Autovalori, autovettori, autospazi Definizione Siano V (K) uno spazio

Omomorfismi
Autovalori, autovettori, autospazi
Definizione
Siano V (K) uno spazio vettoriale, ~v ∈ V ∗ e T un endomorfismo di V .
Diciamo che ~v è un autovettore di T se
∃λ ∈ K : T (~v ) = λ~v .
Chiamiamo λ autovalore relativo a ~v .
Chiamiamo inoltre
Vλ := {~v ∈ V ∗ : T (~v ) = λ~v } ∪ {~0}
autospazio relativo a λ.
Esempio. Determinare autovettori, autovalori e autospazi di


2 0 0
0 1 0 .
0 3 1
Omomorfismi
Autovalori, autovettori, autospazi
Definizione
Siano V (K) uno spazio vettoriale, ~v ∈ V ∗ e T un endomorfismo di V .
Diciamo che ~v è un autovettore di T se
∃λ ∈ K : T (~v ) = λ~v .
Chiamiamo λ autovalore relativo a ~v .
Chiamiamo inoltre
Vλ := {~v ∈ V ∗ : T (~v ) = λ~v } ∪ {~0}
autospazio relativo a λ.
Esempio. Determinare autovettori, autovalori e autospazi di


2 0 0
0 1 0 .
0 3 1
Omomorfismi
Diagonalizzabilità
Omomorfismi
Esercizio 1.
Determinare gli autovalori e le relative molteplicità e gli autospazi della
matrice A:


1 0 0
A =  1 1 −1 .
−1 0 2
Dire inoltre se A è diagonalizzabile e in caso affermativo determinare le
matrici M e D tali che D = M −1 AM.
Omomorfismi
Esercizio 2.
Stabilire i valori di k ∈ R per cui Ak

k
0
Ak = 
0
0
è diagonalizzabile:

0 0 0
k 0 0
.
2 2 4
1 1 2
Posto k = 1, determinare gli autospazi e le matrici M e D tali che
D = M −1 A1 M.
Omomorfismi
Esercizio 3.
Tema esame del 5 aprile 2011
Omomorfismi
Esercizio 4.
Tema esame del 12 luglio 2004