APPUNTI PER IL CORSO DI SCIENZA DEI SISTEMI COMPLESSI II

Transcript

APPUNTI PER IL CORSO DI SCIENZA DEI SISTEMI COMPLESSI II:FISICA
Laurea Magistrale in Scienze Ambientali
Università Cá Foscari di Venezia
Achille Giacometti
Dipartimento di Chimica Fisica, Università Cá Foscari di Venezia,
Calle Larga S. Marta DD 2137, I-30123 Venezia, Italy
http://venus.unive.it/achille/
Nota introduttiva
Queste note sono l’evoluzione di un corso di Meccanica dei Fluidi e processi di trasporto da me
tenuto a partire dall’anno 2004-2005 per la Laurea Specialistica (ora Magistrale) in Scienze Ambientali e che adesso fa parte del Corso di Scienza dei Sistemi Complessi II: Fisica Il corso è pensato
per studenti del primo anno della Laurea Magistrale, che abbiano quindi già avuto le nozioni matematiche e fisiche tipiche dei primi anni di un corso di Laurea scientifico. Sappiamo bene tutti la
rivoluzione (che non ritengo del tutto positiva) che la riforma degli ordinamenti universitari ha portato nei programmi dei vari corsi di Laurea. Una immediata conseguenza di ciò è stata la mancanza
di testi adatti al nuovo sistema, sostanzialmente monografico, dei corsi. Questa è stato il motivo
principale (assieme alle insistenze degli studenti!) che mi ha spinto a scrivere queste note, in attesa
che qualcuno scriva qualche testo adatto a questo corso. Ritengo però che esse debbano essere prese
solo come linea guida e non sostitutiva dello studio dei testi consigliati. Primo perchè esse sono
semplicemente delle note di lezione e non un testo. Secondo perchè un maggior numero di chiavi
di lettura è strumento insostituibile della pedagogia universitaria. Trattandosi di una prima bozza,
queste note saranno senz’altro piene di errori e sarò grato agli studenti che volessero segnalarmeli.
i
Indice
1 Introduzione
1
1.1
Generalità sui fluidi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
La descrizione Euleriana e la derivata sostanziale . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.3
Forze di volume e di superfice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2 Idrostatica elementare
9
2.1
Definizione di densità e pressione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.2
Equilibrio statico di un fluido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
2.3
La legge di Stevino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
2.4
Superfici isobariche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
2.5
Applicazioni: Vasi comunicanti, manometro e barometro . . . . . . . . . . . . . .
16
2.6
L’equazione barometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
2.7
Il principio di Archimede . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
2.8
Paradosso idrostatico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
3 Elementi di algebra vettoriale e tensoriale
23
3.1
Coordinate cartesiane, polari e cilindiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
3.2
Calcolo vettoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
3.3
Esempio introduttivo al calcolo tensoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
3.4
Convenzione sugli indici ripetuti e relazione fondamentale . . . . . . . . . . . . .
31
3.5
Calcolo tensoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
3.6
Operatori differenziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
3.7
Identità vettoriali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
3.8
Teorema di Gauss e significato della divergenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
3.9
Teorema di Stokes e significato del rotore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
4 Teoria dei fluidi ideali
4.1
51
Conservazione della massa ed equazione di continuità . . . . . . . . . . . . . . . .
iii
51
iv
INDICE
4.2
Equazione di Eulero per fluidi ideali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
4.3
Linee e tubi di flusso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
4.4
Fluidi incompressibili e flusso stazionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
4.5
Sistemi bidimensionali e funzione di corrente Ψ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
4.6
Vorticità e suo significato fisico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
4.7
L’equazione per la vorticità nei fluidi ideali ed incompressibili . . . . . . . . . . .
66
4.8
Teorema di Kelvin sulla circuitazione della velocità . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
4.9
Fluidi irrotazionali ed equazione di Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
5 Applicazioni della teoria dei fluidi ideali
71
5.1
L’equazione di Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
5.2
Legge di Stevino dall’equazione di Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
5.3
Tubo di venturi e linea piezometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
5.4
Superficie di un fluido in rotazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
5.5
Il paradosso di d’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
5.6
Il teorema di Torricelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
5.7
L’effetto Magnus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
6 Teoria dei fluidi non ideali
85
6.1
La viscosità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
6.2
Il tensore degli sforzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
6.3
L’equazione di Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89
6.4
Il problema delle condizioni al contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
6.5
La legge di similarità ed il teorema di Buckingam . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
6.6
Il numero di Reynolds ed il suo significato fisico . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
6.7
Condizioni per l’approssimazione di fluido incompressibile . . . . . . . . . . . . .
98
7 Applicazioni della teoria dei fluidi non ideali
103
7.1
Soluzione unidimensionale con superficie libera per fluido incompressibile . . . . . 103
7.2
Flusso su un piano inclinato con superficie libera . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
7.3
Flusso di Poiseuille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
7.4
Flusso di Couette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
7.5
Forza di Stokes per una sfera in moto in un fluido incompressibile . . . . . . . . . 116
8 Il trasporto nei fluidi
119
8.1
Diffusione molecolare, legge di Fick e della diffusione . . . . . . . . . . . . . . . 119
8.2
Conduzione termica e legge di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
INDICE
8.3
8.4
8.5
v
Convezione e numero di Peclét . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
Convenzione e approssimazione di Boussinesque . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
Numeri di Froude e di Strouhal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
9 Cenni sulla Turbolenza
129
9.1 Flusso ad alti numeri di Reynolds e instabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
9.2 La formulazione statistica e il problema della chiusura . . . . . . . . . . . . . . . 132
A Formule Vettoriali
137
B Teoremi di calcolo vettoriale
139
C Operatori differenziali in coordinate cilindriche e sferiche
141
D Derivazione generale della legge di Stokes
145
E Modello microscopico per la diffusione
153
Elenco delle figure
1.1
Dipendenza di una quantità scalare Φ (la temperatura ad esempio) dalla scala delle
lunghezze l. Sull’asse delle ascisse sono definiti i confini delle scale miscoscopiche
l1 , mesoscopiche l2 e macroscopiche l3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
Cubo elementare di dimensioni dV = dS dz dove dS = dxdy considerato per le
condizioni di equilibrio idrostatico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2.2
Condizioni di equilibrio lungo l’asse ẑ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2.3
Gemetria nella dimostrazione del principio di Archimede. . . . . . . . . . . . . . .
20
2.4
I tre recipienti della discussione sul paradosso idrostatico. . . . . . . . . . . . . . .
21
3.1
Coordinate polari. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
3.2
Coordinate cilindriche. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
3.3
Esempio della massa collegata da due molle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
3.4
Il teorema di Gauss. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
3.5
Divergenza in coordinate cartesiane. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
3.6
Il teorema di Stokes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
3.7
Rotore in coordinate cartesiane. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
4.1
Equazione di continuità. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
4.2
Definizione di linee di flusso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
4.3
Tubo di flusso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
4.4
Caso di flusso unidimensionale stratificato. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
4.5
Caso di campo di velocità con dipendenza radiale. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
4.6
Campo irrotazionale e circuitazione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
4.7
Geometria per il teorema di Kelvin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
4.8
Dimostrazione che I2 = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
5.1
Il Tubo di Venturi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
2.1
vii
viii
ELENCO DELLE FIGURE
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
Liquido in rotazione in un recipiente cilindrico. . . . . . . . . . . . .
Geometria per il principio di d’Alembert. . . . . . . . . . . . . . . .
Il teorema di Torricelli. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Caso di solo rotazione del cilindro rispetto al fluido. . . . . . . . . . .
Caso di solo translazione del cilindro rispetto al fluido. . . . . . . . .
Caso generale di translazione e rotazione del cilindro rispetto al fluido.
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75
78
81
82
82
83
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
Due lastre solide con intercapedine di fluido in moto relativo con velocità costante
v0 una rispetto all’altra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dipendenza trasversale della viscosità. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Forze ideali di superficie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Condizioni di parete impermeabile. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Condizioni all’infinito. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tipico diagramma di fase di un fluido classico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
86
88
92
93
98
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5
7.6
Flusso unidimensionale con superficie libera mantenuta in moto con velocità v.
Geometria per lo scorrimento di un fluido su un piano inclinato. . . . . . . . .
Condotta cilindrica e flusso di Poiseuille. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Profilo di velocità parabolico nel flusso di Poiseuille. . . . . . . . . . . . . . .
Flusso di Couette. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Moto di una sfera in un fluido incompressibile. . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1
8.2
Sistema composto formato da due sottosistemi ad alta e bassa densità. . . . . . . . 119
Sistema di due contenitore in contatto termico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
9.1
9.2
9.3
9.4
Flusso a bassi numeri di Reynolds (laminare) Re << 1. . . . .
Flusso a numeri di Reynolds medi Re ∼ 10. . . . . . . . . . .
Flusso ad alti numeri di Reynolds Re ∼ 100. . . . . . . . . . .
Decomposizione schematica della velocità originale (alto) in
mezzo) e una fluttuazione (in basso). . . . . . . . . . . . . . .
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. . . . . . . . . . .
una parte lenta (in
. . . . . . . . . . .
104
106
109
112
113
116
129
130
131
132
E.1 Contenitore unidimensionale diviso in tanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
E.2 Coppia di contenitori all’istante iniziale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
Elenco delle tabelle
1.1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ix
2
Capitolo 1
Introduzione
1.1 Generalità sui fluidi
Come sappiamo, esistono tre stati della materia. I solidi hanno un ordine a lungo raggio (ordine
reticolare) e di conseguenza hanno un volume proprio e una forma propria. I gas, d’altra parte, non
presentano nessun tipo d’ordine, e a questo è legato il fatto di non avere nè un volume nè una forma
propria. I liquidi infine sono una specie di via di mezzo, in quanto presentano un ordine a corto
raggio. Legato a ció è il fatto di avere un volume proprio ma una forma non propria. A questo punto
sono necessarie alcune osservazioni.
a) In realtà noi sappiamo che esistono altri stati della materia (plasma, amorfi ecc), ma una loro
discussione esula dagli scopi di questo corso.
b) Dal punto di vista microscopico, non esiste nessuna differenza sostanziale tra liquidi e gas,
mentre un discorso a parte deve essere fatto per i solidi, dove la simmetria translazionale
associata all’ordine cristallino, li distingue decisamente da liquidi e gas. Dal punto di vista
delle equazioni del moto, quindi, liquidi e gas si possono trattare con lo stesso formalismo. In
tale contesto, è quindi di uso comune indicarli con il nome di fluidi, associando i liquidi con i
fluidi incompressibili (o incomprimibili), mentre i gas vengono definiti fluidi compressibili (o
comprimibili). Questo, ovviamente, per il fatto che i fluidi hanno un volume proprio mentre
1
2
Capitolo 1. Introduzione
Ordine
Visuale
Descrizione
Equazioni del moto
Tipo di equazioni
Dissipazione
Massa
Energia
Solidi
Reticolare
Newtoniana
Macroscopica
Newton
Lineari
Attrito
Conservazione
Conservazione
Liquidi
Nessuno o non reticolare
Maxwelliana o Euleriana
Mesoscopica
Navier-Stokes
Non-Lineari
Viscosità
Equazione di continuità
Equazione di Bernoulli
Tabella 1.1: Confronto solidi-fluidi
i gas no. Anche se in prima approssimazione possiamo accettare questa affermazione, vedremo più avanti che le cose non stanno proprio cosı̀ e che anche i gas, sotto certe condizioni,
possono essere considerati incompressibili.
c) In generale, la descrizione della dinamica (cioè delle equazioni del moto) dei fluidi compressibili
è più complessa di quella dei fluidi incompressibili, come vedremo.
d) In conseguenza dell’ordine reticolare presente nei solidi, sono sufficienti solo 6 gradi di libertà
(3 translazionali e 3 rotazionali) per identificare univocamente la posizione di un corpo rigido
(solido) nello spazio. Questo comporta che le equazioni del moto per un corpo rigido sono
solo 6, le 3 equazioni scalari (o una vettoriale) di Newton associate al moto traslazionale, e
le 3 equazioni scalari (una vettoriale) di Newton associata al moto rotazionale. Per i fluidi la
cosa è molto più complessa, mancando il vincolo di rigidità, e allo stesso tipo di descrizione
sarebbero associate un numero N di equazioni pari al numero di gradi di libertà del sistema,
dove N >> 1 sarebbe un numero gigantesco (si pensi al numero di Avogadro). Vedremo
quindi che si utilizza un tipo di visuale diverso (detta Maxwelliana o Euleriana) in cui si
pensa di considerare un fluido come un mezzo continuo.
Un confronto schematico tra le proprietà principali di solidi e liquidi è riportato in Tabella 1.1.
3
1.2 La descrizione Euleriana e la derivata sostanziale
Come abbiamo detto, per i fluidi sarebbe impossibile utilizzare la stessa descrizione usata per i solidi
in quanto il nujmero di gradi di libertà (e quindi il numero di equazioni del moto) sarebbe un numero
virtualmente infinito sulle scale in cui siamo abituati. Se non è quindi possibile seguire le traiettorie
di tutte le particelle come si è fatto con i solidi, si utilizza una descrizione di tipo continuo. Ma cosa
vuol dire esattamente descrizione di un continuo? Si consideri un punto nello spazio individuato
dal punto x = (x, y, z) e definiamo un volumetto elementare dV che sia “piccolo” da un punto di
vista macroscopico (sulle nostre scale abituali) ma che comunque contenga tantissime molecole.
Quindi la quantità (dV)1/3 individua una scale di lunghezze mesoscopica, cioè intermedia tra quella
microscopica associata alle dimensioni caratteristiche degli atomi (d) e quella macroscopica V 1/3
associata al volume totale del sistema. Quindi:
d << (dV)1/3 << V 1/3
(1.1)
Si noti che questa separazione di scale e la conseguente descrizione continua l’abbiamo già incontrata in elettromagnetismo quando si parla del campo elettrico o magnetico nel punto x associata
ad una distribuzione continua di carica elettrica (a riposo o in movimento). Per descrivere più in
dettaglio l’operazione che si deve sottointendere, si consideri la situazione descritta dalla Figura
1.1, dove viene riportata in modo schematico la variazione di una quantità generica scalare Φ al
variare della scala considerata. Al di sotto della scala microscopica l1 ∼ d, i volumi elementari sono
cosı̀ piccoli che le varie medie non forniscono risultati stabili e si assiste ad una rapida ed irregolare
fluttuazione di Φ. Al di sotto della scala macroscopica l3 ∼ V 1/3 si assiste ad una variazione della Φ
per effetto della variazione della posizione nello spazio in cui la quantità viene misurata. La scala
mesoscopica è quindi identificata da una misura l2 ∼ (dV)1/3 al di sotto della quale la descrizione
è stabile e quindi sensata. In questo modo, il calcolo è fortemente facilitato. Infatti, tutte gli atomi
o le molecole contenute in dV corrispondono alla stessa particella di fluido che è individuata dal
4
Φ
micro
meso
macro
continuo
l1
l2
l3
l
Figura 1.1: Dipendenza di una quantità scalare Φ (la temperatura ad esempio) dalla scala delle lunghezze l. Sull’asse delle ascisse sono definiti i confini delle scale miscoscopiche l1 , mesoscopiche
l2 e macroscopiche l3 .
punto x. Possiamo quindi passare dalle somme agli integrali nel modo seguente
X X
dV∈V x∈dV
Z
Φ (x)
dV<<1
dVΦ (x)
∼
(1.2)
V
Per descrivere la dinamica di un sistema in tale contesto, si usa quella nota come descrizione Euleriana in cui si considerano le coordinate fisse nello spazio (ovvero nel sistema di riferimento del
Laboratorio, e si considera cosa accade al punto x al variare del tempo. Si noti che esiste un’altra
possibilità, detta descrizione Lagrangiana in cui invece le coordinate sono solidali con la particella
di fluido in moto. Noi useremo sempre la descrizione Euleriana in quanto più intuitiva e di più
semplice utilizzo.
Nella descrizione Euleriana, nasce il problema della derivata temporale. Si consideri infatti la
solita quantità scalare φ (x) (ma considerazioni analoghe valgono anche per i vettori). Al variare
del tempo questa quantità puó variare esplicitamente ma anche in seguito al fatto che la particella
di fluido si è fisicamente spostata. Consideriamo dapprima il caso semplice di una sola coordinata
spaziale x. Dopo un intervallo di tempo ∆t la particella di fluido originalmente in x si troverà nel
punto x + ∆x = x + v x ∆T , dove v x è la componente della velocità del fluido nella direzione x. La
5
conseguente variazione ∆Φ della quantità Φ sarà dunque:
∆Φ = Φ (x + v x ∆t, t + ∆t) − Φ (x, t) =
∂Φ
∂Φ
∆t +
v x ∆t + o ∆t2
∂t
∂x
(1.3)
Quindi dividendo ambo i membri per ∆t e prendendo il limite ∆t → 0, gli ordini di ordine superiore
scompaiono e si ottiene dunque
dφ
dt
∂Φ
∆Φ ∂Φ
=
+ vx
∆t→0 ∆t
∂t
∂x
=
lim
(1.4)
Aggiungendo le altre due coordinate y, z si ottiene quindi con ovvia generalizzazione
dφ
dt
=
∂Φ
∂Φ
∂Φ
∂Φ
+ vx
+ vy
+ vz
∂t
∂x
∂y
∂z
(1.5)
La derivata totale dΦ/dt si definisce anche derivata sostanziale e si indica anche con DΦ/Dt. È
possibile riscrivere l’eq.(1.5) in modo più compatto introducendo le seguenti notazioni
(x, y, z) → (x1 , x2 , x3 )
v x , vy , vz → (v1 , v2 , v3 )
(x̂, ŷ, ẑ) → (ê1 , ê2 , ê3 )
(1.6)
dove l’ultima definizione riguarda i versori (vettori di modulo unitario) fondamentali. Si ottiene
quindi
dΦ
dt
∂Φ X ∂Φ
+
vi
∂t
∂xi
i=1
3
=
(1.7)
Ricordando ora la definizione di gradiente di una funzione scalare Φ in coordinate cartesiane, e cioè
X ∂Φ
∂Φ
∂Φ
∂Φ
êi
x̂ +
ŷ +
ẑ =
∂x
∂y
∂z
∂xi
i=1
3
∇Φ (x) =
(1.8)
che si ottiene applicando l’operatore nabla ∇ alla funzione scalare Φ (ottenendo cosı̀ un vettore), la
6
seconda parte dell’equazione (1.7) puó essere considerata come un prodotto scalare
v · ∇Φ =
3
X
∂Φ
vi
∂xi
i=1
(1.9)
Di conseguenza possiamo scrivere l’eq.(1.7) nel modo seguente
dΦ
dt
=
∂Φ
+ (v · ∇) Φ
∂t
(1.10)
Si noti che la derivata sostanziale puó quindi essere considerata l’operatore
d
dt
=
∂
+ (v · ∇)
∂t
(1.11)
Quanto detto finora puó chiaramente essere generalizzato ad una campo vettoriale
F (x, t) = (F1 (x, t) , F2 (x, t) , F3 (x, t))
(1.12)
nel modo seguente
dF
dt
=
∂F
+ (v · ∇) F
∂t
(1.13)
e dato che vale in generale per qualunque campo vettoriale F vale in particolare per il vettore (campo
vettoriale) velocità v
dv
dt
=
∂v
+ (v · ∇) v
∂t
(1.14)
espressione che apparirà di frequente nel seguito di questo corso in quanto rappresenta l’accelerazione di una particella di fluido.
7
1.3 Forze di volume e di superfice
Come vedremo in dettaglio più avanti, le forze che agiscono su un fluido sono sempre di due tipi:
Forze di Volume Agiscono sempre su una particella singola del fluido, e la loro azione è la stessa in
ogni singola parte della particella del fluido. Quindi è una forza di intensità proporzionale al
volume dV della particella di fluido. Queste forze sono di solito a lungo raggio (ad esempio:
forze gravitazionali, elettromagnetiche ecc)
Forze di Superficie Hanno la loro origine nell’interazione molecolare, e agiscono solo tra elementi
di superfice (forze di contatto). Sono quindi forze a corto raggio (ad esempio: pressione,
attriti, forze elastiche ecc).
Come vedremo più avanti, di entrambe queste forze bisogna tenere conto nell’equazione del moto
del sistema fluido.
Capitolo 2
Idrostatica elementare
2.1 Definizione di densità e pressione
Vediamo ora 2 quantità fisiche estremamente importanti per il proseguio del corso. Supponiamo di
avere un piccolo volume ∆V centrato nel punto x e sia ∆m la sua massa. Definiamo come densità di
un fluido la seguente quantità:
ρ (x) =
∆m dm
=
∆V→0 ∆V
dV
lim
(2.1)
Chiaramente in generale l’equazione (2.1) dipende dal punto x. Se in particolare il fluido è omogeneo, allora il limite è costante e quindi la ρ è indipendente dal punto:
ρ =
dm m
=
dV
V
(2.2)
La densità è uno scalare e ha le dimensioni di una massa su un volume, e quindi nel sistema MKS
kilogrammi/metri3 Più in generale, la rho puó dipendere anche dal tempo e quindi si deve scrivere
ρ = rho (x, t). Dal punto di vista fisico, la densità è associata ad una forza di volume (come vedremo
in dettaglio più avanti).
Consideriamo ora una piccola superficie ∆S centrata in x (punto della superficie) e sia ∆F la
9
10
Capitolo 2. Idrostatica elementare
forza che agisce normalmente alla superficie. Si definisce pressione la quantità
P (x) =
∆F dF
=
∆S →0 ∆S
dS
lim
(2.3)
Anche in questo caso, in generale, la pressione puó essere una funzione del tempo t, e nel caso
omogeneo si riduce alla consueta P = F/S . La pressione è una quantità scalare con dimensioni di
una forza su una superficie, e quindi (in MKS) Newton/metri2 = Pascal. D’altra parte si noti che
sia la forza che la superficie sono, viceversa, dei vettori, e quindi la (2.3) si dovrebbe scrivere più in
generale come
dF = Pda = PdS n̂
(2.4)
dove n̂ è un vettore unitario che definisce la direzione della normale esterna alla superficie (orientata).
2.2 Equilibrio statico di un fluido
Un fluido si dice in equilibrio idrostatico se è in quiete, e cioè se tutti gli elementi del fluido hanno
velocità nulla. Vediamo ora come si puó esprimere matematicamente tale condizione di equilibrio.
Per semplicità si consideri un cubetto elementare di dimensioni dV = dxdydz = dS dz (si veda 2.1).
In condizioni di equilibrio, le forze totali (di volume e di superficie) agenti su tale cubetto devono
annullarsi, e quindi
dF(T ot) = dF(Vol) + dF(S up)
(2.5)
L’equazione vettoriale (2.5) equivale a 3 equazioni scalari, una per ognuna delle componenti x, y, z.
Consideriamo la componente lungo l’asse ẑ. Sulla superficie superiore, situata alla quota z + dz
agisce una pressione P(z+dz), mentre su quella inferiore alla quota z, agisce una pressione P(z) (vedi
Figura (2.2). Quindi le forze totali di superficie e di volume lungo l’asse ẑ sono rispettivamente:
11
z
dz
y
x
dS
Figura 2.1: Cubo elementare di dimensioni dV = dS dz dove dS = dxdy considerato per le
condizioni di equilibrio idrostatico.
P(z+dz)
111111111
000000000
000000000
111111111
000000000
111111111
000000000
111111111
ds
000000000
111111111
000000000
111111111
000000000
111111111
000000000
111111111
000000000
111111111
000000000
111111111
000000000
111111111
000000000
111111111
000000000
111111111
ds
000000000
111111111
000000000
111111111
000000000
111111111
000000000
111111111
000000000
111111111
z+dz
z
P(z)
Figura 2.2: Condizioni di equilibrio lungo l’asse ẑ.
(S up)
dFz
= P(z)dS − P(z + dz)dS
dFz(Vol) =
fz ρdV
(2.6)
(2.7)
dove fz rappresenta la componente z della forza totale di volume per unità di massa (accelerazione) e
P(z) è la pressione totale che agisce alla quota z. Quindi la proiezione lungo l’asse ẑ dell’equazione
12
(2.5) è
fz ρdV + [P (z) − P (z + dz)] = 0
(2.8)
Dato che dz è infinitesimo, possiamo allora sviluppare la P(z + dz) secondo Taylor
P (z + dz) = P (z) +
∂P
dz + o dz2
∂z
(2.9)
Gli infinitesimi di ordine superiore o(dz2 ) si possono trascurare in quanto spariscono nel limite
dz → 0. Sostituendo nella (2.8), dividendo per dV, nel limite dz → 0 si ottiene
∂P
∂z
= ρ fz
(2.10)
In modo analogo si ottengono equazioni simili lungo le altre due componenti x̂ e ŷ. Quindi l’equazione originale (2.5) si trova essere equivalente all’equazione vettoriale
∇P = ρf
(2.11)
che rappresenta quindi la condizione di equilibrio idrostatico. L’interpretazione fisica di questa
equazione è la seguente. Se su un fluido agisce una forza esterna di volume (ad esempio la gravità),
deve esistere un gradiente di pressione per essere in equilibrio idrostatico. Si noti che tale interpretazione fisica ha un analogo nel caso della tensione che appare in un filo inestensibile soggetto ad
una forza esterna. Nel caso un cui la forza esterna sia la gravità, allora chiaramente f = −gẑ (si
ricordi che la gravità agisce verso il basso). Si noti inoltre che in assenza di forze esterne di volume,
f = 0, ∇P = 0 e quindi P è una costante (caso del gas perfetto). Vedremo più avanti come la (2.11)
possa essere considerata come un caso particolare di una equazione per la dinamica.
13
2.3 La legge di Stevino
Vogliamo ora vedere unàpplicazione della legge di equilibrio idrostatico. L’equazione (2.11) quando
la forza esterna è la gravità si scrive
∇P = −ρgẑ
(2.12)
Supponiamo ora che la densità sia una costante cosa sicuramente vera per un liquido che, per quanto
detto, identifichiamo con un fluido incompressibile. Proiettando lungo le componenti x, y, z, si
ottiene
∂P
∂x
∂P
∂y
∂P
∂z
= 0
(2.13)
= 0
(2.14)
= −ρg
(2.15)
da cui si deduce che P è indipendente sia da x che da y. Usando come condizione al contorno
P(z0 ) = P0 e cioè la pressione di riferimento P0 come valore alla quota di riferimento z0 , si ottiene
per semplice integrazione
P (z0 ) = P0 − ρg (z − z0 )
(2.16)
Questa legge, detta di Stevino, descrive la variazione della pressione al variare della quota, nel
caso di fluidi incompressibili. Si noti che la pressione aumenta al diminuire di z, e questo spiega il
perchè la pressione sul fondo del mare sia molto superiore che in superfice. Se infatti si considerasse
una profondità di circa 10 Kilometri rispetto alla pressione atmosferica P0 ∼ 1bar (dove si ricordi
che 1bar = 105 Pa e che il Pascal è l’unità caratteristica della pressione in unità MKS, 1Pa =
1Newt/metri2 ), si trova facilmente che la pressione sul fondo è dell’ordine di 103 bar.
14
2.4 Superfici isobariche
Consideriamo il caso in cui la forza esterna sia conservativa, e cioè derivabile da un potenziale.
Questo significa che esiste una funzione scalare φ tale che f = −∇φ. In questo caso l’equazione
(2.11) diventa
∇P = −ρ∇φ
(2.17)
Di conseguenza, essendo la densità sempre considerata non nulla, ∇P = 0 se e solo se ∇φ =
0. Quindi le superfici isobariche (superfici sulle quali la pressione è costante) concidono con le
superfici equipotenziali (superfici sulle quali il potenziale è costante). Da questo possiamo ricavare
tre conseguenze:
1a conseguenza La densità è costante lungo una superfice isobarica.
Per dimostrare questa affermazione, si considerino due superfici isobariche (e quindi equipotenziali) vicine tra loro. Siano A e B due percorsi qualunque che connettono le due superfici.
In conseguenza dell’equazione (2.17), si ottiene:











