LeLing

Geometria Lingotto.
LeLing2: Sistemi lineari omogenei.
Argomenti svolti:
¯
• Riduzione per righe e matrici equivalenti per righe.
• Forma echelon e sistemi gia’ risolti.
• Il metodo di Gauss-Jordan e la forma echelon.
• Scrittura della soluzione generale.
• Il teorema di Steinitz.
Esercizi consigliati: Geoling 1, Geoling 2.
¯
1
Riduzione per righe e matrici equivalenti per righe.
Due matrici A, B se dicono equivalenti per righe se una si ottiene dall’altra usando le
operazioni elementari.
Teorema 1.1 Due sistemi lineari omogenei sono equivalenti se e solo se le loro matrici
sono equivalenti per righe.
Dunque per decidere se due sistemi sono equivalenti dobbiamo vedere se le loro matrici
sono equivalenti per righe. Ci serve allora la cosiddetta forma echelon.
1.1
Forma echelon e sistemi gia’ risolti.
L’idea di base da avere in mente e’ che una matrice e’ echelon se rappresenta un sistema
gia’ risolto, ossia che non dobbiamo risolvere poiche’ la sua soluzione e’ evidente.
Definizione 1.2 Una matrice A si dice echelon se:
(i) Tutte le righe nulle (se ci sono) si trovano (tutte insieme) dopo le righe non nulle.
(ii) In ogni riga non nulla il primo elemento non nullo e’ un 1 e nella sua colonna e’
lui l’unico elemento non nullo, cioe’ sotto e sopra di questo 1 ci sono solo degli 0.
Questo 1 si chiama speciale e la colonna dove si trova si chiama anche lei speciale.
(iii) L’uno d’una riga non nulla si trova a destra dell’uno della riga precedente.
Ingegneria dell’Autoveicolo, LeLing2
1
Geometria
1.2 Il metodo di Gauss-Jordan e la forma echelon.
Dunque le matrici
1 0
0 1

1 0 0

0 1 0
,
0 0 1
17
11
− 24
11
4
11
Geometria Lingotto.

1
 0
 , 
 0
0


0 −2 −4
4 
1 25
 sono eche0 0
0 
0 0
0
lon.


1 0
La matrice  0 0  non e’ echelon poiche’ la condizione (i) non e’ soddisfatta.
0 1


17
1 0 0 11
 non e’ echelon poiche’ la condizione (ii) non e’ sodLa matrice  0 1 1 − 24
11
4
0 0 1 11
disfatta.

17
1 0 0 11
4
 non e’ echelon poiche la condizione (iii) non e’ sodLa matrice  0 0 1 11
24
0 1 0 − 11
disfatta.

Ecco un esempio importante di matrice echelon:

0
 0
Esempio 1.3 La matrice 
 0
0
1.2
0
0
0
0

0
1 
 e’ echelon.
0 
0
1
0
0
0
Il metodo di Gauss-Jordan e la forma echelon.
Il metodo di Gauss-Jordan e’ un algoritmo che, partendo da una matrice arbitraria A e
usando le operazioni elementari, produce una matrice echelon E equivalente ad A.
Per ricordare facilmente il metodo conviene dividirlo in due tappe, Gauss e Jordan:
Tappa Gauss: consiste sostanzialmente nel mettere degli zeri sotto gli elementi
uguali a 1. Iniziando dalla prima colonna della matrice A si identifica (muovendosi a
destra) la prima colonna non nulla. 1 Nella prima colonna non nulla si identifica il primo
1
Di solito e’ la stessa prima colonna quella non nulla, cioe’ con un elemento non nullo ai 1 6= 0 ,
altrimenti la variable x1 non e’ splicitamente coinvolta nel sistema che si sta cercando di risolvere.
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2
Geometria
1.2 Il metodo di Gauss-Jordan e la forma echelon.
Geometria Lingotto.
(da sopra a sotto) elemento non nullo; sia ai0 j0 6= 0 questo numero. Allora si



0 0 ··· 0 ∗
∗
0 0 ··· 0 ∗ ∗ ··· ∗

∗
 0 0 ··· 0 ∗ ∗ ··· ∗ 
 0 0 ··· 0 ∗
 . .
 .. .. . . ..
..
..
..
.. .. .. .. 

