Quesiti “con asterisco” su funzioni periodiche Una funzione f:R → R

Quesiti “con asterisco” su funzioni periodiche
Una funzione f : R → R si dice periodica se esiste p > 0 (periodo) tale che f (x + p) = f (x)
per ogni x ∈ R.
1. È vero che la somma di due funzioni periodiche è periodica?
2. Sia f : R → R una funzione continua periodica. Dimostrare che f è limitata e uniformemente continua su R.
3. Sia f : R → R continua e periodica. Sia P l’insieme dei periodi di f , cioè
P = {p > 0 : f (x + p) = f (x) per ogni x ∈ R}.
Dimostrare le seguenti affermazioni.
a) f è costante se e solo se inf P = 0.
b) Se f non è costante, esiste min P .
4. Nel quesito precedente, è possibile omettere l’ipotesi che f sia continua?
*5. Sia g: R → R polinomio. Supponiamo che per ogni x ∈ R esista un numero px > 0
razionale tale che g(x + px ) = g(x). Dimostrare che il polinomio g è costante.
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