Foglio di esercizi 12 File

Corso di Laurea in Matematica - Geometria 1 - A.A. 2014-15
Foglio di esercizi n. 12
Da consegnare al tutorato del 7/5/2015, sarà discusso al tutorato del 21/5.
Esercizio 1
Consideriamo su R3 il prodotto scalare standard. Data la base B = {v1 , v2 , v3 }, dove
v1 = (1, 0, 1),
v2 = (0, 1, 1),
v3 = (2, 1, 2)
trovare una base ortonormale C = {e1 , e2 , e3 } tale che L(v1 ) = L(e1 ) e L(v1 , v2 ) = L(e1 , e2 ).
Esercizio 2
Consideriamo su R4 il prodotto scalare standard e sia a = (2, 3, −1, 2)
1. scrivere l’equazione del complemento ortogonale L(a)⊥ di L(a)
2. trovare la dimensione e una base ortonormale di L(a)⊥
Esercizio 3
R2,2
Sia
lo spazio vettoriale delle matrici reali quadrate di ordine due, con il prodotto scalare
standard A · B = tr(t AB) e consideriamo i sottospazi
x1 x2
U=
∈ R2,2 | x1 − x3 = 0
x3 x4
V =L
−1 0
0 1
1 2
,
,
3 −1
2 −1
1 −1
1. determinare la dimensione e una base dei sottospazi U + V e U ∩ V
2. determinare la dimensione e una base ortonormale di U ⊥ , il complemento ortogonale di U
in R2,2 .
Esercizio 4
Sia A ∈ R4,4 una matrice simmetrica di rango 2 che ammette l’autovalore λ = 2, e sia
   
1
0
 2   1 
   
V2 = L 
 0  ,  1 
1
0
l’autospazio relativo a tale autovalore.
1. Determinare una base di R4 formata da autovettori di A.
2. Scrivere una matrice diagonale simile ad A.
Esercizio 5
Sia (V, ·) uno spazio vettoriale euclideo di dimensione 3, e B = {e1 , e2 , e3 } una sua base ortonormale. Sia inoltre u := e2 + e3 , e consideriamo l’applicazione f : V → V data da
f (x) = x − 2(x · u)u.
1) Verificare che f è un endomorfismo di V .
2) Scrivere la matrice associata ad f rispetto alla base B.
3) Determinare la dimensione e una base sia di ker f che di im f .
4) Calcolare gli autovalori e gli autospazi di f , e dire se f è diagonalizzabile.
5) Sia H := L(u)⊥ . Calcolare la dimensione e una base sia di f (H) che di f −1 (H).
Esercizio 6
Sia V lo spazio vettoriale reale delle funzioni continue dall’intervallo [0, 1] in R, con il prodotto
scalare
Z 1
f ·g =
f (x)g(x)dx.
0
Sia W :=
L(x, x2 ).
Determinare una base ortonormale di W .