Esercizi di Cinematica

Esercizi di Cinematica
Esercizio 1
Data l’equazione del moto vettoriale di un punto materiale r = [Asen(wt)] i
+ [Bt2] j si chiede di
• determinare le dimensioni fisiche delle costanti positive A, B e w.
• calcolare i vettori velocità v ed accelerazione a nell’istante t* = π/2w;
• determinare il raggio di curvatura della traiettoria nella posizione
occupata dal punto nell’istante t*;
• valutare se, sempre per t = t*, il modulo della velocità sta crescendo
o sta calando.
Risoluzione:
• L’equazione del moto deve essere dimensionalmente omogenea, quindi
[A] = [L], [w] =[T-1], [B] =[LT-2]
• v*= B π/w j, a*= [-Aw2sen(wt)]i + (2B)j
• R=|v|2/an, dove an è la componente dell’accelerazione perpendicolare alla
velocità. In questo caso R= B2π2/(Aw4)
• La componente dell’accelerazione parallela alla velocità è data dalla derivata
del modulo della velocità rispetto al tempo. In questo caso at=2B>0, quindi il
modulo della velocità sta crescendo all’istante t*
Esercizio 2
Una particella con velocità iniziale v0 = -2√3i+3j (in m/s) subisce
un’accelerazione costante di intensità a = 4.0 m/s2, il cui vettore forma una
angolo di 30° con il semiasse positivo delle x. Qual’è la velocità della
particella (esprimere il risultato sia con i versori che con l’ampiezza e la
direzione nel piano), per t = 6s?
Soluzione
v=(10√3i+15j)m/s |v|=22.9m/s α(6s)=40.9°
Esercizio 3
Un punto materiale, libero di muoversi lungo un asse x, è inizialmente
fermo (a t=0) in x=0 m ed è soggetto ad una accelerazione pari a
a (t ) = &&
x = ao sen(π t / τ ) nell’intervallo di tempo 0 < t < τ , con ao = 3 m / s 2 e τ = 2,5 s e
a (t ) = 0 per t > τ . Determinare la velocità e la posizione del punto per t = 5τ .
Soluzione
v(5τ)= 2a0τ/π =4.77 m/s
x(5τ)= 9τ2a0/π = 53.74 m
Esercizio 4
Il treno francese TGV, compie viaggi alla velocità media di 216 Km/h. Se
affronta una curva a questa velocità e la massima accelerazione accettabile
dai passeggeri è 0,05g, qual è il minimo raggio ammissibile per le curve
dei binari? Se una curva ha un raggio di 1 Km, a quale valore deve essere
ridotta la velocità del treno per rispettare il limite di accelerazione
consentito?
Risoluzione
an=|v|2/R < amax R>|v|2/amax=7.35 km
Se il raggio di curvatura è 1 km il treno deve avere velocità = 80.5 km/h
Esercizio 5
Un treno parte da una stazione e percorre un binario rettilineo mantenendo
accelerazione costante per un tempo t1 pari a 4 min; viaggia poi a velocità
costante per t2 = 6 min, quindi rallenta con accelerazione costante per un
tempo t3 = 2 minuti fino a fermarsi completamente. Nell’intervallo t3
percorre un tratto di 1.44 Km. Qual è la tratta totale percorsa dal treno?
Soluzione
Xtot=12.96 km
Esercizio 6
L’accelerazione di una particella vale a = -cos(t)i+2sen(3t)j+3e-2t k.
Calcolare il valore della velocità vettoriale in funzione del tempo sapendo
che per t=0 la velocità assume il valore: v = -i-j+k. Determinare infine
l’espressione del vettore posizione sapendo che all’istante t=0 il punto si
trova in P = (2,1,2)
Soluzione
v(t)= [-sin(t)-1]i+[-(2/3)cos(3t)-1/3]j+[-(3/2)e -2t+5/2]k
x(t)= [cos(t)+t+1]i+[-(2/9)sin(3t)-(1/3)t+1]j+[ (3/4)e -2t-(5/2)t+5/4]k
Esercizio 7
Dato un moto piano di equazioni:
x=ut
y= A cos (ωt)
con u e A costanti del moto, determinare:
1) l’equazione della traiettoria
2) Le ascisse dei punti in cui il modulo della velocità è minimo
3) Il raggio di curvatura in tali punti.
Soluzione
1) y=A cos(ω x / u)
2) x= k (π/ω) u
3) ρ= u2/(Α ω2 )