mp 2i O 4i B A D C vp TG W QG QV TV θ A B

Corsi di Laurea in Ingegneria Biomedica, dell’Informazione, Elettronica e Informatica
Canale 3 (Prof. G. Naletto)
Prova scritta di Fisica Generale 1 - Padova, 25 Giugno 2014
Cognome .............................................................. Nome ........................................... Matricola .......................
Problema 1
Un corpo A di massa mA = m e dimensioni trascurabili è fermo su un piano inclinato
liscio che forma un angolo θ = 30° rispetto all’orizzontale. Il corpo è collegato sul
lato in cui il piano scende all’estremità di una molla ideale di costante elastica
B k = 150 N/m posta parallela al piano e il cui altro estremo è vincolato al piano
A
stesso. Sul lato opposto, dove il piano sale, il corpo è collegato ad un filo
inestensibile, parallelo al piano e di massa trascurabile. All’altra estremità del filo,
θ
dopo una carrucola ideale, è collegato un corpo B di massa mB = m; B può muoversi
lungo la direzione verticale in contatto strisciante con la parete verticale del piano
inclinato, e tra corpo e parete il coefficiente di attrito statico è uguale a quello dinamico (µs = µd). Sapendo che l’estensione della molla nella posizione iniziale di equilibrio statico del sistema è pari a ∆xe = 0.08 m, determinare:
a) il valore della forza d’attrito statico agente sul corpo B;
b) il valore della massa m dei due corpi.
Mantenendo il sistema bloccato, si cambia la massa di B, ponendola uguale a m’B. Si liberano poi i due corpi e si osserva
un moto oscillatorio in cui il modulo della massima compressione della molla è pari a ∆xc,max = 0.05 m. Determinare:
c) il valore m’B della massa di B.
Problema 2
mp
C
vp
O
2l
A
4l
D
B
Un corpo rigido è costituito da due sbarrette sottili omogenee vincolate tra di loro
di lunghezza AB = 4l e CD = 2l (l = 0.15 m) e massa rispettivamente mAB e
mCD = 5mAB. La sbarretta AB è orizzontale, mentre CD è verticale con il suo punto
medio coincidente con A. Il corpo può ruotare attorno ad un asse orizzontale privo
di attrito passante per il punto O della sbarretta AB che si trova a distanza l da A; il
momento d’inerzia del corpo rigido rispetto all’asse passante per O è IO = 0.405
kgm2. Il sistema è inizialmente fermo con il punto D appoggiato al suolo. Ad un
certo istante, un proiettile di dimensioni trascurabili e massa mp = mAB/3 urta il
punto B in modo completamente anelastico con velocità istantanea verticale
orientata verso il basso di modulo vp e vi rimane attaccato. Determinare:
a)
b)
la massa mAB della sbarretta AB;
il modulo vp della velocità del proiettile un istante prima dell’urto sapendo che la velocità angolare del corpo rigido
un istante dopo l’urto è pari a ω’ = 3 rad/s;
c) la distanza xCM del centro di massa del sistema corpo rigido + proiettile rispetto ad O.
(Facoltativo) A seguito dell’impatto con il proiettile, il punto D dapprima si alza dal suolo e poi vi va a sbattere
nuovamente a causa della forza peso. Durante quest’urto, il suolo esercita su D una forza resistente costante di modulo
F = 200 N finché il corpo si ferma. Considerando per semplicità il moto di D come puramente verticale, determinare:
d) la profondità h di cui il punto D penetra nel suolo.
Problema 3
TV
QV
W
QG
TG
Una macchina termica reversibile lavora tra un serbatoio di vapor acqueo saturo alla temperatura
TV = 373.15 K (λV = 2.26·106 J/kg) ed una massa M = 40 kg di ghiaccio alla temperatura di
fusione TG = 273.15 K (λG = 3.3·105 J/kg). Ad ogni ciclo fonde una massa mG = 0.05 kg di
ghiaccio e condensa una massa mV di vapore. Determinare:
a) la massa mV di vapore che condensa ad ogni ciclo;
b) il lavoro totale WTOT compiuto dalla macchina quando tutto il ghiaccio è fuso;
c) la temperatura Ta raggiunta dall'acqua (c = 4.187·103 J/kgK) dopo che una massa pari a
MV = 1 kg di vapor acqueo è condensata a partire dall’istante in cui tutto il ghiaccio è fuso;
d) l’altezza h di cui si può sollevare un corpo di massa m = 5000 kg utilizzando senza perdite il
lavoro prodotto dalla macchina termica a partire dall’istante in cui tutto il ghiaccio è fuso e
fino a quando la temperatura dell’acqua è pari a Ta.
Soluzioni
Problema 1
a) Siccome la reazione normale tra corpo B e piano è nulla, la forza d’attrito statico (Fas ≤ µsN) è nulla. Anche la forza
di attrito dinamico Fad = µdN, presente quando il corpo si muove e striscia, è nulla.
k∆xe
= 2.45 kg
b) mB g − T = 0; T − k∆xe − m A g sin θ = 0 ⇒ m =
g (1 − sin θ )
c) I corpi percorrono una distanza complessiva h = ∆xe + ∆xc,max da quando vengono liberati al momento di massima
compressione della molla.
1
1
E m , A+ B ,in = E m , A+ B , fin ⇒ mgh sin θ + k∆x e2 = k∆x c2,max + m' B gh
2
2
k
k
⇒ m' B = m sin θ +
∆xe2 − ∆xc2,max = m sin θ +
∆xe − ∆xc ,max = 1.45 kg
2 gh
2g
(
)
(
)
Problema 2
I
1
 1

