Operatori Lineari/1

Operatori Lineari/1
(1) Sia V uno spazio di Hilbert. U ∈ L(V ) è detta una isometria se "U x, U y# = "x, y# per ogni x, y ∈ V .
Dimostrare che U è un’isometria se e solo se $U x$ = $x$ per ogni x ∈ V .
(2) Sia ϑ+ (traslazione verso destra) l’operatore lineare su "1 definito, se x = (xk )∞
k=1 ∈ "1 come
ϑ+ x = ϑ+ (x1 , x2 , x3 , . . .) := (0, x1 , x2 , x3 , x4 , . . .)
Determinare $ϑ+ $, Ker ϑ+ e Ran ϑ+ .
(3) Sia ϑ− (traslazione vesro sinistra) l’operatore lineare su "1 definito, se x = (xk )∞
k=1 ∈ "1 come
ϑ− := (x2 , x3 , x4 , . . .)
Determinare $ϑ− $, Ker ϑ− e Ran ϑ− .
!
(4) Sia K una funzione continua su [a, b] × [a, b]. Sia T l’operatore su C2 [a, b] definito come
T f (x) :=
!
b
K(x, y) f (y) dy .
a
Dimostrare che T è limitato e trovare un limite superiore alla norma di T .
(5) Sia g ∈ Cb (R) fissata e sia T l’operatore lineare su (Cb (R), $ ·$ u ) definito come
T f (x) = g(x)f (x)
Calcolare $T $.
(6) Sia g ∈ Cb (R) fissata e sia T l’operatore lineare su (C1 (R), $ ·$ 1 ) definito come
T f (x) = g(x)f (x)
Calcolare $T $.
(7) Siano g, h due funzioni continue fissate su [a, b] e sia T l’operatore lineare su C2 [a, b] definito come
T f (x) =
"!
a
(a) Determinare $T $, Ker T e Ran T .
(b) Assumendo g ⊥ h, calcolare T 2
! Più
o meno svolto nelle note
b
#
h(y) f (y) dy g(x)
Operatori Lineari/2
(1) Sia (uk )∞
k=1 una base ortonormale in uno spazio di Hilbert V . Dimostrare che per ogni v, w ∈ V si
ha
∞
!
"v, w# =
"v, uk # "uk , w#
k=1
(2) Siano A, B due operatori lineari nello spazio vettoriale V . Assumendo AB = I, quali delle seguenti
proprietà sono necessariamente vere?
(a) A è iniettivo
(b) B è iniettivo
(c) A è suriettivo
(d) B è suriettivo
(3) Siano A, B due operatori lineari limitati nello spazio di Banach V e sia C = AB. Dimostrare che
Ker C ⊃ Ker B e che Ran C ⊂ Ran A.
(4) Sia A un operatore lineare continuo invertibile nello spazio di Banach V . Dimostrare che &A−1 & ≥
&A&−1 .
(5) Trovare due operatori lineari limitati in uno spazio di Banach V tali che AB = I, ma BA (= I (quindi
B non è l’inverso di A).
!
(6) Sia T è un operatore lineare invertibile da V in Z. È vero che se T è limitato allora T −1 è limitato?
!
(7) Sia V uno spazio di Banach. Dimostrare che L(V ) (l’insieme degli operatori lineari limitati su V ) è
uno spazio completo (usando la usuale norma operatoriale).
!
(8) Nello spazio (Cc (R), & ·& u ) consideriamo l’operatore lineare T definito come (T f )(x) := xf (x).
(a) Dimostrare che T non è limitato.
(b) Determinare il nucleo e l’immagine di T .
(9) Sia C ∞ [a, b] l’insieme delle funzioni f : [a, b] )→ R infinitamente differenziabili nell’intervallo aperto
(a, b) e tali che le quantità
lim f (n) (x)
x→a+
lim f (n) (x)
x→b−
n = 0, 1, 2, . . .
esistono e sono finite. Sia D = d/dx l’operatore di derivazione nello spazio (C ∞ [0, 1], & · &u ). Dimostrare che D non è limitato.
