le frazioni egiziane

Erman Di Rienzo
Le frazioni egiziane
M-2
LE FRAZIONI EGIZIANE
[edr – ottobre 2000]
Gli antichi Egiziani conoscevano solo i numeri naturali che venivano rappresentati
con un sistema su base decimale basato sulla ripetizione di simboli per l’uno (un’
asta verticale: ), per il dieci (un archetto capovolto: ), per il cento (un ricciolo a
destra o a sinistra: ), per il mille (un fiore di loto stilizzato: ), per il diecimila
(un dito piegato: ), per il centomila (un barbio (quasi un girino):
) e per il
milione (una figura inginocchiata, forse un dio o un faraone:
). In questo modo
i numeri potevano scriversi in qualsiasi ordine in orizzontale ed in verticale, anche
se era preferito l’ordine da destra verso sinistra. Non era conosciuto lo zero come
operatore.
Erano conosciuti gli algoritmi dell’addizione e della sottrazione, probabilmente
simili ai classici algoritmi euclidei ancora oggi in uso.
Per la moltiplicazione usavano il seguente algoritmo: si costruisca una tabella di
due colonne; nella prima riga mettere 1 ed il secondo fattore e le righe successive
ottenerle raddoppiando gli elementi della riga precedente finché nella prima
colonna si ha un numero minore del primo fattore. Ora scegliere solo le righe i cui
elementi della prima colonna, sommati tra loro, danno il primo fattore. Sommando
i corrispondenti elementi della seconda colonna si ottiene il prodotto desiderato.
Non è difficile riconoscere in questo metodo la conversione in binario del primo
fattore.
Ad es. si moltiplichi 41 per 59; si avrà:
1*
2
4
8*
16
www.matematicamente.it
59 +
118
236
472 +
944
1
Erman Di Rienzo
Le frazioni egiziane
32 *
1888 +
2419
Dove 2419 è ottenuto sommando i termini in seconda colonna delle righe 1a, 4a e
6a, i cui corrispondenti in prima colonna sommati danno 41.
La divisione tra due numeri naturali era ottenuta in maniera similare; desiderando
dividere D (dividendo) per d (divisore) si costruisce una tabella con due colonne;
nella prima riga mettere 1 e d e le righe successive ottenerle raddoppiando gli
elementi della riga precedente finché nella seconda colonna si ha un numero
minore del dividendo D. Quindi scegliere solo le righe i cui elementi della
seconda colonna, sommati tra loro, danno il dividendo o la migliore
approssimazione per difetto (S) dello stesso. Sommando i corrispondenti elementi
della prima colonna si ottiene il quoziente o la sua parte intera.
Ad es. si divida 554 per 22:
1+
2
4
8+
16 +
25
22 *
44
88
176 *
352 *
Il quoziente (ovvero la sua parte intera) é ottenuto sommando gli elementi in
prima colonna delle righe 1a, 4a e 5a, i cui corrispondenti in seconda colonna
danno la migliore approssimazione per difetto di 554 (352+176+22=550).
Rimane il problema del resto R = D – S. In certi problemi poteva infatti essere
richiesto un risultato esatto o comunque molto preciso. Prima di descrivere come
si procedeva per ottenere una migliore precisione, occorre illustrare la
rappresentazione delle parti frazionarie.
Per la rappresentazione delle parti frazionarie gli egiziani svilupparono un sistema
apparentemente bizzarro; il reciproco (1/n) di ogni numero naturale (n) veniva
rappresentato con la normale rappresentazione del numero con sovrapposto un
ovale ( n ). Per la rappresentazione poi di un generico p/q si ricavava comunque
la parte intera (se p > q) che veniva rappresentata tradizionalmente; rimaneva il
problema di rappresentare la parte decimale cioè il numero n/m, con n < m.
Se n = 1, non v’era problema, era sufficiente rappresentare m con sovrapposto l’
ovale; altrimenti si doveva ricorrere alla scomposizione di n/m in addendi che
fossero del tipo 1/k, ovvero nelle cosiddette frazioni unitarie o, appunto, egiziane:
n/m = 1/k1 + 1/k2 + 1/k3 + … + 1/kh
www.matematicamente.it
2
Erman Di Rienzo
Le frazioni egiziane
Osserviamo subito che per ogni n/m esistono infinite combinazioni di frazioni
unitarie in cui può essere scomposto, delle quali la più semplice è quella della
somma di n reciproci 1/m. Basti pensare all’identità: 1/k = 1/(k+1) + 1/ k(k+1).
