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Equazioni lineari a coefficienti costanti: sono equazioni del tipo:
. Sfruttiamo il principio di
sovrapposizione per scrivere “soluzione generale = soluzione generale parte omogenea + soluzione particolare equazione completa”. Si studia quindi
l’equazione caratteristica:
e
ad ogni sua radice reale si associa
dell’equazione differenziale;
ad ogni coppia di soluzioni complesse e coniugate dell’equazione caratteristica
associamo
Principio di sovrapposizione (vale per la linearità): se u è soluzione di
allora ogni combinazione lineare di e risolve
. Dimostrazione:
Conseguenza: se A ha 2 autovalori reali e distinti λ1, λ2 (con auto vettori rispettivi
Sistemi 2.2: del tipo:
) posso scrivere la soluzione generale del sistema 2.2:
. Distinguiamo veri casi:
 autovalori reali distinti, stesso segno
-
,
 integr. gen:
- autovalori reali, segno opposto
 integrale generale:
- “degenere”: 1 autovalore è nullo
 autovalori complessi e coniugati 
 autovalori reali coincidenti 
distinguiamo 2 sottocasi:
- regolare (se molteplicità algebrica e molteplicità geometrica coincidono);
- non regolare
[Molteplicità algebrica k: è K volte soluzione dell’equazione caratteristica
]
[Molteplicità geometrica: numero di parametri dai quali dipende la soluzione dell’equazione:
]
Teorema: un autovalore semplice è sempre regolare [moltepl geom moltepl algeb]
Teorema: se ogni autovalore di A è regolare  A è diagonalizzabile, ovvero abbiamo n autovettori l. i. accostati costituiscono S (invertibile perché fatta
da colonne l.i.) con la proprietà che:
(diagonale)
-
Matrice esponenziale: partendo da un sistema 2.2 introduco una matrice esponenziale
introdotta deve risolvere il sistema:
con la proprietà:
ovvero la matrice
. La soluzione generale del sistema sarà data da:
[Polinomio di Taylor con resto di Peano:
]
Se A non è diagonale, ma è diagonalizzabile, cioé se
[autovalori distinti regolari]
Definizione:
. Conseguenze:
-
se A è diagonale:
-
se A è diagonalizzabile: [se
un insieme di n autovettori l.i. che accostati generano S e
]


Integrale Generale:

Casi particolari
;
Def [caso A non diagonalizzabile]: N è nihlpotente di ordine k se k(intero) t.c.
Teorema [autovalori coincidenti non regolari]:
P è diagonalizzabile usando S costituita da un set di autovettore generalizzato relativo ad
A.
Def: autovettore generalizzato
associato ad A è una soluzione del sistema:
Per una matrice qualsiasi:
Matrice esponenziale autovalori complessi: si usa una matrice
auto vettori. Effetto di
su A:
.
ottenuta facendo l’accostamento della parte reale e della parte immaginaria degli
pseudo diagonalizza A portandola nella forma
. La matrice esponenziale è:
quindi
Oppure, più semplicemente trovo tradizionalmente gli autovettori che costituiscono la matrice S, di conseguenza trovo S

