Esercizi proposti di GEOMETRIA 2 Corso di Laurea in Matematica

Esercizi proposti di GEOMETRIA 2
Corso di Laurea in Matematica
1a serie
1. Si consideri R3 con il prodotto scalare standard. Si determini una base
B di R3 contenente i vettori e1 = (0, 1, 2), e2 = (−1, 1, 0). Si determini,
quindi, a partire da B una base ortonormale di R3 .
2. Si consideri R3 con il prodotto scalare standard. Si determini una
base ortogonale B di R3 contenente il vettore v = (−1, 0, 2). Infine si
normalizzi B.
3. Si consideri R4 con il prodotto scalare standard. Si determini una base
B di R4 contenente i vettori e1 = (0, 1, 0, −1), e2 = (1, 1, −1, 0). Si
determini, quindi, a partire da B una base ortonormale di R4 .
4. Sia g la forma bilineare simmetrica su R3 avente quale matrice associata
rispetto alla base canonica:


1 −1 0
−1 4 0 .
0
0 2
(a) Si verifichi che g è un prodotto scalare su R3 ;
(b) si determini una base ortogonale B di R3 rispetto al prodotto
scalare standard ed una base ortogonale B 0 rispetto a g, entrambe
contenenti il vettore v = (1, 0, 1);
(c) si normalizzi la base B rispetto al prodotto scalare standard;
(d) si normalizzi la base B 0 rispetto al prodotto scalare g;
(e) si ortonormalizzi la base naturale di R3 rispetto a g.
5. Sia g la forma bilineare simmetrica su R4 avente quale matrice associata
rispetto alla base canonica:


1 0
0 0
0 1 −1 0


0 −1 3 0 .
0 0
0 1
1
(a) Si verifichi che g é un prodotto scalare su R3 ;
(b) si determini una base B di R4 ortogonale rispetto al prodotto
scalare standard ed una base B 0 ortogonale rispetto a g, entrambe
contenenti il vettore v = (1, 0, −1, 0);
(c) si normalizzi la base B rispetto al prodotto scalare standard;
(d) si normalizzi la base B 0 rispetto al prodotto scalare g;
(e) si determini una base ortogonale C di R4 rispetto al prodotto
scalare standard ed una base C 0 ortogonale rispetto a g, entrambe
contenenti il vettore v = (1, 1, 0, 0);
(f) si normalizzi la base C rispetto al prodotto scalare standard;
(g) si normalizzi la base C 0 rispetto al prodotto scalare g.
6. Sia g la forma bilineare simmetrica su R4 avente quale matrice associata
rispetto alla base canonica:


1 1 0
1 2 0 .
0 0 1
(a) Si verifichi che g é un prodotto scalare su R3 ;
(b) si stabilisca se l’endomorfismo di R3 definito da:
f (x, y, z) = (x + 3y − z, x, −x − y + z)
é autoaggiunto rispetto a g;
(c) in caso affermativo si determini una base ortonormale di autovettori.
7. Si stabilisca quali sono i valori del parametro k ∈ R per i quali le forme
bilineari simmetriche aventi quali matrici associate rispetto alla base
canonica di R3

 

k
k
k
−k
−k
−k
k 2k − 1 1  −k
−2
−2k + 2
k
1
3k
−k −2k + 2 k − 1
 2

k
k2
k2
k 2 k 2 + k + 1 k 2 − k − 1
k2 k2 − k − 1
k2 + 1
sono un prodotto scalare.
2
8. Si consideri la forma bilineare simmetrica ϕ : R2 ×R2 → R avente quale
matrice associata rispetto alla base canonica di R2
2 1
1 1
e l’applicazione lineare f : R2 → R2 tale che
f (x, y) = (−x + 2 y, 2 x − 3 y).
(a) Si dimostri che ϕ é un prodotto scalare in R2 ;
(b) si dimostri che f é autoaggiunta rispetto al prodotto scalare ϕ e
si determini una base ortonormale di autovettori;
(c) si dimostri che f é autoaggiunta rispetto al prodotto scalare standard di R2 .
9. Siano (V, g) uno spazio vettoriale euclideo, B = {e1 , . . . , en } una base
di V , f ∈ End(V ). Si denotino con G la matrice associata a g rispetto
alla base B e con A la matrice di f rispetto alla base B. Si verifichi che
f è autoaggiunta rispetto a g se e solo se t AG = GA. Si particolarizzi
il risultato nel caso in cui B è ortonormale.
10. Si considerino la forma bilineare simmetrica ϕ : R2 × R2 → R avente
quale matrice associata rispetto alla base canonica di R2
5 2
2 1
e l’applicazione lineare f : R2 → R2 tale che
f (x, y) = (−3x + 3y, 7x − 7y).
(a) Si dimostri che ϕ é un prodotto scalare di R2 ;
(b) si dimostri che f é autoaggiunta rispetto al prodotto scalare ϕ e
si determini una base ortonormale di autovettori;
(c) si dimostri che f non é autoaggiunta rispetto al prodotto scalare
standard di R2 .
3
11. Si considerino la forma bilineare simmetrica ϕ : R3 × R3 → R avente
quale matrice associata rispetto alla base canonica di R3


10 1 6
 1 1 1 
6 1 4
e l’applicazione lineare f : R3 → R3 tale che
f (x, y) = (−5 y + 2 z, −4 y + 4 z, 9 y − 4 z).
(a) Si dimostri che ϕ é un prodotto scalare di R3 ;
(b) si dimostri che f é autoaggiunta rispetto al prodotto scalare ϕ e
si determini una base ortonormale di autovettori;
(c) si dimostri che f non é autoaggiunta rispetto al prodotto scalare
standard di R3 .
12. Si determini il complemento ortogonale di
W = {(x, y, z, t) ∈ R4 | x − 2y = 0, z = 0}.
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