Equazioni Differenziali Ordinarie

Equazioni Differenziali Ordinarie
Modello di Malthus per la crescita delle popolazioni
Ṅ t 
=−
N t 
 coeff di natalità
Primo esempio di equazione differenziale
 coeff di mortalità
ẏ
= oppure, in forma discreta, come N tm=1−m N t 
Si indica più semplicemente come
y
con
Equazione logistica
Simile al modello di maltus, ma tende a far stabilizzare il risultato al valore k
Ṅ t 
N t 
=− 1−
N t 
k
k


Modello Preda-Predatore
{
ṗt 
=a−b P t 
a : coeff di accrescimento delle prede
pt 
b : coeff di cattura
con
Ṗ t 
Se i predatori sono da soli, si estinguono ⇒ comincia negativa −c
=−cd pt 
P t 
Equazioni a variabili separabili
dy
= f  x g  y 
dx
Se g  x≠0 posso dividere e separare le variabili:
dy
dy
= f  x dx
⇒
=∫ f  x dx
∫
g  y
g  y
Equazioni omogenee
Si presentano nella forma
y'= f

y
x
Si possono ricondurre a equazioni a variabili separabili tramite la sostituzione
z=
y
da cui si ricava y e quindi y' da
x
usare nell'equazione.
Equazioni lineari del primo ordine
Si presentano nella forma y '  x=a  x y  xb x
Bisogna cercare un fattore integrante μ(x)
 x y '  x= x a  x y  x xb x
che moltiplicato per tutti i membri dell'equazione permetta di risolverla come se fosse a variabili separabili.
Questo fattore dev'essere nella forma '  x=− x a  x
Sostituendo μ(x) nell'equazione, questa potrà essere risolta come se fosse a variabili separabili.
Equazioni di Bernoulli
a , b funzioni continue
y '  x=a  x y  xb x y  x con ∈ℝ
Per trovare le soluzioni, raccolgo y  x e sostituisco z= y  x1− ottenendo z '  x=1−a  x z  xb  x
Sono equazioni differenziali del tipo
Lipschitzianità
f t , yè una funzione localmente lipschitziana in y (uniformemente rispetto alla variabile t) in A se
∀ t , y∈ A
∃ un intorno in cui vale
∣ f t , y 1 − f t , y 2 ∣≤ L∣y 1− y 2∣ ∀ y 1, y 2 appartenente all'intorno con L=costante di Lipschitz
Si può quindi affermare anche che una funzione è lipschitziana se
incrementale è limitato.
∣ f  x 1 − f  x 2 ∣
≤ L cioè se il suo rapporto
∣x 1− x 2∣
f t , y è globalmente lipschitziana in A
se la maggiorazione vale in tutti i punti di A con la stessa costante
Esistenza e unicità locale
Per poter affermare che vale il teorema di esistenza e unicità locale, è sufficiente verificare che la funzione sia
continua e che sia continua la sua derivata.
Prolungabilità
Teorema
S =a , b×ℝ
t ∈a , b
y ∈ℝ

S =[ a , b]×ℝ
S
a
Ip: f è lip. loc. rispetto a y uniformemente in S
b
Se∣ f t , y∣≤ AB  y (sub-lineare)
∀ t , y ∈ S la soluzione può essere prolungata fino al bordo della striscia
Condizioni sufficienti
Anche una sola condizione verificata implica la prolungabilità
•
∣ f ∣≤M ∈ S
f limitata in una striscia S :
•
f y è limitata in una striscia S :∣ f y∣≤M ∈ S
•
f globalmente lipschitziana in S
Orbite
Classificazione delle orbite di un sistema 2x2 lineare a coefficienti costanti.
La forma delle orbite dipende dagli autovalori del sistema.
Le traiettorie sono stabili (se l'autovalore è negativo) o instabili (se l'autovalore è positivo).
Autovalori reali
NODO
COLLE – SELLA
Autovalori reali distinti, concordi in segno.
Autovalori reali distinti, discordi in segno.
Percorsi nello stesso senso (entrante o uscente).
Percorsi in senso opposto.
Le traiettorie sono tangenti all'autovettore dell'autovalore
minore in modulo.
NODO
Autovalori due autovalori coincidenti non regolari.
Una sola traiettoria rettilinea.
NODO A STELLA
Sistema disaccoppiato,
ẋ= f  x
cioè
quindi
ẏ=g  y
A diagonale.
È un caso particolare di
nodo: nodo a stella. Per
l'origine (o, in generale,
per il punto di equilibrio)
passano infinite
traiettorie rettilinee.
{
Autovettori complessi
=ai b
FUOCO
(a > 0 instabile, a < 0 stabile)
CENTRO
(a=0)
Sistemi di equazioni differenziali
f  x , y
{ẋ=
ẏ=g  x , y
dy f  x , y
=
dx g  x , y
Altrimenti, si considera la matrice A associata al sistema e si risolve in forma matriciale.
Un'orbita è una soluzione del sistema.
Un sistema di equazioni differenziali può essere risolto risolvendo l'equazione
Matrici
Molteplicità algebrica: numero di volte in cui un autovalore è presente in una matrice
Molteplicità geometrica: dimensione dell'autospazio associato ad un autovalore (cioè numero degli autovettori della
sua base)
Una matrice si dice regolare se tutti gli autovalori ad essa associati sono regolari, cioè hanno molt. algebrica =
molt. geometrica.
Autovalori semplici (con molteplicità algebrica = 1) sono sempre regolari.
Data una matrice A regolare (condizione necessaria) e ricavati i suoi autovalori e autovettori, è possibile definire per
accostamento degli autovettori una matrice S e, di conseguenza, anche la sua inversa S-1.
diag  A=S −1 AS =diag i  è la matrice diagonale associata ad A.
La matrice esponenziale associata ad A è definita come e At =S diag e  t  S −1
i
La matrice esponenziale si comporta per i sistemi di equazioni differenziali come l'esponenziale per una singola
equazione differenziale.
Equazioni
Sistemi
y ' =a y ⇔
y '=A y
y t 0 = y 0
y t 0 = y 0


