( a 0 0 b ) | a, b ∈ Z

SECONDO ESONERO
23 Gennaio 2004
½µ
¶
¾
a 0
| a, b ∈ Z é un sottoanello commu0 b
tativo dell’anello M (2, Z). Determinarne gli elementi invertibili e trovare (se
esiste) un divisore dello zero di A.
½µ
¶
¾
3a 0
Provare inoltre che H =
| a, b ∈ Z é un ideale di A. E’ primo?
0 5b
E’ massimale?
Stabilire se la funzione φ : A → Z[X] definita da
¶
µ
a 0
) = aX + b
f(
o b
1. Provare che l’insieme A =
è un omomorfismo di anelli.
2. Stabilire se il polinomio X 4 + 2X 3 + 6X 2 − 2X − 2 è irriducibile in Q[X] e
in R[X].
Determinare, se esiste, un numero primo p tale che il polinomio α(X) = X 4 +
2X 3 + 6X 2 − 2X − 2 sia divisibile per X 2 − 1 in Zp [X].
In Z7 [X] si calcoli un M.C.D. fra α(X) e β(X) = X 2 +X +3 e si scriva l’identità
di Bèzout.
3. Provare che la funzione φ : GL(2, R) × C → C definita da
µ
¶
az + b
a b
φ(
, z) =
c d
cz + d
è una azione.
Trovare l’orbita e lo stabilizzatore di 1.
Esiste una matrice A tale che φ(A, i) = 1 ?
1
SECONDO ESONERO
23 Gennaio 2004
½µ
¶
¾
a 0
1. Provare che l’insieme A =
| a, b ∈ Z é un sottoanello commu0 b
tativo dell’anello M (2, Z). Determinarne gli elementi invertibili e trovare (se
esiste) un divisore dello zero di A.
½µ
¶
¾
2a 0
Provare inoltre che H =
| a, b ∈ Z é un ideale di A. E’ primo?
0 3a
E’ massimale?
√
Stabilire se la funzione φ : A → Z[ 2] definita da
µ
¶
√
a 0
f(
) = a + 2b
o b
√
è un omomorfismo di anelli,
dove Z[ 2] è il sottoanello di R costituito dai
√
numeri della forma x + 2y, x, y ∈ Z
2.Stabilire se il polinomio X 4 − 6X 3 + 3X 2 − 6X − 3 è irriducibile in Q[X] e in
R[X].
Determinare, se esiste, un numero primo p tale che il polinomio α(X) = X 4 −
6X 3 + 3X 2 − 6X − 3
sia divisibile per X 2 + 1 in Zp [X].
In Z7 [X] si calcoli un M.C.D. fra α(X) e β(X) = X 2 +X +3 e si scriva l’identità
di Bèzout.
3. Provare che la funzione φ : GL(2, R) × C → C definita da
µ
¶
az + b
a b
φ(
, z) =
c d
cz + d
è una azione.
Trovare l’orbita e lo stabilizzatore di 0.
Esiste una matrice A tale che φ(A, i) = 0 ?
2
QUESITI
1. Che cos’è il nucleo di un omomorfismo di gruppi? Elencarne le principali
proprietà dandone eventualmente una dimostrazione.
2. Dare la definizione di dominio d’integrità e spiegare perchè in un dominio
d’integrità vale la legge di semplificazione rispetto al prodotto.
3. Dare la definizione di ideale.
Perchè un ideale proprio non può contenere 1A ?
Perchè un campo non ha ideali propri?
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