Testo e soluzione

FISICA per SCIENZE BIOLOGICHE
Anno Accademico 2010-2011, prima prova parziale, 29 Aprile 2011
Scrivere nome, cognome e numero di matricola
ed il numero di lettere nn = ........, nc = ........ che compongono nome e cognome.
Commentare brevemente i passaggi, scrivere sempre la formula usata prima
di sostituire i valori numerici, ricordando di indicare le unità di misura.
Soluzioni ed esiti alla pagina http://qinf.fisica.unimi.it/˜paris/fisbio.html
Esercizio 1: Un corpo di massa m parte da fermo da un’altezza h = nc m e scende strisciando
lungo un piano inclinato di un angolo α = 30 ◦ .
a) Assumendo che non sia presente attrito tra corpo e piano determinare l’accelerazione
a cui é soggetto il corpo facendo esplicitamente il bilancio delle forze e calcolare il
tempo necessario affinché il corpo arrivi alla fine del piano inclinato.
b) Se il coefficiente di attrito statico tra corpo e piano vale µ s = 0.30 e quello di attrito
dinamico µd = 0.20 determinare se il corpo inizia a scendere lungo il piano e, in caso
affermativo, calcolare il tempo necessario affinché il corpo arrivi alla fine del piano
inclinato.
Esercizio 2: Si consideri un corpo di massa m =nn g che comprime una molla di costante
elastica k = 10 nc N/m su un piano orizzontale. La compressione della molla rispetto al suo
punto di equilibrio é pari a d = 1 cm. Si determini:
a) la velocità con cui il corpo si stacca dalla molla (molla ritornata al suo punto di equilibrio)
supponendo che il piano sia perfettamente liscio fino al punto di distacco O;
b) la lunghezza del tratto OB, percorso dal corpo prima di arrestarsi, supponendo che il
piano da O in poi sia scabro con coefficiente di attrito dinamico pari a µ = 0.2.
Esercizio 3: Una carica puntiforme Q = nc 10 −6 C é posta nell’origine di un sistema di
riferimento Cartesiano.
a) Determinare il campo elettrico nei punti A( √12 m, √12 m) e B(1 m, 0).
b) Calcolare il lavoro compiuto dal campo elettrico generato dalla carica Q per portare una
carica positiva q = nn 10−8 C dal punto B al punto C(3 m, 0).
FISICA per SCIENZE BIOLOGICHE
Anno Accademico 2010-2011, prima prova parziale del 29 Aprile 2011
Soluzione esercizio 1:
a) Scegliamo un sistema di riferimento con origine nel punto iniziale del piano inclinato
e asse x diretto come il piano inclinato. Sul corpo agiscono la forza peso P = mg
diretta perpendicolarmente alla superficie terrestre e la reazione normale N del piano
diretta perpendicolarmente al piano stesso. La risultante delle forze lungo l’asse y,
Ry = N − mg cos α é nulla poiché non vi é moto in quella direzione e dunque N = mg cos α.
La risultante lungo l’asse x vale Rx = mg sin α e l’accelerazione ax = g sin α. Il corpo si
muove di moto uniformemente accelerato in direzione x con velocità iniziale nulla e
partendo dall’origine, la sua legge oraria é dunque x(t) = 12 ax t2 ed il tempo necessario t∗ ad
arrivare in fondo al piano soddisfa l’equazione L = 21 ax t2∗ , dove L = h/ sin α é la lunghezza
p
√
del piano inclinato. Esplicitando l’incognita arriviamo a t ∗ = 1/ sin α 2h/g ' 0.90 nc s.
b) La forza di attrito che agisce sul corpo é diretta in direzione x con verso opposto a
quello del moto e modulo Fa = µN dove N = mg cos α é la reazione normale del piano. La
risultante delle forze in direzione x é dunque data da R x = mg cos α − Fa . Il corpo inizia
a muoversi se mg sin α > µs mg cos α ovvero se sin α > µs cos α (vero). Una volta partito
il corpo si muove di moto uniformemente accelerato in direzione x con accelerazione
pari p
a ax = g(sin α − µd cos α) ed il tempo
necessario ad arrivare in fondo é dato da
√
t∗ = 2h/[g sin α(sin α − µd cos α)] ' 1.1 nc s.
Soluzione esercizio 2:
a) Poiché sono presenti solo forze conservative si applica la legge di conservazione
dell’energia meccanica. Il sistema inizialmente possiede solo energia potenziale elastica e,
al momento del distacco del corpo dalla molla, solo energia cinetica, per cui 12 kd2 = 12 mv 2
p
p
e v = k/m d ' nc/nn m/s.
b) Quando il corpo si distacca dalla molla percorre un piano scabro dovra la forza
d’attrito dissipa l’energia cinetica. Applicando il teorema dell’energia cinetica abbiamo
La = ∆K = 0 − 21 mv 2 , ovvero −µmg OB= − 21 mv 2 , da cui OB = v 2 /(2µg) ' 0.26 nc/nn m.
Soluzione esercizio 3:
a) Il campo elettrico generato alla carica Q nel generico punto P é dato da E = κQ/r 2 r dove
κ ' 9 109 N m2 /c2 , r é la distanza dall’origine e r il versore che individua la direzione OP . Il
campo é ”uscente” rispetto all’origine perché la carica Q é positiva. I punti A e B hanno
la medesima distanza dall’origine r = 1 m e dunque il modulo del campo elettrico é lo
stesso nei due punti, E = κ Q ' 9 nc 103 N/m. Direzione e verso invece sono differenti
e individuati dai segmenti OA e OB.
b) Il campo elettrico é conservativo e il lavoro compiuto per portare la carica q da B a C
puó esser ecalcolato come LBC = q(VB − VC ) dove VP = κ Q/rP é il potenziale del punto
P , ovvero LBC = κ Q q (1/rB − 1/rC ) ' 6 nn nc 10−5 J.