Lezione 8 Localizzazione di anelli e moduli.

Lezione 8
Localizzazione di anelli e moduli.
Sia A un anello.
Definizione 8.1 Un sottoinsieme non vuoto S di A si dice insieme moltiplicativo se
a) per ogni s, t ∈ S , st ∈ S ;
b) 1 ∈ S .
Sull’insieme A × S definiamo la seguente relazione binaria. Poniamo
( a, s ) ~ (b, t ) se esiste x ∈ S tale che x (ta − sb) = 0.
È facile verificare che ~ è una relazione di equivalenza. Indicheremo la classe di equivalenza di
a
( a, s ) con , e l’insieme quoziente con AS (notazione alternativa: S −1 A ).
s
Osservazione 8.2 Se S è privo di divisori dello zero, la relazione di equivalenza si può definire, più
semplicemente, nella forma seguente:
( a, s ) ~ (b, t ) se ta = sb.
Questa non può, però, essere assunta come definizione nel caso generale: infatti essa non garantisce
la transitività.
Su AS si definiscono le seguenti operazioni:
-
a b ta + sb
+ =
s t
st
a b ab
.
⋅ =
s t st
È immediato verificare che queste operazioni sono ben definite e che, rispetto ad esse, AS è un
0 0
anello commutativo unitario, detto localizzato di A rispetto ad S. Il suo zero è = per ogni
1 s
s∈S .
Osservazione 8.3 L’anello AS nasce, in poche parole, rendendo invertibili gli elementi di S. Questa
interpretazione diventa, però, apparentemente problematica nel momento in cui 0 ∈ S : in realtà,
allora AS è l’anello banale, poiché, per ogni a ∈ A, s ∈ S , si ha 0 ⋅ a − s ⋅ 0 = 0 , per cui ( a, s ) ~ (0,0) ,
0 
e quindi AS =   . Poiché questo caso non è comunque interessante, molti autori aggiungono la
0 
condizione 0 ∉ S alla definizione di insieme moltiplicativo. D'ora in poi, supporremo che 0 ∉ S .
Esempi 8.4
a) Sia S l’insieme degli elementi (non nulli) di A che non sono zero divisori. Allora AS è detto
anello delle frazioni di A. Se A è integro, allora S = A \ {0} , e AS è un campo delle frazioni di
A.
{
}
b) Sia x ∈ A non nilpotente. Allora S = x n n ∈ N è un insieme moltiplicativo di A. Si scrive allora
spesso Ax anziché AS .
Consideriamo ora l’omomorfismo di anelli
α : A → AS
a
a
1
a 0
= se e solo se esiste x ∈ S tale che x(1 ⋅ a − 1 ⋅ 0) = 0 , cioè xa = 0 . Quindi
1 1
Kerα è l’insieme degli elementi di A che sono annullati da elementi di S. In particolare si ha:
Si ha che α (a ) =
Proposizione 8.5 Se S è privo di divisori dello zero, A è isomorfo ad un sottoanello di AS.
Nelle ipotesi della Proposizione 8.5, possiamo identificare a con
a
e vedere A come un sottoanello
1
di AS.
Esercizio 8.6*
a) Provare che, se S è l’insieme degli elementi invertibili di A, allora A ≅ AS .
b) Siano S e T insiemi moltiplicativi tali che S ⊂ T .
- Provare che ( AS )α (T ) ≅ AT .
- Provare che, se T è privo di divisori dello zero, allora AS è isomorfo ad un sottoanello di AT.
Per la dimostrazione del prossimo risultato sarà utile la seguente
Nota In generale, per ogni ideale I di A scriveremo
a

IAS =  a ∈ I , s ∈ S  = α ( I ) AS .
s

Questo insieme è detto anche l’estensione di I ad AS, ed è indicato anche con I e . Inoltre, per ogni
ideale J di AS, scriveremo

