Basi ortonormali e processo di ortonormalizzazione
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Basi ortonormali e processo di ortonormalizzazione
Basi ortonormali e processo di ortonormalizzazione 1/6 Prodotto scalare in Rn Il prodotto scalare tra due vettori di R3 si generalizza, a differenza del prodotto vettoriale, in modo naturale al caso di vettori di Rn . Più precisamente, siano~u = t [u1 , . . . , un ] e~v = t [v1 , . . . , vn ] due vettori di Rn : definiamo il loro prodotto scalare mediante n ~u ·~v = u1 v1 + · · · + un vn (= ∑ ui vi ) . (1) i=1 2/6 Prodotto scalare in Rn Questo prodotto scalare conserva le proprietà geometriche illustrate nel caso n = 3. In particolare s n √ (2) |~u| = ~u ·~u (= ∑ u2i ) i=1 e, se ~u,~v 6= ~0: (~u ⊥~v ) ⇐⇒ (~u ·~v = 0 ) (3) 3/6 Basi ortonormali Definizione: Siano W un sottospazio vettoriale di Rn , con dim W = p, e C = {~w1 , . . . ,~wp } una sua base. Diremo che C è una base ortonormale di W se ~wi ·~wj = δij , 1 ≤ i, j ≤ p , (4) dove δij è il simbolo di Kronecker. La (4) esprime la richiesta che tutti i vettori di C abbiano modulo 1 e siano inoltre a due a due ortogonali. Ad esempio, la base canonica B = {~e1 , . . . ,~en } di Rn è una base ortonormale (verifica elementare). 4/6 Ortonormalizzazione Il processo di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt permette di costruire una base ortonormale C ′ = {~w ′1 , . . . ,~w ′p } partendo da una base qualunque C = {~w1 , . . . ,~wp }. La costruzione di C ′ è la seguente: ~w1 = ~w ′1 = vers(~w1 ) |~w1 | (5) ~w ′2 = vers(~w2 − (~w ′1 ·~w2 )~w ′1 ) .. . p−1 ~w ′p = vers(~wp − ∑ [ (~w ′j ·~wp )~w ′j ] ) j=1 5/6 Ortonormalizzazione L’idea geometrica è la seguente: per costruire ~w ′1 è sufficiente prendere il versore di ~w1 . Invece, per ~w ′2 , prima di prendere il versore è necessario scartare l’eventuale componente di ~w2 lungo la direzione di ~w ′1 , come di seguito illustrato: w ~2 w ~1 (w ~2 · w ~ 1′ )w ~ 1′ u ~ w ~ 1′ Infatti, ~w ′2 = vers(~u) , dove~u = ~w2 − (~w2 ·~w ′1 )~w ′1 . Al passo successivo si scarteranno le componenti di ~w3 lungo ~w ′1 e ~w ′2 , e così via. 6/6