dφ dP
=
ρ
A
dn A
dn
A ,
dφ
dP
dn B = ρB dn B
(2.18)
Ma per definizione di superfici isobariche ed equipotenziali, abbiamo che











dP
dP
=
dn
dn
A B ,
dφ = dφ dn A
dn B
da cui discende immediatamente che ρA = ρB = ρ, il che dimostra l’asserto..
2a conseguenza La quota piezometrica di un liquido è costante.
(2.19)
15
La (2.17), nel caso di densità costante (liquido), si puó riscrivere
∇ (P + ρg) = 0
(2.20)
È facile vedere che la funzione φ deve essere φ = gz, e quindi
d P + ρgz = 0
dz
(2.21)
ed essendo ρ e g costanti, si ottiene che
P
+ z = h = costante
ρg
(2.22)
e la quantità h, che si chiama altezza piezometrica, è costante, come si doveva dimostrare.
3a conseguenza La superfice di separazione tra due liquidi non miscibili è piana.
Torniamo alla legge di conservazione (2.22), applicata a due liquidi non miscibili di densità
rispettivamente ρ1 e ρ2 . È conveniente definire la quantità γ = ρg. Quindi la relazione (2.22)
diventa
P1
+ z1 =
γ1
P2
+ z2
γ2
(2.23)
Supponiamo ora di fare una variazione ∆P1 nel liquido 1 (di densità ρ1 ). Sempre per la stessa
legge di conservazione, deve esistere una variazione di pressione ∆P2 nel liquido 2 in modo
che
P1 + ∆P1
+ z1 =
γ1
P2 + ∆P2
+ z2
γ2
(2.24)
Ma affinchè le equazioni (2.23) e (2.24) possano coesistere, è necessario che ∆P1 = ∆P2
(si noti che questa espressione è detta legge di Pascal). D’altra parte ricordando la relazione
16
(2.18) si ha ∆P1 = ρ1 g∆z nel liquido 1 e analogamente ∆P2 = ρ2 g∆z nel liquido 2, dove ∆z
è lo spostamento attraverso l’interfaccia tra i due liquidi lungo la normale all’interfaccia. Ma
essendo, come detto dalla legge di Pascal, le due variazioni di pressione uguali, deve essere
quindi che
(ρ1 − ρ2 ) ∆z = 0
(2.25)
da cui ∆z = 0 essendo i due liquidi di densità distinte. Quindi l’interfaccia è piatta.
2.5 Applicazioni: Vasi comunicanti, manometro e barometro
Dalla legge di Stevino si ricavano immediatamente le spiegazioni di tre fenomeni molto noti.
Legge dei vasi comunicanti Supponiamo di avere due contenitori aperti in contatto tra loro mediante un condotto e siano z1 e z2 le altezze dei livelli di liquido nei due contenitori. Se
denotiamo come P(z1 ) e P(z2 ) le rispettive pressioni, dalla legge di Stevino si ha
P (z1 ) = P (z2 ) − ρg (z1 − z2 )
(2.26)
Ma essendo i due contenitori aperti, le due pressioni all’interfaccia liquido-aria devono essere
uguali e concidenti con la pressione atomosferica P0 . Quindi P(z1 ) = P(z2 ) = P0 , e dalla
(2.26) si ottiene quindi z1 = z2 . Dunque se anche originalmente le due altezze non fossero
state uguali, ci sarebbe un flusso (attraverso il condotto) di liquido dal contenitore con il
liquido ad altezza maggiore verso quello ad altezza minore fino a che le due altezze siano
uguali. Questa è appunto la famosa legge dei vasi comunicanti.
Il manometro Supponiamo di aver artificialmente creato una situazione di non equilibrio tra i due
rami di un manometro ad U, in modo che sia le pressioni P1 e P2 nei due rami, sia le rispettive
altezze z1 e z2 siano differenti. Dalla legge di Stevino riferita ad un altezza di riferminto z0 e
17
alla rispettiva pressione P0 , abbiamo





 P1 ≡ P (z1 ) = P0 − ρg (z1 − z0 )
,




 P2 ≡ P (z2 ) = P0 − ρg (z2 − z0 )
(2.27)
da cui, sottraendo membro a membro, si ottiene che la differenza di pressione ∆P = P1 − P2
è direttamente legata alla differenza di altezza ∆z = z2 − z1 dalla relazione
∆P = ρg∆z
(2.28)
Quindi, la differenza di pressione è misurabile mediante una misura di differenza di altezze
relative, e questo è appunto il principio du cui si basa il manometro.
Il barometro Il barometro di Torricelli è un dispositivo simile, ma con la differenza che uno dei
due rami è chiuso. Supponiamo che il liquido contenuto sia mercurio (Hg). Vedremo dopo
il perchè di questa scelta. La sua pressione quindi sarà uguale alla pressione di equilibrio
del liquido con il suo vapore (tensione di vapore) PHg , che è dell’ordine di 10−6 bar e quindi
circa sei ordini di grandezza più piccola di quella atmosferica P0 ∼ 1bar, e puó essere quindi
considerata nulla. Quindi nella legge di Stevino, dette zHg e z0 le altezze del liquido nel ramo
chiuso e nel ramo aperto rispettivamente, si ha
P0 = ρHg zHg − z0
(2.29)
e questo fornisce direttamente una misura della pressione atmosferica P0 . Per controllare
che le cose sono corrette, basta considerare che g ∼ 10metri/sec2 , ρHg ∼ 104 Kg/metri3 ,
zHg − z0 ∼ 760mm, e si ottiene quindi P0 ∼ 1bar. Possiamo ora capire il perchè della scelta
del mercurio come liquido. Se infatti si fosse scelta l’acqua ad esempio, che ha una densità di
un ordine di grandezza inferiore (ρH2 O ∼ 103 Kg/metri3 ) avremmo avuto zH2 O − z0 ∼ 10metri
e cioè una casa di circa 4 piani!
18
2.6 L’equazione barometrica
Come abbiamo visto, dall’equazione dell’equilibrio idrostatico (2.11), che nel caso in cui la forza esterna sia la gravità diventa la (2.12), si ottiene per integrazione la legge di Stevino nel caso
particolare in cui la densità sia costante. Nel caso di un gas diluito (come per esempio nell’alta
atmosfera) questa ipotesi non è sicuramente verificata. Sorge allora il problema su come procedere
per ottenere la pressione in questo caso. Dato che la forza esterna (la gravità) agisce solo nella direzione ẑ, è ragionevole assumere che la densità dipenda solo dalla coordinata z. L’equazione (2.12)
diventa allora un’equazione scalare lungo la coordinata z:
dP (z)
dz
= −ρ (z) g)
(2.30)
Per poter procedere con l’integrazione, è chiaramente ora necessario trovare un’ulteriore relazione
tra P e z. Tale relazione è ricavabile da una teoria molecolare dei fluidi, e si chiama equazione di
stato. Nel caso di un gas diluito, ad esempio, l’equazione di stato è, con buona approssimazione,
l’equazione delo gas perfetto
PV = NKB T
(2.31)
dove P e V sono la pressione e il volume rispettivamente, N è il numero di molecole contenute
nel volume V, KB è la costante di Boltzmann e T è la temperatura assoluta (misurata in Kelvin).
Vedremo più avanti l’importanza dell’equazione di stato anche nel caso più generale della dinamica.
Ricordando che, per un gas omogeneo, la densità è massa diviso volume e che la massa contenuta
nel volume V è uguale alla massa di una molecola volte il numero di molecole N, è allora chiaro
che la (2.31), è equivalente alla
P
ρ
= constante
(2.32)
19
dove la costante dipende solo dalla temperatura T . Vale dunque la proposizione
P (z)
ρ (z)
=
P0
z0
(2.33)
dove P0 è, come al solito, la pressione alla quota di riferimento z0 . Sostituendo nella (2.30) si ottiene
quindi
dP (z)
dz
= −ρ0 g
P (z)
P0
(2.34)
A questo punto l’equazione differenziale puó essere facilmente integrata per separazione delle
variabili. Definendo la lunghezza λ = P0 /ρ0 g, l’integrazione della (2.34) porge
"
P (z)
P0
#
1
= − (z − z0 )
λ
(2.35)
"
#
(z − z0 )
P (z) = P0 exp −
λ
(2.36)
log
e quindi
che viene detta equazione bariometrica e descrive, con buona approssimazione, la variazione della
pressione al variare dell’altezza in un gas diluito. Si noti che se si assume P0 ∼ 105 Pa, ρ0 ∼
1Kg/metri3 , e g ∼ 10metri/sec2 , si trova che λ ∼ 104 metri = 10Kilometri!.
2.7 Il principio di Archimede
Consideriamo un generico corpo di densità ρ immerso in un liquido di densità ρl . Il liquido esercita
allora una pressione su tutta la superficie del corpo, ma mentre la pressione nelle direzioni x̂ e ŷ
si equilibrano, nel senso che per ogni pressione da un lato ne esiste una uguale ed opposta che la
controbilancia, la direzione ẑ è speciale in quanto la pressione varia con l’altezza secondo la legge
di Stevino (2.16) (con ρL al posto di ρ). Di conseguenza la forza che si esercita sul fondo del corpo
20
è maggiore di quella che si esercita sulla parte superiore, e questo è vero indipendentemente dalla
forma del corpo stesso. È facile calcolare la risultante di queste forze. Supponiamo di sostituire
il corpo con un liquido della stessa forma ma di densità ρL , e calcoliamo la forza che si esercita
sul questa parte di liquido per effetto del resto del liquido (se veda Fig.2.3) Se isoliamo dal corpo
z
00
11
11
00
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
ρL
dF(z+dz)
z+dz
11111111
000000
00dS
11
00
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
z
111111
000000
00
11
dF(z)
Figura 2.3: Gemetria nella dimostrazione del principio di Archimede.
un volumetto cilindrico di volume dV = dS dz dove dS è la superficie (elementare) della base del
cilindro, e dz è la sua altezza, possiamo facilmente calcolare la forza che agisce su di esso sulla base
dell’equazione di Stevino, in quanto dF(z) e dF(z + dz) sono le forze che si esercitano sulle basi
inferiore e superiore rispettivamente. Quindi la forza totale lungo la direzione ẑ è
dFztot = ρL gdV
(2.37)
essendo P(z) − P(z + dz) = ρL gdz dalla legge di Stevino. Integrando ora su tutto il volume, essendo
la densità ρL costante, otteniamo chiaramente che
Ftot = ML gẑ
(2.38)
è la forza che si esercita sul liquido di massa ML avente la forma del corpo originale. Questa peró è
anche la forza che si eserciterebbe sul corpo stesso! Quindi un corpo immerso in un liquido riceve
una spinta dal basso verso l’alto pare al peso del volume del liquido spostato. Questo risultato è
21
noto come principio di Archimede.
Si noti che questo risultato vale in tutti i casi in cui vale la legge di Stevino, e cioè in tutti i casi
in cui, con buona approssimazione, il fluido puó essere considerato incompressibile. Come detto,
questo comprende anche una classe di gas entro determinate condizioni.
Il principio di Archimede ha vastissime applicazioni in tantissimi campi della fisica e dell’ingegneria, ma una delle più interessanti è quella della possibilità di misurare la densità di un corpo mediante una misura relativa. Questa fu, storicamente, anche la prima applicazione di questo principio,
e che viene ricordato come la corona di Archimede.
2.8 Paradosso idrostatico
Come ultima cosa, è interessante discutere un risultato, a prima vista paradossale, ma che è una semplice conseguenza della legge di Stevino. Si considerino tre contenitori di base identica (superficie
S ) ma di forma differente (Fig.2.4). Tutti tre i recipienti sono riempiti di un liquido fino all’altezza
h
h
S
S
Caso A
Caso B
h
S
Caso C
Figura 2.4: I tre recipienti della discussione sul paradosso idrostatico.
h. Chiaramente il recipiente B conterrà molto più liquido di A che a sua volta ne conterrà di più di
C. Ciononostante, la forza esercitata sul fondo sarà sempre la stessa perchè la stessa è la pressione
sul fondo (data dalla legge di Stevino). Quindi se ci fossero dei rubinetti collegati al fondo dei tre
contenitori, il fluido uscirebbe con la stessa velocità nei tre casi!
Spesso questo apparente paradosso viene indicato come paradosso idrostatico.
Capitolo 3
Elementi di algebra vettoriale e
tensoriale
3.1 Coordinate cartesiane, polari e cilindiche
Com’è noto, un punto nello spazio puó essere identificato dando una terna di numeri reali (x, y, z)
che rappresentano le coordinate del punto rispetto ad una terna cartesiana. Questa rappresentazione,
detta di coordinate cartesiane, non è peró l’unica possibile. Ne esistono molte altre ed esiste anche
un formalismo generale che permette di indivuarle e studiarle. Per quanto ci riguarda peró, ci
limiteremo a definirne altre due particolarmente utili.
Coordinate polari
Le coordinate polari sono individuate da una terna (r, θ, φ) legate alle coordinate cartesiane
dalle seguenti relazioni (Fig.3.1):




x = r sin θ cos φ







y = r sin θ sin φ ,







 z = r cos θ
23
(3.1)
24
Capitolo 3. Elementi di algebra vettoriale e tensoriale
con i limiti:
0 ≤ r < +∞
0 ≤ φ ≤ 2π
0≤θ≤π
(3.2)
Si noti che la corrisponenza non è perfettamente biunivoca in quanto il punto corrispondente
z
θ
r
y
φ
x
Figura 3.1: Coordinate polari.
a r = 0 riveste un ruolo particolare.
Coordinate cilindriche
Le coordinate cilindriche, sono indivituate da una terna (ρ, φ, z) dove l’ultima coordinata coincide con la coordinata z delle coordinate cartesiane, mentre le altre due sono legate a quelle
cartesiane dalle relazioni (Fig. 3.2):





 x = ρ cos φ
,




 y = ρ sin φ
(3.3)
25
con i limiti:
0 ≤ ρ < +∞
0 ≤ φ ≤ 2π
− ∞ < z < +∞
(3.4)
Anche in questo caso il punto ρ = 0 riveste un ruolo particolare che rompe la biunivocità con
z
y
φ
ρ
x
Figura 3.2: Coordinate cilindriche.
le coordinate cartesiane.
3.2 Calcolo vettoriale
Ricordiamo che il calcolo vettoriale permette una rappresentazione assoluta, che non dipende cioè
dal particolare sistema di riferimento. In questo senso è importante ricolrdare la distinzione tra
vettore e la sua rappresentazione in un particolare sistema di riferimento. Ad esempio, al vettore
posizione x possono corrispondere molti diversi sistemi di riferimento (polari, cilindrici, ecc) come
discusso.
Il calcolo vettoriale si basa su delle operazioni vettoriali che non dipendono dal particolare
26
sistema di riferimento. Ad esempio il prodotto scalare A · B = |A||B| cos α dove α è l’angolo tra le
direzioni dei vettori A e B. Discorso analogo vale per il prodotto vettore, A × B = [|A||B| sin α]n̂,
dove n̂ è il versore (vettore di modulo unitario) perpendicolare al piano individuato dai due vettori
A e B. Quando si opera in un particolare sistema di coordinate, peró, tali operazioni assumono delle
rappresentazioni particolari. Particolarmente utile si trova essere la rappresentazione cartesiana (in
coordinate cartesiane), dove vedremo come sviluppare una simbologia molto utile per semplificare
i calcoli. In tale rappresentazione un vettore assume la forma
A = A x x̂ + Ay ŷ + Az ẑ = A x , Ay , Az
(3.5)
oppure sostituendo le terne (A x , Ay , Az ) e (x̂, ŷ, ẑ) con la terna (A1 , A2 , A3 ) e (ê1 , ê2 , ê3 ) rispettivamente,
A = A1 ê1 + A2 ê2 + A3 ê3 =
3
X
Ai êi
(3.6)
i=1
Le proprietà di ortonormalità tra i versori fondamentali x̂ · x̂ = 1, x̂ · ŷ = 0, x̂ · ẑ = 0 ecc, si possono
scrivere in forma compatta come





 1
êi · ê j = 



 0
se i = j
(3.7)
se i , j
È possibile rendere ancora più semplice e compatta la notazione introducendo il simbolo di Kronecker





 1
δi j = 



 0
se i = j
(3.8)
se i , j
in modo che il prodotto scalare fondamentale (3.7) si scrive semplicemente
êi · ê j = δi j
(3.9)
27
Il prodotto scalare tra due vettori, espresso in coordinate cartesiane, si scrive allora in modo molto
semplice

  3
 3

 X
X
A · B = 
Ai êi  · 
B j ê j 
i=1
=
3
X
Ai B j êi · ê j =
i j=1
(3.10)
j=1
3
X
Ai Bi
i=1
Per il prodotto vettore la cosa è leggermente più complicata. È necessario ricordare due cose. Prima
di tutto, a differenza del caso del prodotto scalare, il prodotto scalare dipende dall’ordine in quanto
A × B = −B × A. Ció è dovuto al fatto che se si scambia l’ordine dei due vettori il versore n̂ cambia
segno in virtù della nota regola della mano destra. Quest’ultima, d’altra parte, altro non è che una
rappresenzatione mnemonica di una proprietà matematica sulle permutazioni. In secondo luogo,
per una terna cartesiana, il prodotto vettore di due qualunque versori fondamentali fornisce il terzo
a meno del segno che è appunto fornito dalla regola della mano destra di cui adesso cercheremo di
capire l’origine. Quindi ad esempio x̂ × x̂ = 0 (perchè l’angolo tra i due versori si annulla), x̂ × ŷ = ẑ
mentre x̂ × ẑ = −ẑ × x̂ = −ŷ. Regole simili valgono per gli altri casi. Riassumendo:
x̂ × x̂ = 0
x̂ × ŷ = ẑ
x̂ × ẑ = −ŷ
ŷ × x̂ = −ẑ
ŷ × ŷ = 0
ŷ × ẑ = x̂
ẑ × x̂ = ŷ
ẑ × ŷ = −x̂
ẑ × ẑ = 0
(3.11)
Vediamo di capire l’origine della regola della mano destra, sostituendo alla notazione con i versori
fondamentali (x̂, ŷ, ẑ) quella con la numerazione da 1 a 3 per indicare le tre direzioni (ê1 , ê2 , ê3 ). In
tal modo si è associato alla terna destrogira fondamentale (x̂, ŷ, ẑ) una terna (1, 2, 3). Se scambiamo
tra loro due elementi della terna, stiamo eseguendo una permutazione degli indici. In quanti modi
28
si puó fare questa permutazione? È facile vedere esplicitamente che si puó fare i 6 modi distinti
1 2 3
2 1 3
3 1 2
1 3 2
2 3 1
3 2 1
(3.12)
e questo è un caso particolare della proprietà combinatoria che il numero di permutazioni semplici
di n oggetti è Dn = n!, da cui D3 = 3! = 6 in accordo con il calcolo diretto precedente. La
regola della mano destra è dunque collegata alla parità del numero di permutazioni a partire dalla
terna fondamentale (1, 2, 3): si avrà un segno positivo se il numero di permutazioni è pari, negativo
altrimenti. Se è pari si dice che la permutazione è ciclica. In definitiva quindi, la ciclicità o meno
del numero di permutazioni automaticamente seleziona il segno corretto da mettere nelle equazioni
(3.12). Usando allora le notazioni compatte suddette, le equazioni (3.12) si riassumono nel modo
seguente:




0






êi × ê j = 
êk







 −êk
se i = j
se i, j, k distinti e ciclici rispetto a 1, 2, 3
(3.13)
se i, j, k distinti e non ciclici rispetto a 1, 2, 3
Come nel caso del prodotto scalare, anche in questo caso le operazioni algebriche possono essere
fortemente semplificate mediante l’introduzione di un nuovo simbolo, questa volta con tre indici,
detto simbolo di Levi-Civita
i jk




0






=
1







 −1
se due qualunque dei tre indici i, j, k sono uguali
se la terna i, j, k è ciclica rispetto alla 1, 2, 3
(3.14)
altrimenti
In tal modo le equazioni (3.12) si scrivono in modo compatto
êi × ê j =
3
X
k=1
i jk êk
(3.15)
29
dove i, j = 1, 2, 3. In tal modo anche il prodotto vettore tra due arbitrari vettori diventa
A×B =
3
X
3
X
Ai B j êi × ê j =
i jk Ai B j êk
i j=1
(3.16)
i jk=1
Si noti che la componente kesima del prodotto vettore (3.16) è
(A × B)k = i jk Ai B j
(3.17)
e questa osservazione sarà utile nel proseguio del capitolo.
3.3 Esempio introduttivo al calcolo tensoriale
Anche se nella sezione precedente abbiamo nominalmente trattato il calcolo vettoriale, in realtà si è
implicitamente allargato il campo a strutture più complesse che vanno sotto il nome di tensori, quando si sono trattati i simboli (di Kronecker e di Levi-Citita) con due o più indici (le componenti di un
vettore sono infatti identificati da un solo indice, come abbiamo visto). Questi oggetti fanno quindi
parte di una descrizione più generale che va sotto il nime di calcolo tensoriale. È ora importante
convincerci che questo sforzo nell’introdurre nuovo formalismo matematico non è semplicemente
un fatto cosmetico, ma, viceversa, è assolutamente necessario nel caso della meccanica dei fluidi,
cosı̀ come nel caso di tutta quella scienza che studia la meccanica dei continui. A tal scopo consideriamo l’esempio semplice riportato in Fig.3.3 in cui una massa m sia collegata a due muri fissi
(identificati dagli assi ŷ e x̂) mediante due molle di costanti elastica k1 e k2 > k1 rispettivamente e
sia soggetta ad una forza F. Allora la forza elastica a cui è soggetta la massa m è, proiettata sui due
assi x̂ e ŷ
F x = k1 x
F y = k2 y
(3.18)
30
y
F
k1
m
k2
x
Figura 3.3: Esempio della massa collegata da due molle.
Supponiamo dapprima che le due molle siano uguali, e cioè che k1 = k2 = k. Allora
F = F x x̂ + Fy ŷ = k (xx̂ + yŷ) = kx
(3.19)
In questo caso, dunque, la forza F è parallela allo spostamento x. Se peró le costanti elastiche sono
diverse, allora
F = F x x̂ + Fy ŷ = k1 xx̂ + k2 yŷ , kx
(3.20)
e la forza non è più parallela allo spostamento in questo caso. Come si procede dunque in questo
caso? Si noti che il sistema di equazioni (3.19) si puó metter nella forma matriciale



 F 
 k
 x 
 1 0
=



 F 
0 k2
y





 
 x 
 
 
 y 
(3.21)







 x 
1



 x 
2
(3.22)
che è un caso particolare della forma più generale



 F 

1

 =  a11 a12


 F 
a21 a22
2
31
che corrisponde al sistema
F1 = a11 x1 + a12 x2
(3.23)
F2 = a21 x1 + a22 x2
È evidente che entrambe le equazioni (3.22) e (3.24) dipendano da una matrice ai j , ed entrambe
possono essere messe nella forma compatta
Fi =
2
X
ai j x j
i = 1, 2
(3.24)
j=1
che risulta essere la forma più conveniente per la nostra discussione seguente che introdurrà il
calcolo tensoriale.
3.4 Convenzione sugli indici ripetuti e relazione fondamentale
Abbiamo visto come i prodotti scalare e vettore di due vettori arbitrari si scrivono, in coordinate
cartesiane, come
A·B =
A×B =
3
X
Ai Bi
i=1
3
X
i jk Ai B j êk
(3.25)
(3.26)
i, j,k=1
Espressioni come queste (e più complesse, come vedremo in seguito) in cui compaiono molti simboli di sommatoria si semplificano sottointendendo l’indice di sommatoria sugli indici ripetuti. Cosı̀,
ad esempio, nella prima equazione della (3.26) appare un indice ripetuto i, mentre nella seconda ne
appaiono tre i, j, k. Con tale convenzione, detta convenzione degli indici ripetuti, o di Einstein, tale
32
equazione si scrive più semplicemente:
A · B = Ai Bi
A × B = i jk Ai B j êk
(3.27)
(3.28)
dove si sono semplicemente sottointese le somme, come detto. Si ricordi che tale convenzione
funziona solo se applicata agli indici ripetuti, che appaiono cioè due volte nell’espressione a destra
del segno di uguaglianza. Si ricordi inoltre che la prima espressione della (3.28) è stata ottenuta con
l’aiuto del simbolo di Kronecker δi j in quanto puó essere scritta anche come A · B = Ai B j δi j , dove
questa volta si sottointende la somma sugli due indici i, j. Le proprietà del simbolo di Kronecker δi j
riportate nell’equazione (3.8) farà sı́ che il valore dell’indice j sia non nullo solo quando coincide
con quello dell’indice i. In definitiva quindi, il prodotto scalare è legato al simbolo δi j mentre quello
vettore è legato al simbolo di Levi-Civita i jk . Sorge allora spontanea la domanda se questi due
simboli siano in qualche modo legati tra loro. La risposta è positiva, ed è sintetizzata nella seguente
relazione fondamentale
i jk i jk = 6
(3.29)
i jk i jl = 2 δkl
i jk i jm = δ jl δkm − δ jm δkl
Dimostramo la prima delle (3.29), ricordando che per la convenzione degli indici ripetuti, c’è
una sommatoria sottointesa sugli indici i, j, k. Quindi scritta esplicitamente tale equazione diventa
i jk i jk = 111 111 + 112 112 + . . . ecc su tutti i 3 × 3 × 3 = 33 = 27 termini della sommatoria. Le
proprietà del simbolo di Levi-Civita (3.14) peró, fan si che
i jk i jk





