Meccanica – A. A. 2015-2016 Prof. Antonio Capone 1 Moto piano in

Meccanica–A.A.2016-2017
€
Motopianoincoordinatepolari
Prendiamoinesameilmotodiunpuntomaterialesuunpiano.Inogniistantelaposizionepuò
essereespressatramitelesuecoordinatecartesianePº(Px,Py)oppuretramitelecoordinatepolari
Pº(r,q)dove:
r=“raggiovettore”=distanzadall’originedelSistemadiRiferimento,
q=“anomalia”=angolofrailraggiovettoreel’assedellex.Taleangolosiconsideracrescente
seduranteilmotolarotazionedelraggiovettoreavvieneinsensoantiorario
Ovviamenteèpossibilepassaredallecoordinatecartesianeaquellepolari,eviceversa,tramite
semplicirelazionix=rcosq,y=rsinq
Seilpuntoèinmoto,supponiamosispostidallaposizionePº(r,q)aP1º(r+dr,q+dq),lo
spostamentoelementare P P1 puòessereapprossimatodallasommafral’arcordq(spostamentoche
ilpuntoavrebbeseilraggiovettoremantenesselasualunghezzaruotandodiunangolodq)ela
variazionedelraggiovettoredr(indipendentementedallarotazionedelraggiovettore)(sivedala
figuraafianco): P P1 = r dθ ηˆ + drρˆ .
€
Adunanalogorisultatosipuòarrivareesprimendolavariazionedellaposizione P P1 mediantela

 dr
d(O P )
dr
d(rρˆ )
dρˆ 
dρˆ dθ
P P1 = d(O P ) =
dt =
dt =
dt =  ρˆ + r dt ,quindiricordandoche
=
ηˆ si


dt
dt
dt
dt
dt
dt
dt
€
 dr
dθ 
€
ottiene PP1 =  ρ̂ + r η̂  dt .
 dt
dt 
€

 dr  dr
dr
dθ 
=  ρ̂ + r η̂  = vr ρ̂ + vθη̂ èlasommadiuna“velocitàradiale” v r = ρˆ eduna
Lavelocitàdelpuntomaterialequindi v =
dt
dt  dt
dt 
dθ
“velocitàtangenziale” vθ = r ηˆ .
dt
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Ingeneraleduranteilmotopossonovariaretuttelequantitàfinoadorautilizzateperdescriverelaposizione
elavelocità:r=r(t),q=q(t),edanche ρˆ = ρˆ (t) , ηˆ = ηˆ (t) .
Possiamooraesprimerel’accelerazionedelpuntomaterialederivandol’espressionedellavelocità:

 dv d  dr
dθ  d 2 r
dr dρˆ dr dθ
d 2θ
dθ dηˆ
a=
=  ρˆ + r ηˆ  = 2 ρˆ +
+
ηˆ + r 2 ηˆ + r
dt dt  dt
dt  €dt
dt
dt dt
dt
€ dt dt dt
Ricordiamoorache(sifacciariferimentoallafiguraafianco):
 dρˆ
Δρˆ dθ
lim
=
ηˆ
 dt = Δt→0
Δt
dt

 dηˆ = lim Δηˆ = − dθ ρˆ
 dt Δt→0 Δt
dt
percuisostituendonell’espressionedell’accelerazioneabbiamo:
€

 d 2 r  dθ  2   dr dθ
 dθ  2
 dv d 2 r
dr dθ
dr dθ
d 2θ
d 2θ 
a=
= 2 ρˆ +
ηˆ +
ηˆ + r 2 ηˆ + r  (− ρˆ ) =  2 − r  ρˆ +  2
+ r 2 ηˆ  dt 
 dt    dt dt
dt dt
dt dt
dt dt
dt
dt 
 dt
possiamoquindiriconoscerenelvettoreaccelerazioneunacomponente“radiale”:
2
 dθ  2

  d 2 r  dθ  
ar =  2 − r   ρˆ ,chenelcasodelmotocircolareuniforme(r=cost)siriducead ar r=cos t = −r  ρˆ = −rω 2 ρˆ  dt 
 dt  
 dt
edunacomponente“tangenziale”:
€ 

dr dθ
d 2θ 
aθ =  2
+ r 2 ηˆ
dt   dt dt
€
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Utilizziamooral'espressioneottenutaperl'accelerazione"tangenziale"percapirechecaratteristichehaunmotoperilquale
! ! dr dθ
d 2θ $
aθ = # 2
+ r 2 &η̂ = 0
dt dt
dt %
"
Abbiamocioè 2
2
dr dθ
d 2θ
+r 2 = 0
dt dt
dt
dθ
= ω equindi
dt
dr
d dθ
dr
dω
d
ω +r
= 0 ⇒ 2 ω +r
= 0 = ( r 2ω ) ⇒ la quantità r 2ω = costante dt
dt dt
dt
dt
dt
Dallafigurapossiamovederechel'areacontenutafraivettori𝑟 𝑡 ed𝑟(𝑡 + ∆𝑡)ela
traiettoriae'approssimabileconl'areacompresaneltriangoloOP1P2.Taleareaa
'
∆∆menodiinfinitesimidiordinesuperiore1èdatada 2𝑟 𝑡 sin
∗𝑟 𝑡 = 𝑟 ( 𝑡 .
(
(
01 2
Lavelocitàdivariazionedell'areaneltempoDtèdatada
Possiamocalcolarela"velocitàareolareistantanea"come
Lim
∆2→7
01 2
∆2
∆3
1
= 2 lim
01 2
∆2→7
∆3
1
∆3
1
∆∆2
∆2
∆3
1
(
.
=2𝑟 ( 𝑡 𝜔.
Imponendoquindilacondizionediaccelerazionetangenzialenullasiottienechela"velocitàareolare"e'costante.
1Ineffettil'areachaabbiamocalcolatostimapereccessol'arearacchiusafra𝑟 𝑡 ,𝑟 𝑡 + ∆𝑡 el'arcodicerchioP P ,perunastima
2 3
∆miglioredovremmosottrarrel'areadeltriangoloP1P2P3chehacomelatiP1P2=2𝑟 𝑡 sin
eP2P3~P1P2sin ∆𝜃 ottenendoun
(
infinitesimodiordinesuperiorechealtenderedi∆𝑡a0tendeazeropiu'rapidamente.
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