Lezione 3

Lezione 3
Prerequisiti: Omomorfismi
GL(n, ), SL (n, ) .
di
gruppo.
Applicazioni
iniettive
e
suriettive.
Gruppi
Riferimenti ai testi: [FdG] Sezione 4.8; [H] Sezione 2.7; [PC] Sezione 5.9
Nucleo di un omomorfismo. Teorema fondamentale di omomorfismo per i
gruppi.
Definizione 3.1 Dato un omomorfismo di gruppi moltiplicativi f : G → G ' , si dice nucleo di f
Kerf = {x ∈ G f ( x ) = 1G ' } ,
ossia
Kerf = f −1 (1G ' ) .
Nota In notazione additiva: Kerf = {x ∈ G f ( x ) = 0G ' } = f −1 (0G ' ) .
Esempio 3.2
a) Sia dato l’omomorfismo di gruppi moltiplicativi f : R8 → R4 definito ponendo:
∀x ∈ R8 f ( x ) = x 2
Allora
Kerf = { x ∈ R8 f ( x) = 1} = { x ∈ R8 x 2 = 1} = {1, −1} = R2 .
b) Sia dato l’omomorfismo di gruppi additivi f : 12 → 12 definito ponendo:
∀x ∈ 12 f ( x ) = 4 x .
Allora
Kerf = { x ∈ 12 f ( x) = [0]12 } = { x ∈ 12 4 x = [0]12 } = {[a ]12 ∈ 12 4[a ]12 = [0]12 }
= {[a]12 ∈ 12 4a ≡ 0 (mod 12)} = {[a ]12 ∈ 12 a ≡ 0 (mod 3)} = {[0]12 ,[3]12 ,[6]12 ,[9]12 } .
Proposizione 3.3 Dato un omomorfismo di gruppi f : G → G ' , si ha che Kerf G .
Dimostrazione: È facile verificare che Kerf < G . Proviamo che il sottogruppo Kerf è normale.
In virtù della Proposizione 2.4, ( b) ⇒ a ) ) basta provare che, per ogni x ∈ G , x −1 Kerf x ⊂ Kerf :
per ogni z ∈ Kerf si ha che f ( x −1 zx) = f ( x) −1 f ( z ) f ( x) = f ( x)−11G ' f ( x) = 1G '. Dunque
x −1 zx ∈ Kerf .
La Proposizione 3.3 fornisce un criterio di normalità per i sottogruppi, che sfruttiamo subito nel
seguente
Esercizio 3.4 Utilizzando la Proposizione 3.3, provare che
a) ∀n ≥ 1, An Sn ;
b) ∀n ≥ 1, SL(n, ) GL(n, ) .
Svolgimento:
se σ è pari
1
a) Sia ϕ : Sn → R2 l’applicazione definita da: ∀σ ∈ Sn , ϕ (σ ) = 
-1 se σ è dispari
È facile verificare che ϕ è un omomorfismo di gruppi moltiplicativi. Inoltre, evidentemente,
Kerf = An . Dalla Proposizione 3.3 segue la tesi.
b) Sia δ : GL(n, ) → * l’applicazione definita da: ∀A ∈ GL(n, ), δ ( A) = det( A). Per il
Teorema di Binet, δ è un omomorfismo di gruppi moltiplicativi. Inoltre Kerf = SL(n, ). Ciò
basta per concludere.
Ecco un’altra applicazione del concetto di nucleo:
Proposizione 3.5 L’omomorfismo di gruppi f : G → G ' è iniettivo se e solo se Kerf = {1G } .
Dimostrazione: Se f è iniettivo, allora Kerf = f −1 (1G ' ) = {1G } . Viceversa, se questo è vero, allora:
∀x, x ' ∈ G, f ( x ) = f ( x ') ⇒ f ( xx '−1 ) = 1G' ⇒ xx ' −1 ∈ Kerf = {1G' } ⇒ xx ' −1 = 1G' ⇒ x = x '.
Ciò prova che f è iniettivo.
Osservazione 3.6 Dati un gruppo G ed un suo sottogruppo normale H, si può considerare la
suriezione canonica:
π :G →G/H
x Hx
Essa è un epimorfismo di gruppi, com’è immediato verificare. Si ha, inoltre, per l’Osservazione
1.4, che
Kerπ = H .
Ciò, unitamente alla Proposizione 3.3, ci permette di concludere che vale il seguente:
Corollario 3.7 Un sottogruppo H del gruppo G è normale se e solo se è il nucleo di un
omomorfismo di gruppi f : G → G ' .
Siamo ora in grado di provare la più importante applicazione dei concetti di gruppo quoziente e di
nucleo di un omomorfismo:
Teorema 3.8 (Teorema fondamentale di omomorfismo per gruppi). Sia
omomorfismo di gruppi. Allora esiste un unico omomorfismo di gruppi
f * : G / Kerf → Im f
tale che
f : G → G ' un
f = f * π
(*)
f
G → Im f
π
↑f*
G / Kerf
ove π : G → G / Kerf è la suriezione canonica. Inoltre f* è un isomorfismo.
Dimostrazione: Osserviamo anzitutto che l’unica applicazione f* verificante la (*) è quella definita
da:
∀x ∈ G , f * (Kerf x ) = f * π ( x ) = f ( x ).
Essa è ben definita: infatti, ∀x, y ∈ G tali che Kerf x = Kerf y si ha che xy −1 ∈ Kerf , e dunque
f ( x ) −1 f ( y ) = f ( x −1 y ) = 1G' , da cui f ( x ) = f ( y ).
È facile verificare che f* è un omomorfismo di gruppi. Inoltre Im f * = Im f per definizione di f*,
per cui f* è suriettivo. Infine, per ogni x, x ' ∈ G,
f * (Kerf x ) = f * (Kerf x ') ⇔ f ( x ) = f ( x ') ⇔ xx ' −1 ∈ Kerf ⇔ Kerf x = Kerf x '.
Pertanto f* è anche iniettivo, e dunque è un isomorfismo di gruppi.
Esempio 3.9
a) L’omomorfismo ϕ : Sn → R2 dell’Esempio 3.4 a) è suriettivo. Dal Teorema 3.8 segue che
Sn / An R2
Lo sapevamo già, per n=3? (Vedi Esercizio 2.8).
b) Anche l’omomorfismo δ : GL(n, ) → * dell’Esempio 3.4 b) è suriettivo. Dunque
GL( n, ) / SL(n, ) *.
Osservazione 3.10 Il Teorema fondamentale di omomorfismo per gruppi può essere utilizzato per
dimostrare il teorema di classificazione dei gruppi ciclici, in base al quale:
a) ogni gruppo ciclico finito di ordine n è isomorfo a Z n ;
b) ogni gruppo ciclico finito è isomorfo a Z.
Sia G un gruppo ciclico, G = g . Si consideri l’applicazione
ϕ :Z→G
n gn
che è un omomorfismo di gruppi suriettivo. È facile vedere che
a) se G = n , allora Kerϕ = nZ : in tal caso Z
≅ G.
nZ
b) se G è infinito, ϕ è iniettivo: in tal caso Z ≅ G .