 0
=



 1
se due qualunque dei tre indici i, j, k sono uguali
se i jk = 1 oppure −1
(3.30)
33
Quindi restano non nulli nella sommatoria solo i 3! = 6 termini corrispondenti alle possibili permutazioni della terna fondamentale 1, 2, 3, e il valore di ogni termine vale 1 come detto. Da cui il
risultato 6.
Vediamo ora di dimostrare la seconda delle (3.29). Si noti innanzi tutto che adesso ci sono solo
32 = 9 termini nella somma e cioè i jk i jl = 11k 11l + 12k 12l + . . . e cosı́ via, e il valore di ogni
termine dipende dal valore di k e l. Supponiamo dapprima che k , l, ad esempio k = 1 e l = 2.
Allora tutti i termini della somma sono nulli in quanto se il primo simbolo ha tutti gli indici distinti,
necessariamente il secondo deve averne almeno due uguali e viceversa. Quindi si ottiene un valore
non nullo solo se k = l, e in questo caso il risultato è sempre uguale a 2 in quanto solo due dei
nove termini risultano diversi da zero e uguali a 1 come prima. Ció dimostra anche la seconda delle
(3.29).
Infine dimostramo il terzo risultato. In questo caso ci sono solo tre termini nella somma che
possiamo scrivere esplicitamente: i jk ilm = 1 jk 1lm + 2 jk 2lm + 3 jk 3lm . Si noti ora che gli indici
j, k, l, m sono fissati ad un qualsiasi valore tra 1 e 3. Quindi se ad esempio fosse diverso da zero il
primo dei tre termini, allora necessariamente i valori di j, k, l, m dovrebbero essere o j = 2 e k = 3
oppure viceversa, e quindi sarebbero nulli gli altri due termini. In definitiva sono diversi da zero
solo in modo mutuamente esclusivo e dunque ad esempio 1 jk 1lm = δ jl δkm − δ jm δkl e la stessa
cosa (in modo mutuamente esclusivo) per gli altri due termini. E quindi anche la terza delle (3.29)
risulta dimostrata.
3.5 Calcolo tensoriale
Riassumiamo ora quanto capito per il calcolo vettoriale. Abbiamo visto che ad ogni vettore v possiamo associare una rappresentazione che in coordinate cartesiane risulta (v x , vy , vz ) che, in notazione
compatta, dipende da un solo indice vi con i = 1, 2, 3. Questa rappresentazione dipende peró sia dal
particolare sistema di coordinate (cartesiane, polari, cilindriche, ecc), sia, all’interno dello stesso
sistema di coordinate, dal particolare sistema di riferimento scelto. Se cambiamo sistema di rife-
34
rimento (ad esempio se cambiamo l’origine degli assi cartesiani), la rappresentazione dello stesso
vettore cambia. Ad esempio rispetto a due sistemi di riferimento K con assi x̂, ŷ, ẑ e K0 con assi
x̂0, ŷ0, ẑ0 la rappresenzazione diventa
v = v x x̂ + vy ŷvz ẑ
(3.31)
v = v0x x̂0 + v0y ŷ0v0z ẑ0
È quindi evidente che esisterà una trasformazione per passare da un sistema di rifermento ad un
altro
vi → v0i = ai j v j
(3.32)
(al solito è sottointesa la somma sull’indice ripetuto j). Questa trasformazione d̀etta ortogonale e
gode di importanti proprietà che però non verranno qui discusse. Quindi un vettore é un oggetto
definito da un indice singolo che trasforma secondo la (3.32) per un cambiamento di sistema di
riferimento. Un tensore T i j è sostanzialmente la stessa cosa per un oggetto definito da due indici e
cioè
T i j → T i0j = aik a jl T kl
(3.33)
Un tensore, essendo un oggetto identificato da due indici, puó essere rappresentato come una matrice. È però importante notare che non è vero il viceversa, in quanto solo gli oggetti che trasformano
secondo la (3.33) sono tensori. Si noti che sia il simbolo di Kronecker δi j che quello di Levi-Civita
i jk godono di questa proprietà e sono quindi tensori. Si noti inoltre che esistono anche tensori definiti da più di due indici, ed si definisce allora il rango di un tensore per identificarli. Quindi T i j è
un tensore di rango due, T i jk è un tensore di rango tre, ecc. In questo senso scalari e vettori possono
essere considerati come dei casi particolari di tensori di rango 0 e 1 rispettivamente. Esiste una
35
teoria generale per l’algebra dei tensori che non è ovviamente qui possibile sviluppare. Esistono
però due proprietà utili per il proseguio del corso che vale la pena di discutere. Due tensori S i j e Ai j
di rango 2 si definiscono simmetrico e antisimmetrico rispettivamente, se soddisfano le proprietà
S i j = S ji
Ai j = −A ji
(3.34)
rispetto allo scambio di indici i ↔ j.
Valgono allora le seguenti due proprietà.
Proprietà 1 Per ogni tensore T i j , esistono un tensore simmetrico S i j ed uno antisimmetrico Ai j tali
che
T i j = S i j + Ai j
(3.35)
Dunque ogni tensore si può considerare come somma di uno simmetrico ed uno antisimmetrico. Questa proprietà è facile da dimostrare scrivendo T i j nel modo seguente
Ti j =
1
1
T i j + T ji + T i j − T ji = S i j + Ai j
2
2
(3.36)
dove, dalle (3.34) é facile verificare che il primo termine a destra dell’equazione (3.36) (indicato come S i j ) è appunto simmetrico, mentre il secondo (indicato con Ai j è antisimmetrico.
Proprietà 2 Il prodotto di ogni tensore simmetrico S i j per ogni tensore antisimmetrico Ai j é sempre
nullo, cioè
S i j A ji = 0
(3.37)
dove il prodotto (in senso matriciale) è identificato dalla somma sull’indice j.
Anche questa affermazione si verifica immediatamente scrivendo esplicitamente il prodotto
36
come
S i j A ji = S 11 A11 + S 12 A21 + S 13 A31 +
(3.38)
S 21 A12 + S 22 A22 + S 23 A32 +
S 31 A13 + S 32 A23 + S 33 A33
Ma dalle proprietà (3.35) si vede immediatamente che Aii = 0 per ogni i = 1, 2, 3 (il che
annulla i tre termini diagonali) e che i rimanenti sei termini si possono raggruppare in modo
che la loro somma risulti nulla, come ad esempio S 12 A21 + S 21 A12 = S 12 (A12 + A21 ) = 0
(analogamente per gli altri quattro termini). Qundi anche questa seconda proprietà f̀acilmente
dimostrata.
3.6 Operatori differenziali
Nei casi fisici più generali, le varie quantità (scalari, vettori e tensori) sono in realtà dei campi, sono
cioè funzioni delle variabili spaziali x e temporali t. Quindi ad esempio ψ = ψ(x, t), per i campi
scalari, F = F(x, t) per i campi vettoriali e T i j = T i j (x, t) per i tensori (di rango 2). Su tali campi,
operano degli operatori differenziali, contenenti cioè delle derivate parziali (sulle variabili spaziali
e temporali). Uno di questi, l’abbiamo già incontrato, che in coordinate cartesiane assume la forma
(2.9). Esso puó essere pensato come una combinazione dell’operatore differenziale nabla
∇( ) =
∂
∂
∂
( ) x̂ +
( ) ŷ +
( ) ẑ
∂x
∂y
∂z
(3.39)
applicato al campo scalare ψ. Altri tipi di operatori differenziali possono essere ottenuti peró applicando l’operatore ∇ ad un vettore o ad un tensore, come vedremo tra un attimo. Si noti che la (3.39)
si puó mettere nella forma sintetica
∇( ) =
3
X
∂
( ) ê j
∂x j
j=1
(3.40)
37
Vediamo ora il risultato dell’applicazione di questo operatore su scalari e vettori (il caso dei tensori
è più complesso e non necessario per i nostri scopi).
a) Scalare Con ∇ e uno scalare ψ si può costruire un solo operatore differenziale, e cioè il gradiente
già visto in (3.39), che in notazione compatta (3.40) diventa
∇ (ψ) =
3
X
∂
(ψ) ê j
∂x j
j=1
(3.41)
Sio noti che il gradiente trasforma uno scalare in un vettore
b)Vettore In questo caso ci sono due possibilità, corrispondenti, rispettivamente, al caso di prodotto
scalare A · B e vettore A × B, avendo in mente di trattare l’operatore ∇ come un vettore con
l’accortezza di ricordare che tale vettore opera su un altro, e quindi va sempre scritto a sinistra
rispetto al campo vettoriale su cui sta operando.
• Prodotto scalare.
#
∂
∂
∂
( ) x̂ +
( ) ŷ +
( ) ẑ
∂x
∂y
∂z
h
i
F x (x) x̂ + Fy (x) ŷ + Fz (x)
"
∇ · F (x) =
·
∂
∂
∂
F x (x) +
Fy (x) +
Fz (x)
∂x
∂y
∂z
3
X
∂
=
F j (x)
∂x j
j=1
(3.42)
=
(3.43)
Questo operatore differenziale, che trasforma un vettore in uno scalare è noto come
divergenza.
• Prodotto vettore.
38
"
#
∂
∂
∂
( ) x̂ +
( ) ŷ +
( ) ẑ
∇ · F (x) =
∂x
∂y
∂z
h
i
× F x (x) x̂ + Fy (x) ŷ + Fz (x)
(3.44)
Applicando le regole definite in (3.8) per i versori fondamentali, si ottiene
"
#
"
#
∂
∂
∂
∂
∇ × F (x) =
Fz (x) −
Fy (x) x̂ +
F x (x) −
F x (x) ŷ
∂y
∂z
∂z
∂z
"
#
∂
∂
+
Fy (x) −
F x (x) ẑ
∂x
∂y
(3.45)
che è un operatore differenziale noto come rotore, che trasforma unvettore in un altro
vettore. Si noti che la stessa espressione (3.46) si può ottenere risolvendo il seguente
determinante:
x̂
ŷ
ẑ
∂
∂
∂ ∇ × F (x) = ∂x ∂y
∂z F
F
F
x
y
z (3.46)
È a questo punto importante ricordare che questi operatori differenziali hanno questa forma in coordinate cartesiane. In altre coordinate hanno forme diverse e più complicate.
D’altra parte, essendo vettori, hanno senso anche in senso assoluto, indipendentemente
dal sistema di coordinate scelto. Vedremo più avanti come ció è appunto possibile sia
per la divergenza che per il rotore.
• Quadrato di un vettore
Anche per il vettore ∇, cosı́ come per gli altri vettori, è possibile fare il prodotto scalare
con sè stesso, corrispondente al quadrato di un vettore. In questo caso si ottiene il
Laplaciano
∇2 = ∇ · ∇ =
∂2
∂2
∂2
+
+
∂x2 ∂y2 ∂z2
(3.47)
39
che puó essere applicato sia ad uno scalare che ad un vettore
∇2 ψ (x) =
∂2
∂2
∂2
(x)
(x)
ψ
+
ψ
+
ψ (x)
∂x2
∂y2
∂z2
(3.48)
∇2 F (x) = ∇2 F x (x) x̂ + ∇2 Fy (x) ŷ + ∇2 Fz (x) ẑ
dove ogni singolo termine puó essere considerato come Laplaciano di uno scalare, e
quindi ad esempio ∇2 F x (x) = ∂2 /∂x2 F x (x) + ∂2 /∂y2 F x (x) + ∂2 /∂z2 F x (x) e analogamente per le altre componenti.
Si noti che in notazione compatta, il laplaciano si scrive come
∇2 ψ (x) = ∂i ∂i ψ (xx)
(3.49)
dove abbiamo usato l’abbreviazione ∂i ≡ ∂/∂i e dove si ricordi che sull’indice i nella (3.49), essendo
ripetuto, deve essere sottointesa una somma.
3.7 Identità vettoriali
Vediamo adesso come la relazione fondamentale (3.29) permetta di fare, in modo semplice ed
elegante, delle operazioni che comporterebbero altrimenti lunghi e penosi calcoli.
Uno dei casi in cui tale opportunità risulta più evidente, è il caso in cui appaiono dei prodotti
vettore ove si ricordi che la componente kesima di un prodotto vettore è dato dalla (3.17).
Esempio 1: Prodotto misto Mostriamo che vale
(A × B) · C = A · (B × C)
(3.50)
40
Infatti
(A × B) · C = (A × B)i Ci = i jk A j Bk Ci = A j jki Bk Ci
(3.51)
= A j (B × C) j = A · (B × C)
dove si noti che abbiamo utilizzato il fatto che jki = i jk differendo le stesse per due permutazioni corrispondenti a due segni negativi e quindi ad una moltiplicazione per l’unità
1.
Esempio 2: Regola di distribuzione dei vettori Mostriamo che vale la regola
(A × B) · (C × D) = (A · C) (B · D) − (A · D) (B · C)
(3.52)
Infatti dalle solite regole:
(A × B) · (C × D) = (A × B)i (C × D)i
(3.53)
= i jk ilm A j Bk Cl Dm
= δ jl δkm − δ jm δkl A j Bk Cl Dm
= A j Bk C j Dk − A j Bk Ck D j
= A j C j (Bk Dk ) − A j D j (Bk Ck )
= (A · C) (B · D) − (A · D) (B · C)
Esempio 3: Equazioni di Maxwell Vediamo adesso qualche esempio che coinvolga anche l’operatore nabla (∇). Questo appare spesso in elettromagnetismo in associazione con le equazioni
di Maxwell.
∇ × (∇ × A) = ∇ (∇ · A) − ∇2 A
(3.54)
41
Infatti
[∇ × (∇ × A)]i = i jk ∂ j (∇ × A)k
(3.55)
= ki j klm ∂ j ∂l Am
= δil δ jm − δim δ jl ∂ j ∂l Am
= ∂i ∂ j A j − ∂ j ∂ j Ai
= ∂i (∇ · A) − ∇2 Ai
che è appunto la componente iesima della relazione che si voleva dimostrare.
I prossimi due esempi utilizzano le proprietà (3.35) e (3.37) e sono fondamentali nella teoria
dei potenziali in elettromagnetismo.
Esempio 4: Campo magnetico solenoidale Vale l’identità
∇ · (∇ × A) = 0
(3.56)
∇ · (∇ × A) = ∂i (∇ × A)i
= ∂i i jk ∂ j Ak = i jk ∂i ∂ j Ak = 0
(3.57)
Infatti
(3.58)
essendo il prodotto di un tensore antisimmetrico (i jk ) e di uno simmetrico (∂i ∂ j Ak ).
Si noti che identificando il vettore A con il potenziale vettore del campo magnetico B, allora
B = ∇ × A e ∇ · B = 0 corrispondente all’affermazione che il campo magnetico è solenoidale
(a divergenza nulla).
Esempio 4: Campo elettrico irrotazionale Vale l’identità
∇ × (∇ψ) = 0
(3.59)
42
che si dimostra allo stesso modo della precedente:
∇ × (∇ψ) i = i jk ∂ j (∇ψ)k = i jk ∂ j ∂k ψ = 0
(3.60)
che si annulla per la stessa ragione di prima.
Anche in questo caso, identificando ψ con il potenziale elettrico allora E = −∇ψ e la relazione
sopra è equivalente all’affermazione che ∇ × E = 0, cioè che il campo elettrico è irrotazionale
(rotore nullo).
3.8 Teorema di Gauss e significato della divergenza
Abbiamo visto come si puó esprimere la divergenza in coordinate cartesiane, ma sappiamo che,
essendo un vettore, essa deve avere un significato intrinseco (assoluto) indipendendente da ogni
sistema di coordinate. Come fare ad esprimerlo in senso assoluto? Si utilizza il teorema di Gauss
che andiamo ora a discutere.
Si consideri una superficie arbitraria chiusa S e sia V il volume da essa racchiuso (Fig.3.4).
Com’è noto si definisce il flusso ΦS attraverso la superficie chiusa S la quantità
da=dS n
V1
n
S0
V
S
V2
Figura 3.4: Il teorema di Gauss.
I
ΦS
=
I
F · da =
S
F · n̂ dS
(3.61)
S
L’idea che vogliamo ora perseguire è quella di riuscire ad esprimere questo integrale di superficie
H
S
in termini di integrale di volume
R
V
43
. A tal scopo, si divida il volume V in due parti arbitrarie V1 e
V2 in modo che V = V1 + V2 . Sia S 0 la superficie interna che divide il volume in due parti (Fig.3.4).
Chiaramente la superficie chiusa S 1 che racchiude il volume V1 è data da S 1 = S 1ext + S 0 dove S 1ext
è la superficie esterna. Analogamente per la seconda superficie S 2 = S 2ext + S 0 . Quindi la superficie
originale è la somma delle due nuove superfici esterne, cioè S = S 1ext + S 2ext . Quindi
I
S1
I
F · da1 +
Z
S2
F · da2 =
Z
S 1ext
F · da1 +
Z
S0
F · da10 +
Z
S 2ext
F · da2 +
S0
F · da20
(3.62)
Si noti ora che la superficie S 0 è orientata (perchè lo é l’elemento di superficie da0 ) con direzioni
opposte per le due superfici. Quindi chiaramente
Z
Z
F · da10 +
S0
F · da20 = 0
S0
(3.63)
e dunque
I
S1
I
F · da1 +
S2
Z
Z
F · da2 =
F · da1 +
S 1ext
S 2ext
F · da2 = ΦS
La cosa si puó generalizzare. Se supponiamo di dividere il volume V in N parti allora V =
PN
e S = i=1
∆S iext ed allora, come prima, abbiamo
N I
X
i=1
∆S i
(3.64)
PN
i=1 ∆Vi
I
F · dai =
S
F · da = ΦS
(3.65)
Possiamo ora utilizzare questo risultato nel modo seguente. Chiaramente nel limite ∆Vi → 0, anche
H
l’integrale ∆S F · dai → 0. Come spesso succede, però, il rapporto tende ad un limite finito (in
i
quanto si annullano “con la stessa rapidità”). Chiameremo divergenza tale limite, cioè
1
∇ · F = lim
∆Vi →0 ∆Vi
I
∆S i
F · dai
(3.66)
Si noti che, come anticipato in precedenza, questa definizione è indipendente da qualsiasi si-
44
stema di riferimento. La combinazione delle (3.65) e (3.66) permette di dimostrare un risultato
importantissimo, noto come Teorema di Gauss (o della divergenza):
I
Z
F · da =
S
dV (∇F)
(3.67)
F · dai
(3.68)
V
Infatti
I
F · da =
S
=
=
lim
δS i →0
lim
∆Vi →0
lim
∆Vi →0
N I
X
i=1 ∆S i
N
X
∆Vi
i=1
N
X
1
∆Vi
I
∆S i
F · dai
Z
∆Vi (∇ · F)i =
i=1
(∇ · F)
V
Si noti che conosciamo già un caso particolare di questo teorema avendolo visto in elettrostatica.
Affinchè sia tutto consistente, però, resta da dimostrare che la divergenza definita in (3.66)
in senso assoluto, si riduce alla (3.43) nel caso vengano utilizzate coordinate cartesiane. Per far
questo si consideri la geometria definita nella Fig.3.5 dove un cubetto di volume ∆V = ∆x ∆y ∆z
ha l’ estremo sinistro inferiore posizionato nel punto (x, y, z) Dalla definizione di divergenza (3.66)
(x+∆x/2,y+ ∆y/2,z+ ∆z)
z
z (x,y,z+∆z)
(x+∆x/2,y+ ∆y/2,z)
x
y
(x,y,z)
(x,y+∆y,z)
x
y
Figura 3.5: Divergenza in coordinate cartesiane.
applicato a tale volumetto abbiamo
∇·F =
1
∆ΦS
∆V
(3.69)
45
dove ∆ΦS è il flusso totale attraverso la superficie che racchiude il volume, e quindi è la somma dei
flussi attraverso le superfici perpendicolari alle tre direzioni cartesiane x, y, z:
∆ΦS
= ∆Φ(z) + ∆Φ(x) + ∆Φ(y)
(3.70)
Dalla Fig.3.5, si vede che ad esempio per la superficie perpendicolare alla direzione ẑ si ha
∆x
= Fz x +
,y +
2
∆x
− Fz x +
,y +
2
(z)
∆Φ
!
∆y
, z + ∆z ∆x ∆y
2
!
∆y
, z ∆x ∆y
2
(3.71)
Notando quindi che
Fz x +
!
!
∆x
∆y
∆x
∆y
∂Fz
,y +
, z + ∆z = Fz x +
,y +
,z +
∆z + o ∆z2
2
2
2
2
∂z
(3.72)
si ottiene chiaramente, a meno di infinitesimi di ordine superiore che andranno a zero nel limite di
volume infinitesimo,
∆Φ(z) =
∂Fz
∆x ∆y ∆z
∂z
(3.73)
Discorsi analoghi si possono fare per gli altri due flussi lungo x̂ e ŷ. Quindi ricordando che il
prodotto delle tre lunghezze in (3.73) è uguale al volume ∆V, si ottiene
∆ΦS
=
!
I
∂F x ∂Fy ∂Fz
+
+
∆V =
F · da
∂x
∂y
∂z
∆S
(3.74)
da cui, dividendo per ∆V, si trova immediatamente la definizione di divergenza in coordinate
cartesiane.
Come ultima osservazione di questa sezione, osserviamo che esiste un teorema di Gauss analogo
46
anche per una generica funzione scalare ψ:
I
Z
dV (∇ψ)
ψ da =
S
(3.75)
V
3.9 Teorema di Stokes e significato del rotore
Anche per il rotore, abbiamo visto nell’equazione (3.46) come si esprime in coordinate cartesiane.
Ci domandiamo anche in questo caso come si possa esprimere in coordinate assolute. Introduciamo
una quantità molto importante nel campo della meccanica dei fluidi, e cioè la circuitazione lungo
un circuito C come il seguente integrale di linea
I
ΓC =
F · dl
(3.76)
C
dove dl = dl τ̂, è un percorso infinitesimo lungo il circuito C nella direzione istantanea τ̂ tangenziale
al circuito stesso. In completa analogia con quanto fatto precedentemente, cerchiamo di esprimere
la circuitazione in termini di un integrale di superficie. A tal scopo dividiamo il circuito in due
parti in modo arbitrario (3.6) Allora per gli stessi motivi della sezione precedente S = S 1 + S 2 e
ext
dl
C2
S
S2
C0
C
S1
ext
C1
Figura 3.6: Il teorema di Stokes.
C = C1ext + C2ext , C1 = C1ext + C10 e C2 = C2ext + C20 . Anche in questo caso, il percorso che divide la
superficie in due parti, ha due valori uguali ed opposti nelle due superfici e quindi
Z
C10
Z
F · dl10 +
C20
F · dl20 = 0
(3.77)
47
e dunque
Z
Z
C1
F · dl1 +
C2
F · dl2 = ΓC
(3.78)
La stessa cosa si puó estendere a N divisioni nello stesso modo S =
PN
i=1 ∆S i
eC =
PN
ext
i=1 ∆C i .
Quindi
ΓC =
N I
X
∆Ci
i=1
F · dli
(3.79)
e, come in precedenza, nel limite ∆S i → 0, anche l’integrale di linea
H
∆Ci
→ 0 in modo che il
rapporto esista finito, e viene quindi definito come rotore
1
= (∇ × F) · n̂ = lim
∆S →0 ∆S
(∇ × F)n
I
F · dl
(3.80)
∆C
che è evidentemente indipendente da ogni sistema di riferimento. Mostriamo ora che vale il seguente
teorema di Stokes (o del rotore):
I
Z
(∇ × F) · da
F · dl =
C
(3.81)
S
La dimostrazione è immediata. Dalla (3.79) e usando la (3.80) si ha
ΓC =
=
=
lim
∆S i →0
lim
∆S i →0
N I
X
i=1
N
X
i=1
∆Ci
F · dli
1
∆S i
∆S i
I
∆Ci
lim ∆S i (∇ × F)i =
∆S i →0
(3.82)
F · dli
Z
(∇ × F) · da
S
che è quello che si voleva dimostrare.
Anche in questo caso resta da dimostrare che la definizione assoluta data per il rotore (in realtà
la sua componente nella direzione n̂) in (3.80), coincide con quella data in (3.46). A tal scopo
48
consideriamo in circuitino elementare, parallelo al piano (x, y) di superficie totale ∆S = ∆x ∆y
(Fig.3.7). Supponiamo, come al solito, che l’estremo inferiore sinistro sia posizionato nel punto
(x, y, z). In tale (opportuna) geometria, il problema è semplificato dal fatto che la coordinata z è
irrilevante, e puó dunque essere omessa (Fig.3.7). Se indichiamo con ∆Cz γ1 +γ2 +γ3 +γ4 il circuitino
z
y
γ3
y+∆y
γ
γ2
4
y
γ1
y
x
x+∆x
x
x
Figura 3.7: Rotore in coordinate cartesiane.
elementare mostrato in figura, allora, ricordando che i cammini sono orientati e assumono quindi il
segno opportuno, si ha chiaramente che
Z
γ1
F · dl1 = F x
Z
γ2
F · dl2
Z
γ3
F · dl3
Z
γ4
F · dl4
!
∆x
x+
, y ∆x
2
(3.83)
!
∆y
= Fy x + ∆x, y +
∆y
2
!
∆x
= −F x x +
, y + ∆y ∆x
2
!
∆y
= −Fy x, y +
∆y
2
Quindi, si ha che
I
Z
Z
F · dl3 +
F · dl4
γ1
γ2
γ3
γ4
"
!
!#
∆x
∆x
= Fx x +
, y − Fx x +
, y + ∆y ∆x
2
2
"
!
!#
∆y
∆y
+ Fy x + ∆x, y +
− Fy x, y +
∆x
2
2
F · dl =
∆Cz
Z
F · dl1 +
Z
F · dl2 +
(3.84)
E come al solito i vari termini possono essere connessi mediante uno sviluppo di Taylor al primo
49
ordine:
!
!
!
∆x
∆x
∂
∆x
Fx x +
, y + ∆y = F x x +
, y + Fx x +
, y ∆y + o ∆y2
2
2
∂y
2
!
!
!
∆y
∆y
∂
∆y
Fy x + ∆x, y +
= Fy x, y +
+ Fy x, y +
∆x + o ∆x2
2
2
∂x
2
(3.85)
da cui, sostituendo in Eq.(3.85) e ricordando che ∆S = ∆x ∆y, si ottiene
"
I
F · dl =
∆Cz
#
∂Fy ∂F x
−
∆S
∂x
∂y
(3.86)
e quindi la componente (∇ × F)z , dividendo per ∆S e prendendo il limite ∆S → 0. Le altre
componenti si ottengono in modo analogo.
Capitolo 4
Teoria dei fluidi ideali
4.1 Conservazione della massa ed equazione di continuità
Ricordiamo la definizione di densità (2.1) dalla quale, integrando su un fissato volume V ad un dato
istante t si ottiene la massa contenuta in quel volume a quell’istante
Z
m (t) =
dV ρ (x, t)
(4.1)
V
In assenza di sorgenti e di trappole, la massa totale di fluido in tutto lo spazio si conserva. Questo
vuol dire che se la massa contenuta nel volume V diminuisce, essa deve trovarsi in un’altra regione
dello spazio, e quindi deve necessariamente uscire attraverso la superficie S che racchiude il volume
V. Questo ragionamento porta ad una equazione, detta di continuità, che rappresenta fisicamente la
conservazione della massa totale.
Per ricavare tale equazione, si ragiona come segue. Si consideri la superficie elementare orientata da = n̂dS come parte della superficie chiusa S che racchiude un volume di fluido V. Supponiamo
che nelle vicinanze della superficie, la velocità del fluido sia v. Dato che dobbiamo considerare il
flusso del fluido attraverso la superficie dS , in realtà quello che conta è la componente normale
della velocità vn (si veda Fig.4.1). Quanto fluido esce da questa superficie in un intervallo di tempo
51
52
Capitolo 4. Teoria dei fluidi ideali
da= n dS
n
vn ∆ t
Figura 4.1: Equazione di continuità.
∆t? Ovviamente in un tempo ∆t riesce a raggiungere la superficie dS solo quella parte di fluido
contenuta nel volume
∆ (dV) = dS vn ∆t
(4.2)
Quindi la massa totale che esce dal volume nello stesso intervallo sarà
∆ (dm) = −ρ ∆ (dV) = −ρvn dS ∆t
(4.3)
dove il segno meno sta ad indicare che la massa contenuta nel volume sta decrescendo, e quindi la
sua variazione deve essere negativa. Quindi la massa totale che passa attraverso la superficie chiusa
S , si ottiene integrando la (4.3) su tutta la superficie S
I
∆m = −∆t
S
I
dS ρvn = −∆t
ρv · da
(4.4)
S
Dividendo per ∆t, e prendendo il limite per ∆t → 0 (cosicchè ∆m/∆t → dm/dt, la derivata della
53
massa) si ottiene il flusso ΦS della quantitá
J = ρv
(4.5)
che rappresenta una quantità di moto per unità di volume, attraverso la superficie S , e cioè
dm
dt
I
= ΦS =
I
J · da =
ρv · da
S
(4.6)
S
Possiamo adesso utilizzare il teorema di Gauss (3.67) per trasformare l’integrale sulla superficie in
uno di volume nella parte destra dell’equazione (4.6)
