Omomorfismi tra spazi vettoriali Definizione Siano V (K) e V (K) due

Omomorfismi
Omomorfismi tra spazi vettoriali
Definizione
Siano V (K) e V 0 (K) due spazi vettoriali e sia T : V −→ V 0 una
funzione. T è un omomorfismo di V (K) in V 0 (K) se:
∀~v1 , ~v2 ∈ V si ha T (~v1 + ~v2 ) = T (~v1 ) + T (~v2 );
∀~v ∈ V , ∀α ∈ K si ha T (α~v ) = αT (~v ).
Esempio. Verificare che l’applicazione f : R3 −→ R2 tale che
f (x, y , z) = (y , z)
è un omomorfismo.
Omomorfismi
Omomorfismi tra spazi vettoriali
Definizione
Siano V (K) e V 0 (K) due spazi vettoriali e sia T : V −→ V 0 una
funzione. T è un omomorfismo di V (K) in V 0 (K) se:
∀~v1 , ~v2 ∈ V si ha T (~v1 + ~v2 ) = T (~v1 ) + T (~v2 );
∀~v ∈ V , ∀α ∈ K si ha T (α~v ) = αT (~v ).
Esempio. Verificare che l’applicazione f : R3 −→ R2 tale che
f (x, y , z) = (y , z)
è un omomorfismo.
Omomorfismi
Esercizio 1.
Stabilire se le seguenti funzioni sono omomorfismi.
a) f : R3 −→ R3 tale che f (x, y , z) = (2 − x, 0, z);
b) f : R2 −→ R tale che f (x, y ) = xy ;
c) f : Mat2,3 (R) −→ Mat3,2 (R) tale che f (A) = AT ;
Compito.
d) f : 
Mat3 (R) −→
 Mat3 (R) tale che f (X ) = X + A, dove
1 0 0
A = 0 2 1.
0 1 1
e) f : C −→ R tale che f (a + ib) = a.
Omomorfismi
Esercizio 1.
Stabilire se le seguenti funzioni sono omomorfismi.
a) f : R3 −→ R3 tale che f (x, y , z) = (2 − x, 0, z);
b) f : R2 −→ R tale che f (x, y ) = xy ;
c) f : Mat2,3 (R) −→ Mat3,2 (R) tale che f (A) = AT ;
Compito.
d) f : 
Mat3 (R) −→
 Mat3 (R) tale che f (X ) = X + A, dove
1 0 0
A = 0 2 1.
0 1 1
e) f : C −→ R tale che f (a + ib) = a.
Omomorfismi
Esercizio 1.
Stabilire se le seguenti funzioni sono omomorfismi.
a) f : R3 −→ R3 tale che f (x, y , z) = (2 − x, 0, z);
b) f : R2 −→ R tale che f (x, y ) = xy ;
c) f : Mat2,3 (R) −→ Mat3,2 (R) tale che f (A) = AT ;
Compito.
d) f : 
Mat3 (R) −→
 Mat3 (R) tale che f (X ) = X + A, dove
1 0 0
A = 0 2 1.
0 1 1
e) f : C −→ R tale che f (a + ib) = a.
Omomorfismi
Esercizio 2.
(Monomorfismi, epimorfismi, isomorfismi)
Considerare la funzione definita da
R2
−→
f :
(a, b) 7−→
R[x]
a + bx
e stabilire se f è omomorfismo, monomorfismo, epimorfismo, isomorfismo.
Omomorfismi
Esercizio 3.
(Nucleo e immagine)
Considerare l’applicazione

 Mat
2 (R)
−→
a b
f :
7−→

c d
Mat
2 (R)
a a
.
b b
a) Verificare che f è omomorfismo e determinarne nucleo e immagine;
b) Determinare, se esistono, una base di Ker f e una di Im f la cui
unione sia base di Mat2 (R).
Omomorfismi
Esercizio 3.
(Nucleo e immagine)
Considerare l’applicazione

 Mat
2 (R)
−→
a b
f :
7−→

c d
Mat
2 (R)
a a
.
b b
a) Verificare che f è omomorfismo e determinarne nucleo e immagine;
b) Determinare, se esistono, una base di Ker f e una di Im f la cui
unione sia base di Mat2 (R).
Omomorfismi
Esercizio 4.
(Nucleo e immagine)
Costruire in R3 per ciascuna delle seguenti condizioni, se possibile, un
endomorfismo f che la soddisfi:
a) Ker f = {(x, y , z) ∈ R3 : x − y 2 = 0};
b) Ker f = A = {(x, y , z) ∈ R3 : 2x − y + z = 0};
c) Im f = A;
d) Im f = A = Ker f ;
e) Ker f = A e Im f = {(x, y , z) ∈ R3 : x = 0, y = z}.
Omomorfismi
Esercizio 4.
(Nucleo e immagine)
Costruire in R3 per ciascuna delle seguenti condizioni, se possibile, un
endomorfismo f che la soddisfi:
a) Ker f = {(x, y , z) ∈ R3 : x − y 2 = 0};
b) Ker f = A = {(x, y , z) ∈ R3 : 2x − y + z = 0};
c) Im f = A;
d) Im f = A = Ker f ;
e) Ker f = A e Im f = {(x, y , z) ∈ R3 : x = 0, y = z}.
Omomorfismi
Esercizio 4.
(Nucleo e immagine)
Costruire in R3 per ciascuna delle seguenti condizioni, se possibile, un
endomorfismo f che la soddisfi:
a) Ker f = {(x, y , z) ∈ R3 : x − y 2 = 0};
b) Ker f = A = {(x, y , z) ∈ R3 : 2x − y + z = 0};
c) Im f = A;
d) Im f = A = Ker f ;
e) Ker f = A e Im f = {(x, y , z) ∈ R3 : x = 0, y = z}.
Omomorfismi
Esercizio 4.
(Nucleo e immagine)
Costruire in R3 per ciascuna delle seguenti condizioni, se possibile, un
endomorfismo f che la soddisfi:
a) Ker f = {(x, y , z) ∈ R3 : x − y 2 = 0};
b) Ker f = A = {(x, y , z) ∈ R3 : 2x − y + z = 0};
c) Im f = A;
d) Im f = A = Ker f ;
e) Ker f = A e Im f = {(x, y , z) ∈ R3 : x = 0, y = z}.
Omomorfismi
Esercizio 4.
(Nucleo e immagine)
Costruire in R3 per ciascuna delle seguenti condizioni, se possibile, un
endomorfismo f che la soddisfi:
a) Ker f = {(x, y , z) ∈ R3 : x − y 2 = 0};
b) Ker f = A = {(x, y , z) ∈ R3 : 2x − y + z = 0};
c) Im f = A;
d) Im f = A = Ker f ;
e) Ker f = A e Im f = {(x, y , z) ∈ R3 : x = 0, y = z}.
Omomorfismi
Esercizio 5.
Rappresentare in forma scalare l’omomorfismo
R2
−→
R3
f :
(x, y ) 7−→ (0, x − y , x + 2y )
rispetto alle basi canoniche dei due spazi vettoriali e rispetto a
B = ((1, 2), (1, 0)) e B 0 = ((1, 0, 1), (0, 1, 0), (0, 0, 2)).
Omomorfismi
Esercizio 6.
Tema esame del 27 marzo 2002
Omomorfismi
Esercizio 7.
Tema esame del 9 gennaio 2002