FUNZIONI CONTINUE

FUNZIONI CONTINUE - ESERCIZI
SVOLTI
1) Verificare che f (x) =
√
x è continua in x0 per ogni x0 ≥ 0.
2) Verificare che f (x) =
1
x
−
1
x0
è continua in x0 per ogni x0 6= 0.
3) Disegnare il grafico e studiare i punti di discontinuità della funzione f (x) = [sin x] (parte
intera di sin x).
4) Disegnare il grafico e studiare i punti discontinuità della funzione f (x) = M (sin x) (mantissa
di sin x).
5) Disegnare il grafico e studiare i punti di discontinuità della funzione f (x) =
2x2 −5x−3
.
x2 −4x+3
6) Disegnare il grafico e studiare i punti di discontinuità della funzione f (x) =
x+3
.
3x2 +x3
7) Determinare k ∈ R in modo che la funzione
f (x) =
 2
2x + 4x



se x ≥ 1


 −x + k
se x < 1
sia continua su R.
1
2
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8) Determinare a, b ∈ R in modo che la funzione

log(1 + x)







f (x) =
se −1 < x ≤ 0
a sin x + b cos x se 0 < x <






x
se x ≥
π
2
π
2
sia continua sul suo dominio.
9) Determinare il dominio e studiare la continuità della funzione f (x) =
2)
log(1+x
√
.
3−sin x
10) Determinare il dominio e studiare la continuità della funzione f (x) = M (3 + 14 cos 2x).
11) Disegnare il grafico e studiare la continuità della funzione
f (x) =
 h i

x 1

 x
se x 6= 0


1
se x = 0.
12) Disegnare il grafico e studiare la continuità della funzione
f (x) =