I
Z
J · da =
S
dV∇ · J
(4.7)
V
D’altra parte, essendo il volume V fisso nello spazio, abbiamo dalla (4.1)
dm
dt
=
Z
d
dt
Z
dV ρ =
V
dV
V
∂ρ
∂t
(4.8)
Per confronto tra le due espressioni cosı́ ottenute per i due membri della (4.6, si ottiene dunque
Z
V
"
#
∂ρ
dV
+∇·J = 0
∂t
(4.9)
che significa, essendo il volume V arbitrario, che si deve annullare l’integrando
∂ρ
+∇·J = 0
∂t
(4.10)
Questa è l’equazione di continuitá che, come detto, esprime la conservazione della massa totale.
54
4.2 Equazione di Eulero per fluidi ideali
Per fluido ideale si intende un fluido in cui si trascurino tutti gli effetti dissipativi (viscosità, attriti
vari ecc). Il nostro scopo adesso è quello di ricavare l’equazione del moto del fluido ideale, e cioè
l’analogo per i fluidi, della seconda equazione di Newton per i corpi rigidi (o per il punto materiale)
dp
dt
dv
d
(mv) = m
= ma = Fext
dt
dt
=
(4.11)
Come già anticipato, nei fluidi ci sono due differenze fondamentali rispetto ai corpi rigidi:
a) Manca il vincolo di rigidità, e quindi bisogna lavorare sempre con elementi infinitesimi (nel
senso spiegato nel Cap.I).
b) Bisogna tenere conto delle forze (esterne) di superficie oltre che a quelle di volume.
Dunque, tenendo conto di questi due fatti nuovi, l’equazione per i fluidi analoga alla (4.11) si ottiene
(sup)
considerando le forze esterne di volume dF(vol)
ext e di superficie dFexp che agiscono su un elemento
di volume dV
ρdV
dv
dt
(sup)
= dF(vol)
ext + dFext
(4.12)
e quindi, integrando su tutto il volume V del fluido,
Z
dVρ
V
dv
dt
(sup)
= F(vol)
ext + Fext
(4.13)
Vediamo adesso come si esprimono le forze di superficie e di volume. Come si ricorderà, le forze
di superficie si esprimono attraverso la pressione P (definita in (2.3) mediante la (2.4). Quindi,
integrando su tutta la superficie, si ottiene
I
(sup)
Fext
dS (−n̂) P
=
S
(4.14)
55
Usando il teorema di Gauss per gli scalari (si veda l’Eq.(3.65)) si trasforma questo termine in un
integrale di volume
I
Z
dS n̂ (−P) =
dV (−∇P)
S
(4.15)
V
(vol)
Per le forze di volume invece, la cosa è immediata. Se si definisce fext
come la forza per unità
di massa (dimensionalmente, un’accelerazione), si ha
Z
F(vol)
ext
=
V
(vol)
dV ρfext
(4.16)
Mettendo tutto assieme si ottiene
Z
V
Z
dv
dV ρ
dt
Z
dV (−∇P) +
=
V
V
(vol)
dV ρfext
(4.17)
e dunque
ρ
dv
dt
(vol)
= −∇P + ρfext
(4.18)
ed infine usando la definizione di derivata sostanziale (1.14) si ottiene l’equazione di Eulero
!
∂
1
(vol)
+ v · ∇ v = − ∇P + fext
∂t
ρ
(4.19)
(vol)
Un caso particolarmente importante è quello in cui l’unica forza esterna è la gravità e dunque fext
=
g. Si ricordi infine che densità e velocità sono legati dall’equazione di continuità (4.10). Quindi
l’equazione di Eulero e quella di continuità vanno considerate come un sistema di due equazioni in
due incognite (ρ e v):
∂ρ
+ ∇ · (ρv) = 0
Equazione di continuità
∂t
!
∂
1
+ v · ∇ v = − ∇P + g
Equazione di Eulero
∂t
ρ
(4.20)
56
Da notare infine che nel caso particolare in cui la velocità v è nulla, si riottiene l’equazione dell’idrostatica (2.11), come doveva essere.
4.3 Linee e tubi di flusso
Introduciamo ora dei concetti che risulteranno molto utili nelle analisi future. Si definisce linea di
flusso una linea continua di fluido in ogni punto della quale la tangente indica la direzione della
velocità in quel punto. Non è fuori luogo notare che una rappresentazione analoga si usa per le
linee di forza dei campi elettrici in elettromagnetismo. Inoltre si definisce campo di velocità come
l’insieme dei vettori nello spazio indicanti direzione e modulo della velocità in quel punto.
Per definire analiticamente le linee di flusso si ragioni come segue (4.2). Limitiamoci per un
attimo al caso bidimensionale. Le componenti v x e vy devono, per definizione, essere parallere alle
componenti dx e dy dello spostamento. Quindi deve essere verificata la condizione
y
v
x
Figura 4.2: Definizione di linee di flusso.
dx dy
=
vx
vy
= costante
(4.21)
Da questa condizione si puó infatti separare le variabili e ottenere l’equazione analitica della traiet-
57
toria. L’estensione della (4.21) al caso tridimensionale diventa
dx dy dz
=
=
vx
vy
vz
= costante
(4.22)
Una proprietà fondamentale delle linee di flusso è che non possono mai intersecarsi. Infatti se
(per assurdo) si intersecassero in un punto I, allora la direzione della prima linea di flusso A nel
punto I sarà v̂A mentre nello stesso punto sarà v̂B , v̂A . Dunque esiste un punto I dove la tangente
alla linea non definisce univocamente la direzione della velocità. E questo è in contraddizione con
la definizione di linea di flusso.
Un tubo di flusso infine è una regione tubolare nello spazio delimitata da linee di flusso. Si noti
che, come vedremo, la sezione di un tubo di flusso non è costante.
4.4 Fluidi incompressibili e flusso stazionario
Torniamo all’equazione di continuitá (4.10) e ricordiamo che la derivata sostanziale per la densità è
dρ
dt
=
∂ρ
+ (v · ∇) ρ
∂t
(4.23)
Possiamo quindi riscrivere la (4.10) in un modo alternativo e conveniente per i nostri scopi. Infatti
si noti che
∇ · (ρv) = ∂i (ρvi ) = (∂i ρ) vi + ρ ∂i vi = v · ∇ρ + ρ ∇ · v
(4.24)
Usando la (4.23) possiamo quindi riscrivere l’equazione di continuità come
dρ
+ ρ (∇ · v)
dt
(4.25)
È importante sottolineare che la (4.25) è completamente equivalente alle (4.10). In questa forma è
però facilmente riducibile a due casi particolari:
58
a)Caso dei fluidi incompressibili
In questo caso abbiamo
ρ = costante
(indipendente da x e t)
(4.26)
Quindi nella (4.25) è identicamente nullo il primo membro e dunque deve essere
∇·v = 0
(4.27)
che rappresenta l’equazione di continuità per i fluidi incompressibili
b)Caso di flusso stazionario
In questo caso come sappiamo devono essere nulle tutte le derivate parziali rispetto alla
variabile tempo t. Quindi in particolare
∂ρ
=0
∂t
∂v
=0
∂t
(4.28)
La (4.10) si riduce dunque a
∇ · (ρv) = 0
(4.29)
che è simile alla condizione precedente con la differenza che in questo caso non è possibile,
in generale, portare la densità fuori dal segno di derivata non essendo costante.
Fisicamente la condizione di flusso stazionario corrisponde ad una situazione in cui non c’è
una dipendenza esplicita dal tempo t ma solo attraverso la dipendenza dal tempo della variabile spaziale. È dunque una cosa analoga al caso già vist,o nel corso di Fisica, di onde
stazionarie.
59
Possiamo ora mostrare una proprietà importante conseguenza della condizione (4.29). Integrandola
infatti su un volume arbitrario V si ha
Z
dV ∇ · (ρv) = 0
(4.30)
V
Usando il Teorema di Gauss (3.67) si ha che la (4.30) è equivalente alla
I
ρv · da = 0
(4.31)
S
per ogni S chiusa che racchiuda il volume V (che si ricordi essere arbitrario). Se questa regione V
è in particolare un tubo di flusso (si veda Fig.4.3) allora scomponendo l’integrale (4.31) nelle varie
superfici e cioè
S2
n1 S1
n2
Slat
Figura 4.3: Tubo di flusso.
Z
S Lat
Z
dS n̂Lat · ρv +
S1
Z
dS n̂1 · ρv +
S2
dS n̂2 · ρv = 0
(4.32)
dove n̂Lat , n̂1 e n̂2 sono le normali (esterne) che definiscono le superfici S Lat , S 1 e S 2 rispettivamente,
si ha che il primo termine della (4.32) si annulla per definizione di tubo di flusso (n̂Lat · v ≡ 0
identicamente) e quindi si riduce a
Z
S1
Z
dS n̂1 · ρv +
S 2 dS n̂2 · ρv = 0
(4.33)
60
dove chiaramente (Fig.4.3) n̂1 = −n̂2 . Quindi se le due superfici S 1 e S 2 sono sufficientemente
piccole, deve essere che
ρ1 S 1 v1 = ρ2 S 2 v2
(4.34)
In definitiva quindi se il fluido è anche incompressibile oppure se le due superfici sono sufficientemente vicine in modo che la densità non varia di molto, allora ρ1 ∼ ρ2 e dunque si ottiene il risultato
finale
v1
v2
=
S2
S1
(4.35)
Questo significa che per un fluido incompressibile in flusso stazionariola velocità è inversamente
proporzionale alla sezione, v ∼ 1/S e quindi aumenta al diminuire della sezione stessa. Questo
risultato è la traduzione dell’esperienza comune dell’aumento della velocità di uscita dall’acqua
quando si mette un dito a coprire parzialmente il tubo.
4.5 Sistemi bidimensionali e funzione di corrente Ψ
Torniamo all’equazione di continuità per fluidi incompressibili (4.27). Combinandola con l’equazione (3.56), che vale per qualunque funzione vettoriale, questo significa che deve esistere una
funzione vettoriale A tale che
v = ∇×A
(4.36)
Vale la pena sottolineare ancora che tutto ciò è generale, vale cioè per qualsiasi fluido incompressibile. Da un punto di vista pratico peró, l’equazione (4.36) non è particolarmente utile nel caso
tridimensionale. Particolarmente utile risulta peró nel caso bidimensionale. A dispetto di quanto
potrebbe apparire a prima vista, questo caso non è un caso completamente accademico. Esistono
infatti dei sistemi che sono, ovviamente, tridimensionali, ma si comportano come sistemi bidimen-
61
sionali a tutti gli effetti pratici. Vedremo più avanti un esempio tipico (il flusso di Poiseuille) di tale
sistema.
Nel caso bidimensionale (2D), l’equazione appena vista si può riscrivere come
∂v x ∂vy
+
∂x
∂y
= 0
(4.37)
Supponiamo ora di definire una funzione Ψ(x, y) (detta funzione di corrente) tale che
vx =
∂Ψ
∂y
vy = −w
(4.38)
∂Ψ
∂x
Se cosı́ è, allora l’equazione (4.37) è automaticamente soddisfatta, com’è facile verificare per diretta
sostituzione e ricordando che per una funzione Ψ sufficientemente regolare vale il teorema di Schwartz sulle derivate seconde miste ∂2 Ψ/∂x∂y = ∂2 Ψ/∂y∂x. Dunque, in due dimensioni, l’equazione
(4.37) è equivalente all’esistenza di una funzione Ψ che soddisfi le condizioni (4.39).
Possiamo ora dimostrare una proprietà importante della funzione di corrente Ψ, e cioè che
Ψ(x, y) = Ψ0 = costante lungo una qualsiasi linea di flusso. Infatti differenziando la funzione
Ψ si ottiene
dΨ =
∂Ψ
∂Ψ
dx +
dy = −vy dx + v x dy = 0
∂x
∂y
(4.39)
dove la seconda uguaglianza deriva dalle definizioni (4.39), mentre il fatto che venga un valore
nullo, deriva dalla definzione di linea di flusso (4.21).
4.6 Vorticità e suo significato fisico
Come abbiamo visto nell’equazione (3.80) che definisce il rotore di una funzione vettoriale, quest’ultimo ha una definizione assoluta legata indissolubilmente alla funzione circuitazione ΓC lungo
62
un percorso chiuso C
I
ΓC =
dl · F
(4.40)
C
Si definisca ora la funzione vorticità
ω = ∇×v
(4.41)
In connessione con le (4.21) e (4.40), si vede subito quindi che la vorticità in un punto è non nulla
solo se la circuitazione attorno a quel punto è non nulla.
Dunque la vorticità è chiaramente legata ad una rotazione, ma è importante sottolineare come
questa rotazione sia una rotazione di tipo locale e cioè diversa da quella a cui siamo intuitivamente
legati. Vedremo dopo alcuni esempi per chiarire tale concetto. Un’altra cosa da sottolineare è il
fatto che la vorticità non coincide con la velocità angolare pur essendo legata ad essa. Infatti, se
indichiamo con Ω la velocità angolare, si trova che in generale differiscono di un fattore 2:
Ω =
1
ω
2
(4.42)
Questo è facile da vedere nel caso della particella rigida dove v = Ω × x essendo x il vettore distanza
dall’asse di rotazione. Infatti, sostituendo tale definizione in (4.41) si trova
ωi = i jk ∂ j (Ω × x)k = ki j ∂ j (klm Ωl xm ) = δil δ jm − δim δ jl ∂ j (Ωl xm )
= Ωi ∂ j x j − Ω j ∂ j xi = 3 Ωi − Ωi = 2Ωi
(4.43)
da cui si ricava immediatamente la (4.42). Si noti che anche per i fluidi vale la (4.42) anche se non
si dimostra nel modo appena visto.
Vediamo adesso alcuni esempi concreti per renderci conto del significato fisico della vorticità.
Esempio 1: Flusso unidimensionale stratificato
63
Si consideri la geometria illustrata in Figura 4.4, nella quale la velocità è non nulla solamente
nella direzione x̂, ma dipende solo dalla direzione ŷ. È evidente che la terza coordinata ẑ non
y
v
x
Figura 4.4: Caso di flusso unidimensionale stratificato.
gioca nessun ruolo in questa geometria e puó essere tranquillamente trascurata. Quindi si ha,
come detto, v = v x (y)x̂ e se ne si calcola il rotore per ottenere la vorticità (usando la regola
(3.46), si ottiene un risultato non nullo:
x̂
∂
∇ × v = ∂x
vx
ŷ
∂
∂y
0
ẑ ∂v x (y)
∂ =−
ẑ , o
∂z ∂y
0 (4.44)
e quindi ω , 0 anche se non c’è nessuna rotazione! Dal punto di vista matematico la cosa
si spiega piuttosto facilmente prendendo una circuitazione chiusa come in Fig.4.4 in cui si
vede chiaramente che mentre i due contrubuti perpendicolari alla direzione della velocità si
annullano (in effetti sono nulli singolarmente, ma si eliminerebbero a vicenda anche se non
lo fossero!), la cosa non vale per i due contributi paralleli alla velocità in quanto il campo di
velocità nel ramo superiore è piú forte di quello inferiore con il risultato quindi che l’integrale
H
dl · v , 0 e quindi non si annulla.
C
64
Si noti che la cosa non è poi cosı́ sorprendente se si ricorda che anche un punto materiale in
modo rettilineo ha un momento angolare L = x × mv , 0 rispetto ad un asse non parallelo
alla sua direzione.
Esempio 2: Campo di velocità con dipendenza radiale
Possiamo ora immaginare un caso diametralmente opposto a quello appena visto, un caso
in cui, cioè, si abbia vorticità nulla pur essendo in presenza di una chiara rotazione! A tale
proposito, si consideri un campo di velocità che, in coordinate cilindirche (le più adatte per
considerare tale geometria!) (vρ , vφ , vz ) abbiano diversa da zero solo la componente della
velocità tangenziale il cui valore però dipende dalla distanza dall’asse. Quindi la situazione
è quella riportata in Figura 4.5 in cui v = vφ (ρ) êφ con vφ (ρ) = K/ρ che decresce cioè con
la distanza (K è una costante arbritraria) Utilizzando l’espressione del rotore della velocità in
z
φ
x
y
ρ
vφ (ρ)
Figura 4.5: Caso di campo di velocità con dipendenza radiale.
65
coordinate cilindriche (vedi Appendici) si ottiene
"
#
"
#
"
#
∂vρ ∂vz
1 ∂vz ∂vφ
1 ∂ 1 ∂vρ
∇ × v = êρ
−
+ êφ
−
+ êz
ρvφ −
ρ ∂φ
∂z
∂z
∂ρ
ρ ∂ρ
ρ ∂φ
!
1 ∂
K
= êz
ρ
=0
ρ ∂ρ
ρ
(4.45)
Quindi, in questo caso, la vorticità ω = 0 è nulla anche se il fluido sta chiaramente ruotando
attorno all’asse ẑ, ed è quindi un fluido irrotazionale!
Anche in questo caso la ragione di questo risultato si può comprendere dal punto di vista della
circuitazione. Infatti, il campo di velocità descritto dalla funzione v = vφ (ρ) êφ = K/ρ êφ
appena visto, ha l’aspetto descritto in Figura 4.6 Si consideri l’arbitrario percorso chiuso, che
γ+
γR
γL
γ−
ρ
2
ρ
1
Figura 4.6: Campo irrotazionale e circuitazione.
non racchiuda l’origine, C = γ− + γL + γR + γ+ descritto in Figura 4.6. Chiaramente si ha che
I
Z
=
C
Z
Z
+
+
γ−
γL
Z
+
γR
(4.46)
γ+
Anche in questo caso, gli integrali sui percorsi γL e γR sono nulli per la stessa ragione di
prima (v ⊥ dl). Gli altri due integrali si calcolano immediatamente
Z
γ−
Z
dl− · v +
γ+
e quindi la circuitazione totale
Z
dl+ · v =
R
C
φb
φa
K
−
dφ ρ1
ρ1
Z
φb
φa
dφ ρ2
K
=0
ρ2
(4.47)
dl · v risulta nulla e dunque anche la vorticità. Attenzio-
66
ne peró! Bisogna notare che la circuitazione non puó essere nulla dappertutto! Infatti se
consideriamo un qualunque percorso chiuso che racchiuda l’origine si ha
I
Z
dl · v =
C
2π
dφ ρ
0
K
= 2πK
ρ
(4.48)
dove abbiamo sottointeso che il percorso ha raggio ρ , 0. Infatti dal teorema di Stokes (3.81),
si ha che
I
Z
dS ẑ · (∇ × v) =
dl · v =
C
Z
S
S
dS ωz
(4.49)
dove ωz = ẑ · ω è la proiezione della vorticità nella direzione ẑ. Quindi si ottiene che
Z
S
dS ωz = 2πK , 0
(4.50)
per una arbitraria superficie S racchiusa dal circuito (arbitrario) C. Questo significa che la
vorticità non puó essere nulla ovunque. Quindi, dato che abbiamo dimostrato che è nulla in
tutti i punti diversi dall’origine, deve essere non nulla nell’origine dove deve dare un contributo singolare (infinito) in modo da mantenere l’integrale finito. Questa singolarità si chiama
vortice e non viene descritta da una funzione ordinaria.
4.7 L’equazione per la vorticità nei fluidi ideali ed incompressibili
Torniamo ora all’equazione di Eulero (4.21) e vediamo come sia possibile ottenere un’equazione
“del moto” anche per la vorticità ω. A tale scopo si sfrutta la seguente identità
(v · ∇) v = ∇
!
1 2
v − v × (∇ × v)
2
(4.51)
67
la quale si dimostra facilmente sviluppando il doppio prodotto vettore e sfruttando le regole di
calcolo imparate
[v × (∇ × v)]i = i jk v j (∇ × v)k = ki j klm v j ∂l vm
= δil δ jm − δim δ jl v j ∂l vm
1
1 ∂i v j vl − v j ∂ j vi = ∂i v2 − (v · ∇) vi
=
2
2
(4.52)
da cui l’asserto. Sostituendo ora il termine inerziale (non lineare) dell’equazione di Eulero con
quello ottenuto dall’identità (4.51), si ottiene
∂v
∂t
!
1 2
1
= −∇ v + v × (∇ × v) − ∇P + g
2
ρ
Se adesso si prende il rotore di entrambi i membri e si nota che ∇ × ∇
(4.53)
1 2
2v
= 0 (per effetto del
risultato generale (3.59)), ∇ × g = 0 (essendo g vettore costante), ∇ × (∇P) = 0 (sempre per effetto
della (3.59) si ottiene l’equazione
∂v
∇×
∂t
!
= ∇ × [v × (∇ × v)]
(4.54)
Inoltre, dato che la derivata rispetto al tempo t commuta con le derivate spaziali e quindi ∇ ×
(∂v/∂t) = ∂/∂t(∇ × v), e usando la definizione di vorticità (4.41), si trova
∂ω
∂t
= ∇ × [v × ω]
(4.55)
che è un’equazione di evoluzione del tempo della vorticità. É anche possibile riscrivere quest’equazione in una forma che ricordi più da vicino l’equazione di Eulero da cui deriva. Infatti sfruttando
l’ulteriore identità
∇ × (v × ω) = (ω · ∇) v − (∇ · v) ω − (v · ∇) ω
(4.56)
68
che si dimostra in modo analogo alla precedente, sviluppando il doppio prodotto vettore, si arriva
alla seguente forma
!
∂
+ v · ∇ ω = (ω · ∇) v
∂t
(4.57)
forma completamente equivalente alla precedente (4.55), ma più istruttiva in certi contesti.
4.8 Teorema di Kelvin sulla circuitazione della velocità
In (4.40) abbiamo definito la circuitazione per un vettore qualsiasi F lungo un circuito chiuso ma
arbitrario C. Un caso perticolare di questa definizione generale si ha quando questo vettore è la
velocità
I
Γ =
v · dl
(4.58)
C
In questo caso si parla, con ovvia particolarizzazione, di circuitazione della velocità. Per questa
C
dl
Figura 4.7: Geometria per il teorema di Kelvin.
quantità, vale nel caso del fluidi ideali, un interessante ed utile risultato che va sotto il nome di
teorema di Kelvin. Si consideri un contorno C, fisso e chiuso ma per il resto arbitrario, nello spazio
69
occupato da un fluido ideale in moto generico v (Fig. 4.7). Mostriamo allora che vale il seguente
risultato
dΓ
=0
dt
−→
Γ = costante
(4.59)
Per dimostrarlo si procede come segue. Dalla (4.58,) essendo C fisso nello spazio, si ottiene
derivando rispetto al tempo
dΓ
dt
I
=
C
d
(v · dl) =
dt
I
C
dv
· dl +
dt
I
v·
C
d
(dl)
dt
(4.60)
Mostriamo ora che entrambi gli integrali che appaiono a destra in questa equazione sono nulli. A
tal scopo si ricordi che dall’equazione di Eulero (4.21) si ottiene per il primo integrale
I
I1 =
dv
dl ·
=
dt
C
"
#
1
dl · − ∇P + g
ρ
C
I
(4.61)
D’altra parte, ricordando il Teorema di Stokes (3.81), si ha che
#
"
1
dS n̂ · − ∇P + g
ρ
S
Z
Z
1
= −
dS n̂ · ∇ × ∇P +
dS n̂ · ∇ × g
ρ S
S
Z
I1 =
(4.62)
ed entrambi gli integrandi in questa espressione sono nulli come già visto in precedenza. Quindi
il primo integrale è nullo I1 = 0. Consideriamo ora il secondo integrale I2 e mostriamo che anche
C
x+dl
dl
x
Figura 4.8: Dimostrazione che I2 = 0.
70
questo è nullo. Si ricordi infatti che dl è lo spostamento elementare sul circuito C (si veda la Figura
4.8). Per definizione allora si ha che v = dx/dt (velocità nel punto x) e v0 = v + dv = d(x + dl)/dt
(velocità nel punto x0) e dunque
dv = v0 − v =
d
dx
d
(x + dl) −
=
dl
dt
dt
dt
(4.63)
e quindi
I
I2 =
d
v · (dl) =
dt
C
I
1
v · dv =
2
C
I
d(v2 ) = 0
(4.64)
C
in quanto d(v2 ) è un differenziale esatto su un percorso chiuso e quindi si deve annullare. Quindi
anche I2 = 0 e dunque vale la (4.59).
4.9 Fluidi irrotazionali ed equazione di Laplace
Torniamo ora all’equazione (4.41) che definisce la vorticità, e supponiamo di avere un fluido irrotazionale, in cui quindi ω = 0 e quindi ∇ × v = 0. Dalla relazione generale vista in (3.59), la
condizione di irrotazionalità implica che esiste una funzione scalare Φ tale che v = ∇Φ. Per i fluidi
incompressibili, inoltre, l’equazione di continuitá si riduce a ∇ · v = 0. Mettendo tutto assieme
quindi si trova che per un fluidi incompressibe ed irrotazionale, si ha che
∇2 Φ = 0
che è l’equazione di Laplace già vista in elettromagnetismo.
(4.65)
Capitolo 5
Applicazioni della teoria dei fluidi ideali
5.1 L’equazione di Bernoulli
Com’è noto, in Meccanica, l’energia totale meccanica si conserva in assenza di attriti. Vogliamo
ora mostrare come una analoga legge di conservazione esista anche nel caso del fluidi ideali (che
per definizione non contengono attriti). Come abbiamo visto, la loro dinamica è governata dall’equazione di Eulero (4.19). Abbiamo visto come sia possibile riscrivere l’equazione di Eulero in
un modo diverso (4.53) sfruttando l’identità (4.53). Come già detto, queste due equazioni sono
completamente equivalenti. Nel caso in cui il fluido si trovi in stato stazionario allora ∂v/∂t = 0 e
l’equazione (4.53) diventa
!
1
1 2
∇ v + ∇P = v × (∇ × v) + g
2
ρ
(5.1)
Ricordiamo ora che dato che la gravità è una forza conservativa, esiste una funzione φ tale che
g = −∇φ. Chiaramente, essendo g = −gẑ, la funzione φ che si ottiene per integrazione (con la
condizione al contorno che φ(z0 = 0) = 0) è
φ(z) = g z
71
(5.2)
72
Capitolo 5. Applicazioni della teoria dei fluidi ideali
e dipende solo da z com’era da attendersi. La (5.1) diventa quindi
!
1 2
1
∇ v + ∇ (P + φ) = v × (∇ × v)
2
ρ
(5.3)
Sia ora ˆ il versore istantaneo della velocità del fluido. Quindi v = vˆ dove il modulo v e la
direzione ˆ variano ovviamente istante per istante. Si noti allora che ˆ é la direzione di una linea di
flusso definita in (4.22). Si proietti adesso l’equazione (5.3) lungo la direzione di una linea di flusso
(prendendo il prodotto scalare con il versore ˆ ). Notando che
[v × (∇ × v)] · ˆ = 0
ˆ · ∇ =
(5.4)
∂
∂
si vede subito che l’equazione (5.3) diventa semplicemente
"
#
∂ 1 2 P
v + +gz = 0
∂ 2
ρ
(5.5)
dove, si noti, che abbiamo sfruttato il fatto che il fluido è incompressibile (ρ = costante) e l’equazione (5.2). Questo significa che
1 2 P
v + + g z = costante
2
ρ
(5.6)
che è appunto la legge di conservazione cercata. Quest’equazione è nota come equazione di Bernoulli e rappresenta l’analogo della conservazione dell’energia meccanica del caso della meccanica
dei corpi rigidi (o del punto materiale).
5.2 Legge di Stevino dall’equazione di Bernoulli
Abbiamo visto come per un fluido ideale, incompressibile e stazionario, si ottenga una legge di
conservazione che puó essere scritta sotto la forma di equazione di Bernoulli (5.6). Se consideriamo
73