 . . ...
 . .
. .
.
.
.
. . . . 
 . .
Ri

0



a
0
0
·
·
·
0
∗
∗
i0 j0
 0 0 ··· 0 ∗ ∗ ··· ∗ 

=⇒


∗
 0 0 ··· 1 a ∗
 0 0 · · · ai 0 j 0 ∗ ∗ · · · ∗ 
ai0 j0
i0 j0



 0 0 ··· ∗ ∗
 0 0 ··· ∗ ∗ ∗ ··· ∗ 
∗

 . . .


.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
 .. .. ..
..
.. .. .. .. 
..
 .. .. .. ..
.
0 0 ··· ∗ ∗ ∗ ··· ∗
0 0 ··· ∗ ∗
∗
applica
···
···
..
.
∗
∗
..
.
···
···
···
..
.
∗
···
∗
ai0 j0
∗
..
.
∗
Usando l’ 1 della riga i0 si ottengono degli 0 al di sotto di esso tramite la operazione
combinata Ri + cRi0 . Dopodiche’ si ottiene una matrice


0 0 ··· 0 ∗
∗ ··· ∗
 0 0 ··· 0 ∗
∗ ··· ∗ 


 .. .. . . ..
..
..
..
.. 
 . .
. .
.
.
.
. 


 0 0 ··· 0 ∗
∗ ··· ∗ 


∗
∗

 0 0 ··· 1 a ∗
·
·
·
ai0 j0
ai0 j0 
i0 j0

 0 0 ··· 0 ∗
∗ ··· ∗ 


 .. .. .. ..
..
..
..
.. 
 . . . .
.
.
.
. 
0 0 ··· 0 ∗
∗ ··· ∗
Adesso si scambia la riga i0 con la prima riga usando l’operazione Ri0 ⇔1 :














∗
∗
ai0 j0
ai0 j0
b11
..
.
b12
..
.
···
···
..
.
0
0
0
..
.
∗
∗
∗
..
.
∗
∗
∗
..
.
···
···
···
..
.
∗
∗
∗
..
.
0 0 ··· 0
∗
∗
···
∗
0
0
..
.
0
0
0
..
.
0 ···
0 ···
.. . .
.
.
0 ···
0 ···
0 ···
.. ..
. .
1
0
..
.
∗

ai0 j0
∗
..
.













Abbiamo dunque sistemato la colonna j0 .
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3
Geometria














1.2 Il metodo di Gauss-Jordan e la forma echelon.
Il metodo si ripete allora dall’inizio,

b11
 ..
 .

 ∗
 .
 ..
∗
Geometria Lingotto.
applicato ora alla (sotto)matrice

b12 · · · ∗
..
.. .. 
.
. . 

∗ ··· ∗ 
..
.. .. 
.
. . 
∗ ··· ∗
E’ chiaro che dopo un certo tempo ci si trova con una matrice in cui:
(i) Tutte le righe nulle (se ci sono) si trovano (tutte insieme) dopo le righe non nulle.
Altrimenti si potrebbe continuare il metodo di Gauss nel punto in cui si e’ sistemata
l’ultima colonna. In diverse parole, la tappa di Gauss termina quando si arriva a
una sottomatrice nulla.
(ii) In ogni riga non nulla il primo elemento non nullo e’ un 1 e nella sua colonna ci
sono zeri sotto di lui.
(iii) Il primo 1 di una riga non nulla si trova a destra dell’uno della riga precedente.
A questo punto la tappa di Gauss e’ terminata e parte la tappa di Jordan:
Tappa Jordan: La tappa di Jordan e’ come una retromarcia:
dell’ultima riga non nulla si ottengono degli zeri sopra di esso usando
cRj :



0 0 ··· ∗ ∗ ∗ ··· ∗
0 0 ··· 0 ∗
 0 0 ··· ∗ ∗ ∗ ··· ∗ 
 0 0 ··· 0 ∗
 . .

 . .
 . . . . . .. .. .. .. .. 
 . . . . . .. ..
. . . . . 
. .
 . .
 . .



