Calcolo della resistenza di un profilo

Calcolo della resistenza di un profilo
Ci proponiamo di calcolare la resistenza di un profilo alare immerso in una corrente incomprimibile stazionaria. A tale scopo, riteniamo nota la densità (costante e omogenea) del
fluido, la velocità a monte del profilo e la distribuzione di velocità a valle dello stesso (queste
informazioni possono essere, ad esempio, rilevate sperimentalmente). Nella seguente figura è
schematizzato il volume di controllo Ω sul contorno del quale si ritiene nota la distribuzione
di velocità.
∞
V
∞
u(y )
vu (x )
∞
V
∞
L
H
Ω
vl (x )
∞
∞
V
Introduciamo le seguenti ipotesi:
• la pressione statica sul contorno del volume di controllo è costante e pari a quella della
corrente indisturbata a monte del profilo;
• sul lato superiore e inferiore del volume di controllo riteniamo piccola la perturbazione
della velocità dovuta alla presenza del profilo:
V = (V∞ + u, v) ≃ (V∞ , v).
Per calcolare la resistenza del profilo applichiamo al volume di controllo Ω il bilancio di
massa e il bilancio di quantità di moto. Il bilancio di massa si scrive nel modo seguente:
−
Z
H
ρV∞ dy +
0
Segue:
Z
H
ρ u(y)dy +
0
Z
Z
L
ρ vu (x)dx −
0
L
ρ vl (x)dx = 0.
0
L
ρ[vu (x) − vl (x)]dx = ρV∞ H −
0
Z
Z
H
ρ u(y)dy.
0
Scriviamo ora il bilancio di quantità di moto nella direzione della corrente indisturbata:
−
Z
0
H
2
ρV∞
dy +
Z
H
ρ u(y)2 dy +
0
ovverosia:
2
−ρV∞
H+
Z
L
ρ vu (x)V∞ dx −
0
Z
0
H
ρ u(y)2 dy +
Z
L
ρ vl (x)V∞ dx = Fx ,
0
Z
0
L
ρ[vu (x) − vl (x)]V∞ dx = Fx ,
dove si è indicata con Fx la componente lungo la direzione della corrente asintotica della
forza (per unità di lunghezza) esercitata dal profilo sul fluido. Per inciso, la resistenza R del
profilo non è altro che l’opposto di questa forza, ovvero: R = −Fx .
Se ora moltiplichiamo l’equazione che esprime il bilancio di massa per V∞ e confrontiamo
l’equazione risultante con quella esprimente il bilancio di quantità di moto, perveniamo alla
seguente formula per la resistenza del profilo:
R = −Fx =
Z
H
ρ u(y)[V∞ − u(y)]dy.
0
Più che il valore dimensionale della resistenza, in generale interessa conoscere il coefficiente
di resistenza CD . Questo viene calcolato a partire dalla resistenza R dividendo la resistenza
2
stessa per la pressione dinamica riferita alle condizioni asintotiche 1/2ρV∞
e per la corda c
del profilo:
CD =
R
.
1
2
2 ρV∞ c