a

J ∩ A = a ∈ A ∈ J  = α −1 ( J ) .
1


Questo insieme è anche detto la contrazione di J da AS ad A, ed è indicato anche con J c .
Teorema 8.7 Sia S un insieme moltiplicativo di A, e sia 0 ∉ S .
a) Gli ideali di AS sono tutti e soli i sottoinsiemi IAS , ove I è un ideale di A.
b) Gli ideali primi di AS sono tutti e soli i sottoinsiemi PAS , ove P è un ideale primo di A tale che
P∩S =∅.
c) Gli ideali primari di AS sono tutti e soli i sottoinsiemi QAS , ove Q è un ideale primario di A tale
che Q ∩ S = ∅ .
Dimostrazione:
a) È chiaro che, per ogni ideale I di A, IAS è un ideale di AS. Viceversa, sia J un ideale di AS. Sia
a
con a ∈ A, s ∈ S , allora
I = J ∩ A . Allora IAS ⊂ JAS = J . Inoltre, se x ∈ J , diciamo x =
s
a sa s
a
=
= x ∈ J , da cui a ∈ I e x = ∈ IAS . Ciò prova che J ⊂ IAS , per cui J = IAS , come
1 1s 1
s
volevasi.
1 a
b) Sia P un ideale primo di A tale che P ∩ S = ∅ . Se fosse = con a ∈ P, s ∈ S , allora sarebbe
1 s
x ( s − a ) = 0 per qualche x ∈ S . Allora si avrebbe che xs = xa ∈ P , impossibile, essendo
a b
ab
∈ PAS . Allora esistono
x, s ∉ P . Ciò prova che PAS è proprio. Siano , ∈ AS tali che
s t
s t
ab c
c ∈ P, u ∈ S tali che
= , ovvero esiste x ∈ S tale che x(uab − stc) = 0 . Segue che
st u
xuab = xstc ∈ P , ove, essendo P ∩ S = ∅ , xu ∉ P . Quindi ab ∈ P , da cui, per la primalità di
a
b
P, segue che a ∈ P (e in tal caso ∈ PAS ) oppure b ∈ P (e in tal caso ∈ PAS ). Ciò prova che
s
t
PAS è primo. Viceversa, sia Q un ideale primo di AS. Sia P = Q ∩ A . Allora, come mostrato in
1 s
a), si ha che Q = PAS . Inoltre, se esistesse s ∈ P ∩ S , allora = ∈ Q , assurdo. Quindi
1 s
P ∩ S = ∅ , e, in particolare, P è proprio. Se a , b ∈ A sono tali che ab ∈ P , allora
ab a b
a
b
=
∈ Q . Dalla primalità di Q segue che ∈ Q (cioè a ∈ P ), oppure ∈ Q (cioè b ∈ P ).
1 11
1
1
Ciò prova che P è primo.
c) La dimostrazione è analoga a quella data per b).
Osservazione 8.8 Nella dimostrazione della parte a) del Teorema abbiamo visto che, per ogni
ideale J di AS, ( J ∩ A) AS = J , ovvero
J ce = J .
Naturalmente, per ogni ideale I di A, si ha IAS ∩ A ⊃ I , cioè
I ec ⊃ I
In generale non vale l’uguaglianza. Basta considerare l’esempio seguente. Sia A = Z , S = A \ {0} ,
così che, in base all’Esempio 8.4, AS = Q , e l’omomorfismo α è l’inclusione di Z in Q. Sia
I = ( 2) . Allora ( 2) ec = (2)Q ∩ Z = Z ≠ (2) .
Dalla dimostrazione della parte b) del Teorema risulta, inoltre, che, per ogni ideale primo Q di AS,
Q ∩ A è un ideale primo di A.
Esercizio 8.9 Provare che, se M è un ideale massimale di A, allora MAS , se è proprio, è un ideale
massimale di AS. Se N è un ideale massimale di AS, è vero che N ∩ A è un ideale massimale di A?
Svolgimento: Sia J un ideale di AS contenente MAS. Allora, posto I = J ∩ A , si ha che J = IAS e
M ⊂ MAS ∩ A ⊂ J ∩ A = I . Quindi I = M (e in tal caso J = MAS ) oppure I = A (e in tal caso
J = AS ). Ciò prova che MAS è massimale.
Si noti che non è possibile rimuovere l'ipotesi che MAS sia un ideale proprio: basta osservare che
(2) è un ideale massimale di Z, ma (2)Q = Q.
La risposta alla domanda è negativa. Basta considerare l’esempio presentato nell’Osservazione 8.8:
l’ideale nullo è un ideale massimale di Q, ma ( 0) ∩ Z = (0) non è un ideale massimale di Z.
Esempio 8.10 Sia P un ideale primo dell’anello A. Allora dalla definizione di ideale primo segue
che S = A \ P è un insieme moltiplicativo di A. Allora si scrive AP al posto di AA\ P . Questo è
l’anello ricavato da A rendendo invertibili tutti gli elementi di A che non appartengono a P. Inoltre,
PAP è un ideale (primo) di AP, che è quindi formato da tutti gli elementi non invertibili di AP .
