ANALISI COMPLESSA 7 luglio 2014 Le risposte vanno giustificate
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ANALISI COMPLESSA 7 luglio 2014 Le risposte vanno giustificate
ANALISI COMPLESSA 7 luglio 2014 Le risposte vanno giustificate. 1. Dimostrare che se f ha un polo di ordine n in z0 , allora d n−1 1 res|z0 f = lim (z − z0 )n f (z) . z→z0 (n − 1)! dz Dimostrare che Z ∞ −∞ 1 e−2πiξx dx = cosh(πx) cosh(πξ) ∀ξ ∈ R. 2. Dimostrare che se f = u + iv è una funzione a valori complessi in un aperto Ω del piano complesso, le funzioni u e v sono a valori reali e di classe C 1 in Ω e ivi soddisfano le equazioni di Cauchy–Riemann, allora f è olomorfa in Ω e f 0 (z) = ∂z f . Stabilire poi se la funzione f (z) = |z|2 e−z è olomorfa in qualche sottoinsieme aperto del piano complesso. 3. Enunciare e dimostrare il teorema di Morera. Dimostrare anche che una successione di funzioni olomorfe in un aperto Ω, convergente uniformemente sui compatti di Ω, ha per limite una funzione olomorfa. Sia f (z) = ∞ X 1 . 2 z + n n=0 Dimostrare che f è olomorfa in C \ {−n2 : n ∈ N}. Che tipo di singolarità ha f nei punti del piano complesso ove non è definita? 4. Siano H is semipiano superiore e F : H → C una funzione olomorfa che soddisfa le condizioni |F (z)| ≤ 1 and F (i) = 0. Utilizzando il lemma di Schwarz per il disco, dimostrare che z − i |F (z)| ≤ ∀z ∈ H. z+i 5. Sia f una funzione olomorfa nel disco puntato Dr (z0 ) \ {z0 } tale che |f (z)| ≤ A |z − z0 |−1/2 . Dimostrare che f si estende a una funzione olomorfa in Dr (z0 ). 1