anno Limiti sulle dimensioni d el cosmo conosciuto nel corso della

Limiti sulle dimensioni del cosmo conosciuto
nel corso della storia
Eratostene misura le
dimensioni della Terra
1028
Fondo cosmico
di microonde
1024
Hubble misura la
distanza di M31 Oregon
1020
Aristarco misura la
distanza del Sole
1016
Parallassi stellari
1012
108
Stima della
distanza di Saturno
104
-500
0
500
1000
1500
2000
anno
Le Grandezze Fisiche
Grandezza ≡ ogni proprietà fisica misurabile.
Definizione operativa: Una grandezza è definita solo
quando se ne sappia eseguire la misura.
Misura di una grandezza ≡ numero che indica il
rapporto tra la grandezza in esame ed una
della stessa specie scelta in modo arbitrario
come unità.
misura = numero seguito
dall’indicazione dell’unità
scelta.
Es: 500 m; 0,5 km; 50.000 cm
Sistemi di unità di misura
Grandezze fondamentali:
Sistema Internazionale [SI] (o [MKS])
secondo (simbolo s) : durata totale di 9.192.631.770
oscillazioni della radiazione corrispondente alla
transizione tra i due livelli iperfini dello stato
fondamentale dell’atomo di Cesio 133 (133Cs).
metro (simbolo m) : distanza percorsa nel vuoto dalla luce
nell’intervallo di tempo di 1/299.792.458 s.
chilogrammo (simbolo kg)
kg : massa del cilindro di platinoiridio conservato presso il Bureau International de Poids
et Mesures di Sèvres (Parigi).
Altro sistema usato: Sistema [CGS]
Dimensioni: [G] = [La][Mb][Tc] con a, b, c numero intero o
frazionario, positivo, negativo o nullo.
Es: [v] = [L1][M0][T-1] = [L][T-1]
Il campo di variazione delle distanze nell’universo
metri
1027 _
1024 _
1021 _
1018 _
1015 _
1012 _
109
_
106
_
103
_
1
_
10-3 _
10-6 _
10-9 _
Limite dell'universo conosciuto ≈ 1026 m
Distanza della galassia più vicina (Andromeda) (≈ 1022 m)
Distanza della pulsar del Granchio (≈ 1019 m)
Stella più vicina (Proxima Centauri) (≈ 4 1016 m)
1 anno – luce =9,461x1015m
Raggio del sistema solare (5,90 1012 m)
Distanza Terra – Sole (1.49 1011m)
Raggio del Sole (6,95 108 m)
Distanza Terra – Luna (3,84 108 m)
Distanza Roma - Parigi ≈ 1400 km
Altezza del monte Everest ≈ 8000 m
1 chilometro
Altezza della cupola di S. Pietro a Roma ≈ 132,5 m
Lunghezza di una molecola di DNA
1 centimetro
1 millimetro
Granello di sale
Raggio di un eritrocito ≈ 3,5 10-6 m
Dimensioni di un virus (10-8 m)
10-12 _
Raggio dell'atomo di idrogeno (5 10-11 m)
10-15
_
Raggio del protone (10-15 m)
10-18
_
Raggio dell’elettrone (<10-18 m)
Il campo di variazione degli intervalli di tempo
nell’universo
secondi
1018 _
1015 _
1012 _
Età dell’Universo (2x1010 anni)
Tempo di dimezzamento dell’U235 1,41.1017 s = 4,47.109 anni
Età della Terra
Età della specie umana
Vita media del Plutonio. Età delle piramidi egiziane
109 _
Vita media dell’uomo ≈ 80 anni
106 _
1 anno = 3,156.107 s
103
Tempo impiegato dalla luce per percorrere la distanza Terra-Sole
_
1
_
Intervallo tra i battiti cardiaci
10-3
_
Periodo di un’onda sonora
10-6
_
Periodo di un’onda radio
10-9 _
Tempo impiegato dalla luce per percorrere 30 cm
10-12 _
Periodo di una vibrazione molecolare
10-15 _
Periodo di rivoluzione di un elettrone nell’atomo di idrogeno
10-18 _
Tempo impiegato dalla luce per percorrere un diametro atomico
10-21
_
Periodo di una vibrazione nucleare
10-24
_
Tempo impiegato dalla luce per percorrere un diametro nucleare
Kg campione
al BIPM
Un cilindro di platino
(90%) e iridio (10%) di
diametro 39mm e
altezza 39mm
Velocità
P0P1 = s1
P0P2 = s2
P1P2 = ∆s
s2 − s1 ∆s
=
v =
t 2 − t1
∆t
v P1
∆s
= lim
{ ∆t
∆t → 0
P0
.
