Esercizi di Analisi Reale – Foglio 1 1. Determinare tutti i punti di

Corso di Laurea Magistrale in Matematica, a.a. 2011-2012
Esercizi di Analisi Reale – Foglio 1
Le soluzioni vanno consegnate all’esercitatore entro il 2 novembre 2011.
1. Determinare tutti i punti di Lebesgue della funzione g : R → R, data da
(
cos(1/x) se x 6= 0,
g(x) =
0
se x = 0.
2. Sia E ⊆ Rn un insieme misurabile con |E| > 0. Dimostrare che l’insieme
E − E := {x − y : x, y ∈ E}
contiene un intorno dell’origine.
(Suggerimento:
per alcuni E, può essere utile considerare la funzione f (x) =
R
χ
(t)
χ
(x
+
t) dt vicino a x = 0.)
E
Rn E
3.
(3a) Siano E1 , E2 due insiemi misurabili di Rn , e x0 un punto di densità di
ciascuno dei due. Dimostrare che x0 è un punto di densità di E1 ∩ E2 .
(3b) Sia E un insieme misurabile di R avente 0 come punto di densità.
Utilizzando (a), dimostrare che esiste una successione {xn } in R \ {0},
convergente a 0 e tale che ±xn ∈ E per ogni n.
4. Sia A un insieme misurabile di Rn tale che r := supx∈A kxk < +∞. Supponiamo che, per ogni bolla aperta B tale che supx∈B kxk ≤ r, si abbia
|A ∩ B| ≥
1
10
|B| .
Dimostrare che |A| = |B(0, r)|.
(B(0, r) denota la bolla aperta di raggio r, centrata nell’origine.)
5. Siano E ⊆ Rn un insieme misurabile e f una funzione misurabile nonnegativa su E.
(5a) Dimostrare che l’insieme {(x, t) ∈ E × [0, +∞) : t < f (x)} è misurabile.
(Suggerimento: può essere utile considerare funzioni semplici.)
1
2
(5b) Dimostrare che
Z
Z
f (x) dx =
E
+∞ [f > t] dt ,
0
dove [f > t] = {x ∈ E : f (x)
> t}.
(La funzione t 7→ [f > t] viene chiamata funzione di distribuzione.
R f (x)
Suggerimento: f (x) = 0 1 dt .)
6. Sia C[a, b] lo spazio vettoriale delle funzioni reali continue su un intervallo
compatto [a, b].
(6a) Dimostrare che ogni classe di equivalenza elemento di L1 ([a, b]) contiene al più un elemento di C[a, b]. Esistono classi non contenenti
alcun elemento di C[a, b] ?
(6b) Lo spazio normato C[a, b], k · k1 è completo?
(6c) Per ciascuna delle seguenti due affermazioni stabilire se è vera o falsa.
(∗) Ogni k·k1 -bolla aperta è un insieme k·k∞ -aperto.
(∗∗) Ogni k·k∞ -bolla aperta è un insieme k·k1 -aperto.
+∞
2
e−x y
7. Sia F (y) =
dx .
1 + x2
0
(7a) Determinare l’insieme di definizione D di F ; dimostrare che F è continua su D; studiare l’esistenza del limite di F (y) per y → +∞.
(7b) Dimostrare che F è derivabile nei punti interni di D e scrivere un’equazione differenziale per F .
(7c) Stabilire se F è derivabile (da destra o da sinistra) negli eventuali
punti di frontiera di D appartenenti a D.
Z