 0 0 ··· ∗ ∗ ∗ ··· ∗ 
 0 0 ··· 0 ∗



=⇒
 0 0 ··· ∗ ∗ ∗ ··· ∗ 
 0 0 ··· ∗ ∗



 0 0 ··· 1 ∗ ∗ ··· ∗ 
 0 0 ··· 1 ∗



0
0
·
·
·
0
0
1
·
·
·
0


 0 0 ··· 0 0
 . . . . . . . . 
 . . . . .
 .. .. .. .. .. .. .. .. 
 .. .. .. .. ..
0 0 ··· 0 0 0 ··· 0
0 0 ··· 0 0
iniziando dall’ 1
l’operazione Ri +
0 ···
0 ···
.. ..
. .
0 ···
0 ···
0 ···
1 ···
.. ..
. .
∗
∗
..
.
∗
∗
∗
0
..
.















0 ··· 0
Cosi’ si e’ sistemata l’ultima colonna e l’ 1 e’ diventato l’unico elemento non nullo
della sua colonna, esattamente come nella condizione (iii) della definizione di matrice
echelon. Si continua cosi’ fino ad arrivare all’ 1 della prima colonna non nulla, cioe’ a
quello nella colonna j0 , righa i0 .
Questo conclude la tappa di Jordan e la matrice ottenuta e’ echelon.
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4
Geometria
1.3 Scrittura della soluzione generale.
1.3
Geometria Lingotto.
Scrittura della soluzione generale.
Se la matrice di un sistema e’ echelon allora il sistema e’ gia risolto. Infatti tutte le
x associate con le colonne speciali (i.e. quelle dove c’e’ un 1 da solo) sono variabili
dipendenti dalle altre x, che si chiamano invece libere o parametri. Dunque le incognite
x1 , x2 , · · · , xn si divideno in due gruppi, dove un gruppo di incognite e’ messo in evidenza
(dal sistema) in funzione dell’altro. Ecco un esempio:
Esempio 1.4 Sia S il seguente sistema:

2x1 − 6x2 + 4x4



x2 + x3
S =
3x1 + 7x2



3x1 + 8x2 + x3
=0
=0
=0
=0


2 −6 0 4
 0 1 1 0 

Ecco la matrice di S : 
 3 7 0 0 
3 8 1 0

1
 0
Il metodo di Gauss-Jordan ci procura la seguente matrice echelon: 
 0
0

7
 x1 + 8 x4 = 0
x =0
x2 + −3
Dunque il sistema S e’ equivalente a:
8 4

x3 + 38 x4 = 0
Allora e’ chiaro che x1 , x2 , x3 sono funzioni di x4 .
Ecco tutte le soluzioni del sistema S :
 −7 
x4 8
 x4 3 
8 
 −3
 x4

8
x4


Notare che tutte le soluzioni sono multipli della colonna 

−7
8
3
8
−3
8
0
1
0
0




1
Esempio 1.5 Ecco un altro esempio:
Ingegneria dell’Autoveicolo, LeLing2
5
Geometria
0
0
1
0
7
8
−3
8
3
8
0


.

Geometria Lingotto.
Sia S il seguente sistema:
S =
Questa e’ la matrice di S :
x1 + 4x2 − 2x4 = 0
2x1 + 8x2 − 2x3 + x4 = 0
1 4 0 −2
2 8 −2 1
Il metodo di Gauss-Jordan ci procura la seguente matrice echelon:
x1 + 4x2 − 2x4 = 0
Dunque il sistema S e’ equivalente a:
x3 + −5
x =0
2 4
Allora e’ chiaro che x1 , x3 sono funzioni di x2 , x4 .
Ecco tutte le soluzioni del sistema S :


−4x2 + 2x4


x2


5


x
4
2
x4
Notare che tutte le soluzioni sono combinazioni



−4
−4x2 + 2x4



x
2

 = x2  1
5
 0


x
2 4
x4
0
2
1 4 0 −2
0 0 1 −5
2
.
lineari di due colonne, cioe’

 
2

 0 
 + x4  5 

 
2
1
Il teorema di Steinitz.
Ricordiamo che per soluzione non banale di un sistema si intende una soluzione diversa da
quella nulla. Come conseguenza del metodo di Gauss-Jordan risulta il seguente teorema
di Steinitz 2 .
Teorema 2.1 Un sistema omogeneo di equazioni lineari con piu’ incognite di equazioni
ha sempre una soluzione non banale.
2
Matematico tedesco (1871-1928).
Ingegneria dell’Autoveicolo, LeLing2
6
Geometria