI
1. Usando il metodo numerico di approssimazione ”esaustivo” tramite
plurirettangoli inscritti e circoscritti, determinare l’area della regione
di piano sottesa dal grafico della funzione f (x) = x + 1, l’asse x e le
rette di equazione x = 0, x = 2.
2. Determinare alcuni valori approssimati per difetto ed altri per eccesso
R1
2
di −1 e−x dx.
3. Provare che la funzione di Dirichelet
(
−1 se x razionale
f (x) =
1
se x irrazionale
non é integrabile nell’intervallo [−2, 2].
4. Applicare il teorema della media del calcolo integrale alle funzioni cosı́
definite:
f1 : [0, 2] → IR
(
f1 (x) =
2 se x ∈ [0, 1[
6 se x ∈ [1, 2].
f2 : [0, 2] → IR


se x ∈ [0, 1[
 2
f2 (x) =
−5 se x = 1


4
se x ∈]1, 2].
f3 : [0, 2] → IR
(
f3 (x) =
1 se x ∈ [0, 1[
5 se x ∈ [1, 2].
Spiegare perché il valore di θ puó non appartenere al codominio di f.
f4 : [−1, 1] → IR
f4 (x) = sin x
f5 : [0, 2] → IR
f5 (x) = ex
37
f6 : [−1, 2] → IR
f6 (x) = x + 3
Spiegare nel caso f4 , f5 , f6 il significato di θ.
5. Trovare un punto c nell’intervallo [0, 1] che verifica la formula di
quadratura del teorema della media relativamente alla funzione f (x) =
x2 + x e provare che é unico.
6. Determinare la funzione integrale delle funzioni f1 , f2 , f3 , f4 , f5 , f6
dell’esercizio 5).
7. L’energia elettrica é fatturata per scaglioni in relazione al consumo
bimestrale: 80 £/Kwh per i primi 150 Kwh; 100 £/Kwh da 151 a 350
Kwh; 180 £/Kwh per i Kwh che eccedono 350.
Indicato con x (espresso in Kwh) il consumo bimestrale di un utente,
determinare:
– l’importo f (x) dovuto dall’utente nel bimestre;
– il costo medio unitario g(x) dell’energia nel bimestre.
R3
1
8. Provare che non puó essere 1 arctan e x2 dx = 20.
9. Sia assegnata la funzione f (x) = x1 , x > 0; sia r la retta tangente al
grafico di f in un punto P, sia Q l’intersezione della retta tangente
con l’asse x ed infine sia s la perpendicolare all’asse x in Q.
Mostrare che l’area delimitata dal grafico di f, la retta r e la retta s
é costante al variare del punto P sul ramo dell’iperbole considerato.
10. Sia f (x) una funzione limitata ed integrabile nell’intervallo [0, 4] e
R4
tale che 0 f (x) dx = 16.
Dimostrare che esiste almeno un punto x0 ∈ [0, 4] tale che f (x0 ) < 5.
Se f (x) é continua in [0, 4] dimostrare che esiste almeno un punto
x0 ∈ [0, 4] tale che f (x0 ) = 4.
11. Calcolare l’area della regione di piano compresa tra le rette di equazione
y = x, x = −π, x = π e la curva di equazione y = sin x.
12. Calcolare l’area della regione di piano compresa tra le curve di equazione
y = x2 − 1 e y = −x2 .
13. Calcolare l’area della regione di piano compresa tra le curve f (x) =
sin x, cos x, x ∈ [0, 2π].
38
14. Si vuol somministrare un insetticida ad una coltura le cui foglie sono
ricoperte da uova di farfalla. La quantitá di insetticida da somministrare é proporzionale al numero delle uova.
Si consideri una foglia campione e si supponga che:
(a) la forma della foglia si possa schematizzare come una regione di
piano delimitata dalle rette y = 2x, y = −3x, 5x + 4y − 39 =
0, 7x − 5y − 44 = 0;
(b) l’area della sezione di ciascun uovo sia costante ed uguale ad A;
(c) si pensi la foglia completamente ricoperta dalle uova.
Calcolare il numero delle uova presenti nella foglia.
15. Assegnata la funzione f (x) = sin x determinare la primitiva che passa
per l’origine.
16. Si determini l’area della regione di piano delimitata dal grafico della
funzione f (x) = x2 − 1 e dalle rette di equazione x = 0, x = 2, y = 0.
Qual é l’espressione della primitiva di f (x) nell’intervallo [0,2] che vale
1 nel punto x = 0.
17. La quota dovuta per il consumo dell’acqua potabile é fatturata per
scaglioni: 10.000 £/mc. per i primi 10 mc.; 15.000 £/mc da 11 mc. a
20 mc.; 20.000 £/mc. per i metri cubi che eccedono 20.
