autovalori, autovettori e diagonalizzazione

M.GUIDA, S.ROLANDO, 2014
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AUTOVALORI E DIAGONALIZZAZIONE / RICHIAMI
Con il simbolo K indicheremo il campo reale o il campo complesso (cioè sarà K = R o K = C) ed
indentificheremo sempre Kn con Kn,1 (cioè scriveremo indierentemente X 5 Kn o X 5 Kn,1 ).
0.1. DIAGONALIZZAZIONE DI MATRICI (REALI O COMPLESSE).
Sia A 5 Kn,n una matrice quadrata. Si noti che se A 5 Rn,n allora A 5 Cn,n , quindi, per tutti i
discorsi che seguono, va fatta a priori una scelta del campo K in cui si vogliono interpretare gli
elementi di A.
Definizione: 5 K si dice autovalore di A se <X 5 Kn , X 9= 0 tale che AX = X,
cioè se il sistema (A In ) X = 0 ha soluzioni X 5 Kn non banali,
cioè se (A In ) < n,
cioè se det (A In ) = 0.
In altri termini, gli autovalori di A sono tutte e sole le radici in K del polinomio
P () = det (A In ) ,
detto polinomio caratteristico di A. Poiché P () ha grado n, le sue radici complesse sono
esattamente n, se contate ciascuna secondo la propria molteplicità algebrica1 (teorema fondamentale dell’algebra); le sue radici reali, invece, sono al più n e possono essere eettivamente
meno di n.
Se è autovalore di A, allora il sottospazio
Vb := VA,b := Sol (A In ) = {X 5 Kn : (A In ) X = 0}
non è mai nullo ed è detto autospazio di A relativo all’autovalore ; i suoi vettori non nulli
sono detti autovettori di A relativi all’autovalore .
Valgono le seguenti proprietà:
• P () è sempre della forma
P () = (1)n n + (1)n31 tr (A) n31 + ... + det (A) ;
• se 1 , ..., n sono le n radici complesse di P (), ripetute secondo molteplicità algebrica, allora
det (A) = 1 · · · n
e
tr (A) = 1 + ... + n ;
• autovettori relativi ad autovalori distinti sono linearmente indipendenti;
• la somma di autospazi relativi ad autovalori distinti è diretta;
• dim Vb = n (A In ) (Rouché-Capelli);
• 1 dim Vb mb , dove mb è la molteplicità algebrica dell’autovalore come radice di P ().
Definizione: A si dice diagonalizzabile se esistono P 5 Kn,n invertibile e D 5 Kn,n diagonale tali che P 31 AP = D. In tal caso, si dice che P diagonalizza A.
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Ricordiamo che si dice che una radice b di un polinomio P ha molteplicità algebrica m se e solo se
P (x) = (x 3 b)m Q (x)
con Q (b) = 0
(il che si esprime anche dicendo che l’equazione P (x) = 0 ha esattamente m soluzioni uguali a b).
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A commento della definizione precedente, osserviamo che:
• per matrici A 5 Rn,n , che possono essere viste anche in Cn,n , si può scegliere K = R o K = C e
distinguere quindi tra le nozioni di diagonalizzabilità su R e diagonalizzabilità su C; in tal caso,
se A è diagonalizzabile su R allora lo è anche su C, mentre non vale il viceversa;
• P 31 AP = D con P invertibile si esprime dicendo che A e D sono simili;
• poiché si dimostra che matrici simili hanno lo stesso polinomio caratteristico (e quindi gli stessi
autovalori) e che gli autovalori di una matrice diagonale sono gli elementi della sua diagonale (il
che vale più in generale per ogni matrice triangolare), allora D non può che avere sulla propria
diagonale gli autovalori di A;
• le matrici P e D non sono uniche (anche se, per l’osservazione precedente, le matrici D possono
dierire solo per l’ordine con cui gli autovalori di A appaiono sulla diagonale).
Non tutte le matrici sono diagonalizzabili (nemmeno se K = C) e vale il seguente, importante:
Teorema (criterio di diagonalizzabilità): A è diagonalizzabile su K se e solo se valgono
entrambe le seguenti condizioni:
(i) il polinomio caratteristico di A ha n radici in K (distinte o no);
(ii) per ogni autovalore di A risulta dim Vb = mb (cioè (A In ) = n mb ).
Nel teorema precedente, si noti bene che:
• la prima condizione dipende da K ed è automaticamente verificata se K = C;
• la seconda condizione non dipende da K ed è automaticamente verificata se mb = 1.
Altre condizioni necessarie e su!cienti di diagonalizzabilità sono espresse dalla seguente:
Proposizione: Le seguenti aermazioni sono equivalenti:
• A è diagonalizzabile su K;
• esiste una base di Kn composta da autovettori di A;
• l’unione di basi degli autospazi di A è una base di Kn (composta da autovettori di A);
• Kn è somma diretta degli autospazi di A;
• la somma delle dimensioni degli autospazi di A è n.
