Grafico probabile di una funzione Data una funzione y = f(x) si può

Grafico probabile di una funzione
Data una funzione y = f(x) si può tracciare il suo grafico
probabile se si determinano :
●
il dominio o campo di esistenza
●
se è una funzione pari o dispari
●
gli zeri
●
il suo segno
●
i limiti e gli eventuali asintoti
Esempi
x2 + 1
Tracciamo il grafico probabile della funzione razionale fratta : y =
x− 1
Dominio: poiché la funzione è fratta, quindi occorre che il denominatore sia posto
diverso da zero; ponendo allora
x − 1≠ 0
x≠ 1
Simmetrie: La funzione non è né pari né dispari:
f ( − x) =
( − x)
2
+ 1 x2 + 1
x2 + 1
=
= −
≠
− x− 1
− x− 1
x+ 1
 f ( x )

 − f ( x )
e quindi non si riconoscono simmetrie nel suo grafico.
Intersezioni
x= 0
x= 0

2

x +1 
 y= −1
 y=
x− 1

 y= 0


x2 + 1
 y=
x− 1

 y= 0
 y= 0
 2
x +1
 2
= 0  x + 1 = 0 imposs.

 x− 1
quindi la curva che rappresenta la funzione passa per il punto (0,-1), mentre non
vi sono intersezioni con l’asse x
Segno: risolvendo la disequazione
si ottiene
x> 1
La funzione è allora positiva in
x2 + 1
> 0
x− 1
( 1, + ∞ )
e quindi negativa in
1
( − ∞ ,1)
Asintoti: verticali
x2 + 1
= ∞
lim
x→ 1 x − 1
ciò significa che
x = 1è
1
asintoto verticale
Asintoti: orizzontali - obliqui
x2 + 1
= ∞ ciò significa che
lim
x− 1
x→ ∞
non esistono asintoti orizzontali
Pertanto, vediamo gli asintoti obliqui
m=
lim
x→ ∞
f ( x)
=
x
x2 + 1
=1
lim
x → ∞ x ( x − 1)
x2 + 1
q = lim [ f ( x) − mx ] = lim
− 1⋅ x =
x− 1
x→ ∞
x→ ∞
A.Ob. y = x + 1
x+ 1
=1
lim
x→ ∞ x − 1
L'asintoto obliquo passa per (0,1) e (-1,0) ed è parallelo alla
bisettrice del I e III quadrante
Asintoti
1
Possiamo controllare se la curva interseca l’asintoto in qualche punto risolvendo
il sistema

x2 + 1
y=
x− 1

 y = x+ 1

Questo sistema non ha soluzioni e quindi la curva non incontra la retta
Con gli elementi che abbiamo raccolto, possiamo tracciare un grafico
approssimato per la funzione data
Con il mouse
1
Con Derive