quindi noti i valori della valocità v0 , della pressione P0 e dell’altezza z0 in un punto, l’equazione di
Bernoulli significa che
1 2 P
v + +gz =
2
ρ
1 2 P0
v +
+ g z0
2 0
ρ
(5.7)
in un qualsiasi altro punto del fluido. Nel caso particolare di fluido in quite abbiamo inoltre che
v = 0 = v0 e dunque
P
+gz =
ρ
P0
+ g z0
ρ
(5.8)
che puó essere riscritta nella forma di Legge di Stevino (2.16), come doveva essere in quanto la
situazione rappresentata è una situazione di idrostatica.
5.3 Tubo di venturi e linea piezometrica
Vediamo ora una diretta applicazione pratica dell’equazione di Bernoulli. Si consideri la geometria
descritta in Figura 5.1 che è nota come Tubo di Venturi. Dato che la coordinata z è sempre costante
Linea piezometrica
h=P/ γ
h=P/ γ
h’=P’/γ
v
S’
S
v
v’
S
Figura 5.1: Il Tubo di Venturi.
lungo tutto il sistema (che è orrizontale e quindi z = z0 ), l’equazione di Bernoulli (5.7) diventa
dividendo ambo i membri per g:
v2
P
+
2g ρg
=
v02
P0
+
2g ρg
(5.9)
74
dove abbiamo preso come riferimento le due sezioni S e S 0 < S disegnate in Figura, a cui sono
associate le quantità v, P, z e v0 , P0 , z0 rispettivamente. E’ conveniente definire la quantità
γ = ρg
(5.10)
che ha le dimensioni di una forza per volume (Newton/metri3 ) com’è facile controllare. Si ricordi
ora che in un tubo di flusso (qual’è appunto quello che stiamo considerando) e in situazione di flusso
stazionario, vale la relazione (4.35) tra le velocità e le sezioni del tubo. Quindi nella fattispecie la
velocità del flusso nella sezione interna S 0 < S deve essere maggiore di quella nella sezione esterna
S secondo la
v0 = v
S S0
(5.11)
Di conseguenza, affinchè le (5.9) e le (5.10) valgano contemporaneamente, deve essere P0 < P e
quindi la pressione diminuisce all’interno del tubo. Questo fatto puó essere rappresentato graficamente dalla cosiddetta linea piezometrica che rappresenta la quantità P/γ = h, che si vede subito
avere le dimensioni di una lunghezza, e che quindi diminuisce passando attraverso la riduzione
della sezione, come mostrato in Figura 5.1. Eliminado v0 dalla (5.9) usando la (5.11), si ottiene
immediatamente
"
#
ρv2 S 2
−1
P0 = P −
2
S0
(5.12)
e quindi calcolare P0 direttamente conoscendo S 0 .
Si noti inoltre che è possibile considerare la stessa fenomenologia per il caso di un tubo non
orrizontale anche se diventa più macchinoso.
75
5.4 Superficie di un fluido in rotazione
Supponiamo di avere un fluido ideale ed incompressibile (liquido) contenuto in un recipiente cilindrico che è posto in rotazione con velocità angolare Ω in modo tale che il liquido ruoti solidalmente
con il recipiente (cioè come un corpo rigido). La situazione è quindi quella descritta in Figura 5.2.
L’esperienza ci insegna che la superficie del liquido non è più piana ma concava. Vogliamo ora
z
Ω
Figura 5.2: Liquido in rotazione in un recipiente cilindrico.
capire il perchè e calcolare l’equazione della superficie cioè una equazione del tipo z = g(x, y) in
76
coordinate cartesiane. Per farlo si parte dall’equazione di Eulero (4.19) e si noti che per ipotesi la
velocità del fluido è quella del cilindro ed quindi nota
x̂
ŷ
ẑ
v = Ω × x = Ω x Ωy Ωz y
z x
(5.13)
dove Ωz = Ω e Ω x = 0 = Ωy , per ipotesi. Dunque sviluppando il determinante
v = −Ω y x̂ + Ω x ŷ = v x (y) x̂ + vy (x) ŷ
(5.14)
Si noti ch,e in tali condizioni, l’equazione di continuità associata all’equazione di Eulero come
visto nella (4.21) è automaticamente soddisfatta. Infatti ricordando che il fluido è incompressibile,
si deve avere che
∇·v= 0 =
∂v x ∂vy ∂vz
+
+
∂x
∂y
∂z
(5.15)
che è identicamente verificata data la forma del campo di velocità (5.13). Tenendo conto della
condizione di stazionarietà, (∂v/∂t = 0) l’equazione di Eulero si scrive
1
(v · ∇) v = − ∇P + g
ρ
(5.16)
dove il primo membro può essere calcolato immediatamente dalla conoscenza del campo di velocità
(5.15) con risultato
(v · ∇) v = −Ω2 x x̂ + y ŷ
(5.17)
77
In questo modo, l’equazione di Eulero (5.16) proiettando lungo le tre componenti x̂, ŷ, e ẑ, porge
∂P
∂x
∂P
∂y
∂P
∂z
= ρ Ω2 x
(5.18)
= ρ Ω2 y
= −ρg
Questa sistema di equazioni differenziali del primo ordine si integra, com’è noto, equazione per
equazione nel modo seguente. Si integra la prima ottenendo una funzione di x più una arbitraria
funzione di y e z. Questa soluzione si inserisce nella seconda e il suo integrale fornisce una funzione di y più una arbitraria funzione di z. Infine questo risultato di inserisce nella terza ottenendo
una funzione di z più una constante di integrazione che deve essere calcolata con la condizione al
contorno. Come si vede immediatamente, il risultato per la pressione è
P(x, y, z) =
1
ρ Ω2 x2 + y2 − ρgz + P̃0
2
(5.19)
dove P̃0 è il valore della pressione nell’origine. Quest’ultimo è incognito, ma può essere immegiatamente calcolato dal valore della pressione nel punto (x = 0, y = 0, z = h) dove h è l’altezza del
liquido in rotazione nel centro del recipiente (che supponiamo nota). In questo punto la pressione è
quella atmosferica P0 e quindi dalla legge di Stevino (2.16)
P̃0 = P0 + ρ g h
(5.20)
che puó essere quindi sostituita nella soluzione (5.19). Abbiamo quindi ottenuto la soluzione per
la pressione in ogni punto del liquido. Per calcolare l’equazione della superficie del liquido, basta
sfruttare il fatto che la pressione sulla superficie deve essere quella atmosferica. Quindi su tutti i
punti z della superficie, la pressione deve essere uguale a P0 e dunque, dividendo per ρ g, si ha
z(x, y) = h +
Ω2 2
x + y2
2g
(5.21)
78
che rappresenta la soluzione della superficie di rotazione del liquido. In termini matematici, questa
soluzione rappresenta un paraboloide di rotazione attorno all’asse z.
5.5 Il paradosso di d’Alembert
Illustriamo ora un paradosso che mette in luce la necessità dell’introduzione di un termine dissipativo nell’equazione del moto (di Eulero) dei fluidi ideali. Questo porterà, come vedremo, ad una
equazione più generale, valida anche per i fluidi non ideali, detta di Navier-Stokes. Si consideri
un corpo di forma arbitraria ma simmetrico rispetto all’asse ẑ, ed immerso in un fluido ideale ed
incompressibile. Supponiamo che tale corpo si muova con velocità uniforme e costante Nel sistema
di riferimento del corpo, è allora il fluido che si muove con una velocità v che diventa uniforme e
costante lontano dal corpo. Vicino al corpo invece, il campo di velocità avrà una forma complicata
ancorchè simmetrica rispetto all’asse ẑ (Figura 5.3). Come detto in 5.1, in queste situazione vale
z
B
L
R
v
A
Figura 5.3: Geometria per il principio di d’Alembert.
l’equazione di Bernoulli (5.6) lungo una qualsiasi linea di flusso. Questa equazione definisce la
P in un punto, nota la v e la z in quel punto, e nota la costante (che si può calcolare dando le tre
variabili P0 , v0 e z0 in un qualsiasi altro punto del fluido). È importante notare che questa equazione
79
dipende da v2 e non da v, ed è quindi invariante per una riflessione v −→ −v. Questo significa
che se prendessimo tutte le velocità e le invertissimo rispetto all’asse ẑ, otterremmo esattamente ;a
stessa equazione. Si noti ora che, in assenza di attrito, la superficie del corpo è essa stessa una linea
di flusso. Se cosı́ non fosse infatti, ci sarebbe una componente perpendicolare al corpo e quindi ci
sarebbe attrito. Quindi la pressione esercitata dal fluido sul corpo può essere calcolata dalla (5.6),
come detto, ed avrà quindi la forma generale
P = P (v, z; v0 , z0 , P0 ) ≡ P(v)
(5.22)
dove la dipendenza da v indica che stiamo considerando il flusso come nella situazione in Figura.
Si consideri ora un punto R sulla superficie del corpo come in Figura 5.3. La pressione in questo
punto sarà data da una equazione del tipo (5.22) e quindi PR = PR (v).
Supponiamo ora di avere lo stesso corpo ma immerso in un fluido in cui tutte le velocità siano
rovesciate −v. Questo corrisponderebbe alla stessa Figura 5.3 ma con il flusso diretto verso sinistra
anzichè verso destra. Anche in questo caso, ovviamente, varrebbe la (5.22) e cioè
P = P (−v, z; v0 , z0 , P0 ) ≡ P(−v)
(5.23)
Ma come detto la pressione dipende solo dal quadrato della velocità. Quindi se consideriamo
un punto L speculare rispetto a quello considerato precedentemente R, si deve concludere che la
pressione in L per il flusso −v è identica alla pressione in R per il flusso v. In altre parole
PR (v) = PL (−v)
(5.24)
Ma essendo R e L del tutto arbitrari (purchè simmetrici rispetto all’asse ẑ), è chiaro come un discorso
analogo si possa fare per tutti i punti della superficie del corpo prendendo sempre coppie di punti
80
appartenenti alla superficie destra S R e sinistra S L rispettivamente. Quindi rispetto all’asse ẑ
P(S L ) = P(S R )
(5.25)
e dato che le superfici sono le stesse per ipotesi, anche le forze agenti sulle superfici destra e sinistra
sono uguali ed opposte! In definitiva quindi abbiamo ottenuto il risultato
Ftot = 0
sulla superficie del corpo
(5.26)
e cioè che la forza totale di superficie che si esercita su un corpo simmetrico in un fluido ideale,
incompressibile e stazionario è nulla! Questo risultato, ovviamente assurdo, è noto come paradosso
di d’Alembert.
Si noti che questo stesso risultato è ottenibile anche in situazioni più generali di quella qui
considerata
5.6 Il teorema di Torricelli
Supponiamo di avere un fluido ideale ed incompressibile contenuto in un recipiente avente una superficie libera ed un foro ad una distanza h dalla superficie libera (Figura 5.4) Ci domandiamo quale
debba essere la velocità di deflusso dal foro supponendo che il sistema sia in uno stato stazionario
(questa è una buona approssimazione solo se le dimensioni del foro sono molto piccole rispetto alle
dimensioni del recipiente). In queste condizioni la soluzione è immediata. Usando l’equazione di
Bernoulli (5.6) si ha
"
1 2 P
v + +gz
2
ρ
#
"
=
sup. libera
1 2 P
v + +gz
2
ρ
#
(5.27)
foro
Sulla superficie libera abbiamo P = P0 (pressione atmosferica), z = h (rispetto al foro) e vSL ∼ 0.
Quest’ultima condizione è conseguenza delle ipotesi che il foro sia ordini di grandezza più piccolo
del recipiente, per cui la velocità di discesa dell’acqua è trascurabile rispetto a quella di uscita da
81
P0
h
P0
v
Figura 5.4: Il teorema di Torricelli.
foro v. D’altra parte nel foro abbiamo che P = P0 (pressione atmosferica) e z = 0 rispetto al foro
stesso. Quindi la velocità di uscita v si calcola immediatamente
v =
p
2gh
(5.28)
Quindi, in queste ipotesi, la velocità di deflusso non dipende né dalla densità ρ e neppure dalla
pressione atmosferica P0 , ma solo dall’altezza h. Inoltre non dipende dalla forma dei recipiente in
accordo con i risultati del paradosso idrostatico visti in 2.8. È infine interessante notare come il
risultato cosı́ ottenuto sia esattamente la velocità di una particella di massa arbitraria che cada da
una altezza h sotto l’azione della gravità, problema questo già trattato nel corso di Meccanica.
5.7 L’effetto Magnus
Per finire questo capitolo, vogliamo ora trattare un fenomeno responsabile di molti fenomeni a noi
tutti familiari, noto come effetto Magnus. Supponiamo di avere un fluido in rotazione rispetto al
proprio asse con velocità angolare Ω ed inoltre in moto translatorio con velocità −v rispetto ad un
82
fluido ideale ed incompressibile. Come al solito, questo secondo caso è equivalente alla situazione
in cui il cilindro è in quiete ed il flusso è in moto con velocità che diventa v lontano dal cilindro.
Possiamo pensare questo moto come sovrapposizione dei due moti singoli:
a)Moto di rotazione attorno all’asse
Se il cilindro ha solo moto rotazionale con velocità Ω attorno ad un asse, come in Figura 5.5,
le linee di flusso sono cerchi concentrici attorno all’asse stesso, come mostrato in Figura.
Ω
Figura 5.5: Caso di solo rotazione del cilindro rispetto al fluido.
b)Moto di translazione rispetto al fluido
Se viceversa il cilindro ha solo moto di translazione v rispetto al fluido (supposto in quiete),
allora le linee di flusso sono deformate solo in vicinanza del cilindo in modo simmetrico
rispetto all’asse del moto dello stesso, come in Figura 5.5. Questo è infatti il caso già visto in
precedenza in 5.5.
Figura 5.6: Caso di solo translazione del cilindro rispetto al fluido.
83
Nel caso più generale dunque, il risultato sarà una sovrapposizione dei due casi precedenti: le linee di flusso saranno deformate in vicinanza del cilindro, ma non saranno più simmetriche rispetto
all’asse del moto. Saranno infatti più fitte dove la velocità totale (=rotazione+translazione) é maggiore e meno fitte nel lato opposto (come in Figura 5.7). Come risultato si ottiene una forza sul
cilindro che agisce in direzione perpendicolare al piano formato da Ω e v nella direzione dove le
linee di flusso sono più fitte, cioè dove la velocità totale è più alta. La cosa si capisce facilmente parF
A
Ω
B
Figura 5.7: Caso generale di translazione e rotazione del cilindro rispetto al fluido.
tendo dall’equazione di Bernoulli (valida in questi regimi) (5.6) che nel caso di sistema con altezza
z costante, come in questo caso, diventa
1 2 P
v +
2
ρ
= costante
(5.29)
Questo significa che laddove la velocità totale è più alta, la pressione è più bassa e viceversa. In
altri termini, nella situazione in Figura, vA > vB e dunque PB > PA Questo scompenso di pressione
tra i due lati, equivale all’effetto di una forza che agisce sul cilindro in direzione BA come mostrato
in Figura 5.7. Questo effetto, scoperto nel 1852 da Magnus, è alla base ad esempio dei fenomeni di
portanza negli aerei e ha notevoli altre applicazioni in aereodimanica ed idrodinamica.
Capitolo 6
Teoria dei fluidi non ideali
6.1 La viscosità
Fino ad ora abbiamo considerato fluidi ideali, cioè in assenza di qualunque effetto dissipativo. Abbiamo visto come ciò comporti delle situazioni paradossali, dovute al fatto che stiamo usando un
modello non realistico. I fluidi non ideali infatti sono soggetti ad attriti e dissipazioni che li rendono
molto differenti da un modello ideale.
Per capire come introdurre l’effetto dell’attrito, partiamo da un sistema molto semplice ma con
importanti risvolti pratici. Supponiamo di avere due lastre parallele di materiale solido aventi area
A e di avere un fluido contenuto all’interno. Se le lastre sono molto grandi possiamo trascurare
gli effetti di bordo e concentrarci sull’interno del sistema. Supponiamo che la lastra superiore sia
mantenuta ad una velocità costante v0 = v0 x̂ per mezzo di una forza F come in Figura 6.1 Si
osserva che la velocità ha un profilo simile a quello mostrato in Figura 6.1 e cresce uniformente
dal basso verso l’alto Dato che v cambia nel fluido, è chiaro che la forza trainante deve vincere un
attrito che sarà proporzionale alla velocità v0 , proporzionale all’area A di contatto, ed inversamente
proporzionale alla distanza d tra le due lastre. In definitiva quindi
F
A
= η
85
v0
d
(6.1)
86
Capitolo 6. Teoria dei fluidi non ideali
z
A
v=v0
F
x
v=0
A
Figura 6.1: Due lastre solide con intercapedine di fluido in moto relativo con velocità costante v0
una rispetto all’altra.
dove abbiamo posto uguale a η il coefficiente di proporzionalità di questa relazione. Questo coefficiente η è chiamato coefficiente di viscosità o semplicemente viscosità e ha le dimensioni di una
forza per una accelerazione (Newton × sec/metro2 ) com’è facile verificare immediatamente. Si
consideri ora una porzione di fluido all’interno di questo sistema di volume ∆A ∆y in cui la velocità
dello strato inferiore sia v x e quello dello strato superiore sia v x + ∆ v x , e sia ∆F la forza necessaria per mantenere questa situazione stazionaria (Figura 6.2). Chiaramente allora, per quanto detto
∆A
vx +∆vx
∆F
∆y
vx
Figura 6.2: Dipendenza trasversale della viscosità.
nella (6.1), avremo che ∆F/∆A = η ∆v x /∆y. Nel limite in cui lo strato diventa infinitamente sottile
∆y → 0, l’espressione appena trovata diventa una derivata
dF
∂v x
=η
dA
∂y
= S xy
(6.2)
87
dove S xy sta ad indicare che il risultato dipende dalle due coordinate considerate x e y. Chiaramente, se la velocità non fosse parallela a x̂ (seppur sempre nel piano (x, y)), ci sarebbe in S xy una
componente uguale a quella appena trovata ma con x e y scambiate. In totale avremmo
S xy
∂v x ∂vy
= η
+
∂y
∂x
!
(6.3)
Se adesso consideriamo la situazione più generale possibile in cui compare anche la terza dimensione, otteniamo espressioni analoghe per le varie componenti S xz e S yz . Il tutto può essere riassunto
in modo compatto come un tensore
S ij
∂vi ∂v j
= η
+
∂x j ∂xi
!
(6.4)
Nella Sezione successiva vedremo come questo tensore fa parte di uno più generale che va sotto il
nome di tensore degli sforzi.
6.2 Il tensore degli sforzi
Abbiamo più volte detto che in un fluido, la forza totale che agisce su un volume V è
Z
F
tot
=
h
i
dV f (vol) + f (sup) = F(vol) + F(sup)
(6.5)
V
Ricordiamo inoltre che, nel caso di fluidi ideali, la parte di superficie era direttamente legata alla
pressione mediante la (4.14), e quindi F(sup) è antiparallela alla normale alla superficie elementare
da = n̂ dS (Figura 6.3). Nel caso più generale di fluidi non ideali, è comunque chiaro che nella (6.5)
(che vale in generale) la F(sup) debba essere esprimibile come un integrale di superficie. Il modo per
farlo, lo sappiamo, è quello di usare il teorema di Gauss (3.67), che può essere riscritto come
Z
V
I
dV ∂i Fi =
S
dS n̂i Fi
(6.6)
88
(sup)
Fext
dS
n
Figura 6.3: Forze ideali di superficie.
Supponiamo ora di definire un tensore simmetrico σi j , detto appunto tensore degli sforzi, tale che
(sup)
fi
= ∂ j σi j
(6.7)
dove, si noti, c’è sottointesa una somma sull’indice j a secondo membro e quindi il risultato di(sup)
pende dal solo indice i, come doveva essere. Questa equazione definisce il tensore nota la fi
.
Possiamo quindi domandarci quale sarebbe l’espressione di tale tensore nel caso dei fluidi ideali
dove conosciamo l’espressione delle forze di superficie.
Z
(sup)
Fi
=
V
I
dV ∂σi j =
S
dS n̂ j σi j
(6.8)
che per confronto con l’equazione (4.14), porge per i fluidi ideali
σ(0)
= −P δi j
ij
(6.9)
Cosa succede quindi per i fluidi non ideali? Sicuramente ci sarà il termine (6.9) in quanto i fluidi
ideali sono un caso particolare di quelli non ideali nel caso in cui la viscosità sia nulla. Inoltre ci
sarà un termine che tiene conto del contributo della viscosità. Ma questo termine noi l’abbiamo già
trovato nell’equazione (6.4), nel caso di fluidi incompressibili. In definitiva quindi ci aspettiamo che
0
σi j = σ(0)
i j + σi j = −P δi j + S i j
(6.10)
89
Va ricordato, ancora una volta, che l’uguaglianza σ0i j = S i j vale solo nel caso di fluidi incompressibili. Nel caso più generale si può vedere che il risultato è un’espressione più generale
σ0i j = S i j + η0 δi j (∇ · v)
(6.11)
che appunto si riduce a S i j nel caso di fluidi incompressibili per effetto dell’equazione di continuità
(4.27). Nella (6.11) η0 rappresenta un altro coefficiente di viscosità che modifica il termine diagonale
(i = j) da 2 η a 2 η + η0 .
6.3 L’equazione di Navier-Stokes
Rifacciamo adesso gli stessi ragionamenti fatto per l’equazione del moto dei fluidi ideali (e che
hanno portato all’equazione di Eulero) ma includendo questa volta l’effetto degli effetti dissipativi.
Con gli stessi ragionamenti fatti nel caso dell’equazione di Eulero, l’equazione di Newton per un
fluido di volume V porge
Z
V
dv
dV ρ
dt
Z
=
Z
dV f (sup)
dV ρg +
V
(6.12)
V
L’equazione (6.12) è l’analogo dell’equazione (4.13) del caso dei fluidi ideali. Il primo membro è
l’equivalente del termine m a dell’equazione di Newton, mentre a secondo membro c’è la somma
delle forze di volume (la gravità in questo caso) e di quelle di superficie. Mentre le prime sono
esattamente uguali a quelle del caso ideale, le seconde devono essere modificate tenendo conto di
quello che abbiamo appena imparato sulla viscosità. A tale proposito basta applicare la definizione
(6.7) usando l’espressione esplicita del tensore degli sforzi σi j nel caso più generale (6.11) per
calcolare le singole derivate. Esse si calcolano facilmente:
∂ j σ(0)
=
−
∂
P
δi j = −∂i P
j
ij
(6.13)
90
n o
∂ j σ0i j = ∂ j η ∂i v j + ∂ j vi + η0 (∇ · v) δi j
h i
= η ∂i ∂ j v j + ∂ j ∂ j vi + η0 ∂i (∇ · v)
(6.14)
= η∇2 vi + η + η0 ∂i (∇ · v)
Sostituendo in Eq. (6.7) si ottiene l’espressione della componente i−esima del vettore f (sup) e cioè
(sup)
fi
= −∂i P + η ∇2 vi + η + η0 ∂i (∇ · v)
(6.15)
A questo punto possiamo scrivere l’equazione del moto (6.12) per un generico volume V e dunque
per gli integrandi
ρ
dv
dt
= ρ g − ∇ P + η ∇2 v + η + η0 ∇ (∇ · v)
(6.16)
dove naturalmente la derivata sostanziale a primo membro è data, come al solito, dalla (1.14). L’equazione (6.16) vale in generale per qualunque fluido (newtoniano). Essa però si simplifica notevolmente nel caso di fluidi incompressibili dove si può utilizzare il l’equazione di continuità (4.27) che
cancella l’ultimo termine a destra della (6.16). Dividendo per ρ e sostituendo l’espressione della
derivata sostanziale si ottiene
!
1
∂
+ v · ∇ v = g − ∇P + ν ∇2 v
∂t
ρ
(6.17)
dove abbiamo definito il coefficiente di viscosità specifico
ν =
η
ρ
(6.18)
L’equazione (6.17) è nota come l’equazione di Navier-Stokes ed è alla base di tutta la teoria dei
fluidi non ideali. Si noti che nel limite η → 0 si ritrova l’equazione di Eulero, come doveva essere.
91
È importante sottolinare le dimensioni delle quantità η e ν che sono rispettivamente
η =
[ν] =
Kg
metri secondi
metri2
secondi
(6.19)
com’è facile verificare. Ricordando che sia la viscosità che la densità di un fluido dipendono fortemente dalla temperatura, possiamo dare degli ordini di grandezza per il coefficiente ν. Per l’ac2
qua a 200 C si ha νacqua = 10−6 metri mentre per l’aria alla stessa temperatura si ha νaria =
secondi
2
metri
−5
1.5 10
che risulta essere più grande proprio per l’effetto combinato delle due dipendenze
secondi
dalla temperatura delle quantità che compongono il coefficiente ν.
6.4 Il problema delle condizioni al contorno
Prima di continuare con la trattazione delle conseguenze dell’equazione di Navier-Stokes, è importante considerare attentamente il problema delle condizioni al contorno. Si ricordi che nel caso più
generale, l’equazione (6.16) ha come incognite la velocità v, la pressione P e la densità ρ. Deve
essere quindi integrata da altre due equazioni scalari. La prima è l’equazione di continuità (4.10) (o
la sua equivalente (4.25)) che lega la velocità v alla densità ρ. La seconda è una equazione di stato,
a noi ben nota dalla Termodinamica, che lega la pressione P alla densità ρ attraverso una relazione
del tipo P = P(ρ). Queste tre equazioni vanno sempre considerate insieme; formano cioè un sistema