Ma gli egiziani ne scartarono subito un buon numero dandosi la regola per cui
nella scomposizione ogni reciproco non potesse comparire più di una volta; in
caso di necessità la coppia 1/k + 1/k = 2/k veniva sostituita da una combinazione
di reciproci differenti tra loro; per far questo era disponibile una tabella che per
ogni k offriva una combinazione di interi k1, k2, …,kh tali che 2/k fosse uguale
alla somma dei reciproci della combinazione. Naturalmente era sufficiente la
tabella dei soli numeri dispari giacché per un pari i = 2 j vale: 2/i = 2/2j = 1/j .
Infatti il Papiro di Rhind (o papiro di Ahmes) tabella solo i numeri dispari da 3 a
101.
Rimaneva comunque un numero enorme di combinazioni con le quali è possibile
rappresentare una quantità decimale, oltre al problema di determinarne almeno
una.
Descriviamo allora un metodo per scomporre un qualsiasi numero decimale del
tipo n/m (con n < m) in frazioni unitarie. Questo metodo, detto anche del resto, fu
illustrato da Fibonacci nel 1200 circa nel Suo libro “Liber abaci” e consiste nel
trovare la frazione unitaria (cioè il reciproco) che meglio approssima per difetto
n/m, cioè il minor k tra i numeri kj tali che 1/kj < n/m. Se la differenza tra le
due frazioni non è una frazione unitaria si applica a questa la stessa la stessa
regola finché non si ottiene come differenza una frazione unitaria. Che ciò sia
sempre possibile lo si può dimostrare, giacché, scelto in tal modo k, la differenza:
n/m – 1/k = (k n – m) / (m k)
sarà tale che (kn-m) < n. Infatti se fosse (kn-m) > n, cioè m < (kn-n), cioè
1/m > 1/(kn-n), sarebbe n/m > 1/(k-1); quest’ultima relazione è contraddittoria
con le scelte fatte giacché, essendo n/m < 1, sarebbe anche 1/(k-1) < 1, quindi
(k-1) > 1, cioè k > 2, ed infine 1/(k-1) > 1/k; avremmo quindi un numero
(k-1), minore di k, che soddisfa la relazione: 1/(k-1) < n/m laddove k è stato
scelto come il minore dei numeri kj tali che 1/kj < n/m.
Ne deriva che sarà sempre (kn-m) < n, si otterrà cioè come resto una frazione che
se non unitaria avrà il numeratore minore di quello della frazione precedente.
Si può inoltre dimostrare che con questo metodo si ottiene una scomposizione che
soddisfa la regola che si davano gli egiziani di addendi tutti diversi; infatti ad ogni
passaggio si ottiene un addendo 1/k minore (k maggiore) del precedente.
Non è detto poi che questo metodo offra il risultato più conciso, cioè con il minor
numero di addendi.
Consideriamo allora un altro metodo detto della riduzione dei conflitti: si parte
dalla osservazione che ogni n/m può sempre essere vista come somma di n
addendi uguali a 1/m . Ogni coppia 1/m + 1/m , se m è pari (m = 2i) viene
sostituita da 1/i (1/m + 1/m = 2/m = 2/2i = 1/i), e se m è dispari (m = 2i + 1)
www.matematicamente.it
3
Erman Di Rienzo
Le frazioni egiziane
viene sostituita dalla coppia di reciproci 2/(m+1) e 2/m(m+1), la cui somma
essendo identicamente uguale a 2/m . In questo modo, al peggio, si dimezzano i
“conflitti” cioè i casi di addendi uguali. Si prosegue iterativamente fino ad
ottenere addendi tutti diversi.
Tra le molteplici possibilità di decomposizione di una frazione in somma di
frazioni unitarie si possono scegliere le più adatte alle successive elaborazioni: ad
es. si potrebbe scegliere la più breve cioè quella con il minor numero di addendi,
ovvero la più snella, cioè quella con addendi con i denominatori più piccoli, o una
combinazione di queste.
