Esercizi CON ASTERISCO Esercizi con asterisco sono esercizi un

Esercizi CON ASTERISCO
Esercizi con asterisco sono esercizi un po’ diversi e/o più difficili di quelli richiesti all’esame, ma spesso anche
più interessanti. Sono dedicati agli studenti che sanno già svolgere esercizi standard e non si accontentano di
ciò. (In realtà, molti problemi che si incontrano “nella vita” escono dagli schemi imparati nelle aule.) Buon
divertimento!
*1. Sia E ⊆ R tale che per ogni sottoinsieme limitato non vuoto A ⊆ E esista max A o min A. Dimostrare
che E è al più numerabile.
*2. Dimostrare che l’insieme {ab : a > 0, b > 0, a, b irrazionali}
a) contiene infiniti numeri irrazionali;
*b) contiene infiniti numeri razionali.
**3. Esiste una funzione f : R → R tale che f (I) = R per ogni intervallo non vuoto I ⊆ R ?
*4. Sia P : R → R un polinomio. Supponiamo che per ogni x ∈ R esista qx ∈ Q tale che P (x) = P (x + qx ).
Dimostrare che il polinomio P è costante.
*5. Sia a un numero naturale rappresentabile come somma di due quadrati perfetti. Dimostrare che anche
ogni sua potenza an (n ∈ N) è somma di due quadrati perfetti.
*6. Dimostrare che per ogni n ∈ N il numero cos(π/n) è algebrico (cioè, radice di un polinomio a coefficienti
interi). [Suggerimento: utilizzando de Moivre, esprimete cos nx come polinomio in cos x.]
È vero che cos(qπ) sia algebrico per ogni q ∈ Q ?
*7. Siano n ∈ N e v, w, z ∈ C tali che v n = wn = z n = 1 e v + w + z = 0.
Dimostrare che n è un multiplo di 3.
*8. Sia r una retta nel piano cartesiano. Dimostrare che esistono infinite rette parallele a r, che non
contengano punti a entrambe le coordinate razionali.
**9. Diremo che due sottoinsiemi A, B di N sono “quasi disgiunti” se la loro intersezione A ∩ B è un insieme
finito. Dimostrare che esiste una famiglia infinita non numerabile di sottoinsiemi infiniti di N a due a
due “quasi disgiunti”. [Suggerimento: al posto di N possiamo considerare Q.]
*10. Dimostrare che ogni insieme aperto A ⊆ R può essere scritto come l’unione al più numerabile di intervalli
aperti a due a due disgiunti.
*11. Data una successione {xn } ⊆ R, consideriamo yn = n1 (x1 + x2 + · · · + xn ) (n ∈ N).
a) Dimostrare che se xn → p ∈ R allora anche yn → p.
b) Trovare {xn } tale che yn → 0 e {xn } non ammetta limite.
√
*12. (Calcolo approssimativo di radici quadrate).
Sia
³
´ a > 0 numero reale. Scegliamo un qualsiasi x1 > a ,
e definiamo per induzione xn+1 = 12 xn + xan .
√
a) Dimostrare che la successione
{xn } cosı̀ definita è decrescente e x√
a.
n →
√
b) Ponendo En = xn − a (l’errore che commettiamo sostituendo a con xn ), dimostrare che, per
√
n
E2
E2
ogni n, En+1 = 2xnn , e quindi En+1 < bn dove b = 2 a. Dedurre: En < b · (E1 /b)2 per ogni n.
√
c) Determinare x1 e n in modo di essere sicuri che xn approssimi 2 a meno di 10−4 .
*13. a) Definite la nozione di “permutazione di una successione”. C’è qualche relazione fra il limite di una
successione {xn } e quello di una permutazione di {xn } ?
1
b) Ordiniamo l’insieme dei numeri razionali in una successione {rn }. Possiamo dire qualcosa sulla
classe limite di questa successione?
*14. Determinare la classe limite della successione xn =
√
n−
£√ ¤
n (dove [·] denota la parte intera).
∗ ∗ ∗
Seguono cinque quesiti su funzioni periodiche. Si ricordi che una funzione f : R → R si dice periodica se
esiste p > 0 (periodo) tale che f (x + p) = f (x) per ogni x ∈ R.
*15. È vero che la somma di due funzioni periodiche è periodica?
*16. Sia f : R → R una funzione continua periodica. Dimostrare che f è limitata e uniformemente continua
su R.
*17. Sia f : R → R continua e periodica. Sia P l’insieme dei periodi di f , cioè
P = {p > 0 : f (x + p) = f (x) per ogni x ∈ R}.
Dimostrare le seguenti affermazioni.
a) f è costante se e solo se inf P = 0.
b) Se f non è costante, esiste min P .
*18. Nel quesito precedente, è possibile omettere l’ipotesi che f sia continua?
*19. Sia g: R → R polinomio. Supponiamo che per ogni x ∈ R esista un numero px > 0 razionale tale che
g(x + px ) = g(x). Dimostrare che il polinomio g è costante.
∗ ∗ ∗
*20. Sia f una funzione continua su un intervallo aperto limitato (a, b). Dimostrare che sono equivalenti:
(i) f è uniformemente continua su (a, b);
(ii) entrambi i limiti lim f (x) e lim f (x) esistono finiti.
x→a+
x→b−
¡
¢
*21. Esiste una funzione continua f : R → R t.che f f (x) = e−x per ogni x ∈ R ?
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