P1.
s1
s2
∆s
s2 −s1 = v (t2 −t1)
∆s = v ∆t
.P2
s
Velocità: dimensioni e unità di misura
v ist
∆s
= lim
{ ∆t
∆t →0
Dimensioni [v] = [L][T-1]
Unità di misura: [SI] m/s
[CGS] cm/s
Fattore di ragguaglio
1 m/s = 100 cm/s
Alcune
velocità
tipiche
m/s
10
9_
10
Luce nel vuoto (3.108 m/s)
6_
10
3_
1_
10
10
Sangue nell’aorta 0,35 m/s
-3 _
-6
_
-9
_
10
Terra nella sua orbita (3.104 m/s)
Suono nell’acqua (1500 m/s)
Suono nell’aria (330 m/s)
Impulso nervoso (25m/s)
Sedimentazione di un eritrocito (VES)
<7mm/h= 1.9.10-6 m/s
Crescita dei capelli 5.10-9 m/s
Moto uniforme: diagramma orario
s2 −s1 =v0 ⋅ (t2 −t1)
v = v0 = cost
v 0 = tan α
s
s2
v
v0
α
s1
t1
t2
t
t1
t2
t
Esempio: Un’automobile viaggia alla velocità costante di
130 km/h. Il guidatore distoglie lo sguardo dalla strada
per 2 s per sincronizzare una stazione sull’autoradio.
Quanto spazio percorre l’automobile in questo intervallo
di tempo?
Soluzione
∆s = v∆t
(
) ( )
∆s = 130 ÷ 3,6 ms −1 × 2 s = 72 m.
Velocità media
Supponiamo che un’automobile durante un viaggio di 60
km, viaggi a 20 km/h per i primi 30 km e a 60 km/h per
gli altri 30 km. Qua’è la velocità media?
Siamo tentati di dire che
v =
La velocità media è definita
rispetto al tempo e non rispetto
alla distanza.
30 km
= 1,5 h ;
Poiché ∆t1 =
20 km h
20 + 60
= 40 km/h.
2
∆s1 + ∆s2
v =
∆t1 + ∆t 2
30 km
∆t 2 =
= 0,5 h
60 km h
30 + 30
v =
km h = 30 km h
1,5 + 0,5
Esempio: Un’automobile percorre 11 km alla velocità media di
75 km/h, ma poi viaggia per il successivo 1 km a una velocità
media di 15 km/h a causa di lavori stradali in corso. Calcolare
la velocità media per l’intero viaggio.
Soluzione:
75 km h + 15 km h
.
v ≠
= 45 km h
2
perché il viaggio si svolge per la maggior
parte del tempo alla velocità maggiore
∆stot
12 km
12
v =
=
=
= 56 km h
∆t tot
0,21
11 km
1 km
+
75 km h 15 km h
Accelerazione
y
P0 .
v 2 − v1 ∆ v
a =
=
t 2 − t1
∆t
a P1
∆v
= lim
{ ∆t
∆t →0
v 2 − v1 = a (t 2 − t1 )
P. 1
.P2
0
x
v
v2
Se a = cost
v1
t1
t2
t
Moto uniformemente accelerato:
diagramma orario
v1 + v 2
s2 − s1 = v ( t 2 − t1 ) =
( t 2 − t1 ) =
2
v1 + [v1 + a (t 2 − t1 )]
1
2
(t 2 − t1 ) = v1(t 2 − t1 ) + a (t 2 − t1 )
2
2
Moto uniformemente vario: sommario
Le equazioni precedenti si possono riscrivere (ponendo
per comodità t1=0, v1=v0, s1=s0 )nel modo seguente:
v ≡ v(t) = v 0 + at ,
1 2
s = s0 + v 0t + at ,
2
v − v0
Dalla prima equazione risulta: t =
,
a
Che sostituito nella seconda dà:
2
v 2 − v 02
v − v0 1 ⎛v − v0 ⎞
,
s = s0 + v 0
+ a⎜
⎟ = s0 +
a
2 ⎝ a ⎠
2a
v 2 − v 02 = 2a (s − s0 ) .