Disegnare il grafico f (x) della funzione costo unitario dell’acqua nel
relativo scaglione.
Indicato con x (espresso in metri cubi) il consumo semestrale di un
utente
a) determinare l’importo F (x) dovuto dall’utente nel semestre (considerando le varie possibilitá);
c) determinare l’espressione della funzione g(x) che rappresenta il costo
unitario medio dell’acqua nel semestre.
18. Applicando il metodo di esaustione, tramite plurirettangoli inscritti e
circoscritti, determinare l’area della regione di piano sottesa dal grafico
della funzione f (x) = 3x, gli assi x, y e la retta di equazione x = 2.
19. Usando il metodo numerico di approssimazione ”esaustivo” tramite
plurirettangoli inscritti e circoscritti, determinare l’area della regione
di piano sottesa dal grafico della funzione f (x) = 2x, l’asse delle x
e le rette di equazione x = 1, x = 3.
39
20. Determinare le derivate delle seguenti funzioni
Rx 2
F (x) = 3 e−t dt,
Rx
G(x) = senx 1 log tdt.
21. Sia C la parabola con vertice V = (3/2,-1/4)e passante per i punti A =
(1,0), B = (2,0). Per ogni t < 1, calcolare l’area della regione compresa
tra la parabola C, l’asse x e la retta x = t. Trovare t0 in modo che tale
area risulti 5/6.
22. Disegnare il grafico della funzione f (x) = [x] nell’intervallo [−1, 1].
Applicare il Teorema della media a tale funzione e motivare perché il
numero θ puó non appartenere al codominio di f.
23. Assegnata la funzione f (x) = x3 , calcolare le approssimazioni per
difetto e per eccesso del metodo di esaustione per n = 1, 2.
R +∞
24. Calcolare 0 3dx.
Sia f : [0, +∞] → IR, una funzione continua.
R +∞
Indicare una condizione necessaria su f affinché 0 f (x)dx sia un
numero finito.
25. Sia f : [1, +∞] → IR, una funzione continua. Per definizione
R +∞
Rb
f
(x)dx
=
lim
f (x)dx, b > 1
b→∞
1
1
R +∞
Indicare una condizione necessaria su f affinché 1 f (x)dx sia un
numero finito.
R +∞
Calcolare 1 1/xdx. Sia f : [0, b] → IR limitata e integrabile in
ogni intervallo [a, b] con a > 0 e tale che limx→0 | f (x) |= +∞.
Diremo f integrabile in senso generalizzato (i.s.g.) in [0, b] se esiste
Rb
finito lima→0 a f (x)dx.
Provare che la funzione f (x) = x1 non é i.s.g. in [0, b].
Dare l’esempio di una funzione, sempre infinito per x → 0 che sia i.s.g
in [0, b].
26. Determinare la capacitá di un recipiente di cui sia nota l’altezza h e la
cui sezione trasversale (costante) sia un arco di parabola di ampiezza
massima 2m.
27. Assegnata la funzione f : [0, 1] → IR

 x1 se 0 < x ≤ 1
f (x) =
 1 se x = 0
2
40
disegnare il grafico e interpretarlo. Determinare alcune funzioni a gradinata che approssimino la funzione f (x) dell’esercizio (c) per difetto
(somme integrali inferiori). Darne una rappresentazione grafica.
Motivare, usando l’operazione di limite, la non esistenza nell’intervallo
di definizione [0, 1] di funzioni a gradinata che approssimino la f (x)
per eccesso (somme integrali superiori) e quindi l’impossibilitá di ”innescare” il metodo di integrazione secondo Riemann.
28. Data la funzione g(x) = x2 + 1 definita nell’intervallo I = [− 21 , 2],
determinare un valore c ∈ I per il quale risulti soddisfatto il teorema
della media.
Discutere l’unicitá di c ∈ I e individuare una proprietá sulla funzione
integranda che implichi in generale l’unicitá di un tale punto c.
29. Determinare la famiglia delle primitive della funzione g(x) = x + 1
definita nell’intervallo I = [−2, 2] e disegnarne alcune.
Individuare fra esse la funzione integrale e disegnarla.
30. Assegnato il grafico della funzione f (x) = cos x nell’intervallo [−π/2, π/2],
disegnare nello stesso intervallo i grafici delle seguenti funzioni e specificare il loro codominio:
- f (x) + 2
- 2f (x)
- −f (x)
- f (−x).
Calcolare, relativamente all’intervallo [−π/2, π/2], l’area delle regioni
limitate di piano comprese tra i grafici e l’asse x.
31. Dato a > 0 si consideri il triangolo T delimitato dagli assi cartesiani e
dalla retta y = a − x. Usando il metodo numerico di approssimazione
”esaustivo” tramite plurirettangoli inscritti e circoscritti, determinare
l’area del triangolo T .