x sin x1



se x 6= 0


1
se x = 0.
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3
SOLUZIONI
1) Per verificare che f (x) =
√
x è continua in x0 , con x0 ≥ 0, conviene esprimere la differenza
f (x) − f (x0 ) in modo da maggiorarla, se possibile, con la differenza x − x0 o con una funzione
di x − x0 . In questo caso, razionalizzando, abbiamo
√
√
√
√
√
( x − x0 )( x − x0 )
√
x − x0
√
x − x0 =
=√
√
√ .
x + x0
x + x0
√
Tenendo conto che x ≥ 0 per ogni x ≥ 0,
√
√
|x − x0 |
|x − x0 |
| x − x0 | = √
.
√ ≤ √
x + x0
x0
Fissato ora ε > 0, cerchiamo di determinare δ > 0, tale che da |x − x0 | < δ segua |f (x) −
f (x0 )| < ε. Sfruttando la disuguaglianza precedentemente provata, basta determinare δ > 0,
tale che da |x − x0 | < δ segua
|x − x0 |
< ε.
√
x0
√
√
Quest’ultima condizione equivale a |x − x0 | < x0 ε, pertanto basta scegliere δ ≤ x0 ε.
2) Si vuole verificare che f (x) =
1
x
−
1
x0
è continua in x0 per ogni x0 6= 0. Operando come
nell’esercizio precedente, cerchiamo di esprimere la differenza f (x) − f (x0 ) in modo da maggiorarla, se possibile, con la differenza x − x0 o con una funzione di x − x0 . In questo caso,
abbiamo
1
1
x0 − x
−
=
.
x x0
xx0
Supponiamo che x0 > 0 (per x0 < 0 il procedimento è simile); poichè f non è definita in
0, conviene scegliere x in un intorno di x0 che non contenga 0. Se scegliamo, per esempio
l’intorno di centro x0 e raggio x0 /2, I =] x20 , 32 x0 [, allora per ogni x ∈ I si ha
x · x0 >
x0
x2
· x0 = 0
2
2.
Pertanto, per ogni x ∈ I si ha
¯1
1 ¯¯ |x0 − x|
|x0 − x|
¯
<2
.
¯=
¯ −
x x
xx
x2
0
0
0
Fissato ora ε > 0, cerchiamo di determinare δ > 0, tale che da |x − x0 | < δ segua |f (x) −
f (x0 )| < ε. Sfruttando la disuguaglianza precedentemente provata, basta determinare δ > 0,
tale che da |x − x0 | < δ segua
2
|x0 − x|
< ε.
x20
4
FUNZIONI CONTINUE - ESERCIZI SVOLTI
Quest’ultima condizione equivale a |x − x0 | < ε
basta quindi scegliere δ ≤
x2
min{ε 20 , x20 }.
x20
2 ;
affinchè essa sia soddisfatta per x ∈ I
3) Si vuole disegnare il grafico e studiare i punti di discontinuità della funzione f (x) = [sin x]
(parte intera di sin x). Conviene osservare che, poichè sin x è periodica, di periodo 2π, anche f
ha la stessa proprietà. Pertanto è sufficiente limitarsi a studiare f in un intervallo di ampiezza
2π. Consideriamo, ad esempio, x ∈ [−π, π]. Tenendo conto che [n] = n per ogni n intero,
segue che f (x) = sin x per x = −π, −π/2, 0, π/2, π. Inoltre [y] = 0 per ogni y ∈ [0, 1[, quindi
f (x) = 0 per ogni x tale che sin x ∈ [0, 1[, ovvero per ogni x ∈ [0, π] \ {π/2}. Analogamente,
essendo [y] = −1 per ogni y ∈ [−1, 0[, segue f (x) = −1 per ogni x tale che sin x ∈ [−1, 0[,
ovvero per x ∈] − π, 0[.
Possiamo pertanto disegnare il grafico richiesto, e verificare che vi sono punti di discontinuità.
In ±π e 0 la funzione f ha discontinuità di prima specie, in quanto
lim f (x) = 0,
x→±π −
lim f (x) = −1,
x→±π +
lim f (x) = −1,
lim f (x) = 0,
x→0−
In x0 =
π
2
x→0+
f ha una discontinuità eliminabile, in quanto
lim f (x) = 0
x→ π2
e
π
f( ) = 1
2
4) Come nel caso precedente la funzione f (x) = M (sin x) (mantissa di sin x) risulta periodica
di periodo 2π. Consideriamo pertanto il problema posto nell’intervallo [−π, π]. Per tracciare
il grafico ricordiamo che M (n) = 0 per ogni intero n, da cui segue f (x) = 0 per ogni x tale
che sin x sia intero, ovvero per x = −π, −π/2, 0, π/2, π. Inoltre, poichè da y ∈]0, 1[ segue
M (y) = y, allora per gli x tali che sin x ∈]0, 1[, ovvero per x ∈]0, π[\{π/2}, si ha f (x) = sin x.
Invece, da y ∈]−1, 0[ segue M (y) = y+1, e quindi per x ∈]π, 0[\{−π/2}, si ha f (x) = sin x+1.
Si osserva ora che f ha punti di discontinuità di prima specie, per x = π, 0, π/2, π. Infatti
lim f (x) = 0,
x→±π −
lim f (x) = 1,
x→0−
In x =
π
2
lim f (x) = 1,
x→±π +
lim f (x) = 0.
x→0+
la funzione f ha invece un punto di discontinuità eliminabile, poichè
lim f (x) = 1,
x→ π2
e
π
f ( ) = 0.
2
FUNZIONI CONTINUE - ESERCIZI SVOLTI
5
5) Per disegnare il grafico e studiare i punti di discontinuità della funzione f (x) =
2x2 −5x−3
,
x2 −4x+3
occorre preliminarmente determinarne il dominio. Poichè il denominatore si annulla per
x = 1, 3 si ha subito che dom(f ) = R \ {1, 3}. Poichè anche il numeratore si annulla per x = 3
possiamo decomporre numeratore e denominatore, ottenendo
f (x) =
(x − 3)(2x + 1)
2x + 1
3
=
=2+
(x − 3)(x − 1)
x−1
x−1
per ogni x ∈ R \ {1, 3}. Il grafico di f si può ricavare facilmente da quello di g(x) = 1/x
mediante traslazioni e cambiamenti di scala. Per quanto riguarda i punti di discontinuità,
x = 3 è un punto di discontinuità eliminabile, in quanto non appartiene al dominio, ma esiste
finito il limite
³
lim f (x) = lim 2 +
x→3
x→3
3 ´ 7
= .
x−1
2
Per x = 1, punto esterno al dominio di f , si ha invece
lim f (x) = −∞,
lim f (x) = +∞.
x→1−
x→1+
Con abuso di linguaggio si usa dire anche che 1 è punto di discontinuità di seconda specie.
Il grafico di f è riportato in figura 1.
30
20
10
0
−1.0
−0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
−10
−20
Fig. 1: Grafico di f , (esercizio 5)
6) Si vuole disegnare il grafico e studiare i punti di discontinuità della funzione f (x) =
x+3
.
3x2 +x3
L’esercizio è simile al precedente. Si verifica facilmente che dom(f ) = R \ {−3, 0}, e per tali
punti
f (x) =
1
.
x2
6
FUNZIONI CONTINUE - ESERCIZI SVOLTI
In x = −3 si ha una discontinuità eliminabile, in quanto esiste finito
1
lim f (x) = ,
x→−3
9
mentre in x = 0 si ha
lim f (x) = +∞,
x→0
ovvero una discontinuità di seconda specie. Il grafico di f è riportato in figura 2.
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
−2.0
−1.5
−1.0
−0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
Fig. 2: Grafico di f , (esercizio 6)
7) Per determinare k ∈ R in modo che la funzione
f (x) =
 2
2x + 4x