Accelerazione: dimensioni e unità di
misura
v 2 − v1 ∆ v
a =
=
t 2 − t1
∆t
Dimensioni [a] = [L][T-2]
Unità di misura: [SI] m/s2
[CGS] cm/s2
Fattore di ragguaglio:
1 m/s2 = 100 cm/s2
a
Moto uniformemente vario:
Diagramma orario
a = cost
a
s
0
t
t
s
v
v
a = tan β
β
v0
0
t
v =v0 +a⋅t
t
s0
0
t
1 2
s = s0 + v0 t + at
2
t
Esempio: Un guidatore che viaggia alla velocità v0 di 90 km/h
vede un autocarro fermo che ostruisce la strada 30 m più
avanti. Il guidatore frena per ottenere la massima
decelerazione possibile che risulta essere di 5,0 m/s2. Riesce
ad evitare l’urto con l’autocarro?
(Quanto tempo impiegherebbe il guidatore per fermarsi?
Quale sarebbe lo spazio percorso in tale tempo?)
Soluzione:
v −v0 0 − 25
v = v0 + at ⇒t =
=
= 5 s.
−5
a
1 2
125
s = v 0t + at = 125 −
= 62,5 m.
2
2
0 − v02 − 625 m 2 s 2
=
= 62,5 m
s −0 =
2
2a
− 2 ×5 m s
Sistemi di riferimento
z
r ≡ (xP,yP,zP )
zP
r
O
xP
x
P
yP
y
Grandezze scalari e vettoriali
Scalari: grandezze definite da un numero che esprime
la loro misura rispetto ad un’unità prefissata
Es.: tempo, massa, temperatura, energia,
carica elettrica …
Vettori: grandezze definite oltre che dal suddetto
numero (modulo), anche da una direzione e un
verso.
Es.: spostamento, velocità, accelerazione,
forza, campo elettrico, …
Rappresentazione grafica:
r
modulo: r
=r
Operazioni tra vettori
Somma di vettori
b
a
+
b
a
=
a
=
c
b
Prodotto di uno scalare per un vettore
a
c=ka
d=-c
Componente di un vettore lungo una direzione
a
θ
ax
ax=acosθ
x
c
Trigonometria
y
P’
D
P’’
E
γ = (180˚- α)
sinγ = sinα
cosγ = -cosα
C
γ
O
β
β = (90˚- α)
sinβ = cosα
cosβ = sinα
P
α
A
B
x
sinα=PB/OP
cosα=PC/OP
tanα =PB/PC
Vettore velocità
y
∆r
r1 ≡ (x1,y1,z1)
y1
P1.
r2 ≡ (x2,y2,z2)
y2
P0
.
∆r = r2-r1
vP1
.P’2
∆r
r1
.P2
r2
r2 − r1 ∆r
v =
=
t 2 − t1 ∆t
∆ r'
≈
∆t
‘
O
vP1
∆r
= lim
{
∆t →0 ∆t
x1
x
x2
v sempre tangente
alla traiettoria
Costruzione della traiettoria dai
vettori velocità
y
P0
.