di equazioni differenziali la cui soluzione è data da un campo di velocità v, una pressione P e una
densità ρ. Le cose si semplificano notevolmente nel caso di fluidi incompressibili. Come abbiamo
visto l’equazione del moto si semplifica diventando la (6.17), ed anche l’equazione di continuità
si semplifica nella (4.27). Infine, l’equazione di stato di riduce alla sola condizione ρ = costante
che è (grosso modo!) equivalente alla condizione di incompressibilità, e questo permette infatti di
dimenticarsi del problema dell’equazione di stato, riducendo il sistema da risolvere ad uno a due
equazioni (invece che tre).
92
Passiamo ora ad analizzare il problema delle condizioni al contorno. Il fatto nuovo fondamen-
tale introdotto dall’equazione di Navier-Stokes è che essa è del secondo ordine nella velocità, per
effetto della presenza del laplaciano ν ∇2 v, assente invece nel caso dell’equazione di Eulero (che è
del primo ordine). Questo vuol dire che abbiamo bisogno di una condizione al contorno supplementare rispetto a prima. C’era comunque da aspettarselo in quanto adesso la viscosità introdurrà una
condizione supplementare in quanto è necessario specificare cosa succeda nella direzione tangente
e non solo normale all’ostacolo. Come sappiamo bene, la condizione al contorno dipende dalla
situazione fisica che si vuol descrivere. Vediamo ora le situazioni più comuni
a)Condizioni di parete impenetrabile
Supponiamo di avere una parete impermeabile (al fluido) che si muova con velocità arbitraria
V p nel punto P. Siano inoltre n̂ e v la normale alla parete e la velocità del fluidi in quel punto.
La situazione è schematizzata in Figura 6.4 Le condizioni di impenetrabilità della parete si
Vp
v
n
P
Figura 6.4: Condizioni di parete impermeabile.
traducono nelle due relazioni
vn = V p
n
vT = V p
T
Impenetrabilità normale
(6.20)
Condizione di non scivolamento
Nella prima delle (6.20) si impone che la componente normale relativa della velocità del
fluido rispetto alla parete sia nulla, uguagliando la componente normale vn della velocità
93
del fluido a quella della parete (V p )n . Nella seconda si impone che, per effetto dell’attrito, il
fluido non possa scivolare tangenzialmente sulla parete, imponendo la stessa condizione tra le
due velocità tangenziali vT e (V p )T . Questa seconda imposizione è fisicamente obbligatoria:
se cosı̀ non fosse, cioè se ci fosse effettivamente una velocità relativa tangenziale tra due
strati infinitamente vicini, uno sulla parete e una sul fluido, si avrebbe che la quantità ∂v j /∂xi
divergerebbe (qui xi rappresenta la distanza tra i due strati). Questo darebbe luogo ad un
tensore degli sforzi infinito e questo è inaccettabile dal punto di vista fisico. Si noti che nel
caso di parete fissa, le espressioni (6.20) si semplificano, come si può vedere sostituendo.
b)Condizioni all’infinito
Se esiste un ostacolo (di dimensione finita) che facciano variare il campo di velocità nelle
sue vicinanze, questo effetto deve svanire a distanze infinite da esso (Figura 6.5). Quindi,
Figura 6.5: Condizioni all’infinito.
se abbiamo un flusso stazionario di velocità v0 , il campo di velocità v si deve ridurre ad
esso a distanze infinite dall’ostacolo e dunque v → v0 per r → ∞, r essendo la distanza
dall’ostacolo.
6.5 La legge di similarità ed il teorema di Buckingam
Torniamo all’equazione di Navier-Stokes (6.17) nella sua versione valida per fluidi incompressibili,
e facciamo le seguenti ipotesi semplificative
94
• Stato stazionario (∂v/∂t = 0)
• Moto orrizontale (possiamo allora trascurare la gravità g) = 0
Ci chiediamo: quali sono le quantità caratteristiche che identificano le proprietà del fluido? Si noti
che
a) Il tempo non è una variabile rilevante dato che il sistema è in uno stato stazionario.
b) La densità e la pressione dipendono dalla velocità, attraverso le equazioni del moto, come visto.
Quindi ci aspettiamo che le grandezze che caratterizzano completamente il fluido (mediante le equazioni del moto) siano una lunghezza caratteristica L (ad esempio le dimensioni del contenitore o
dell’ostacolo), una velocità caratteristica u (ad esempio la velocità media del fluido), ed infine una
quantità che caratterizzi la viscosità, ad esempio il coefficiente ν = η/ρ. Il risultato è quindi che ogni
fluido è caratterizzato da 3 parametri (L, u e ν). Sistemi differenti aventi però gli stessi parametri, si
comportano nello stesso modo, dal punto di vista della dinamica. Vediamo adesso che non solo ciò
è in effetti verificato, ma che si può anche fare una affermazione più forte. Infatti dalla (6.17) con
g = 0 si ha
dv
dt
1
= − ∇P + ν ∇2 v
ρ
(6.21)
Supponiamo di introdurre variabili adimensionali per le lunghezze x0 , per le velocità v0 e per il
tempo t0 . Nei primi due casi si può semplicemente dividere per le rispettive quantità caratteristiche L e u, mentre nell’ultimo caso si puó facilmente costruire un tempo adimensionale usando la
95
combinazione L/u delle due grandezze caratteristiche. In definitiva quindi
v0 =
x0 =
t0 =
v
u
x
L
ut
L
(6.22)
Sostituendo nella (6.21) e moltiplicando ambo i membri per L/u2 otteniamo
dv0
dt0
= −∇x0 P0 +
ν
∇x0 v0
uL
(6.23)
dove abbiamo definito la “pressione” adimensionale P0 = P/(ρ u2 ). A questo punto nella (6.23)
anche la quantità u L/ν che appare a secondo membro deve essere adimensionale, essendo tutte le
altre quantità adimensionali. Questa quantità, che risulterà di fondamentale importanza per tutta la
meccanica dei fluidi come vedremo più avanti, è nota come numero di Reynolds Re
Re =
uL
ν
(6.24)
In questo modo la (6.23) diventa
dv0
dt0
= −∇x0 P0 +
1
∇x0 v0
Re
(6.25)
Si noti che questa equazione è la stessa di quella iniziale (6.21)! Tutto quello che abbiamo fatto è
stato di metterla in una forma adimensionale. Questo significa infatti che essa rappresenta non un
solo sistema, ma un intera classe di sistemi aventi esattamente lo stesso rapporto (6.24), ovvero lo
stesso numero di Reynolds. Questa osservazione è alla base della cosiddetta Legge di similarità: la
soluzione della (6.25), o equivalentemente della (6.21), deve avere la forma universale
v
u
= F
x
L
, . . . , Re =
u L
ν
(6.26)
96
dove F è una funzione universale. In definitiva quindi, moti diversi ma con lo stesso numero di
Reynolds sono simili, nel senso che sono ottenibili semplicemente scalando la soluzione generale adimensionale (6.26)! È interessante notare la somiglianza di questa legge di similarità con il
principio degli stati corrispondenti che si trova nello studio della teoria microscopica dei fluidi.
L’importanza pratica di questo risultato non deve essere sottovalutato: è proprio in virtù di
questa legge di similarità che studi idrodinamici su modellini su piccola scala permettono di predire
risultati su sistemi a grandi scale (per esempio aerei, dighe, sistemi oceonografici ecc).
Infine osserviamo che il procedimento di mettere l’equazione in forma adimensionale ha permesso una effettiva riduzione dei parametri indipendenti del sistema. Se infatti a prima vista dalla
(6.21) sembrerebbe essere necessario dare tre parametri (ν, u, and L) per definire il sistema, di fatto
è necessario dare solo una opportuna combinazione di essi (il numero di Reynolds Re (6.24)) per
ottenere lo stesso risultato, come visto. La formulazione matematica di questa affermazione è nota
come teorema di Buckingam (o teorema Π).
6.6 Il numero di Reynolds ed il suo significato fisico
Nella sezione precedente abbiamo visto che il numero di Reynolds Re definito in (6.24) rappresenta
l’unico parametro effettivo dell’equazione di Navier-Stokes (6.17). Adesso vedremo un altro significato che servirà a renderne evidente il suo significato fisico. Cominciamo con il ricordare che
l’equazione di Navier-Stokes è non lineare, e questa è la sorgente delle difficoltà che si incontrano
nella sua soluzione (a titolo di paragone ricordiamo che tutte le equazioni che abbiamo incontrato
nell’elettromagnetismo classico sono lineari!). In particolare, il termine non lineare è quello che
compare nella derivata sostanziale e che viene chiamato anche termine inerziale (v · ∇) v. Se questo
termine fosse infatti nullo, l’equazione sarebbe lineare e si potrebbe risolvere con tecniche abbastanza standard. Potrebbe quindi succedere che questo termine sia piccolo (e va definito sempre rispetto
a cosa) e quindi ci troviamo in una situazione di quasi-linearità. Cerchiamo quindi di stimare il peso
relativo di questo termine rispetto, ad esempio, al termine dissipativo che compare nell’equazione,
97
cioè quello che contiene la viscosità η ∇2 v. Ovviamente confronti analoghi possono essere fatti con
gli altri termini dell’equazione, come vedremo più avanti.
Come abbiamo detto un fluido é in generale caratterizzato dai parametri L (lunghezza o dimensione caratteristica), u (velocità caratteristica) e ν (coefficiente di viscosità specifica). Quindi come
ordine di grandezza avremo
Termine non-lineare = (v · ∇) v ∼
u2
L
(6.27)
per il termine non lineare, mentre per il termine dissipativo
Termine dissipativo = ν ∇2 v ∼
νu
L2
(6.28)
Allora si puó calcolare il rapporto di questi due termini
Termine non-lineare
Termine dissipativo
∼
u2 /L
uL
=
= Re
ν
ν u/L2
(6.29)
In altre parole, abbiamo trovato che
Re =
Termine non-lineare
Termine dissipativo
(6.30)
Quindi esistono due regimi separati da un valore critico del numero di Reynolds dell’ordine dell’unità, cioè (Re)c ∼ 1, in cui i due termini sono comparabili:
a)Regime di Bassi Re, o Laminare (Re << 1)
In questo caso, dalla (6.29), abbiamo trovato che il termine non lineare è trascurabile, almeno
rispetto a quello dissipativo. Siamo quindi in presenza di un regime di tipo quasi-lineare.
b)Regime di Alti Re, o Turbolento (Re >> 1)
In questo caso il termine non-lineare è dominante e non solo non si può trascurare, ma dá
luogo a degli effetti di instabilità che vanno sotto il nome di turbolenza.
98
6.7 Condizioni per l’approssimazione di fluido incompressibile
Abbiamo visto come la condizione di incompressibilità di un fluido dia luogo ad una descrizione
notevolmente semplificata del moto. Ma quando possiamo dire che un fluido è incompressibile?
Fino ad adesso abbiamo usato questa locuzione come sinonimo di fluido con ρ costate, e a sua volta
questo significa che stiamo considerando un liquido. Se fosse davvero cosı́, allora molti dei risultati
che abbiamo ottenuto fino ad oggi non si potrebbero davvero applicare nei fluidi gassosi quali ad
esempio l’atmosfera, e il campo di applicabilità dei fluidi incompressibili sarebbe davvero ridotto.
Vedremo adesso però che la situazione è molto migliore di quanto appaia a priva vista.
Consideriamo adesso un tipico diagramma di fase PV di un fluido “classico” (escludendo cioè
fluidi tipicamente quantistici quali l’elio liquido). Esso appare grosso modo come schematicamente
presentato in Figura 6.6. Nella Figura sono riportare le isoterme corrispondenti ad una temperatura
P
T>>Tc
C
T=Tc
liquido
gas
coesistenza liquido−gas
T<<T c
V
Figura 6.6: Tipico diagramma di fase di un fluido classico.
alta (T >> T c ), ad una temperatura bassa (T << T c ) e all’isoterma critica (T = T c ). Come
sappiamo solo fluidi al di sotto della temperatura critica (caratteristica di ogni fluido) presentano
una transizione di fase da una fase gassosa ad una liquida. Seguendo i punti di coesistenza tra le fasi
gassose e liquide, si ottiene la caratteristica curva a campana che contiene la regione in cui le due fasi
(gassosa e liquida) coesistono. Nella regione a grandi volumi (a destra della campana) si ha quindi
99
una fase solo gassosa, mentre nella regione a piccoli volumi (e sotto la temperatura critica) si ha una
fase solo liquida. Dalla Figura 6.6 si puó notare che nella regione del gas, ad una grande variazione
di volume, corrisponda una piccola variazione di pressione. Viceversa, nella regione del liquido,
anche ad una piccola variazione di volume corrisponde una grande variazione di pressione. Questa
osservazione si traduce matematicamente mediante il coefficiente di compressibilità isoterma KT (o
isoentropica KS ) definiti come segue
KT,S
1 ∂V
= −
V ∂P
!
(6.31)
T,S
dove T e S indicano che si stanno considerando variazioni a temperatura o entropia costante, rispettivamente. Per i solidi, ovviamente, il volume non cambia applicando qualsiasi pressione (a
meno che non si rompa!) e quindi ∂V/∂P → 0. Dunque nella (6.31) si ottiene KT,S → 0 per i
solidi. Da quanto abbiamo detto precendentemente, ci aspettiamo anche che KT,S << 1 per i liquidi
mentre KT,S >> 1 per i gas. Infatti questo è ció che succede. L’Argon (Ag) (che è un gas) ha
una compressibilità isoterma KT dell’ordine dei 94 · 102 metri2 /Newton a circa 770 Kelvin, mentre
il Ferro (Fe) (che è un solido a temperatura ambiente) ha una compressibilità isoterma di circa di
0.6 · 10−12 metri2 /Netwton e quindi 100 volte più piccola.
Cerchiamo adesso di capire sotto quali condizioni il fluido si può considerare incompressibile
per quanto riguarda l’equazione del moto. A tale scopo, facciamo un ragionamento tipico per la
stima degli orgini di grandezza. Supponiamo che la densità non sia esattamente costante (uguale a
ρ0 ) ma abbia delle piccole fluttuazioni ∆ρ in modo che
ρ = ρ0 + ∆ρ
∆ρ
<< 1
ρ0
(6.32)
Quindi le fluttuazioni sono piccole rispetto alla densità ρ0 . Dato che la densità ρ e la pressione P in
un fluido sono legate da una equazione di stato (come già detto), allora ad una variazione di densità
∆ρ corrisponderà necessariamente una variazione di pressione ∆P. Facciamo adesso le seguenti
approssimazioni:
100
• Stato stazionario
• Piano orriziontale
• Fluido quasi ideale (η ∼ 0)
La prima approssimazione ci permette di mettere a zero il termine ∂v/∂t che compare nell’equazione
di Navier-Stokes; la seconda ci pemette di trascurare la gravità g; infine la terza ci permette di
assumere che il termine dissipativo ν∇2 v sia quasi nullo. La ragione di quest’ultima assunzione
diverrà chiara nel proseguio della trattazione. L’equazione di Navier-Stokes (6.17) si semplifica
quindi nella
1
− ∇P = (v · ∇) v
ρ
(6.33)
Si noti che abbiamo utilizzato l’equazione di Navier-Stokes per i fluidi incompressibili, e quindi il
tutto funzionerà se il risultato finale sarà consistente con le nostre ipotesi di partenza. Possiamo ora
stimare i termini della (6.33). A primo membro sia la densità che la pressione variano, ma solo la
seconda ha una variazione esplicita. Dato che esiste già questa, trascuriamo la relativa variazione
in densità che porterebbe a termini di ordine superiore. Il primo membro è quindi dell’ordine di
∆P/(ρ0 L) dove L è la lunghezza caratteristica del sistema. Il secondo membro può essere stimato
se assumiamo una velocità caratteristica u ed una relativa fluttuazione ∆u come u ∆u/L ∆(u2 )/L
dove abbiamo sfruttato il fatto che considerata come una specie di derivata, si ha ∆(u2 ) = 2 u ∆u
dove il fattore numerico può essere trascurato a questo livello di trattazione. Quindi il risultato di
questa discussione sulla (6.33) è quello di ottenere una approssimazione per la fluttuazione della
pressione ∆P in funzione della variazione della velocità quadratica ∆(u2 )
∆P ∼ ρ0 ∆ u2
(6.34)
Si noti ora che motiplicando e dividendo per la massa nella (6.31), e usando il fatto che la densità
101
(supposta costante) è la massa divisa per il volume, si ottiene per la compressibilità
"
KT,S
!#
!
∂ 1
1 ∂ρ
= −ρ
]
=
∂P ρ T,S ρ ∂P T,S
(6.35)
Quindi come ordine di grandezza abbiamo
KT,S
∼
1 ∆ρ
ρ ∆P
(6.36)
Quindi, sostituendo il risultato trovato in (6.34) e assumendo che KT KS (che è quasi sempre vero
tranno per gas particolarmente rarefatti), si ottiene
∆ρ
ρ0
∼ KS ρ0 ∆ u2
(6.37)
D’altra parte, è noto come la compressibilità isoentropica (o adiabatica) in un fluido omogeneo sia
legata alla velocità del suono c s :
c2s =
1
ρ0 KS
(6.38)
Sostituendo quindi la (6.38) nella (6.37) si trova quindi
∆ρ
ρ0
∼
∆ u2
c2s
(6.39)
Abbiamo quindi trovato che, nelle nostre approssimazioni, le fluttuazioni relative della densità sono
proporzionali al rapporto tra le fluttuazioni del quadrato della velocità del fluido e il quadrato della
velocità del suono. Dato quindi che le fluttuazioni della velocità al quadrato del fluido sono sicuramente inferiori al suo valore medio (altrimenti il valore medio non sarebbe ben definito) allora
possiamo assumere che ∆(u2 ) ∼ u2 , e riscrivere la (6.39) in una forma molto istruttiva che illumina
il suo significato fisico. Se definiamo come numero di Mach Ma il rapporto tra la velocità tipica del
102
fluido e quella del suono
Ma =
u
cs
(6.40)
abbiamo allora
∆ρ
ρ0
∼ Ma2
(6.41)
Questo significa che le fluttuazioni della densità sono piccole fintanto che il numero di Mach è
molto piccolo. Si noti che questo non dipende (solo) dalle proprietà del fluido ma soprattutto dalle
condizioni dinamiche in cui si trova. Quindi anche un gas può essere considerato incompressibile
se si considerano velocità sufficientemente piccole!
Capitolo 7
Applicazioni della teoria dei fluidi non
ideali
7.1 Soluzione unidimensionale con superficie libera per fluido incompressibile
Consideriamo un flusso di una massa di fluido incompressibile di altezza fissata z = h la cui superficie libera viene mantenuta in moto con velocità fissata v(z = h) = u = ux̂. La situazione è
quella schematizzata in Figura 6.1 Per i fluidi incompressibili, come abbiamo visto, l’equazione di
Navier-Stokes (6.18) accoppiata all’equazione di continuità (4.27) forniscono la soluzione del problema una volta definite le appropriate condizioni al contorno. In questo problema si vede subito
che la velocità sul fondo (fisso) deve essere nulla (condizioni di non slittamento) mentre quella sulla superficie libera deve essere uguale alla velocità imposta dall’esterno (condizioni di raccordo).
Infine la pressione sulla superficie libera deve essere uguale a quella atmosferica. In breve quindi:
• Condizioni di non slittamento v x (z = 0) = 0
• Condizioni di raccordo con velocità esterna v x (z = h) = u
• Pressione sulla superficie libera P(z = h) = P0
103
104
Capitolo 7. Applicazioni della teoria dei fluidi non ideali
z
u
v
h
x
Figura 7.1: Flusso unidimensionale con superficie libera mantenuta in moto con velocità v.
Dalla geometria del problema è chiaro che la velocità del flusso risulta essere solo nella direzione x̂
e varia solo nella direzione ẑ, e quindi
v = v x (z) x̂
(7.1)
È importante sottolineare come l’equazione di continuitá sia automaticamente soddisfatta dalla condizione (7.1) in quanto la divergenza contiene solo derivate della componente di una direzione
rispetto alla stessa direzione.
Proiettando l’equazione di Navier-Stokes (6.18) lungo le tre direzioni si ottiene
∂v x
1 ∂P
+ (v · ∇) v x = −
+ ν∇2 v x
∂t
ρ ∂x
1 ∂P
0 = −
ρ ∂y
1 ∂P
0 = −
−g
ρ ∂z
(7.2)
Si vede subito che il termine (v · ∇)
vv si annulla in quanto l’unica componente non nulla v x é moltiplicata per una derivata nulla. Inoltre
∇2 v x = ∂2 v x /∂z2 in quanto gli altri termini sono ovviamente nulli. Inoltre dalla (7.2) si vede che P
105
non dipende da y. Se inoltre supponiamo di essere in stato stazionario, la derivata temporale nella
(7.2) é nulla. In definitiva, restano quindi le seguenti equazioni (associate alle due direzioni rilevanti
x e z):
1 ∂P
ρ ∂x
∂P
∂z
= ν
∂2
vx
∂z2
(7.3)
= −ρg
La seconda delle (7.3) si integra immediatamente
P (x, z) = −ρgz + c (x)
(7.4)
dove c(x) é una arbitraria funzione di x. La soluzione (7.4) puó essere sostituita nella prima delle
equazioni (7.3) ottenendo
1 dc (x)
ρ dx
= ν
d2 v x (z)
dz2
(7.5)
Come ultima osservazione, si noti che, sempre dalla simmetria del problema, se il sistema è infinitamente esteso lungo l’asse x̂ (come implicitamente assunto), la pressione non puó dipendere dalla
variabile x. Di conseguenza deve essere che ∂P/∂x = 0 e dunque anche c(x) = c valore costante
(indipendente da x). Rimaniamo quindi con il sistema di due equazioni in due incognite
d2 v x (x)
dz2
= 0
(7.6)
P (z) = −ρgz + c
(7.7)
dove le incognite sono v x (z) e P(z). Integrando la prima due volte rispetto a z si ottiene ovviamente
v x (z) = a + bz
(7.8)
106
dove a e b sono due costanti che, assieme a c nell’equazione per la pressione vanno determinate dalle
condizioni al contorno riportate precedentemente. Dalle prime due, si ottiengono immediatamente
a = 0 e b = u/h, mentre dalla terza (quella sulla pressione) si ottiene c = P0 + ρgh. La soluzione
definitiva del nostro problema è quindi
P (z) = P0 − ρg (z − h)
(7.9)
z
h
(7.10)
v x (x) = u
che valgono entrambe per 0 ≤ z ≤ h e che descrivono correttamente la fenomenologia del problema.
7.2 Flusso su un piano inclinato con superficie libera
Vediamo una variazione sul tema del problema precedente in cui il piano su cui scorre il fluido è
un piano inclinato. La differenza sostanziale con il caso precedente è che in questo caso la velocità
sulla superficie libera non è data in quanto è essa stessa un’incognita del problema. È conveniente in
questo caso considerare un sistema d’assi coordinati inclinati come il piano di un angolo α rispetto
al piano orrizontale (si veda Figura 7.1). Si noti che, come precedentemente, supponiamo che lo
z
P
0
h
α
x
Figura 7.2: Geometria per lo scorrimento di un fluido su un piano inclinato.
spessore del fluido sia costante (uguale a h) lungo tutto il piano inclinato. In tal modo anche in
107
questo caso la pressione dipende solo dalla coordinata z e dunque
∇P =
dP (z)
ẑ
dz
(7.11)
Inoltre, come precedentemente, supponiamo il fluido incompressibile e il flusso stazionario. Per la
stessa ragione di prima, è immediato vedere che, anche in questo caso, l’equazione di continuità per
i fluidi incompressibili (4.27) sia automaticamente soddisfatta dalla proprietà (7.1) che vale anche
in questo caso. Per lo stesso motivo si annulla il termine (v · ∇)
vv. Il termine di gravità che appare nell’equazione di Navier-Stokes (6.18) deve essere proiettato
lungo le due direzioni x̂ e ẑ (la coordinata y è irrilevante anche in questo caso) e quindi si ha
g x = g sin α e g x = g cos α per la componente x e z rispettivamente. In definitiva quindi, l’equazione
di Navier-Stokes (6.18) proiettata lungo x̂ e ẑ (rispettivamente) si scrive
ν
d2 v x (z)
+ g sin α = 0
dz2
1 dP (z)
= −g cos α
ρ dz
(7.12)
(7.13)
a cui vanno aggiunte le seguenti condizioni al contorno
σ0xz |z=h = σ0zx |z=h = 0
v x (z = 0) = 0
Condizione di non slittamento (7.14)
P (z = h) = P0
Condizione di superficie libera (7.15)
Condizione di sforzo tangenziale nullo sulla superficie libera (7.16)
Mentre le prime due hanno la stessa interpretazione del problema precedente, l’ultima condizione
merita un commento. Ricordiamo che σ0i j è la parte del tensore degli sforzi (6.10) associato alla