se x ≥ 1


 −x + k
se x < 1
sia continua su R, si può cominciare ad osservare che f (x) è continua per ogni x 6= 1, in
quanto composta da funzioni continue (in questo caso, polinomi). Basta quindi studiare la
continuità in x = 1. Perchè f sia continua in x = 1 occorre che i limiti destro e sinistro di
f (x) per x → 1 siano finiti ed uguali al valore f (1). Calcoliamo quindi
lim f (x) = lim (−x + k) = k − 1,
x→1−
x→1−
lim f (x) = lim (2x2 + 4x) = 6.
x→1+
x→1+
Imponendo la condizione k − 1 = 6 troviamo k = 7, che è il valore cercato. Per ogni altro
valore di k la funzione f corrispondente risulta discontinua in x = 1.
FUNZIONI CONTINUE - ESERCIZI SVOLTI
7
8) Per determinare a, b ∈ R in modo che la funzione

log(1 + x)







f (x) =
se −1 < x ≤ 0
a sin x + b cos x se 0 < x <






x
se x ≥
π
2
π
2
sia continua sul suo dominio, osserviamo innanzitutto che dom(f ) =] − 1, +∞[. Inoltre, negli
intervalli aperti ] − 1, 0[, ]0, π2 [, ] π2 , +∞[ la funzione f (x) è continua in quanto composizione di
funzioni continue (logaritmo, polinomi, seno e coseno). Resta quindi da studiare la continuità
nei punti di raccordo x = 0 e x =
π
2.
In ciascuno di tali punti si ha continuità se i limiti
destro e sinistro sono finiti ed uguali al valore assunto da f . Calcoliamo pertanto
lim f (x) = lim log(1 + x) = 0,
x→0−
x→0−
lim f (x) = lim (a sin x + b cos x) = b.
x→0−
x→0−
Ne segue che f è continua in 0 se e solo se b = 0. Inoltre
lim f (x) = lim (a sin x + b cos x) = a,
x→ π2 −
x→ π2 −
da cui risulta che f è continua in x =
9) La funzione f (x) =
2)
log(1+x
√
3−sin x
π
2
lim f (x) = lim x =
x→ π2 −
x→ π2 −
π
,
2
se e solo se a = π2 .
è definita su tutto R, in quanto per ogni x ∈ R si ha 1+x2 ≥ 1 > 0
e 3 − sin x ≥ 2 > 0. Per ogni x ∈ R essa è continua, in quanto composta da funzioni continue.
10) La funzione f (x) = M ( 12 + 14 cos 2x) è definita su tutto R. Per ogni x ∈ R essa è continua, in
quanto composta dalla funzione g(x) =
1
2
+ 41 cos 2x, che è continua per ogni x ∈ R, e ha per
immagine Im (g) = [1/4, 3/4], e dalla funzione M (x) che è continua per ogni x ∈ [1/4, 3/4].
11) La funzione
f (x) =
 h i

x 1

 x
se x 6= 0


1
se x = 0.
è discontinua nei punti x = 1/n, per ogni n intero (positivo o negativo) ed ha in tali punti
discontinuità di prima specie. In tutti gli altri punti di R è continua.
8
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12) La funzione
f (x) =

x sin x1



se x 6= 0


1
se x = 0
è discontinua per x = 0, dove ha una discontinuità eliminabile, in quanto
lim f (x) = 0,
f (0) = 1.
x→0
In tutti gli altri punti di R è continua.
Il grafico di f è riportato in figura 3.
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
−3
−2
−1
0
1
2
−0.2
Fig. 3: Grafico di f , (esercizio 12)
3