I O =  mAB (4l)2 + mAB l 2  +  mCD (2l )2 + mCD l 2  = 9mAB l 2 ⇒ mAB = O2 = 2 kg
a)
9l
12
 12

r
r
I' ω'
I' O = I O + m p (3l )2 = 12m AB l 2 ; Lin,O = L fin,O ⇒ 3lm p v p = I' O ω' ⇒ v p = O = 12ω'l = 5.4 m/s
b)
3lm p
c)
d)
Assumiamo il punto O come origine del sistema di riferimento Oxy, con x asse orizzontale orientato verso B.
m AB l − mCD l + m p 3l m AB l − 5mAB l + m AB l
9
xCM =
=
= − l = 0.071 m
mAB + mCD + m p
mAB + 5m AB + mAB / 3
19
1
9 
⇒ − Fh + mTOT g  h  = − I 'O ω ' 2
2
 19 
2
2
6m AB l ω '
⇒ h=
= 0.007 m
F − 3m AB g
W = ∆Ek
Problema 3
QV QG
+
=0 ⇒
a)
TV TG
mV λV mG λG
−
=0 ⇒
TV
TG
⇒ Fh −
mV = mG
19
9  1
m AB g  h  = 12mAB l 2ω ' 2
3
 19  2
⇒
λG TV
= 0.01 kg
λV TG
oppure
η = 1−
b)
η=
QG
QV
Wciclo
QV
= 1−
mG λG
T
; η = 1− G
mV λV
TV
⇒
⇒ Wciclo = ηQV = ηmV λV ;
mV = mG
N cicli =
λG TV
λV TG
 T
M
; WTOT = Wciclo N cicli = 1 − G
mG
 TV

M
mV λV
= 4.83 ⋅ 106 J
mG

oppure
 T
QV QG
T
+
= 0 ⇒ QV ,TOT = −QG ,TOT V ; WTOT = QG ,TOT + QV ,TOT = QG ,TOT 1 − V
TV TG
TG
 TG
∆SU =

 T
 = − MλG 1 − V

 TG
M λ
− MV λV
T
+ Mc ln a = 0 ⇒ Ta = TG exp V V
TV
TG
 McTV
c)
∆SUN = ∆SV + ∆S acqua = 0 ⇒
d)
W ' = Q'V +Q' G = MV λV − Mc(Ta − TG ) = mgh ⇒
h=
MV λV − Mc(Ta − TG )
= 11.7 m
mg

 = 283.2 K