viscosità, e che in questo caso deve essere nulla sulla superficie libera in quanto abbiamo assunto
che ci sia solo la pressione esterna P0 che agisce su di essa.
Integrando la seconda delle (7.13) rispetto a z e tenendo conto della seconda delle condizioni al
108
contorno (7.16), si ottiene la soluzione (valida nell’intervallo 0 ≤ z ≤ h)
P (z) = P0 − ρg (z − h) cos α
(7.17)
Analogamente integrando due volte la seconda delle (7.13) rispetto a z si ha
v x (z) = a + bz −
1 ρg 2
z sin α
2 η
(7.18)
La prima delle condizioni (7.16) impone a = 0 mentre per la seconda si ha
σ0xz |z=h = η
!
∂v x
ρg
= η b − z sin α |z=h = 0
∂z
η
(7.19)
ρgh
sin α
η
(7.20)
da cui si ottiene
b =
Sostituendo in (7.18), si ottiene quindi la soluzione per la velocità
v x (z) =
1 ρgz
(2h − z) sin α
2 η
(7.21)
che vale anch’essa nell’intervallo 0 ≤ z ≤ h. Si noti che nel limite α → 0 la velocità si annulla e si
riottiene la legge di Stevino (2.16), come doveva essere. È infine importante notare che la velocità
data dalla (7.21) è massima sulla superficie libera come é facile verificare calcolando le derivate
prime e seconde.
7.3 Flusso di Poiseuille
Questo esempio è di particolare importanza per i suoi risvolti applicativi (moto in condotta). Si
consideri un tubo cilindrico di raggio R e lunghezza L >> R (questo significa che trascuriamo gli
109
effetti di bordo e consideriamo in pratica il cilindro infinito sotto molti aspetti). Sia ∆P la differenza
di pressione applicata agli estremi (come in Figura 7.3). Il fluido è assunto incompressibile il moto
x
∆P
R
x
z
L
Figura 7.3: Condotta cilindrica e flusso di Poiseuille.
stazionario e, considerando la condotta orrizontale, la gravità g è può essere considerata trascurabile.
Quindi nell’equazione di Navier-Stokes (6.18) si possono trascurare i termini g e il temine ∂v/∂t.
Per ragioni di simmetria inoltre ci aspettiamo
v = v x (y, z) x̂
(7.22)
Si noti che anche in questo caso, la dipendenza delle variabili e la direzione sono “incrociate” e
quindi, anche in questo caso, abbiamo che (v · ∇) v = 0 e questo vale anche per l’equazione di
continuità (4.27) che risulta automaticamente soddisfatta. In definitiva, proiettando lungo le tre
direzioni x̂, ŷ e ẑ si ottengono rispettivamente
∂P
∂x
∂P
∂y
∂P
∂z
"
= η
#
∂2
∂2
(y,
(y,
v
z)
+
v
z)
x
x
∂y2
∂z2
(7.23)
= 0
(7.24)
= 0
(7.25)
110
Le seconde due equazioni ci dicono che la pressione non dipende nè da y nè da z. Dunque ci
riduciamo ad una sola equazione
"
#
∂2
∂2
= η
v x (y, z) + 2 v x (y, z)
∂y2
∂z
dP (x)
dx
(7.26)
A questa si devono aggiungere le condizioni al contorno. Chiaramente si deve imporre la condizione
di non slittamento sulla superficie del cilindro e cioè
!
q
vx
y2
+
z2
=R
= 0
(7.27)
Inoltre è chiaro che se il flusso va da sinistra verso destra sotto la spinta della pressione, la pressione
nel punto x = −L/2 deve essere maggiore di quella in x = L/2 di una quantità ∆P. Quindi
L
L
P x=−
= P x=
+ ∆P
2
2
(7.28)
Infine, per ragioni che vedremo più avanti, è necessario imporre esplicitamente che la velocità
sull’asse centrale y = 0, z = 0 sia nulla
v x (y = 0, z = 0) < +∞
(7.29)
Si noti ora che il membro a sinistra della (7.26) è una funzione della sola x, mentre, viceversa, il
membro a destra dipende solo da y e z. L’unico modo affinchè ció possa accadere è che entrambe
siano uguali ad una costante c. Quindi, usando la (7.28) nella (7.26) si ottiene
c=
dP (x)
=
dx
P x = L2 − P x = − L2
L
=−
∆P
L
(7.30)
e questo fornisce il valore di c
c = −
∆P
L
(7.31)
111
∂2
∂2
∆P
(y,
v
z)
+
v x (y, z) = −
x
2
2
ηL
∂y
∂z
(7.32)
A questo punto è conveniente osservare che mentre in coordinate cartesiane si devono gestire due
variabili (y e z), la simmetria del problema suggerisce che passando in coordinate cilindriche il
problema dovrebbe semplificarsi. Infatti, dato che il membro a sinistra della (7.32) è il Laplaciano
in coordinate cartesiane, possiamo usare l’espressione (C.12) e ottenere
"
#
1 d dv x (r)
∆P
r
= −
r dr
dr
ηL
(7.33)
L’equazione è stata ora ridotta ad una equazione ad una variabile che può essere integrata due volte
rispetto a r per ottenere
v x (r) = −
1 ∆P 2
r + a log r + b
4 ηL
(7.34)
dove a e b sono le costanti prodotte dalle due integrazioni precedenti. Per calcolare si usano le
condizioni al contorno. La (7.29) impone a = 0, mentre la (7.27) fornisce
b =
1 ∆P 2
R
4 ηL
(7.35)
Sostituendo i risultati ottenuti per a e b si ottiene la soluzione finale
v x (r) =
1 ∆P 2
r2
R 1− 2
4 ηL
R
!
(7.36)
valida per 0 ≤ r ≤ R. Il profilo è parabolico come mostrato in Figura 6.4. Una importante applicazione del risultato (7.36) é la cosiddetta legge della portata. Si ricordi che abbiamo definito J = ρv
come la densità di momento (momento=quantità di moto), e cioé la quantità di moto per unità di
volume. Sia S una superficie arbitraria e da = n̂dS un elemento infinitesimo e orientato di questa
112
vr(r)
v0(r)
1
1
r
R
Figura 7.4: Profilo di velocità parabolico nel flusso di Poiseuille.
superficie. Si definisce come portata attraverso la superficie S la quantità
Z
Q =
dS n̂ · J
(7.37)
S
Quindi Q è la massa che passa per la superficie S nell’unità di tempo come è facile verificare.
Questa quantità puó essere facilmente calcolata nel nostro caso, notando che n̂ = x̂ e dunque
Z
Q =
S
Z
dS ρv x (r) =
Z
2π
R
dφ
0
dr rρ
0
1 ∆P 2
R − r2
4 ηL
(7.38)
e quindi con semplici passaggi si ottiene il risultato finale
Q =
π ∆P 4
ρR
8 ηL
Questo risultato è anche noto come legge di Poiseuille.
(7.39)
113
7.4 Flusso di Couette
Un altro sistema con importanti applicazioni pratiche è quello che va sotto il nome di flusso di
Couette. Si considerino due cilindri infinitamente lunghi e concentrici di raggi R1 e R2 > R1 e
siano Ω1 e Ω2 le rispettive velocità angolari attorno all’asse comune ai due cilindri (come in Figura
7.5). Si supponga che nella regione anulare tra i due cilindri sia contenuto un fluido incompressibile
y
111111111111111
000000000000000
000000000000000
111111111111111
000000000000000
111111111111111
000000000000000
000000000000000
111111111111111
R2111111111111111
000000000000000
111111111111111
000000000000000
111111111111111
000000000000000
111111111111111
000000000000000
111111111111111
000000000000000 Ω
111111111111111
000000000000000
111111111111111
2
000000000000000
111111111111111
000000000000000
111111111111111
000000000000000
111111111111111
000000000000000
111111111111111
000000000000000
111111111111111
000000000000000
111111111111111
000000000000000
111111111111111
000000000000000
111111111111111
000000000000000
111111111111111
000000000000000
000000000000000
111111111111111
R1 111111111111111
000000000000000
111111111111111
000000000000000
111111111111111
000000000000000
111111111111111
000000000000000
111111111111111
000000000000000
111111111111111
000000000000000
111111111111111
Ω1
000000000000000
111111111111111
000000000000000
111111111111111
000000000000000
111111111111111
x
Figura 7.5: Flusso di Couette.
di cui vogliamo calcolare il profilo di velocità. Come in precedenza trascuriamo la gravità (moto
orrizontale) e supponiamo di essere in stato stazionario. Come al solito dobbiamo risolvere l’equazione di Navier-Stokes (6.18) accoppiata all’equazione di continuità (4.27). In questo caso però, la
simmetria del sistema suggerisce immediatamente la strada delle coordinate cilindriche riassunta in
Appendice C. Per simmetria ci si aspetta che la velocità dipenda solo dalla coordinata radiale r e
abbia solo direzione tangenziale ehatφ . Quindi:
v = vφ (r) êφ
P = P (r)
(7.40)
114
Anche in questo caso l’equazione di continuità è automaticamente soddisfatta come si vede subito
usando l’espressione per la divergenza (C.12) che fornisce
1 ∂
1 ∂
[rvr ] +
vφ = 0
r ∂r
r ∂φ
(7.41)
e che si annulla identicamente. L’equazione di Navier-Stokes in coordinate cilindriche ha una forma
piuttosto complicata, la cui espressione nel caso si trascuri la componente z (come nel presente caso)
è riportata in (C.14). Nel caso di dipendenza solo radiale come in (7.41), e tenuto conto delle nostre
ipotesi, l’espressione si semplifica notevolmente diventando
v2φ
1 ∂P
−
= 0
r
ρ ∂r
"
#
(
)
vφ
1 d dvφ
r
− 2
ν
= 0
r dr dr
r
(7.42)
che devono venire risolte con le condizioni al contorno
vφ (r = R1 ) = Ω1 R1
(7.43)
vφ (r = R2 ) = Ω2 R2
La seconda delle (7.43) si trasforma facilmente in
d2 vφ (r) 1 dvφ (r) 1
+
− 2 vφ (r) = 0
r dr
dr2
r
(7.44)
mentre la prima diventa
dP (r)
dr
=
ρ 2
v (r)
r φ
(7.45)
Quindi, una volta risolta la (7.44) la corrispondente soluzione può essere inserita nella (7.45) ottenendo la soluzione per P(r). Per risolvere la (7.44) è conveniente eseguire le sostituzioni f (r) =
115
vφ (r)/r e successivamente g(r) = d f (r)/dr per ottenere dopo qualche semplice manipolazione
matematica un’equazione del primo ordine
r
dg (r)
+ 3g (r) = 0
dr
(7.46)
che è facilmente solubile mediante integrazione. Una seconda integrazione fornisce poi la soluzione
per f (r) e quindi per vφ (r). Il risultato è
a
r3
1a
f (r) = − 2 + b
2r
1a
vφ (r) = −
+ br
2r
g (r) =
(7.47)
dove a e b sono costanti di integrazione che devono essere determinate dalle condizioni al contorno
(7.44). Ciò fornisce il seguente sistema di due equazioni in due incognite
1
a − R1 b = −Ω1 R1
2R1
1
a − R2 b = −Ω2 R2
2R2
(7.48)
che puó essere facilmente risolto per a e b con risultato
a =
b =
2 (Ω2 − Ω1 ) R21 R22
R22 − R21
(7.49)
Ω2 R22 − Ω1 R21
R22 − R21
La soluzione finale per il flusso si scrive quindi nel modo seguente
vφ (r) =
2 (Ω2 − Ω1 ) R21 R22 1 Ω2 R22 − Ω1 R21
r
+
r
R22 − R21
R22 − R21
che vale per R1 ≤ r ≤ R2 . È interessante notare alcuni casi particolari:
(7.50)
116
a) Se Ω1 = Ω2 = Ω, allora la (7.50) diventa vφ (r) = Ωr che corrisponde ad una rotazione rigida,
come uno intuitivamente si aspetta
b) Se il cilindro esterno è assente, e cioè se R2 → ∞ e Ω2 = 0, allora si ottiene
vφ (r) =
Ω1 R21
r
(7.51)
che corrisponde ad un campo di velocità 1/r.
7.5 Forza di Stokes per una sfera in moto in un fluido incompressibile
Supponiamo di avere una sfera di raggio R in moto in un fluido incompressibile con velocità u = uẑ
come in Figura 7.6 Si supponga, come al solito, di trascurare la gravità, di considerare il sistema
R
u
Figura 7.6: Moto di una sfera in un fluido incompressibile.
in stato stazionario, e di considerare bassi numeri di Reynolds. In queste condizioni l’equazione di
Navier-Stokes si riduce a
∇P = η∇2 v
(7.52)
che è una equazione caratteristica dei moti stazionari a basso numero di Reynolds che è detta equazione dei moti “arrampicanti”. In queste condizioni esiste un bilancio tra la pressione locale e gli
sforzi viscosi.
117
L’equazione (7.52), assieme all’equazione di continuità, va risolta con le seguenti condizioni al
contorno:
v=0
sulla superficie S
v→u
as r ≡ |x| → ∞
P → P∞
as r ≡ |x| → ∞
(7.53)
In questo caso, la simmetria del sistema suggerisce di utilizzare coordinate polari dove esiste una
simmetria rispetto all’angolo azimutale φ che non deve quindi comparire nella soluzione. In definitiva ci aspettiamo una soluzione del tipo
v = vr (r, θ) êr + vθ (r, θ) êθ
(7.54)
P = P (r, θ)
Per la soluzione, bisogna usare le espressioni del gradiente e del Laplaciano in coordinate polari
(C.18) escludendo la componente φ. La soluzione è abbastanza laboriosa, ma il risultato finale è
semplice
"
#
3 R 1 R3
vr (r, θ) = u cos θ 1 −
+
2 r 2 r3
#
"
3 R 1 R3
−
vθ (r, θ) = −u sin θ 1 −
4 r 4 r3
3 R
P (r, θ) = P∞ − η 2 u cos θ
2 r
(7.55)
Per verificare che questa soluzione ha i requisiti richiesti, basta controllare che soddisfa tutte e tre
le condizioni al contorno (7.54), come è facile verificare. Per chi non si accontentasse di questa
soluzione, la derivazione generale del risultato (7.56) è riportata in Appendice D.
La cosa più interessante di questa soluzione, è quella di poter calcolare la forza che agisce sulla
sfera da parte del fluido. A tale proposito, basta ricordare le espressioni delle forze di superficie in
118
termini del tensore degli sforzi (6.8) e (6.10). Anche in questo caso l’algebra è macchinosa (si veda
Appendice D) ma il risultato finale è semplice
F = −6πηuRẑ
(7.56)
che rappresenta la forza totale che agisce sulla sfera per effetto del fluido. Si noti che la forza è
negativa (in quanto forza di attrito e quindi opponente il moto) e proporzionale alla velocità u del
fluido. Quindi è una forza del tipo viscoso Fη = −av, dove a è un coefficiente proporzionale alla
viscosità η del fluido e ad un fattore che dipende dalla geometria dell’oggetto (uguale a 6πR per una
sfera). Questo risultato è noto come legge di Stokes.
Capitolo 8
Il trasporto nei fluidi
8.1 Diffusione molecolare, legge di Fick e della diffusione
Consideriamo un gas contenuto in due contenitori comunicanti ma separati da un setto removibile.
Supponiamo che uno di questi due contenitori contanga il gas ad alta densità, mentre l’altro contenga lo stesso gas a una densità molto più bassa, come rappresentato in Figura 8.1 Per semplicità
J
dρ
dt
x
Figura 8.1: Sistema composto formato da due sottosistemi ad alta e bassa densità.
consideriamo il sistema come un sistema unidimensionale in cui la dipendenza delle varie quantità
è solo dalla coordinata x. Se rimuoviamo il setto fisso, l’esperienza di dice che le particelle del
gas tendono a diffondere preferibilmente dal recipiente ad alta densità verso quello a bassa. Intuitivamente quindi ci aspettiamo che ci sia un flusso di particelle (definito di seguito) J(x) che ha la
119
120
Capitolo 8. Il trasporto nei fluidi
direzione opposta ed è proporzionale al gradiente di concentrazione ∂ρ(x)/∂x, dove ρ(x) è la densità
di massa nel punto x. Quindi
J (x) = −D
∂ρ (x)
∂x
(8.1)
dove D è una costante di proporzionalità che viene indicata come coefficiente di diffusione. La
quantità che abbiamo definito come J è la massa totale che passa per l’unità di superficie ad unità
di tempo. Quindi deve avere le dimensioni (in unità M.K.S.) di Kg/(m2 sec). Il meccanismo per cui
avviene questo scambio di particelle è quello delle collisioni che tendono ad avvenire in prevalenza
da punti a densità più altra verso punti a densità più bassa. Una spiegazione intuitiva di questo
meccanismo è descritta in Appendice D, per mezzo di un modellino microscopico che riesce anche
a dare una espressione per D in termini di parametri microscopici.
Si noti ora che questa quantità coincide con quella introdotta nell’equazione (4.6) ricordando
che ρ ha le dimensioni di Kg/m3 mentre v ha le dimensioni di m/sec. Si noti che, dalla (8.1), le
dimensioni del coefficiente di diffusione sono [D] = Kg/m2 .
Se fossimo stati in un sistema tridimensionali, invece che unidimensionale come in questo caso,
avremmo avuto tutte le quantità dipendenti dalle tre coordinate x, y.z. Quindi al posto della ∂ρ/∂x
avremmo avuto anche le altre due componenti e quindi
J (x) = −D∇ρ (x)
(8.2)
Ricordando ora l’equazione di continuità (4.10), si può sostituire la (8.2) nella (4.10) ed essendo D
costante, si ottiene l’equazione di diffusione
∂ρ
∂t
= D∇2 ρ
che è uno dei paradigmi delle equazioni di trasporto.
(8.3)
121
8.2 Conduzione termica e legge di Fourier
Un altro fenomeno tipico che avviene nei gas è la conduzione termica. Essa si configura in modo
analogo alla diffusione, con la differenza che ad essere trasportata non è la massa ma il calore, che
è, in ultima analisi, legato all’energia termica delle molecole (corpo caldo significa tanta energia
termica e quindi alta velocità delle molecole). Possiamo pensare ad un sistema di due contenitori
in contatto termico come in Figura 8.2. Sia T (x) la temperatura del gas lungo x e ∂T/∂x la sua
dT
dx
SERBATOIO
CALDO
SERBATOIO
FREDDO
Jq
GAS CALDO
GAS FREDDO
x
Figura 8.2: Sistema di due contenitore in contatto termico.
variazione. Se Jq è il calore (energia termica) che passa attraverso il setto per unità di superficie e
per unità di tempo, si ha, in analogia con quello che succede per la diffusione, che
Ja = −K
∂T
∂x
(8.4)
dove abbiamo indicato con K la capacità termica. Anche in questo caso, il segno negativo indica
che il flusso di calore è opposto al gradiente di temperatura, come indicato in Figura 8.2. Nel caso
più generale abbiamo dunque
Jq = −K∇T
(8.5)
122
che è chiamata legge di Fourier. Si noti che dalla (8.4) le dimensioni di K sono quelle di un’energia
per unità di lunghezza, per unità di tempo e di temperatura. Quindi in unità MKS si ha
[K] =
J
metri × sec ×0 C
(8.6)
Anche in questo caso esiste un’equazione di continuità che rappresenta la conservazione di una
quantità (l’energia in questo caso). Per derivarla si consideri un volume V arbitrario e sia S la
superficie che lo racchiude. Allora il flusso di energia attraverso la superficie S Φ Jq , cioè l’energia
che passa per S nell’unità di tempo sarà quindi
I
Φ Jq
=
S
da · Jq
(8.7)
Adesso si ricordi dalla termodinamica che il calore specifico (capacità termica per unità di massa) a
volume o pressione costante è dato da
cV,P =
1 dQ
M dT
(8.8)
dove dQ/dT è la variazione di calore Q corrispondente alla variazione di temperatura T e dove i
suffissi v e P si riferiscono al caso volume e pressione costante rispettivamente. Quindi
dQ
dT
Z
=
V
dV ρ cV,P
∂T
∂t
(8.9)
è la variazione di calore in V nell’intervallo di tempo dt per effetto della sola variazione della
temperatura (supponento che la densità sia costante). Inoltre dalla conservazione dell’energia totale
deve essere che
−
dQ
dt
= Φ Jq
(8.10)
123
Quindi usando la (8.7) e il teorema di Gauss (3.67) si ottiene
I
Φ Jq =
Z
S
dS n̂ · Jq =
V
dV ∇ · Jq
(8.11)
e usando la (8.9)
Z
V
#
"
∂T
dV ∇ · Jq + ρ cV,P
=0
∂t
(8.12)
per ogni volume V e ciò implica necessariamente che si annulli l’integrando
∇ · Jq = −ρ cV,P
∂T
∂t
(8.13)
Infine, usando la legge di Fourier (8.5) si ottiene un’equazione analoga a quella della diffusione
∂T
∂t
= α∇2 T
(8.14)
dove abbiamo posto
α ≡ αV,P =
K
ρ cV,P
(8.15)
L’equazione (8.14) è nota come equazione della conduzione termica.
8.3 Convezione e numero di Peclét
Abbiamo appena visto la diffusione termica che è uno dei meccanismi con cui viene trasportato il
calore da una parte all’altra di un sistema. Tale meccanismo è fisicamente basato sulle collisioni
tra le molecole di fluido: più alta è la temperatura, maggiore è il numero di collisioni per unità di
tempo, e maggiore è l’energia cinetica media delle molecole. Mediante le collisioni, questo aumento
di propaga gradualmente nel corpo fino a quando la temperatura non è uguale ovunque. Esiste però
124
un altro meccanismo di trasporto che è tipico dei fluidi (non esiste cioè per i solidi) che si basa sul
fatto che una parte calda del fluido si muove fisicamente in un altra zona più fredda aumentandone in
tal modo l’energia cinetica media locale. Questo meccanismo si chiama convezione (o avezione) e il
suo contributo si ottiene semplicemente ricordando che, se il fluido si muove, alla derivata parziale
del tempo si deve sostituire la derivata sostanziale
∂
∂t
→
d
∂
=
+v·∇
dt ∂t
(8.16)
Sostituendo dunque in (8.14) si
∂T
+ (v · ∇) T
∂t
= α∇2 T
(8.17)
dove il secondo termine a sinistra si chiama termine avettivo ed è associato alla convezione, mentre
il termine a destra si chiama termine diffusivo ed è associato alla diffusione. In definitiva quindi
esistono (almeno) due modi di trasporto di calore che agiscono in contemporanea nei fluidi. Come
fare a capire qual’è quello più importante? La situazione qui è analoga a quella che si presenta
nel caso dell’equazione di Navier-Stokes in cui il numero di Reynolds stabilisce in quale regime
(laminare o turbiolento) ci si trova. Possiamo quindi fare un ragionamento analogo a quello fatto in
quell’occasione stabilendo che
uT
L
α
T
Termine diffusivo = |α∇2 T | ∼ 2
L
Termine avettivo = | (v · ∇) T | ∼
(8.18)
e definendo un numero, detto numero di Peclèt, che definisca il rapporto tra queste due quantità
(dimensionalmente omologhe)
Pe =
Termine avettivo
uL
∼
Termine diffusivo
α
(8.19)
125
Si trovano dunque due situazioni opposte
• Pe << 1
In questo caso il termine avettivo è molto più piccolo di quello diffusivo e siamo quindi in
una situazione in cui è dominante la diffusione.
• Pe >> 1
Corrisponde alla situazione opposta in cui è dominante la convezione.
8.4 Convenzione e approssimazione di Boussinesque
Il trasporto di calore in un fluido è un sistema parecchio complicato in quanto, in linea di principio,
bisogna risolvere un sistema di equazioni (non lineari) accoppiate tra loro. L’idea base per affrontare
questo tipo di fenonemi complessi è quello di estrarre i contributi principali alla fisica del fenomeno. Vediamo ora una di queste procedure che va sotto il nome di approssimazione di Boussinesque.
In questo caso si dovrebbero risolvere l’equazione di convezione (8.17)
∂T
+ (v · ∇) T
∂t
= α∇2 T
(8.20)
dove la velocità v deve essere determinata mediante l’equazione di Navier-Stokes (6.16) nella forma
più generale
!
∂v
ρ
+ v · ∇ v = ρ g − ∇ P + η ∇2 v + η + η0 ∇ (∇ · v)
∂t
(8.21)
e dove, infine,.la densità ρ e la pressione P sono associate all’equazione di continuità e di stato
rispettivamente
∂ρ
+ ∇ · (ρv) = 0
∂t
P = P (ρ)
(8.22)
126
L’idea quindi per trasformare questo problema intrattabile in una forma che si possa affrontare, è
quello di ricordare innanzitutto che l’equazione di Navier-Stokes si simplifica notevolmenente nel
caso di densità constante. Quindi facciamo le seguenti ipotesi
i) La densità è quasi costante
ρ = ρ0 + ∆ρ
∆ρ
<< 1
ρ0
(8.23)
ii) Nelle equazioni si trascuranto tutti i termini in cui appaiono ∆ρ e derivate. Questo perchè si assume che questi termini siano infinitesimi di ordine superiore al primo se ∆ρ è sufficientemente
piccolo (infinitesimo).
iii) La densità varia solo per effetto di una variazione della temperatura
∆ρ = −βρ0 ∆T
(8.24)
dove β è una costante di proporzionalità. La (8.24) si deve interpretare nel modo seguente.
Se un fluido si scalda, si dilata e quindi la densità diminuisce. Quindi la variazione relativa
∆ρ/ρ0 è proporzionale a meno la variazione della temperatura ∆T .
Allora nell’equazione di continuità che appare in (8.23) ci si riduce immediatamente a quella del
caso incompressibile
∇·v = 0
(8.25)
e analogamente l’equazione di stato si considera quella del caso incompressibile. In tal modo
l’equazione di Navier-Stokes (8.21) si semplifica in
!
∂
1
+ v · ∇ v = − ∇P + ν0 ∇2 v + g − βg∆T
∂t
ρ0
(8.26)
127
che è sostanzialmente l’equazione di Navier-Stokes per fluidi incompressibili (6.17) con l’aggiunta
dell’ultimo termine a destra. Anche se questa equazione è ancora di difficile soluzione, il problema
originale è stato drasticamente semplificato in questo modo.
8.5 Numeri di Froude e di Strouhal
Abbiamo visto come nell’equazione di Navier-Stokes per fluidi incompressibili (6.17) il numero di
