Universit`a degli Studi di Roma Tre Corso di Laurea in Matematica
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Università degli Studi di Roma Tre Corso di Laurea in Matematica – a.a. 2013/2014 AL110 Tutorato 5 (1) Provare per induzione che 13 + 23 + . . . + n3 = ( n(n+1) )2 .Provare inoltre che il cubo 2 di ogni numero intero è differenza di due quadrati. (2) Sia p un numero primo, p > 3, tale che p + 2 è primo, provare che 12|p + (p + 2) (3) Utilizzando l’algoritmo euclideo delle divisioni successive: (a) Calcolare M CD(2424, 772) e una relativa identità di Bézout; (b) Provare che M CD(a, b)|a − b; (c) Trovare M CD(1962, 1965) e M CD(1961, 1965). (4) Siano x, y interi non nulli, provare che le seguenti proprietà sono equivalenti: (a) x|y; (b) M CD(x, y) = |x|; (c) mcm(x, y) = |y|. (5) Scrivere 1121 in base 7, in base 9 e in base 2. Successivamente scrivere 17121, 1331, 1745 in base 11. (6) Poniamo xZ := {xk : k ∈ Z}. Mostrare che aZ ⊂ bZ ⇔ b|a. Sia h = mcm(a, b), mostrare che hZ = aZ ∩ bZ (7) Date le seguenti equazioni diofantee, dire se ammettono soluzioni e, in caso affermativo, determinarle: (a) 2x + 7y = 5; (b) 6x − 8y = 3; (c) 21x + 3y = λ con λ ∈ Z (8) Usando il principio di induzione si dimostri che: • n! > n2 , per ogni n > 3 n+1 X 1 n • < 2 i n+1 i=2 (9) Utilizzando l’algoritmo euclideo delle divisioni successive, stabilire che: • ogni numero intero dispari è della forma 4k + 1, 4k + 3, k ∈ Z; • il quadrato di ogni numero intero è della forma 3k, 3k + 1, k ∈ Z; • il cubo di ogni numero intero è della forma 9k, 9k + 1, 9k + 8, k ∈ Z. (10) Provare che se n è un numero intero tale che 2 6 |n e 3 6 |n allora 12|(n2 − 1). (11) Provare che: (a) ogni numero primo della forma 3n + 1 è anche della forma 6m + 1; (b) l’unico numero primo della forma n3 − 1 è 7; (c) l’unico primo per cui 3p + 1 è un quadrato è 5. (12) Si consideri la funzione f : R → R definita ponendo 1 ( x+1 se x < 3 fh (x) := 2 x − 6x + 10 se x ≥ 3 Si determinino esplicitamente gli insiemi f (R), ed [0]ρ , essendo ρ la relazione nucleo di f . (13) Si consideri l’insieme X = N × N, munito della relazione ≺ definita ponendo (a, b) ≺ (α,β) ⇔ (a < α) oppure (a = α,b ≤ β) • Si verifichi che ≺ è un ordine totale sull’insieme P . • Se esistono, determinare massimo, maggioranti ed estremo superiore del seguente sottoinsieme Q = {(2012, n)|n ∈ N} di P . • Si determini, se esiste, il minimo dell’insieme R = {(7x + 29y, x + y)|x, y ∈ N, 7x + 29y ≥ 203}