at
y=c e
y=e A t y 0
{
{
Autovettori complessi
Se una matrice ha autovettori complessi e coniugati, questi possono essere scritti come h=v+iw e h=v−iw , con v
parte reale e w parte immaginaria.
at
at
Si ricava per accostamento dei vettori w e v la matrice S = w v  tale che
e cos bt −e sin bt −1 con
e At = S at
S
e sin bt e at cos bt
a e b parte reale e immaginaria degli autovalori.


Integrale primo
La funzione U(x,y) si dice integrale primo se si mantiene costante lungo le traiettorie del sistema, cioè se
per ogni (x(t), y(t)) soluzione del sistema vale U(x(t), y(t))=costante
Dato il sistema, come si trova U?
Integrando l'equazione differenziale ordinaria
Orbite periodiche
Se U è integrale primo e se la linea di livello
un'orbita periodica.
dy g  x , y
=
. Ottengo z(x,y)= c, che è U (perchè costante)
dx f  x , y
 : U  x , y=c è chiusa e non contiene punti critici, allora γ è
Sistemi Hamiltoniani
Un sistema si dice Hamiltoniano se esiste una funzione H tale che:
∂ H  x , y
∂ H  x , y
f  x , y=
e
g  x , y=−
∂y
∂x
In tal caso H si chiama Hamiltoniana ed è un integrale primo del sistema.
Per capire se un sistema è hamiltoniano, bisogna verificare che le derivate seconde incrociate siano uguali a meno del
segno (per il teorema di Schwartz): f x =−g y
Tutti i sistemi di tipo
ẋ= f  y
sono hamiltoniani.
ẏ=g  x
{
y
x
0
0
In tal caso H =∫ f  s ds−∫ g  s ds
Sistemi ad un grado di libertà
Sono un caso particolare di sistemi hamiltoniani.
ẋ= y
ẍ= f  x
⇒
ẏ= f  x
y
x
0
0
{
H =∫ y−∫
1
T = y2
2
x
y2
f  s ds= −∫ f  s ds=E cin E pot =T U
2 0
U =−∫ f  x dx
Linearizzazione
Per linearizzare un sistema 2x2 bisogna calcolare la matrice Jacobiana.
∂ ẋ ∂ ẋ
∂x ∂y
a b
J=
e valutarla nel punto di equilibrio nel cui intorno si linearizza. J  x y =
∂ ẏ ∂ ẏ
c d
∂x ∂y
Il sistema è linearizzabile solo se lo Jacobiano (il determinante della matrice J) è diverso da 0.
ẋ=axby
In tal caso, il sistema linearizzato è
ẏ=cxdy
I punti critici che nel sistema linearizzato sono fuoco, nodo semplice, sella, restano invariati nel sistema originario.
I punti critici centro diventano centro/fuoco.
I punti nodo a stella, nodo a una tangente diventano non centro.
Per capire cosa diventa un centro, passo in coordinate polari e guardo ρ (il raggio). Se ρ>0 fuoco instabile. Se ρ<0
fuoco stabile. Se ρ=0 centro
[ ]
0,
{
{
=  x 2 y 2
y
=arctg
x
{
x= cos 
y= sin 
{
 ̇=x ẋ y ẏ
2 ̇=x ẏ− y ẋ
0
[ ]
Cicli limite
Un ciclo limite è una traiettoria periodica isolata.
Una traiettoria è isolata se esiste un intorno (tubolare) che non contiene altre traiettorie periodiche.
Per verificare se esiste un ciclo limite in un sistema, passo in coordinate polari se esiste un
 t. c. ̇=0, allora quel  è il raggio di un ciclo limite
Teorema di Bendixon-Poincaré
Dato A⊆ℝ 2 insieme chiuso e limitato che non contiene punti critici
se tutte le traiettorie (x(t), y(t)) sono entranti in A,
A contiene almeno un ciclo limite
Funzione di Liapunov
{
ẋ= f  x , y , z 
Per discutere la stabilità di un sistema ẏ=g  x , y , z  in un punto tramite Liapunov:
ż=h x , y , z 
2
2
2
• Considero la generica funzione di Liapunov V  x , y , z=ax by cz di cui determinerò i coefficienti.
∂V
∂V
∂V
ẋ
ẏ
ż , dove i termini derivati vengono dal sistema dato. Le derivate parziali
• calcolo V̇  x , y , z=
∂x
∂y
∂z
contengono ancora i coefficienti ignoti a, b, c.
• Calcolo i coefficienti per fare in modo che V̇ dipenda solo da x, y, z e non da moltiplicazioni delle stesse. (Ad
esempio, V̇ =−2 ax 4 −6 by 2 va bene, V̇ =−2 ax 4−6 by 27 axy no, perchè c'è il termine con xy).
Se V̇ ≤0 il sistema è stabile.
Se V  x , y , z =ax 2by 2cz 2 non funziona si può provare V  x , y , z =ax 2 mby 2 n cz 2 p , che ha forma simile.