32. Approssimare mediante funzioni a gradinata per difetto e per eccesso
l’integrale della funzione f (x) = sin x1 nell’intervallo [2/π, 4/π].
33. Disegnare il grafico della funzione f : [−2, 2] → IR, f (x) = x2 − [x] .
Determinare l’area della regione di piano compresa tra il grafico di f
e l’asse x.
41
34. Disegnare il grafico della funzione f (x) = x− | x | . Determinare l’area
della regione di piano compresa tra il grafico di f, l’asse x e le rette
y = −2, y = 2.
35. Dimostrare che l’area della regione tratteggiata in figura é costante al
variare del punto P sul ramo dell’iperbole equilatera y = 1/x. ( La
retta r é tangente in P all’iperbole e la retta s é perpendicolare all’asse
x nel punto Q).
iperbole
36. Applicando il metodo di esaustione, calcolare l’area della regione limitata di piano compresa tra il grafico della funzione f (x) = −x + 1,
l’asse x e l’asse y.
(∗)
x0 (t) = a x(t),
a costante.
42
Z
Z 0
x (t)
dt = a dt.
x(t)
38. Assegnata la famiglia di primitive
x(t) = keat , t > 0, a costante assegnata
determinare quella che nell’istante t = 0 vale x0 .
39. Come approssimereste l’area di una foglia di olivo?
Stabilite in che ipotesi lavorate e come la posizionate in un sistema di
assi cartesiani.
40. Assegnate le funzioni
2
f1 (x) = ex , f2 (x) = ex /x, f3 (x) = sin x2 ,
f4 (x) = cos ex , f5 (x) =
p
(x3 + 1), f6 (x) = 1/ log x, f7 (x) = sin x/x
tracciare il grafico delle loro primitive studiando il grafico delle f (x)
assegnate o costruendo un campo di orientori.
43
PROBABILITÁ
1. Estraggo 5 lettere delle 21 dell’alfabeto. Qual’é la probabilitá che nel
gruppo delle cinque lettere estratte siano contenute le lettere a, b?
2. Una urna contiene 12 palline rosse, 7 bianche e 6 nere. Estraggo da
essa tre palline. Qual’é la probabilitá che almeno due siano bianche?
3. Una urna contiene 12 palline rosse, 7 bianche e 6 nere. Estraggo da
essa tre palline. Qual’é la probabilitá che al piú due siano rosse?
4. Una urna contiene 8 palline rosse, 7 bianche e 5 verdi.Trovare la probabilitá che, estraendone due, esse siano una bianca e una rossa; estraendone invece quattro esse siano tre bianche e una verde.
5. Una urna contiene 8 palline rosse, 7 bianche e 5 verdi.Trovare la probabilitá che, estraendone due, esse siano entrambe bianche; estraendone
invece quattro esse siano 2 rosse e 2 bianche.
6. Estraggo due palline da una urna che ne contiene 20 di cui 12 bianche
e 8 rosse. Quindi estraggo 2 palline da un’altra urna che ne contiene
24 di cui 9 gialle, 7 verdi e 8 nere. Qual’é la probabilitá che le 4 palline
estratte siano tutte di colore diverso?
7. Il colore degli occhi é determinato da geni che si indicano B e b. Precisamente, gli individui con geni bb hanno gli occhi azzurri, quelli con
geni BB oppure Bb hanno occhi scuri.
Supponiamo che 14 della popolazione di un paese abbia geni BB, 14
abbia geni bb e 21 abbia geni Bb.
Si chiede di calcolare:
- per un individuo con gli occhi scuri la probabilitá che abbia i geni
BB;
- per un individuo con gli occhi scuri la probabilitá che abbia i geni Bb;
- la probabilitá che un figlio avente il padre con gli occhi scuri e la
madre con gli occhi azzurri, abbia gli occhi scuri.
8. In una popolazione umana la probabilitá di essere sordo é stimata
0.0050 e la probabilitá di essere cieco 0.0085. Le due infermitá si presentano insieme con la probabilitá 0.0006. Qual’é la probabilitá di essere
cieco e/o sordo?
44
9. É stato sperimentato uno strumento per acchiappare le vespe. Su 720
vespe attratte dall’esca solo 128 sarebbero state acchiappate. Perció
la probabilitá di acchiappare una vespa viene stimata p = 128/720 =
0.178. Qual’é la probabilitá che su tre vespe scelte casualmente
a) nessuna é catturata,
b) almeno una é catturata?
10. I gruppi sanguigni A B 0 sono determinati da tre alleli a, b, o nella
stessa posizione genetica. Supponiamo che il padre sia del genotipo ao
e la madre del genotipo bo. Qual’é la probabilitá che un figlio sia del
genotipo
- ab
- ao
- bo
- oo
- aa?