Le motivazioni che portarono gli egiziani a questi algoritmi ci sono sconosciute;
si possono fare alcune congetture: anzitutto una frazione unitaria 1/m appare
immediatamente comprensibile, più che una frazione tradizionale n/m, rappresentando una parte di un intero che sia stato diviso in m parti uguali. Molti
quindi si sono sforzati per individuare utilità pratiche di questo tipo di
rappresentazione ma è probabile che queste siano frutti casuali non espressamente
cercati; una specie di “far di necessità virtù”. Più probabilmente questa
rappresentazione è una pesante eredità di scelte iniziali affrettate. In un ambiente
arcaico, con approcci estremamente pratici e senza fini speculativi fu messo a
punto questo sistema di rappresentazione; si formò quindi uno standard cui
necessitava adeguarsi culturalmente e che condizionò tutti i successivi sviluppi.
Talvolta quando ci si accorge di un pesante condizionamento di scelte iniziali
sbagliate, può essere utile ricominciare daccapo, con grave rischio di perdita di
tutto il lavoro svolto in precedenza, ma spesso con l’opportunità di giungere a
risultati più elevati.
Ritorniamo all’algoritmo della divisione. Il metodo canonico per calcoli precisi
indicava di continuare la tabella con riferimento alla prima riga ma dimezzando
gli elementi finché non si ottenesse in seconda colonna 1 o comunque la
precisione desiderata, e comunque probabilmente non si andava oltre il sesto
dimezzamento: come altrimenti si può interpretare il mito dell’occhio di Horus?
(#). E’ evidente che questo metodo era pratico quando il divisore era una potenza
di 2 o almeno possedeva 2 come fattore un certo numero di volte; ipotesi
improbabile! Altrimenti si era costretti a procedere per frazioni. Ritorniamo
all’esempio precedente: si deve dividere 544 per 22:
1+
2
4
8+
16 +
1/2
www.matematicamente.it
22
44
88
176
352
11
4
*
*
*
Erman Di Rienzo
Le frazioni egiziane
1/4
1/8 +
1/16
1/32 +
5 1/2
2 1/2 1/4
*
1 1/4 1/8
1/2 1/8 1/16 *
25 1/8 1/32
Il quoziente ottenuto 25 1/8 1/32 (pari a 25,15625) è un’ottima approssimazione
del quoziente esatto 25,1818… .
Altro esempio: dividere 1234 per 56:
1
2+
4+
8
16 +
1/2
1/4
1/8
1/16
1/32 +
1/64
56
112
224
448
896
28
14
7
3 1/2
1 1/2 1/4
1/2 1/4 1/8
*
*
*
*
22 1/32
Il quoziente ottenuto 22 1/32 (pari a 22,03125) è un’ottima approssimazione del
quoziente esatto 25,035714… .
Era noto anche un algoritmo per moltiplicare numeri con parte frazionaria;
l’algoritmo era identico a quello della moltiplicazione ordinaria: per ottenere il
raddoppio delle parti frazionarie si ricorreva alle tabelle eliminando all’
occorrenza con l’uso delle stesse tabelle i “conflitti”.
Es.: si desideri moltiplicare 25 1/3 1/5 (25.53) per 43 :
1
2
4
8
16
32
*
*
*
*
43
www.matematicamente.it
25 1/3 1/5
50 1/2 1/6 1/3 1/15 = 51 1/15
102 1/10 1/30
204 1/5 1/15
408 1/3 1/15 1/10 1/30
816 1/2 1/6 1/3 1/15 1/5 1/15
+
+
+
+
1096 1/3 1/5 1/15 1/5 1/15 1/2 1/6 1/10 1/30 1/5 1/15 =
1097 1/5 1/5 1/5 1/15 1/15 1/15 1/10 1/30 =
1097 1/5 1/3 1/15 1/15 1/10 1/30 1/10 1/30 =
1097 1/5 1/3 1/10 1/30 1/5 1/15 =
5
Erman Di Rienzo
Le frazioni egiziane
1097 1/3 1/15 1/3 1/10 1/30 1/15 =
1097 1/2 1/6 1/10 1/30 1/10 1/30 =
1097 1/2 1/6 1/5 1/15
Il risultato è 1097 1/2 1/6 1/5 1/15 = 1097.93 . I “conflitti” sono stati eliminati
utilizzando la tabella del papiro di Ahmes (##).
Appendici:
(#)
Il mito dell’occhio di Horus: secondo un’antica leggenda Horus, figlio di Iside e
di Osiride, volle vendicare la morte del padre, ucciso dal fratello Seth. Nella lotta
Horus perse un occhio le cui parti vennero ritrovate e ricomposte dal dio Toth a
meno di una piccola parte.
