ESERCIZI PER CASA - FOGLIO 3 Esercizio 1. Calcolare una base

ESERCIZI PER CASA - FOGLIO 3
Esercizio 1. Calcolare una base ortonormale rispetto al prodotto scalare
hv, wi = v1 w1 + v1 w2 + v2 w1 + 2v2 w2 + 3v3 w3
Esercizio 2. Calcolare una base ortonormale del sottospazio W di R3 , rispetto al prodotto scalare standard:
W = Span{(1, 2, 3), (3, 1, 2), (2, 3, 1)} .
Esercizio 3. Calcolare una base ortonormale del sottospazio W di R4 , rispetto al prodotto scalare standard:
W = Span{(4, −2, 2, 1), (1, 2, −2, 4), (1, 0, 0, 1)} .
Esercizio 4. Sia r la retta di equazioni
x+y−2=0
r:
2y − z = 0
e sia P = (1, 0, −1). Trovare l’unico piano ortogonale a r e passante per P .
Calcolare la distanza di P da r.
Esercizio 5. Calcolare la distanza tra le rette
2x − y − z = 1
2x + y − z = −2
r:
s:
x + y − 2z = 0
y + 3z = 2
Esercizio 6. Esercizi sul libro: 11.1, 11.6, 11.11, 12.15 (solo il piano), 12.9,
12.10, 12.11.
Esercizio 7. Consideriamo l’applicazione lineare L : R3 −→ R3 definita da
L(x, y, z) = (x − y + z, 2z, y − x + z). L è diagonalizzabile? Se si trovare una
base di R3 costituita da autovettori di L.
Esercizio 8. Esercizi sul libro: 13.2 (solo su R), 14.1.
Esercizio 9. Date le coniche:
• 2x2 − y 2 + x − 3y − 1 = 0;
• 3x2 − 2y + x − 1 = 0;
studiarle,trovandone centro ed assi, oppure vertice e asse. Determinare le
loro equazioni canoniche e rappresentarle graficamente.
Esercizio 10. Esercizi sul libro: 15.5, 15.6.
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