Reynolds Re rappresenti il rapporto di importanza tra il termine inerziale e quello dissipativo. In
modo analogo possono essere definiti altri numeri che rappresentino la relativa importanza relativa
degli altri termini. Tra questi i più importante sono
Termine inerziale
| (v · ∇) v| u2
=
∼
Termine di gravità
g
Lg
| (v · ∇) v| u τ
Termine inerziale
=
∼
St =
∂v
Termine di gravità
L
∂t
Fe =
Fronde
(8.27)
Strohul
Il primo definisce quanto pesa il termine di gravità rispetto a quello inerziale, mentre il secondo
riveste una notevole importanza nel definire se il sistema si trova in uno stato stazionario o meno.
Capitolo 9
Cenni sulla Turbolenza
9.1 Flusso ad alti numeri di Reynolds e instabilità
Si consideri nuovamente il problema del flusso di un cilindro (o di una sfera) in moto in un fluidi
viscoso. Il tipo di dinamica avrà certe caratteristiche generali che dipendono sostanzialmente solo
dal numero di Reynolds.
a) Bassi numeri di Reynolds Re << 1.
È questo il caso visto fino ad ora, cioè quello in cui si ha un flusso laminare. In questo caso,
come già visto, le caratteristiche principali sono (si veda Figura 9.1):
z
Figura 9.1: Flusso a bassi numeri di Reynolds (laminare) Re << 1.
129
130
Capitolo 9. Cenni sulla Turbolenza
• Il flusso è simmetrico rispetto all’asse ẑ.
• L’ostacolo ha una influenza fino ad una distanza apprezzabile rispetto alle dimensioni
dell’ostacolo.
b) Flusso a numeri di Reynolds medi Re ∼ 10.
Come abbiamo visto, quando il numero di Reynolds Re cresce oltre al valore unitario, le
proprietà qualitative del flusso cambiano come mostrato nella Figura 9.2 In questo caso
z
Figura 9.2: Flusso a numeri di Reynolds medi Re ∼ 10.
dunque
• Il flusso non è più simmetrico rispetto all’asse ẑ
• Si formano dei piccoli vortici isolati nella parte opposta dell’ostacolo rispetto alla direzione del flusso.
c) Flussi ad alti numeri di Reynolds Re ∼ 100.
Aumentando ulteriormente il numero di Reynolds i vortici assumono delle forme caratteristiche (dette vortici di von Karman) come schematicamente mostrato in Figura 9.3 Le
caratteristiche principali di questi regimi sono
• Formazioni di scie caratterizzate da una certa periodicità
• Questi regimi sono fortemente instabili e questa instabilità è presente anche nelle corrispondenti soluzioni matematiche.
131
z
Figura 9.3: Flusso ad alti numeri di Reynolds Re ∼ 100.
La cosa più importante da enfatizzare è che, all’aumentare del numero di Reynolds, si ha una progressiva perdita della predicibiltà delle soluzioni matematiche. Si ricordi che la predicibilità è una
proprietà fondamentale di tutte le equazioni della meccanica classica basate sull’equazione di Newton F = mdp/dt = ma che permette, note due condizioni iniziali (ad esempio posizione x0 e velocità
v0 all’istante iniziale t0 ) di determinare univocamente il moto per qualunque istante t > t0 . Quindi la soluzione sarà esprimibile come una funzione nota x = x(t; x0 , v0 ). Dato che l’equazione di
Navier-Stokes è stata derivata dall’equazione di Newton, la stessa cosa deve valere anche per essa
fintanto che il numero di Reynolds è basso, cioè in un regime laminare. A grandi numeri di Reynolds
(moto turbolento) si sviluppa una componente stocastica associata alle instabilità viste prima, che
non sono predicibili, e che diventa tanto maggiore quanto più grande è Re. Il fatto quindi che piccole
variazioni delle condizioni iniziali si traducano in grandi variazioni del moto a grandi tempi, è associato con un il fenomeno noto come caos, ed è la causa principale, ad esempio, dell’impossibilità
di poter fare delle previsioni atmosferiche sicure.
Da un punto di vista strettamente matematico, quindi, sarà necessario introdurre al formalismo
visto fino a qui, una componente stocastica nelle equazioni.
132
9.2 La formulazione statistica e il problema della chiusura
Torniamo al caso dell’equazione di Navier-Stokes per fluidi Newtoniani e incompressibili (6.18)
che, come al solito, deve essere accompagnata dall’equazione di continuità (4.27). Come abbiamo
visto in una situazione molto turbolenta (altri numeri di Reynolds) la velocità avrà un andamento
molto irregolare come, ad esempio, quello mostrato nella parte alta della Figura 9.1. Supponiamo di
scomporre la componente v x della velocità che appare nell’equazione di Navier-Stokes in una parte
lenta v x più una parte veloce u x . La prima rappresenta una parte che varia su scale mesoscopiche
come quelle trattate fino ad ora, mentre la seconda ha un andamento molto irregolare. Entrambe
sono riportate nella Figura 9.1. Una cosa analoga si dovrebbe fare per il termine di pressione, e
vx
vx
ux
x
Figura 9.4: Decomposizione schematica della velocità originale (alto) in una parte lenta (in mezzo)
e una fluttuazione (in basso).
quindi
vi (x, t) = vi (x.t) + ui (x, t)
i = 1, 2, 3
(9.1)
P (x, t) = P (x, t) + P (x, t)
Si introduce quindi una formulazione statistica, supponendo che la velocità v sia distribuita secondo
una distribuzione f (v) e che quindi si ottengono i valori di aspettazione di una qualunque funzione
133
ψ(x) dalla
Z
+∞
hψ (v)i =
dvψ (v) f (v)
(9.2)
−∞
dove abbiamo supposto che la distribuzione f (v) sia normalizzata
Z
+∞
dv f (v) = 1
(9.3)
−∞
e dove si noti che l’integrale è di natura vettoriale (cioè dv = dv x dvy dvz . Coerentemente con la
discussione fatta precedentemente, assumiamo che la media della velocità e della pressione (che
dipende dalla velocità attraverso l’equazione di Navier-Stokes e l’equazione di continuità) siano
dati dai valori lenti o, equivalentemente, le medie dei valori veloci siano nulle, cioè
vi (x, t) = hvi (x, t)i −→ hui (x, t)i = 0
(9.4)
P (x, t) = hP (x, t)i −→ hP (x, t)i = 0
Dalla definizione di media (9.3) si vede subito che la media commuta con qualunque operazione
differenziale lineare. Ad esempio:
∂
∂
hvi i =
∂x
∂x
Z
Z
+∞
−∞
dv f (v) vi =
+∞
dv f (v)
−∞
* +
∂vi
∂vi
=
∂x
∂x
(9.5)
Quindi prendendo la media dell’equazione di continuità e considerando le decomposizioni date da
(9.2) e (9.5), si ottengono immediatamente due equazioni di continuità per le componenti lente e
veloci:
h∂i ui i = ∂i hui i = 0
h∂i vi i = h∂i vi i = 0
(9.6)
134
D’altra parte, la stessa cosa non avviene per l’equazione di Navier-Stokes in quanto contiene un
termine non lineare (come già detto). Infatti, inserendo la decomposizione (9.2) nella (6.18) si ha
i
h
i
1h
∂
(vi + ui ) + v j + u j ∂ j (vi + ui ) = − ∂i P + ∂i P + ν ∇2 vi + ∇2 ui + gi
∂t
ρ
(9.7)
Prendendo la media della (9.7) e tenendo conto che
*
+
∂ui
∂
= hui i = 0
∂t
∂t
D
E
v j ∂ j ui = v j ∂ j hui i = 0
D
E D E
u j ∂ j vi = u j ∂ j vi = 0
(9.8)
si trova
D
E
∂vi
1
+ v j ∂ j vi + u j ∂ j ui = − ∂i P + ν∇2 vi + gi
∂t
ρ
(9.9)
D
E
D E
D
E
u j ∂ j ui = ∂ j ui u j − ui ∂ j u j = ∂ j ui u j
(9.10)
e notando che
avendo usato la prima delle (9.7). Abbiamo quindi trovato quella che va sotto il nome di equazione
di Reynolds
D E
∂v
1
+ v · ∇ v + ∂ j uu j = − ∇P + ν∇2 v + g
∂t
ρ
(9.11)
La cosa importante di questa equazione è che ha la forma di una equazione di Navier-Stokes con
D
E
l’aggiunta di un termine stocastico ∂ j ui u j che deve essere calcolato preventivamente da una
equazione analoga per u che si trova sottraendo la (9.11) dall’equazione di Navier-Stokes originale.
Sono da notare due fatti fondamentali. Il primo è che sebbene hui i = 0 la stessa cosa non vale
D
E
per ui u j in quanto quest’ultima rappresenta una correlazione tra due eventi non necessariamente
135
D E
D
E
indipendenti e quindi in generale tali che ui u j , hui i u j = 0. Inoltre la presenza di questa
correlazione fa si che sarebbe necessario sapere un’equazione di evoluzione per tale correlazione:
si ha quindi quello che è noto come il problema della chiusura e cioè che le equazioni per la media
dipendono dalle equazioni per la correlazione, e quest’ultime dipendono da un’equazione di correlazioni superiori. Si ha cioé un problema che non si chiude e questa è una caratteristica tipica delle
equazioni non lineari.
Appendice A
Formule Vettoriali
In questa appendice, si riportanto alcune formule vettoriali utili.
Il primo gruppo é per i vettori ordinari:
a · (a × c) = b · (c × a) = c · (a × b)
(A.1)
a × (b × c) = (a · c) b − (a · b) c
(A.2)
(a × b) · (c × d) = (a · c) (b · d) − (a · d) (b · c)
(A.3)
Questo secondo gruppo coinvolge gli operatori differenziali associati all’operatore ∇ e applicati
137
138
Capitolo A. Formule Vettoriali
ad un campo scalare (ψ) o ad uno vettoriale (F,G, ecc):
∇ × ∇ψ = 0
(A.4)
∇ · (∇ × F) = 0
(A.5)
∇ × (∇ × F) = ∇ (∇ · F) − ∇2 F
(A.6)
∇ · (ψF) = F · ∇ψ + ψ∇ · F
(A.7)
∇ × (ψF) = ∇ψ × F + ψ∇ × F
(A.8)
∇ (F × G) = (F · ∇) G + (G · ∇) F + F × (∇ × G) + G × (∇ × F)
(A.9)
∇ · (F × G) = G · (∇ × F) − F · (∇ × G)
(A.10)
∇ × (F × G) = F (∇ × G) − G (∇ × F) + (G × ∇) F − (F × ∇) G
(A.11)
Inoltre se x é la coordinata di un punto rispetto all’origine con modulo r = |x| e versore n̂ = x/r
allora valgono
∇·x=3
(A.12)
∇×x=0
(A.13)
2
r
(A.14)
∇ × n̂ = 0
(A.15)
∇ · n̂ =
Appendice B
Teoremi di calcolo vettoriale
Riportiamo in forma compatta i teoremi utili di calcolo vettoriale. Siano ψ, F campi scalare e
vettoriale, e si consideri un volume chiuso V avente come superficie S . Siano inoltre dV elemento
infinitesimo di volume, da = dS n̂ elemento di area orientata nella direzione n̂ perpendicolare ed
esterna alla superficie S e di valore assoluto dS , allora il teorema di Gauss o della divergenza dice
che
Z
I
dV ∇ · F =
da · F
V
(B.1)
S
e permette la trasformazione di un integrale di superficie in uno di volume per i campi vettoriali. Ne
esiste uno analogo anche per i campi scalari
Z
I
dV ∇ψ =
V
ψda
(B.2)
S
Analogamente sia S una superficie aperta e C il suo contorno avente come elemento di linea dl
di modulo dl e direzione tangente al contorno in quel punto, il teorema di Stokes o del rotore dice
allora che
Z
I
da · (∇ × F) =
S
dl · F
C
139
(B.3)
140
Capitolo B. Teoremi di calcolo vettoriale
e permette la trasformazione di un integrale di superficie in un integrale di linea.
Appendice C
Operatori differenziali in coordinate
cilindriche e sferiche
a) Coordinate cartesiane
Siano ê x ≡ x̂,êy ≡ ŷ e êz = ẑ i versori associati con il sistema di assi cartesiani (x, y, z), allora
per un campo scalare ψ e vettoriale F gli operatori differenziali gradiente, divergenza, rotore
e Laplaciano hanno la seguente forma:
∂ψ
∂ψ
∂ψ
+ êy
+ êz
∂x
∂y
∂z
∂F
∂F x
∂Fz
y
∇·F =
+
+
∂x
∂y
∂z
!
!
!
∂Ay ∂A x
∂Az ∂Ay
∂A x ∂Az
∇ × F = ê x
−
+ êy
−
+ êz
−
∂y
∂z
∂z
∂x
∂x
∂y
2
2
2
∂ ψ ∂ ψ ∂ ψ
∇2 ψ =
+
+ 2
∂x2 ∂y2
∂z
∇ψ = ê x
(C.1)
(C.2)
(C.3)
(C.4)
b) Coordinate cilindriche
Le coordinate cilindriche (r, φ, z), sono individuate dai versori elementari êr , êφ , êz che definiscono le direzioni radiale, tangenziale e lungo ẑ rispettivamente. In questo caso per un campo scalare ψ e vettoriale F gli operatori differenziali gradiente, divergenza, rotore e Laplaciano
141
142
Capitolo C. Operatori differenziali in coordinate cilindriche e sferiche
hanno la seguente forma:
∂ψ
1 ∂ψ
∂ψ
+ êφ
+ êz
∂r
r ∂φ
∂z
1 ∂Fφ Fz
1 ∂
(rFr ) +
∇·F =
+
r ∂r
r ∂φ
∂z
!
!
"
#
∂Fr ∂Fz
1 ∂ ∂A x
1 ∂Fz ∂Fφ
−
+ êφ
−
+ êz
∇ × F = êr
rAφ −
r ∂φ
∂z
∂z
∂r
r ∂r
∂φ
!
1 ∂ ∂ψ
1 ∂2 ψ ∂ψ
∇2 ψ =
r
+ 2 2 + 2
r ∂r ∂r
r ∂φ
∂z
∇ψ = êr
(C.5)
(C.6)
(C.7)
(C.8)
Si noti che nel caso particolarmente interessante di dipendenza solo radiale delle funzioni
scalare (ψ = ψ(r)) e vettoriale (F = F(r)) le equazioni sopra assumono una forma molto piú
semplice dove le derivate parziali diventano derivate totali (essendoci una sola variabile)
dψ
dr
1 d
(rFr )
∇·F =
r dr
dFz
1 d ∇ × F = −êφ
+ êz
rFφ
dr ! r dr
1
d
dψ
∇2 ψ =
r
r dr dr
∇ψ = êr
(C.9)
(C.10)
(C.11)
(C.12)
Nel caso di coordinate cilindriche è spesso utile scrivere l’equazione di Navier-Stokes nel
caso in cui si trascuri la coordinata z. In questo caso si dimostra che le componenti vr e v phi
soddisfano le equazioni
"
#
v2φ
∂vr
∂
1 ∂
+ vr +
vφ vr −
∂t
∂r r ∂φ
r
"
#
vr vφ
∂vφ
∂
1 ∂
+ vr +
vφ vφ +
∂t
∂r r ∂φ
r
"
#
1 ∂P
2 ∂vφ vr
2
= −
+ ν ∇ vr − 2
−
ρ ∂r
r ∂φ r2
"
#
1 1 ∂P
2 ∂vr vφ
2
= −
+ ν ∇ vφ − 2
−
ρ r ∂φ
r ∂φ r2
(C.13)
dove è interessante notare la presenza dei termini “centrifughi” −v/φ r e vr vφ /r (nella prima
e nella seconda rispettivamente) che nascono dal fatto che l’equazione di Navier-Stokes in
coordinate generiche ha una forma più generale di quella che abbiamo visto in coordinate
Capitolo C. Operatori differenziali in coordinate cilindriche e sferiche
143
cartesiane.
c) Coordinate polari
Le coordinate polari (r, θ, φ), sono individuate dai versori elementari (êr , êθ , êφ ) che definiscono la direzione radiale, tangenziale nel piano polare e tangenziale nel piano azimutale rispettivamente. In questo caso per un campo scalare ψ e vettoriale F gli operatori differenziali
gradiente, divergenza, rotore e Laplaciano hanno la seguente forma:
∂ψ
1 ∂ψ
1 ∂ψ
+ êθ
+ êφ
∂r
r ∂θ
r sin θ ∂φ
1 ∂ 2 1 ∂
1 ∂Fφ
(sin θFθ ) +
r Fr +
2
r sin θ ∂θ
r sin θ ∂φ
r ∂r
" ∂Fθ #
1
∂
sin θFφ −
êr
r sin θ ∂θ
∂φ
"
"
#
#
1 ∂
∂Fr
1 ∂Fr 1 ∂
(rFθ ) −
−
rFφ + êφ
êθ
r sin θ ∂φ
r ∂r
r ∂r
∂θ
!
!
1 ∂ 2 ∂ψ
1
∂ψ
1
∂2 ψ
∂
r
+
sin
θ
+
∂r
∂θ
r2 ∂r
r2 sin θ ∂θ
r2 sin2 θ ∂φ2
∇ψ = êr
∇·F =
∇×F =
+
∇2 ψ =
(C.14)
(C.15)
(C.16)
(C.17)
(C.18)
Anche in questo caso, si noti che le espressioni sopra diventano molto piú semplici nel caso
(frequente) di dipendenza solo radiale, cioé nei casi ψ = ψ(r) (campo scalare) e F = F(r)
(campo vettoriale)
dψ
dr
1 d 2 ∇·F = 2
r Fr
r dr
1 d 1 d
(rFθ )
∇ × F = −êθ
rFφ + êφ
r dr
r dr
!
1 d 2 dψ
∇2 ψ = 2
r
dr
r dr
∇ψ = êr
(C.19)
(C.20)
(C.21)
(C.22)
Appendice D
Derivazione generale della legge di
Stokes
Si deve risolvere l’equazione dei moti “arrampicanti” (7.52) combinata con l’equazione di continuità
per fluidi incompressibili (4.27) e dunque il sistema
∇P = η∇2 v
∇·v = 0
(D.1)
con le condizioni al contorno (7.54). Se prendiamo il rotore della prima delle (D.1) si ottiene
ricordando la definizione di vorticità ω
∇2 ω = 0
(D.2)
Si consideri v − u cioè la velocità relativa del fluido rispetto a quella all’infinito (in assenza di sfera),
è chiaro che anche in questo caso la sua divergenza è nulla e dunque esiste un vettore A tale che
v−u = ∇×A
145
(D.3)
146
Capitolo D. Derivazione generale della legge di Stokes
Si noti che A deve essere lineare in u, dato che lo sono sia le equazioni che le condizioni al contorno,
e inoltre considerazioni di carattere tensoriale permettono di stabilire che debba essere esprimibile
come prodotto vettore di due vettori. Quindi potremmo senz’altro scrivere che
A =
f˜ (r) êr × u
(D.4)
dove la funzione f˜ può dipendere solo da r data la simmetria del problema. Questo suggerisce di
introdurre una nuova funzione f (r) tale che
∇ f (r) =
f˜ (r) êr
(D.5)
che definisce la funzione f (r). Quindi, usando la (D.3)
v = u + ∇ × ∇ × ( f (r) u)
(D.6)
Il problema è ora quello di ricavare la forma della funzione f (r). Prendendo il rotore di entrambi i
membri, e ricordando che u è una costante, si ottiene applicando l’ultima delle equazioni (3.29)
ωi = i jk ∂ j ∇ × ∇ × ( f (r)) k = i jk klm ∂ j ∂l ∇ × ( f (r) u) m
(D.7)
= ∂ j ∂i ∇ × ( f (r) u) j − ∂ j ∂ j ∇ × ( f (r) u) i
La prima delle (D.8) è nulla in virtù dell’identità vettoriale (3.56). Ricordando quindi la (D.2) si
ottiene
∇4 ∇ × ( f (r) u])
(D.8)
che diventa, essendo u vettore costante
h
i
∇4 (∇ f (r)) × u = 0
(D.9)
147
Ma dato che la quantità a sinistra delle (D.9) deve essere lineare in u come detto, questo vuol dire
che di deve annullare il primo termine del prodotto vettore e quindi
∇4 (∇ f (r)) = 0
∇4 f (r) = costante
−→
(D.10)
Ma la costante che compare a destra dell’equazione (D.10) deve essere nulla in quanto in v − u
compaiono le derivate seconde di f (r) e si sa che tale quantità deve andare a zero, assieme a tutte le
sue derivate, all’infinito per effetto della seconda delle condizioni al contorno (7.54). Quindi deve
essere ∇4 f (r) = 0 che in coordinate polari sferiche diventa (si veda l’ultima equazione delle (C.22))
"
#
1 d 2d 2
(r)
r
∇ f
= 0
dr
r2 dr
(D.11)
Integrando due volte e usando le condizioni al contorno (7.54) si ottiene che
f (r) = A r +
B
r
(D.12)
da cui
∇ f (r) =
∂ f (r)
B êr = A − 2 ] êr
∂r
r
(D.13)
che sostituita in Eq.(D.3) si ottiene, usando la (D.14),
B
v − u = ∇ A − 2 êr × u
r
(D.14)
Per calcolare la (D.14) si usando le solite regole (3.29) e si nota che
∂j A −
B
r2
êri
=
δ
−
ê
ê
i
j
r
r
B
i
j
2B
êr êr + A − 2
r3 i j
r
r
(D.15)
148
e che
B ∂ j A − 2 êr j =
r
2A
r
(D.16)
si ottiene dopo qualche passaggio
v = u−
B
A
[u + (u · êr ) êr ] + 3 [3 (u · êr ) êr − u]
r
r
(D.17)
Le costanti A e B si trovano dalla prima delle due condizioni al contorno (7.54). Infatti imponendo
v(r = R) = 0 si ottiene la condizione
"
#
B
3B A
−u
+
− 1 + (u · êr ) êr 3 −
= 0
R R3
R
R
A
(D.18)
che dev’essere vero per ogni valore di u e (u · êr )êr e dunque si ottiene che
A =
B =
3
R
4
R3
4
(D.19)
Sostituendo in (D.17) si ottiene
v = u−
3R
1 R3
[u + (u · êr ) êr ] +
[3 (u · êr ) êr − u]
4r
4 r3
(D.20)
Ci questa velocità ci interessano le componenti polari vr e vθ . A questo scopo assumendo z nella
direzione di u, e quindi ẑ = cos θêr − sin θêθ si ottiene che u · êr = u cos θ da cui è immediato trovare
le prime due equazioni delle (7.56). Per trovare la pressione si usa la (D.1) ottenendo
∇P = η∇2 ∇ × ∇ × ( f (r) u)
(D.21)
149
dove dalle (D.12) e (D.20) si ha
f (r) =
3
1 R3
Rr+
4
4 r
(D.22)
Per calcolare il termine destro della (D.21) si procede come prima:
∇ × ∇ × ( f (r) u) i = i jk klm ∂ j ∂l ( f (r) um ) = ∂i ∇ ( f (r) u) − ∇2 ( f (r) ui )
(D.23)
Dalla (D.22) si vede immediatamente che ∇2 f (r) = 0 e quindi il secondo termine nelle (D.23) si
annulla. Resta quindi
h
i
∇P = ∇ ηu · ∇ ∇2 f (r)
(D.24)
P = P0 + ηu · ∇ ∇2 f (r)
(D.25)
e dunque integrando
dove P0 è una costante da determinare in base all’ultima delle condizioni al contorno (7.54) che
impone P0 = P∞ . Usando la (D.22) si trova eseguendo le derivate che
3 R
P = P∞ − η 2 u · êr
2 r
(D.26)
che rappresenta l’ultima parte della soluzione completa (7.56) del problema dato.
Nota la pressione, possiamo ora calcolare esplicitamente la forza che si esercita sulla superficie
della sfera e dimostrare che il risultato finale è quello affermato in (7.56). Per definizione la forza
per unità di superficie f che agisce sulla sfera è data da meno il tensore degli sforzi e cioè
fi = −σi j n̂ j
(D.27)
150
dove σi j è il tensore degli sforzi (6.10)
σi j = Pn̂i − σ0i j n̂ j
(D.28)
e il segno meno indica che la forza agisce sulla sfera. Per simmetria l’unica forza che risulta non
nulla è quella nella direzione ẑ. Tenendo presente quindi che n̂ = êr si ottiene quindi
fz = P cos θ + σ0rr cos θ − σ0rθ sin θ
(D.29)
La forza totale si ottiene integrando su tutta la superficie
I
Fz =
S
h
i
dS P cos θ + σ0rr cos θ − σ0rθ sin θ
(D.30)
Dato che σ0i j = S i j dato dalla (6.4) si può vedere che in coordinate polari esso diventa per le due
componenti che ci interessano
∂vr
∂r
!
1 ∂vr ∂vθ
= η
+
− vθ
r ∂θ
∂r
σ0rr = 2η
σ0rθ
(D.31)
le cui componenti calcolate sulla superficie danno eseguendo le derivate
∂vr
|r=R = 0
∂r
∂vr
|r=R = 0
∂θ
∂vθ
3u
|r=R = −
sin θ
∂r
2R
vθ |r=R = 0
(D.32)
151
Inserendo nella (D.30) si ottiene
I
Fz =
S
"
3 u
3u
dS P∞ cos θ + η cos θ −
η sin θ
2 R
2R
#
che dopo alcune integrazioni elementari porta alla soluzione cercata (7.56).
(D.33)
Appendice E
Modello microscopico per la diffusione
Vediamo ora di capire intuitivamente il perchè si arrivi alla relazione (8.1). Immaginiamo di avere
un gas di particelle contenuto in un recipiente lungo e stretto in modo da poterlo considerare come
unidomensionale agli effetti pratici. Possiamo pensare di dividere il recipiente in tanti contenitori
numerati 1, 2, . . . , i − 2, i − 1, i, i + 1, i + 2, . . . come in Figura E.1. Concentriamoci all’istante iniziale
i−2
i−1
i
i+1
i+2
Figura E.1: Contenitore unidimensionale diviso in tanti .
t = 0 su una particolare coppia di contenitori mostrata in Figura E.2 Sia p la probabilità che una
molecola di gas attraversi l’interfaccia (per effetto della collisione) nell’unità di tempo. L’ipotesi
fondamentale che sta alla base del nostro modello microscopico è quella che p sia una costante
indipendente dal particolare contenitore. Quindi p ∆t è la probabilità che la molecola attraversi
l’interfaccia (da sinistra verso destra o viceversa) nell’intervallo ∆t. Si noti che, essendo p l’inverso
di un tempo, questa quantità è adimensionale. Sia ora N sx (t = 0) il numero di molecole presenti
nel contenitore di sinistra all’istate t = 0. Il numero di molecole che attraversano l’interfaccia da
153
154
Capitolo E. Modello microscopico per la diffusione
20 molecole
10 molecole
Figura E.2: Coppia di contenitori all’istante iniziale.
sinistra verso destra nell’intervallo ∆t sarà
∆N sx→dx (t = ∆t) = N sx (t = 0) p∆t
(E.1)
∆Ndx→sx (t = ∆t) = Ndx (t = 0) p∆t
(E.2)
Analogamente
sarà il numero di molecole che attraversa l’interfaccia nel senso opposto, cioè da destra verso sinistra. Se ad esempio p ∆t = 0.2, queste due quantità, nel caso indicato in Figura E.2 in cui ci sono
inizialmente 20 molecole a sinistra e 10 a destra, sarebbero 4 e 2 rispettivamente. Quindi il bilancio
totale al tempo ∆t sarebbe
N sx (t = ∆t) = N sx (t = 0) − ∆N sx→dx (∆t) + ∆Ndx→sx (∆t)
Ndx (t = ∆t) = Ndx (t = 0) − ∆Ndx→sx (∆t) + ∆N sx→dx (∆t)
(E.3)
155
che risultano essere 18 e 12 rispettivamente. Quindi il numero delle molecole presenti al tempo
t = ∆t a sinistra cresce mentre quelle a destra diminuisce. Quindi se m è la massa di ogni molecola,
e quindi la densità dovuta ad un numero ∆N di molecole contenute nel contenitore di volume ∆V è
ρ = m
∆N
∆V
(E.4)
si vede immediatamente che la differenza ρdx − ρ sx tende a diminuire al crescere del tempo. Dalla
definizione di mathb f J e di p si vede subito che
J sx =
Jdx =
∆M sx→dx p
∆S
∆Mdx→sx p
∆S
(E.5)
dove ∆M sx→dx è la quantità di massa che passa l’interfaccia ∆S da sinistra a destra, nell’unità di
tempo (e analogamente per il caso opposto). Quindi la differenza tra i due flussi sarà
Jdx→sx = J sx − Jdx =
p
(∆M sx→dx − ∆Mdx→sx )
∆S
(E.6)
D’altra parte
ρ sx→dx =
ρdx→sx =
∆M sx→dx
∆S ∆x
∆Mdx→sx
∆S ∆x
(E.7)
e quindi
∆ρ ρdx − ρ sx
∆M sx→dx − ∆Mdx→sx
=
=−
∆x
∆x
∆S ∆x2
(E.8)
Per confronto tra (E.6) e (E.8) si ha
J sx→dx = −p ∆x2
∆ρ
∆x
(E.9)
156
che nel limite ∆x → 0 diventa l’equazione (8.1) cioè
J = −D
∂ρ
∂x
(E.10)
con l’identificazione del coefficiente di diffusione D da
D = p∆x2
(E.11)
Si noti che la (E.11) fornisce anche una espressione del coefficiente di diffusione D in termini
dei parametri microscopici p e ∆x. Questo suggerisce che le dimensioni di D sono quelle di una
superficie diviso un tempo.

APPUNTI PER IL CORSO DI SCIENZA DEI SISTEMI COMPLESSI II

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