L’occhio di Horus fu considerato un potente amuleto; al simbolo vennero
attribuiti poteri magici con significati diversi nei vari campi del sapere.
In matematica il simbolo fu scomposto in sei parti e ad esse si fecero
corrispondere le sei frazioni unitarie più frequenti, quelle corrispondenti agli
inversi delle prime sei potenze di 2:
= 1/2
= 1/4
= 1/8
= 1/16
= 1/32
= 1/64
La somma delle parti differisce dall’unità di 1/64.
Ad ogni parte dell’occhio si fece corrispondere un senso; nell’ordine: il tatto
(1/64), il gusto (1/32), l’udito (1/16), il pensiero (1/8), la vista (1/4) e l’olfatto
(1/2). La costruzione del simbolo segue una precisa regola. I sensi erano ordinati
quindi secondo l’importanza loro attribuita, a seconda cioè dell’energia
“utilizzata” per ricevere una particolare sensazione. Tutti i dati ricevuti erano
l’alimento della conoscenza.
www.matematicamente.it
6
Erman Di Rienzo
Le frazioni egiziane
(##)
Il papiro Ahmes: Il papiro Ahmes, o papiro Rhind, è uno dei più importanti
reperti archeologici della civiltà egiziana. Fu acquistato in Egitto nel 1858
dall’antiquario scozzese Henry Rhind che si era recato in Egitto per motivi di
salute. Dopo la morte dell’antiquario il papiro fu consegnato al British Museum
dove tuttora è conservato.
L’analisi del reperto colloca la sua scrittura intorno al 1700 a.C. ed è stato scritto
dallo scriba Ahmes, o A’hmose, di cui non si conosce altro che quanto riferisce di
sè nel testo. E’ probabile che fosse più di uno scriba, sebbene affermi di aver solo
trascritto un testo precedente di circa cinquant’anni. Il testo probabilmente era
destinato all’educazione dei ragazzi ed è una vera guida alla matematica dell’
antico Egitto.
Nel testo sono trattati 87 problemi sulle quattro operazioni, sulle aree, sui volumi,
ed altro, ma sopra tutti è trattato il problema delle parti decimali, le cosiddette
frazioni egiziane, per la cui soluzione è riportata una tabella che fornisce per ogni
intero dispari n compreso tra 3 e 101 la scomposizione in frazioni unitarie della
frazione 2/n.
Tavola di 2/n del papiro Rhind:
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
23
25
27
29
31
33
Æ
Æ
Æ
Æ
Æ
Æ
Æ
Æ
Æ
Æ
Æ
Æ
Æ
Æ
Æ
Æ
2+6
3 + 15
4 + 28
6 + 18
6 + 66
8 + 52 + 104
10 + 30
12 + 51 + 68
12 + 76 + 114
14 + 42
12 + 276
15 + 75
18 + 54
24 + 58 + 174 + 232
20 + 124 + 155
22 + 66
www.matematicamente.it
35
37
39
41
43
45
47
49
51
53
55
57
59
61
63
65
67
Æ
Æ
Æ
Æ
Æ
Æ
Æ
Æ
Æ
Æ
Æ
Æ
Æ
Æ
Æ
Æ
Æ
30 + 42
24 + 111 + 296
26 + 78
24 + 246 + 328
42 + 86 + 129 + 301
30 + 90
30 + 141 + 470
28 + 196
34 + 102
30 + 318 + 795
30 + 330
38 + 114
36 + 236 + 531
40 + 244 + 610
42 + 126
39 + 195
40 + 335 + 536
7
69
71
73
75
77
79
81
83
85
87
89
91
93
95
97
99
101
Æ
Æ
Æ
Æ
Æ
Æ
Æ
Æ
Æ
Æ
Æ
Æ
Æ
Æ
Æ
Æ
Æ
46 + 138
40 + 568 + 710
60 + 219 + 292 + 365
50 + 150
44 + 308
60 + 237 + 316 + 790
54 + 162
60 + 332 + 415 + 498
51 + 255
58 + 174
60 + 356 + 534 + 890
70 + 130
62 + 186
60 + 380 + 570
56 + 679 + 776
66 + 198
101 + 202 + 303 + 606