(10) Sia T un operatore lineare limitato autoaggiunto nello spazio di Hilbert V . Sia W un sottospazio di
V invariante sotto T , vale a dire tale che T W ⊂ W . Dimostrare che anche W ⊥ è invariante sotto T .
(11) Sia V uno spazio euclideo e sia T ∈ L(V ) autoaggiunto. Dimostrare che se "T x, x# = 0 per ogni
x ∈ V allora T = 0
(12) Dimostrare che in !2 vale ϑ∗+ = ϑ− .
! (13) Sia T l’operatore lineare su !2 definito come
T x := (0, x1 , 0, x2 , 0, x3 , 0, . . .)
(a) Determinare T ∗ , vale a dire scrivere esplicitamente T ∗ x = (?, ?, . . . )
(b) Determinare &T &, Ker T e Ran T .
! Più
o meno svolto nelle note
Operatori Lineari/3
!
(1) Sia T l’operatore lineare su !2 definito come
!
"
x4
x6
x2
T x := x1 + , x3 + , x5 + , . . . .
2
4
6
Determinare: (a) T ∗ , (b) Ker T , (c) Ran T .
(2) Nello spazio C2 ([a, b]; C) sia T l’operatore lineare integrale con nucleo K(x, y). Determinare il nucleo
integrale di T ∗ .
(3) Consideriamo l’operatore lineare T := −D2 (in cui D è l’operatore derivata) che agisce sullo spazio
euclideo (C ∞ [a, b], "·, ·#).
(a) Detrminare Ker T e Ran T .
(b) Sia C0∞ [a, b] l’insieme delle funzioni f ∈ C ∞ [a, b] tale che f (a) = f (b) = 0. Dimostrare che T è
simmetrico e definito positivo sul dominio sul dominio C0∞ [a, b], vale a dire che
"T f, g# = "f, T g#
"T f, f # ≥ 0
∀f, g ∈ C0∞ [a, b]
(4) Sia (V, "·, ·#) uno spazio di Hilbert. Dimostrare che se P è una proiezione ortogonale in V allora,
(1) (I − P )v è ortogonale a P v
(2) 'P v' ≤ 'v'
(3) Ran P = Ker(I − P )
(5) Sia P una proiezione ortogonale nello spazio di Hilbert V . Dimostrare che "P x, x# ≥ 0 per ogni
x∈V.
(6) Siano (uk )nk=1 e (wk )nk=1 2 ennuple ortonormali nello spazio di Hilbert V e siano c1 , . . . , cn numeri
reali positivi. Dato l’operatore
n
#
T v :=
ck "v, uk # wk
v∈V
k=1
(a) Determinare T , Ker T , Ran T , 'T '.
(b) Dimostrare che se span{(uk )nk=1 } ⊥ span{(wk )nk=1 } allora T 2 = 0
∗
(7) Sia P una proiezione ortogonale. Trovare una proiezione ortogonale R su V tale che Ran R =
(Ran P )⊥ . (R deve essere data in funzione di P )
(8) Siano P, Q proiezioni ortogonali nello spazio di Hilbert V . Dimostrare che
(a) se P Q = 0 allora QP = 0
(b) se P Q = 0 allora P + Q è una proiezione ortogonale
(9) Sia L = C2 [0, 1] e W = span{1, x2 }. Determinare Ker πW e Ran πW
(10) Sia T l’operatore lineare su C2 ([−1, 1]; C) definito da T f (x) = x2 f (x). Calcolare 'T ', gli autovalori
e lo spettro continuo di T .
(11) Nello spazio (C([0, 2]; C), ' ·' u ) consideriamo l’operatore
(T f )(x) := g(x) f (x)
in cui
Determinare gli autovalori e lo spettro continuo di T .