Seguendo questa argomentazione, e alla luce della Proposizione 7.3, si prova:
Proposizione 8.11 Per ogni ideale primo P di A, l’anello AP è locale. Il suo unico ideale massimale
è PAP .
Esempio 8.12 Sia A = K [ x1 ,..., x n ] , con K campo, e sia P = ( x1 ,..., x n ). Allora, alla luce
dell’Esempio 7.4,
AP = K [ x1 ,..., xn ]( x1 ,..., xn ) è isomorfo ad un sottoanello di K [[ x1 ,..., xn ]].
Come conseguenza dell’Esercizio 8.6 b) abbiamo:
Corollario 8.13 Siano P, Q ideali primi di A, tali che P ⊂ Q . Allora (AQ )PA ≅ AP .
Q
Estendiamo ora la nozione di localizzazione ai moduli.
Definizione 8.14 Sia M un modulo sull’anello A, e sia S un insieme moltiplicativo di A. Allora su
M × S definiamo la seguente relazione binaria. Poniamo
( m, s ) ~ ( n, t ) se esiste x ∈ S tale che x (tm − sn ) = 0.
È facile verificare che ~ è una relazione di equivalenza. Indicheremo la classe di equivalenza di
m
, e l’insieme quoziente con M S (notazione alternativa: S −1 M ).
( m, s ) con
s
In M S si definiscono una somma ed un prodotto esterno su AS nel modo seguente:
-
m n tm + sn
+ =
s t
st
a m am
.
⋅ =
s t
st
Rispetto a queste operazioni, M S è un modulo su AS, detto localizzato di M rispetto ad S.
La localizzazione rispetto all’insieme moltiplicativo S (-S) è un operatore che può essere applicato,
oltre che ai moduli, agli omomorfismi di moduli. Dati due A-moduli M e N, ed un omomorfismo
ϕ : M → N , si definisce il localizzato di ϕ rispetto a S
ϕS : M S → NS
m
ϕ (m)
s
s
Si verifica facilmente che questo è un omomorfismo ben definito di AS-moduli.
Teorema 8.15 Sia ϕ : M → N un omomorfismo di A-moduli. Allora
a) se ϕ è suriettivo, allora ϕ S è suriettivo;
b) se ϕ è iniettivo, allora ϕ S è iniettivo.
m
m ϕ (m) 0
∈ M S tale che ϕ S ( ) =
= .
s
s
s
1
Allora esiste x ∈ S tale che xϕ ( m ) = 0, cioè ϕ ( xm ) = 0 . Essendo ϕ iniettivo, segue che xm = 0 , e
m 0
quindi
= . Ciò prova che ϕ S è iniettivo.
s 1
Dimostrazione: L’enunciato a) è ovvio. Proviamo b). Sia
Se N è un sottomodulo di M, allora N S è quindi (identificabile con) un sottomodulo di M S
mediante il localizzato della inclusione di N in M. Possiamo allora considerare il modulo quoziente
M S / N S . Vediamo ora che la localizzazione commuta con la formazione del quoziente.
Proposizione 8.16 Sia M un A- modulo, sia N un suo sottomodulo, e sia S un insieme moltiplicativo
di A. Allora
M S / N S ≅ (M / N ) S .
Dimostrazione: Detta π : M → M / N la suriezione canonica, consideriamo π S : M S → ( M / N ) S .
Questa, in base al Teorema 8.15 a), è suriettiva. In virtù del teorema fondamentale di omomorfismo
per moduli basta allora provare che Kerπ S = N S . L’inclusione Kerπ S ⊃ N S è immediata. Per
m
m+N N
provare l’altra, sia ∈ Kerπ S . Allora
= , ossia esiste x ∈ S tale che xm + N = N . Segue
s
s
1
m xm
che xm ∈ N , da cui
=
∈ N S . Quindi Kerπ S ⊂ N S , e ciò conclude la dimostrazione.
s
xs
Definizione 8.17 Dato un A-modulo M, si dice supporto di M l’insieme degli ideali primi P di A tali
che M P non sia il modulo nullo. Lo si indica con Supp( M ).
Del supporto di un modulo si può dare la seguente caratterizzazione.
Proposizione 8.18 Sia M un A-modulo finitamente generato. Allora Supp( M ) è l’insieme degli
ideali primi di A contenenti ann( M ).
Dimostrazione: Sia x1 ,..., xr un sistema di generatori di M. Sia P un ideale primo di A. Allora
P ∉ Supp( M ) se e solo se M P è il modulo nullo, il che avviene se e solo se, per ogni i = 1,..., r ,
esiste un elemento si ∈ A \ P tale che si xi = 0. Poiché, in tal caso, il prodotto s1 sr annulla ogni
elemento di M, la precedente condizione è equivalente all’esistenza di un elemento di A \ P che
annulla ogni elemento di M, ossia al fatto che ann( M ) ⊄ P.