Concludiamo ricordando la seguente, importante procedura: se A è diagonalizzabile su K, allora
una matrice P 5 Kn,n che diagonalizza A è la matrice di passaggio dalla base canonica di Kn
ad una base di Kn composta da autovettori di A e quindi si ottiene:
• determinando una base per ogni autospazio di A,
• unendone i vettori (il che fornisce sempre una base di Kn ),
• disponendoli sulle colonne di P .
In tal modo risulta
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1 · · · 0
E
F
P 31 AP = C ... . . . ... D
0 · · · n
dove 1 , ..., n sono gli autovalori di A, ripetuti secondo la propria molteplicità algebrica ed
ordinati coerentemente con la disposizione degli autovettori sulle colonne di P (cioè in modo che
ciascun autovalore sia relativo all’autovettore disposto sulla corrispondente colonna di P ).
0.2. AUTOVALORI E AUTOVETTORI DI UN ENDOMORFISMO.
Sia V uno spazio vettoriale reale e sia f : V $ V un endomorfismo.
Definizione: 5 R è detto autovalore di f se <x 5 V, x 9= 0 tale che f (x) = x.
In tal caso, il sottospazio Vb := Vf,b := {x 5 V : f (x) = x} è detto autospazio di f
relativo all’autovalore ed i suoi vettori non nulli sono detti autovettori di f relativi
all’autovalore .
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In altri termini, 5 R è autovalore di f se e solo se Vb 9= {0}.
Ovviamente V0 = ker f , quindi 0 è autovalore di f se solo se f non è iniettiva. Più in generale,
si ha Vb = ker(f id) e quindi è autovalore di f se e solo se f id non è iniettiva.
Risulta sempre che:
• autovettori relativi ad autovalori distinti sono linearmente indipendenti;
• la somma di autospazi relativi ad autovalori distinti è diretta.
0.3. ENDOMORFISMI IN DIMENSIONE FINITA.
Sia V uno spazio vettoriale reale di dimensione n e sia f : V $ V un endomorfismo.
Fissiamo una base qualsiasi B di V e sia M = B [f ]B 5 Rn,n la matrice di f rispetto a B (si
badi bene: la stessa base va presa sia in partenza che in arrivo). Risulta che:
• gli autovalori di f sono tutti e soli gli autovalori reali di M ;
• Vf,b = {x 5 V : (M In ) [x]B = 0}, cioè l’autospazio Vf,b si identifica, tramite componenti rispetto a B, con l’autospazio VM,b della matrice M relativo all’autovalore .
Definizione: f si dice semplice (o diagonalizzabile) se esiste una base di V composta da
autovettori di f , ovvero, equivalentemente, rispetto a cui la matrice di f è diagonale.
A commento della definizione precedente, osserviamo esplicitamente l’equivalenza tra le due
asserzioni della definizione stessa:
• se A = (u1 , ..., un ) è una base di V composta da autovettori di f , allora si ha
(1)
f (u1 ) = 1 u1 (= 1 u1 + 0u2 + ... + 0un ) ,
f (u2 ) = 2 u2 ,
..
.
f (un ) = n un ,
e quindi risulta
(2)
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1 · · ·
E .. . .
.
A [f ]A = C .
0 ···
cioè [f (u1 )]A = (1 , 0, ..., 0) ,
cioè [f (u2 )]A = (0, 2 , ..., 0) ,
..
.
cioè [f (un )]A = (0, ..., 0, n ) ,
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0
.. F ,
. D
n
ossia A [f ]A è diagonale;
• se rispetto ad una base A = (u1 , ..., un ) di V la matrice A [f ]A è diagonale, cioè del tipo
(2), allora le colonne di A [f ]A sono le componenti rispetto ad A di f (u1 ) , ..., f (un ) e
quindi valgono le uguaglianze (1), ossia u1 , ..., un sono autovettori di f .
Si noti bene che, in ogni caso, gli elementi della diagonale di A [f ]A sono gli autovalori di
f (eventualmente ripetuti, se più elementi della base A sono autovettori relativi allo stesso
autovalore).
Non tutti gli endomorfismi sono semplici e vale il seguente, importante:
Teorema: f è semplice se e solo se la sua matrice rispetto ad una base qualunque di V è
diagonalizzabile su R.
Altre condizioni necessarie e su!cienti di semplicità sono espresse dalla seguente:
Proposizione: Le seguenti aermazioni sono equivalenti:
• f è semplice;
• l’unione di basi degli autospazi di f è una base di V (composta da autovettori di f );
• V è somma diretta degli autospazi di f ;
• la somma delle dimensioni degli autospazi di f è n.