$
x se x ∈ [0, 1]
g(x) :=
1 se x ∈ (1, 2]
(12) Nello spazio di Banach Cb (R; C) (le funzioni continue e limitate su R a valori complessi) con norma
'f 'u := supx∈R |f (x)|, si consideri l’operatore (di inversione spaziale)
(T f )(x) := f (−x)
x∈R
Determinare 'T ', l’insieme degli autovalori σp (T ) e lo spettro continuo σc (T ).
(13) Data la funzione W ∈ C ∞ (Rn ), sia T l’operatore lineare su Cc∞ (Rn ) definito come
T f := ∆f − ∇W · ∇f .
Dimostrare che l’operatore trasformato T% := e−W/2 T eW/2 è un operatore di Schrödinger, vale a dire
può essere scritto nella forma T% = ∆ − V (x). Determinare la funzione V in termini di W .
! Più
o meno svolto nei Rudimenti o sul sito
Operatori Lineari/4
(1) Sia ϑ+ l’operatore di traslazione a destra che agisce in "2 (C). Dimostrare che
(1) ϑ+ non ha autovalori
(2) σ(ϑ+ ) = B1 := {z ∈ C : |z| ≤ 1}
(2) Sia ϑ− l’operatore di traslazione a sinistra che agisce in "2 (C). Determinare gli autovalori e lo spettro
continuo di ϑ− .
Risp: σp (ϑ− ) = {λ ∈ C : |λ| < 1}, σc (ϑ− ) := {λ ∈ C : |λ| = 1}
(3) Dimostrare la prima formula dei risolventi: sia T ∈ L(V ), dove V è uno spazio di Banach. Se
α, β ∈ ρ(T ) allora vale
Rα (T ) − Rβ (T ) = (β − α) Rα (T )Rβ (T ) .
(4) Sia V uno spazio euclideo complesso e sia T ∈ L(V ). Dimostrare che
(1) σ(T ∗ ) = {z̄ : z ∈ σ(T )}
(2) Rz (T )∗ = Rz̄ (T ) per ogni z ∈ ρ(T )
(5) Sia T l’operatore che agisce in "2 come
! x x x
"
1
2
3
T x = 0, , , , . . .
2 3 4
(a) Determinare $T $
(b) Dimostrare che T è compatto
(c) Trovare gli autovalori e lo spettro continuo di T
Risp: (a) "T " = 1/2. (c) T non ha autovalori. σc (T ) = {0} poichè T non è suriettivo.
(6) Sia T l’operatore su "2 definito come
!
"
x2 x2 x3 x3 x4 x4
T x = x1 , x1 , , , , , , , . . .
2 2 3 3 4 4
(a)
(b)
(c)
(d)
Determinare $T $
Determinare T ∗ . T ∗ x = (?, ?, ?, ?, . . .)
Dimostrare che T è compatto
Trovare gli autovalori e lo spettro continuo di T (sugg: ricorda il teorema di Fredholm)
Risp: "T " =
!
√
2, σp = {1}, σc = {0}.
(7) Sia T l’operatore su "2 definito come
Tx =
!x
2
2
, 0,
"
x4
x6
x8
, 0, , 0, , 0, . . .
4
6
8
(a) Determinare $T $
(b) Determinare T ∗ . T ∗ x = (?, ?, ?, ?, . . .)
(c) Trovare gli autovalori e lo spettro continuo di T (sugg: dato che T è compatto si può utilizzare
il teorema di Fredholm)
(8) Trovare gli autovalori dell’operatore T := −D2 = −d2 /dx2 nei due casi
(a) T : C0∞ [0, L] %→ C ∞ [0, L] (Laplaciano di Dirichlet).
∞
∞
(b) T : CN
[0, L] %→ C ∞ [0, L] in cui CN
[0, L] è l’insieme delle funzioni f ∈ C ∞ [0, L] tali che f $ (0) =
$
f (L) = 0 (Laplaciano di Neumann).