Induzione matematica La somma dei primi numeri interi Si narra che

Induzione matematica
Definizione. Un sottoinsieme non vuoto H di N è detto induttivo se ogni volta che un numero
n ∈ H anche il numero successivo n + 1 appartiene ad H.
Ad esempio i numeri pari non costituiscono un insieme induttivo, mentre i numeri più grandi di
19 sı̀.
Principio di induzione Se H è un sottoinsieme induttivo di N tale che 0 ∈ H allora H = N.
Il Principio di induzione può enunciarsi in forma più generale anche come segue
Principio di induzione generale. Se H ⊂ N è induttivo, e se no = min H, allora
H = {n ∈ N|n ≥ no }.
Il Principio di induzione fornisce un metodo dimostrativo. Vediamo di seguito alcuni esempi
La somma dei primi numeri interi
Si narra che Gauss determinò in poco tempo, durante le elementari, la somma dei primi 100
numeri naturali, rispondendo alla richiesta del suo maestro che lo voleva tenere impegnato
per un po’ di tempo per potersi dedicare anche agli altri bambini.
Il metodo di Gauss non è quello che descriveremo di seguito che è quello basato sul principio
di induzione.
La formula per calcolare la somma dei primi n numeri naturali è
1 + 2 + ... + n =
n(n + 1)
, n ∈ N+ .
2
Dimostrazione. Proviamo la formula per induzione, cioè dimostriamo che
H = {n ∈ N| vale la relazione sulla somma } = N+
.
Pertanto proviamo che 1 ∈ H; infatti se n = 1 abbiamo un solo addendo, e quindi la somma fa solo 1. D’altra parte se si sostituisce 1 nel lato di destra dell’uguaglianza si trova
1·2
= 1, quindi l’uguaglianza è verificata.
2
Proviamo ora che H é induttivo; supponiamo quindi che n ∈ H cioè che sussista l’uguaglianza
n(n + 1)
1 + 2 + ... + n =
.
2
Per dimostrare che H è induttivo, cioè che anche (n + 1) ∈ H occorre mostrare che
1 + 2 + . . . + n + (n + 1) =
(n + 1)(n + 2)
.
2
Infatti
hn
i
n(n + 1)
n+2
1 + 2 + . . . + n + (n + 1) =
+ (n + 1) = (n + 1)
+ 1 = (n + 1)
2
2
2
che è esattamente ciò che volevamo ottenere.
1
Ancora a scopo di esercizio otteniamo la
Formula di divisione della differenza di due potenze per la differenza delle basi
Vogliamo in altre parole dimostrare che vale l’uguaglianza
xn − 1 = (x − 1)(xn−1 + xn−2 + · · · + x + 1) n ≥ 2.
Dimostrazione. Anche in questo caso consideriamo l’insieme
H = {n ∈ N| vale l’uguaglianza suddetta }.
Vogliamo provare che H = {n ∈ N : n ≥ 2} e a tale scopo proviamo che 2 ∈ H e che H è
induttivo.
Se sostituiamo il valore 2 nell’uguaglianza otteniamo un’identità, quindi 2 ∈ H.
Supponiamo ora che n ∈ H, cioè che sia già provato che
xn − 1 = (x − 1)(xn−1 + xn−2 + · · · + x + 1).
Quello che vogliamo dimostrare è che (n + 1) ∈ H, cioè che
xn+1 − 1 = (x − 1)(xn + xn−1 + · · · + x + 1).
Infatti
xn+1 − 1 = xn+1 − xn + xn − 1 = xn (x − 1) + (xn − 1).
Sostituiamo ora l’uguaglianza nota nel secondo addendo a secondo membro, e mettiamo in
evidenza (x − 1):
xn+1 −1 = xn (x−1)+(x−1)(xn−1 +xn−2 +· · ·+x+1) = (x−1)(xn +xn−1 +xn−2 +· · ·+x+1)
che è esattamente quanto ci prefiggevamo di ottenere.
La disuguaglianza di Bernoulli
Per ogni numero reale x > −1 e per ogni n ∈ N si ha
(1 + x)n ≥ 1 + nx,
con il segno > se x 6= 0 e n > 1.
Dimostrazione. Anche in questo caso proviamo che l’insieme H dei numeri naturali per
i quali la formula è vera coincide con N utilizzando il principio di induzione.
La formula è vera per n = 0 perchè entrambe i membri fanno 1.
Proviamo che H è induttivo, cioè supponiamo che n ∈ H e proviamo che anche (n+1) ∈ H.
Infatti
(1 + x)n+1 = (1 + x)(1 + x)n ≥ (1 + x)(1 + nx) = 1 + (n + 1)x + nx2 ≥ 1 + (n + 1)x
dove la prima disuguaglianza utilizza l’ipotesi induttiva e il fatto che 1 + x > 0 perchè
abbiamo scelto x > −1. Questa stessa catena di relazioni mostra che per n > 1 e x 6= 0 la
disuguaglianza sussiste in senso stretto.
Qui di seguito ti proponiamo alcuni esercizi.
2
1. Quanto fa la somma dei primi n numeri pari?
2. Calcola la somma dei primi n multipli di 3, e generalizza la formula al caso dei multipli
di un naturale p assegnato.
3. La somma dei primi n3 + 2n − 1 numeri naturali è
A. sempre pari
B. sempre dispari
C. ha la stessa parità di n
D. ha parità invertita rispetto a quella di n
4. Data la successione definita ricorsivamente dalla legge
a1 = π
√
an+1 = an + an , n ≥ 1
i. provare che è tutta a termini non negativi (e quindi che è definita per ogni n ∈ N+ )
ii. provare che è monotona crescente
5. Data la successione definita ricorsivamente dalla legge
a1 = π
√
an+1 = an , n ≥ 1
i. provare che è definita per ogni n ∈ N+ ;
ii. provare che è monotona crescente
Suggerimento: la relazione an+1 > an equivale, se an > 0, a
6. Data la successione definita ricorsivamente dalla legge
a1 = 3 √
an+1 = an n, n ≥ 1
i. provare che è tutta a termini positivi
ii. provare che è monotona non decrescente
iii. è anche monotona crescente?
7. Data la successione definita ricorsivamente dalla legge
a1 = 2 p
an+1 = (n + 1)an , n ≥ 1
i. provare che è definita per ogni n ∈ N+
ii. provare che è monotona non decrescente
3
an+1
> 1.
an