11. In una popolazione le frequenze relative dei gruppi del sangue A, B,
0 sono:
antigene A presente
39%
antigene B presente
48%
antigene A, B presenti
15%.
- Qual’é la frequenza relativa degli individui mancanti di entrambi gli
antigeni (Gruppo 0)?
- Se un individuo scelto casualmente ha l’antigene B, qual’é la probabilitá che egli manchi dell’antigene A?
12. Una coppia programma di avere 5 figli.
Qual’é la probabilitá che abbiano un maschio e 4 femmine? Qual’é la
probabilitá che il primo figlio sia maschio e i 4 successivi femmine?
13. In un contenitore vi sono 7 penne nere, 5 blu e 3 rosse. In quanti modi
si possono scegliere
a) 5 penne nere;
b) 4 penne nere e 1 rossa;
c) 2 penne nere, 2 rosse e 1 blu.
14. Considerato un campione di 10 persone calcolare la probabilitá che
a) siano nate tutte nel mese di maggio;
45
b) 5 di esse siano nate tutte lo stesso giorno;
c) nessuna di esse sia nata lo stesso giorno di un’altra.
15. Prendiamo in considerazione un particolare locus genetico con possibili
geni A e a. Supponiamo che in una popolazione il gene A sia presente
con probabilitá p e il gene A con probabilitá q = 1 − p. Compilare
la seguente matrice, i cui elementi rappresentano la probabilitá di un
certo genotipo per il figlio (R2 ) dato quello del genitore (R1 ).
(R2 )
(R1 )
AA
Aa
aa
AA
Aa aa
p
·
·
·
1
p
2
·
·
·
·
16. In 6 contenitori si devono sistemare 4 oggetti. Determinare in quanti
modi si possono sistemare gli oggetti nei seguenti casi:
a) gli oggetti siano distinguibili fra loro ed in ogni contenitore debba
essere posto, al massimo, un oggetto;
b) gli oggetti siano distinguibili fra loro ed in ogni contenitore si possano
mettere anche piú oggetti;
c) gli oggetti siano indistinguibili fra loro ed in ogni contenitore debba
essere posto, al massimo, un oggetto;
d) gli oggetti siano indistinguibili fra loro ed in ogni contenitore si
possano mettere anche piú oggetti.
17. Da un’indagine svolta su 1.000 giovani é risultato che 300 avevano solo
la licenza elementare, 500 il diploma di scuola media e 200 il diploma di
scuola superiore o la laurea. Di quelli con licenza elementare, il 15% é
disoccupato, di quelli con licenza media il 9% é disoccupato e di quelli
con diploma di scuola superiore o laurea solo il 3% é disoccupato.
Scelto a caso un giovane disoccupato, calcolare la probabilitá che
a) possegga solo la licenza elementare;
b) possegga un diploma di scuola superiore o una laurea.
Commentare il risultato.
18. Otto commensali sono disposti intorno ad un tavolo rettangolare. In
quanti modi possono sistemarsi?
E se il tavolo fosse circolare?
46
19. Una classe é composta da 10 ragazze e 14 ragazzi. Si scelgono a caso 3
rappresentanti di classe. Calcolare la probabilitá che siano
a) tutti ragazzi;
b) tutte ragazze;
c) almeno una ragazza.
20. Si ripeta un esperimento 5 volte. Supposto che si siano avuti 3 successi
nelle prime 3 prove, qual’é la probabolitá di avere ancora 2 successi?
21. In un concorso con 100 studenti si svolgono 2 prove scritte il cui superamento (di entrambe) consente l’esonero dalla prova finale. I 3/4
superano la prima prova e il 60% di coloro che hanno superato la prima,
supera anche la seconda. Qual’é il numero degli esonerati?
(a) 40
(b) 45
(c) 50
22. Un tiratore colpisce il centro del bersaglio con probabilitá p = 20%.
Calcolare la probabilitá che faccia almeno 1 centro in 5 tiri.
23. Tre cacciatori sparano in modo indipendente verso un bersaglio; il
primo ha probabilitá 50% di colpirlo, il secondo 40% ed il terzo 70%.
Calcolare la probabilitá che:
a) tutti e tre i cacciatori colpiscano il bersaglio;
b) nessun cacciatore colpisca il bersaglio;
c) un solo cacciatore colpisca il bersaglio;
d) almeno uno dei cacciatori colpisca il bersaglio.
24. Un tiratore colpisce il centro del bersaglio con probabilitá p = 20%.
Calcolare la probabilitá che faccia almeno 1 centro in 5 tiri.
47

Esercizi - Dmi Unipg

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