P.1
. P2
v sempre tangente
alla traiettoria
O
x
Vettore accelerazione nel moto
circolare uniforme
v1
P2
P1
∆v
v2
r
r
θ
O
θ
∆ v = 2 vsen
2
v1
θ/2
θ vl
⎯⎯
⎯
⎯
→
=
2
v
∆t → 0
2 r
∆v
v2
v2
l = Pˆ
1P2 =rθ
v1 = v2 = v
a =
v 2 − v1 ∆ v
=
t2 − t1
∆t
∆v
a P1 = lim
{ ∆t
∆t → 0
vl
∆v v l
v2
⇒
=
=
∆v =
∆t r ∆t
r
r
Accelerazione radiale
v2
aP1 =
r
Vettore Accelerazione
v1
P2
∆vt
P1
∆vn
v2
∆v
v2
a =
∆vt vettore parallelo a v1
∆vt=v2-v1
v 2 − v 1 ∆v ∆v t + ∆v n
=
=
t 2 − t1
∆t
∆t
a P1 = lim
{
∆t → 0
a t = lim
{
∆t → 0
v2
an =
R
∆v
∆t
∆v
∆t
= at + an
accelerazione tangenziale
accelerazione normale. v = velocità nel punto P e
R = raggio di curvatura istantaneo della traiettoria in P
Moto in tre-dimensioni
I moti nei tre assi del sistema di riferimento sono
indipendenti l’uno dall’altro
(ossia nessuno dei tre influenza gli altri)
Foto stroboscopica di una palla
lasciata cadere da ferma (palla
rossa) nello stesso istante in cui
un’altra (palla gialla) è
sparata orizzontalmente verso
destra.
I loro moti verticali sono identici.
Esempio: Un’automobile si schianta a 90 km/h contro un
muro. Da quale altezza dovrebbe cadere per subire lo
stesso urto?
v0 = 0,
Soluzione:
2
vf
2
− v0
⇒h =
v f = 90 km/h
= 2gh
2
vf
2g
(
90 ÷ 3,6)
=
2
2 × 9.8
= 32 m
Esempio: Si chiama cliff diving lo sport estremo che consiste nel tuffarsi
in acqua da scogliere fino a tre volte più alte di un trampolino olimpico
(ossia da 20-30 metri di altezza). Calcolare la velocità di entrata in acqua
di un tuffatore che si lancia da 30 m di altezza.
Soluzione:
v 2 = 2gh
⇓
v = 2gh = 2x9,82x30 = 24,27 m s = 87,38 k m h
Se si entra in acqua malamente l’effetto dell’impatto può essere
rovinoso. Una frazione di secondo dopo l’entrata in acqua la testa del
tuffatore è già passata da 90 a 15 km/h, mentre le gambe, ancora fuori
dell’acqua, continuano a viaggiare alla massima velocità, esercitando una
terribile pressione sulla schiena.
Se non si riesce a rimanere rigidi e perpendicolari alla superficie
dell’acqua, la schiena tende ad incurvarsi ed a subire la forza
dell’impatto, cosicché il midollo spinale si comprime, con conseguenze che
possono anche produrre la paralisi.
Esempio: Un’automobile viaggia alla velocità costante v0 di 50 km/h
quando il guidatore vede un semaforo diventare rosso. Dopo che sono
trascorsi 0,5 s (il tempo di reazione del guidatore, tr), il guidatore
frena e l’automobile decelera a 6,2 m/s2. Quanto è la distanza di
frenatura dell’automobile misurata dal punto in cui il guidatore ha
percepito il rosso del semaforo?
Soluzione:
v
2
f
− v0
2
∆stot
− v0
= 2a ∆ s ⇒ ∆s =
2a
2
− (50/3,6
=
− 2 × 6,2
)2
= 15,56m
50
= v0 tr + ∆s =
0,5 + 15,56 = 22,50 m
3,6
Esempio: Per avere una stima della profondità di una grotta
a strapiombo un esploratore misura il tempo t che
intercorre tra l’istante in cui lascia cadere un sasso e
l’arrivo al suo orecchio del rumore provocato dall’urto del
sasso con il fondo della grotta. Sapendo che il suono si
propaga nell’aria con velocità costante vs= 330 m/s, quanto
è profonda la grotta se t =11,0 s ?
