ESERCIZI Geometria 1 per Fisici – VII Foglio 2011 Prodotti scalari e

ESERCIZI Geometria 1 per Fisici – VII Foglio 2011
Prodotti scalari e isometrie.
1. Sia dato lo spazio euclideo R3 con il prodotto scalare standard.
a) Determinare una base ortonormale del sottospazio W generato dai vettori:
2e2 − e3 .
e1 + e2 ,
b) Completare a una base ortonormale di R3 .
c) Determinare la matrice che rappresenta la proiezione ortogonale su W rispetto alla base canonica.
2. Sia dato lo spazio euclideo R4 con il prodotto scalare standard.
a) Trovare una base ortonormale del sottospazio generato dai vettori
e1 + e2 ,
−e1 + 3e2 + e3 + e4 ,
e1 + 5e2 + e3 + e4 ,
−3e1 − 3e2 − 3e3 − e4 .
3. Sia dato lo spazio euclideo R4 con il prodotto scalare standard.
a) Determinare una base ortonormale del sottospazio W delle soluzioni delle equazioni:
x1 + x2 − x3 + x4 = 0,
2x1 + 2x2 − 3x3 = 0.
b) Completare a una base ortonormale di R4 .
c) Determinare la proiezione ortogonale su W del vettore e1 + e2 .
d) Determinare la matrice che rappresenta la proiezione ortogonale su W ⊥ rispetto alla base canonica
e rispetto alla base trovata nel punto b).
4. Sia dato lo spazio euclideo R5 con il prodotto scalare standard.
Siano dati il sottospazio W delle soluzioni delle equazioni:
x1 − x4 + x5 = 0,
x2 + x3 = 0,
x2 + x4 = 0
e il sottospazio U delle soluzioni delle equazioni:
x1 + 2x2 + x4 = 0,
x3 − x4 = 0.
Determinare la dimensione e una base di (W ∩ U )⊥ e di (W + U )⊥ .
5. Determinare la matrice, rispetto alla base canonica dello spazio euclideo R4 con il prodotto
scalare standard, della proiezione ortogonale su U = {t(x, y, z, t) | x + t = 0}.
Determinare una base di autovettori di tale proiezione.
6. Si calcoli l’angolo tra i vettori e1 e e1 + e3 di R3 nei seguenti casi:
a) rispetto al prodotto scalare standard.


2 1 0
b) rispetto al prodotto scalare cosi’ definito: g(X, Y ) =t XGY con G =  1 1 1 .
0 1 6
7. Sia dato lo spazio euclideo R3 con il prodotto scalare:
g(x, y) = 2x1 y1 + 2x2 y2 + x3 y3
a) Verificare che g e’ definito positivo
b) Trovare l’angolo tra i vettori e2 − e3 e e1 + e2 − e3 .
c) Trovare una base ortonormale del sottospazio generato da tali vettori.
1
2
4 1
8. Sia g(X, Y )
con G =
1 1
a) Determinare se g è definito positivo.
b) Trovare una base ortonormale per g.
b) Verificare
se
0 1
A=
e’ un’isometria per (R2 , g).
1 0
=t XGY
e X, Y ∈ R2 .


4 0 1
9. Sia g(X, Y ) =t XGY con G =  0 1 0  e X, Y ∈ R3 un prodotto scalare definito positivo
1 0 2
3
su R .
a) Trovare una base ortonormale del sottospazio generato da e1 e e3 .
a) Determinare la matrice associata alla proiezione ortogonale
alla base canonica.
 su W rispetto

a 0 0
b) Determinare per quali valori di a, b, c, d la matrice A =  0 1 0  è un’isometria per (R3 , g).
c 0 d
10. Sia dato uno spazio vettoriale euclideo di dimensione n e S un suo sottospazio.
a) Si verifichi che l’applicazione definita da:
f (x + y) = x − y
per ogni x ∈ S e y ∈ S ⊥ è un’isometria.
b) Si spieghi perche’ f è diagonalizzabile e si scriva una matrice diagonale che la rappresenta.
c) Si dica se esiste una base ortonormale per f .
11. Sia
SO3 (R) = {A ∈ M3 (R)|At A = I3 , detA = 1}
il gruppo ortogonale speciale di ordine 3 e sia LA la corrispondente isometria di R3 con il prodotto
scalare standard.
(i) Mostrare che A ha un autovalore uguale ad 1. (sugg.: il determinante è il prodotto dei suoi
autovalori nel campo complesso.)
(ii) Sia v1 un autovettore relativo a 1 di norma 1 e W := L(v)⊥ . Mostrare che W è invariante per
LA .
(iii) Mostrare che la restrizione a W è un’isometria di W con determinante (di ogni matrice associata)
uguale a 1.
(iv) Mostrare che esiste una base ortonormale {v1 , v2 , v3 } di R3 rispetto alla quale LA è rappresentata
della matrice


1
0
0
B :=  0 cos θ − sin θ 
0 sin θ cos θ
con 0 ≤ θ < 2π.
La retta orientata individuata da v1 è detta l’asse di A, mentre θ è detto l’angolo di rotazione di A.
(v) Mostrare che 2cosθ = tr(A) − 1.
(iv) Mostrare che se A 6= I allora la molteplicita’ geometrica dell’autovalore 1 è 1.