-1
così da trovare:
Sistemi non lineari autonomi:
Metodo globale  Def integrale primo:
Equivalentemente
costante su
soluzione del sistema non lineare autonomo [non operativa].
è costante quindi
equazione che definisce gli integrali primi,
equazione differenziale alle derivate parziali.
Teorema: se sappiamo trovare la soluzione dell’equazione delle traiettorie
la soluzione generale dell’equazione delle
traiettorie è un integrale primo.
Dimostrazione: sia
una soluzione dell’equazione delle traiettorie
, derivo rispetto a x:
. In forma implicita data da
, uso
Conseguenza: le linee di livello di
sono insieme di traiettorie.
Osservazione: integrali primi = ”sistemi conservativi”, l’integrale primo si conserva lungo le traiettorie
Il sistema Lotka-Volterra ammette l’integrale primo:
Sistemi Hamiltoniani:
Teorema: se un sistema è hamiltoniano, H è un integrale primo.
Dimostrazione:
Condizione necessaria per Hamilton:
Osservazione: questa condizione necessaria è anche sufficiente se il dominio di f e di g è semplicemente connesso.
Classificazione dei punti di equilibrio sistemi lineari:
 2 autovalori reali e distinti origine = nodo a due tangenti
 2 autovalori reali  origine = colle o sella sempre instabile:
 1 autovalore reale doppio 
 2 autovalori complessi e coniugati 
Linearizzazione:
Proposizione I: se per S.L., l’origine è asintoticamente stabile o instabile  S.O. è asintoticamente stabile o instabile rispettivamente.
Proposizione II: se per S.L., l’origine è: nodo a due tangenti  P0 è la “deformazione di nodo a due tangenti” per S.O. e così per nodo a una tangente,
fuoco o sella. Dubbio il caso di centro.
Matrice jacobiana:
Teorema (Stabilità per linearizzazione): Se l’origine è asintoticamente stabile per il S.L.P0, (cioè gli auto valori di
hanno parte reale negativa),
allora
è localmente asintoticamente stabile per S.O. Se
ha un autovalore con parte reale positiva, allora
è instabile sia per
S.L.P0 che per S.O.
Funzione di Liapunov: V è una funzione di Liapunov per il sistema autonomo nell’intorno A dell’origine se:
12Teorema: L’esistenza di una funzione di Liapunov garantisce che l’origine, punto d’equilibrio, sia stabile. Se inoltre:
allora l’origine è asintoticamente stabile.
Coordinate polari: sostituzione:
. Differenziando le equazioni:
. Otteniamo le relazioni dinamiche:
Caso non omogeneo:
Risolvere prima
e trovare il suo integrale generale. Poi pongo
dalla quale trovo
soddisfare l’equazione
dalla quale ricavo . Vale lo stesso per
.
 Se
allora devo porre
 Se ho ad es.
devo porre
che dovrà soddisfare l’equazione
ricaverò ad es.
L’integrale generale sarà ad esempio:
, e ponendo
ricaverò
che devono
dalla quale
Classificazione delle Traiettorie (orbite):
- Punti Critici = Punti stazionarie (di equilibrio)
; Se
 l’unico punto critico è l’origine; Se
 il sistema ha un luogo
di punti stazionari dato dalle soluzioni di
, quindi c’è una retta di punti critici coincidente con l’autovettore relativo all’autovalore nullo.
- Le traiettorie periodiche corrispondo ai livelli energetici che sono confinati nella buca di potenziale
- Traiettorie: Le traiettorie non costanti si trovano facendo
Se
infinite
che integrato da l’equazione delle traiettorie:
 Gli autovettori di un sistema sono le uniche traiettorie (orbite) rettilinee. Se
 Le traiettorie (orbite) rettilinee sono
- Luogo dei punti:
Def: un punto
si dice punto di equilibrio per il sistema se:
. Il punto
è l’orbita che corrisponde alla soluzione
costante:
, con grafico una retta parallela all’asse t. Il punto
si dice:
- stabile  se per ogni
, esiste un
tale che, se
, la soluzione
esiste per ogni
. [una
soluzione che parte abbastanza vicino a si mantiene sempre abbastanza vicino];
- asintoticamente stabile  se è stabile e, inoltre,
. [una soluzione che parte abbastanza vicino a non solo ci si
mantiene sempre abbastanza vicino ma converge a ];
- instabile  se non è stabile, cioè se non vale la condizione di stabilità.
I cicli sono orbite che hanno la forma di curve semplici e chiuse e che corrispondono a soluzioni periodiche. Orbite periodiche isolate prendono il nome
di cicli limite ( ), che si dice:
- stabile  se per ogni
, esiste un tale che le orbite che partono a distanza minore di da rimangono a distanza da minore di , per ogni
;
- asintoticamente stabile  se è stabile e se le orbite che partono a distanza minore di si avvolgono a spirale su , per
;
- instabile  se non è stabile (ossia se esistono orbite che, pur partendo vicino quanto si vuole a , se ne allontanano).