1 2
Soluzione: h = gt1
2
1
2
gt
+ v s t1 − v s t = 0
1
h = v st 2
2
t = t1 + t2
- v s ± v s2 + 2gv s t − 330 ± 330 2 + 2 × 9,82 × 330 × 11
t1 =
=
= 9,6 s
g
9,82
t 2 = 11,0 − 9,6 = 1,4 s
h = 330 × 1,4 = 462 m.
Un vaso di fiori cade da un’altezza h=15.3 m dal suolo. Un uomo alto 1.80 m
cammina con velocità costante v=3.6 km/h sul marciapiede sottostante nella
direzione in cui cadrà il vaso. A quale distanza d dalla verticale per la
finestra deve trovarsi l’uomo nel momento in cui il vaso comincia a cadere
per essere colpito in testa?
Il vaso si muove di moto uniformemente accelerato con accelerazione –g
(prendendo l’asse y diretto verso l’alto) e quindi si ha:
1
(1)
y − H = − gt 2
2
Mentre l’uomo, che si muove di moto uniforme, percorre nel tempo t lo spazio
x = vt
La distanza richiesta è (dalla (2)):
(2)
d = vτ
Ove τ è il tempo impiegato dal vaso per andare dalla quota H alla quota y=h.
Esso si ricava immediatamente dalla (1):
τ =
(H − h )
2
g
E dunque:
d = v 2
(H − h )
= 1.66m
g
Nell’istante in cui un
semaforo diventa
verde, un’automobile
parte da ferma con
un’accelerazione che
rimane costante nel
tempo (a=2m/s2).
Contemporaneamente
un autobus che
viaggia a velocità
costante v= 10 m/s
oltrepassa
l’automobile. Calcolare
dopo quanto tempo e
a che distanza dal
semaforo,
l’automobile sorpassa
di nuovo l’autobus?
1
⎧
=
+
+
(
t
)
v
t
a1t 2 ( automobile )
1
:
s
(
t
)
s
⎪
1
01
01
2
⎨
⎪2 : s2 ( t ) = s02 ( t ) + v 02 t ( autobus )
⎩
⎧s01 ( t ) = s02 ( t ) = 0
⎨
⎩ v 01 = 0
1
⎧
⎧s1 ( t *) = s2 ( t *)
2
⎪s1 ( t ) = a1t
⎪
→ t = t* → ⎨ 1
2
⎨
2
⎪s2 ( t ) = v 02 t
⎪ 2 a1 ( t *) = v 02 t *
⎩
⎩
t* =
2v 02
= 10s
a1
s1 ( t *) =
1
a1 ( t *) 2 = 100m
2
v1 ( t *) = a1 ⋅ t * = 20
m
s
Esempio: Un ragazzo lancia una palla in aria e la riprende
alla stessa altezza da cui l’ha lasciata 2 s più tardi. Qual’è
la velocità della palla quando lascia la mano?
A quale altezza è salita la palla rispetto al punto da cui è
stata lanciata?
Soluzione: il moto si compone di due moti di
uguale durata t =1 s. La palla prima decelera
da vi a velocità nulla, quindi accelera fino a
raggiungere la mano con velocità vf.
1° moto:
0 −vi =-gt ⇒vi = 9,8 m s
2
v
0 −vi2 = −2gh ⇒ h = i = 4,9 m
2g
x
vi
h
vf
Esempio: La terra compie una rotazione al giorno attorno ad un asse
passante per i poli Nord e Sud e perpendicolare al piano
dell’equatore. Supponendo che la Terra sia una sfera di raggio
R=6,38.106 m, si determini il modulo della velocità e l’accelerazione
centripeta di una persona situata (a) all’equatore e (b) a una
latitudine di 45°.
N
Soluzione:
(a)
veq
a eq =
(b)
45°
2πR 2 × 3,14× 6,38×106
= 464 m s
=
=
T
24× 3600
2
v eq
R
=
4642
6,38 × 10 6
= 3,37 × 10 − 2 m s 2 .
S
2πR cos 45 o
v o =
= 464 × 2 2 = 325 m s
T
45
v2 o
325 2
−2
2
45
a o =
=
=
2
,
37
×
10
m
s
.
6
o
45
R cos 45
6,38 × 10 × 0,7