Diapositiva 1 - Dipartimento di Fisica

Metodi di estrazione di segnali dal rumore
Sorgenti di rumore elettronico:
Rumore Johnson:
Causato dal moto termico degli elettroni è presente in qualsiasi
condizione di misura. Ha uno spettro bianco.
Shot noise:
Esempio: fluttuazione di corrente in un tubo elettronico legate alla
fluttuazione nell’emissione di elettroni da parte del catodo
Spettro costante a bassa frequenza e poi tende a zero
Rumore di generazione/ricombinazione:
Dovuto alla generazione/ricombinazione casuale di coppie
elettrone-lacuna. Ha uno spettro limitato perché dipende dal tempo
di vita media dei portatori (∼10-7 sec)
Rumore 1/f
Spettro che va come 1/f per frequenze minori di 1KHz (circa)
Sembra essere legato a fluttuazioni nel numero di portatori dovute
alla possibilità che i portatori dei semiconduttori siano trattenuti in
livelli energetici trappola
Metodi per estrarre segnale dal rumore
1) Filtro passa-basso - Media temporale
2) Autocorrelazione o crosscorrelazione
3) Media digitale: Boxcar averager
4) Detezione sincrona: Lock-in
Filtro P. B.
Funziona in caso di rumore bianco
Inutile se il rumore dominante è 1/f
Media temporale
Il filtro restituisce in uscita la media sull’intervallo T del
segnale in ingresso
Vout (t 0 ) =
1
t0
Vin (τ )dτ
∫
Tt T
0−
Con h(t)
t0
=
Vout (t 0 ) = ∫ h (t − τ )Vin (τ )dτ
−∞
1/T
t-T
Funziona per segnali variabili lentamente nel tempo e affetti da
rumore bianco.
Se rumore 1/f aumentando i tempi di misura aumentiamo la
sensibilità al rumore a basse frequenze: si guadagna poco o nulla
Autocorrelazione e crosscorrelazione
Con l’autocorrelazione cerchiamo se entro il segnale c’è qualche
componente correlata con se stessa su tempi opportunamente lunghi
Con la crosscorrelazione cerchiamo se c’è una componente correlata
con un segnale di riferimento. Bisogna però conoscere il periodo del
segnale da estrarre dal rumore
Supponiamo che il segnale x(t) sia composto dal segnale da
misurare s(t) e da rumore n(t) entrambi a media nulla
Se non conosco la periodicità del segnale originario posso ricavarla
dalla autocorrelazione; infatti:
C xx (τ ) =
T
T
∫ x (t )x (t − τ )dt
0
=
1
T
T
∫ [s (t ) + n (t )][s (t − τ ) + n (t − τ )]dt
0
C xx (τ ) = C ss (τ ) + C sn (τ ) + C ns (τ ) + C nn (τ )
Cioè:
Ma
1
C sn (τ )
per cui:
e
C ns (τ )
sono nulli e Cnn va molto rapidamente a zero
C xx (τ ) ≅ C ss (τ )
su tempi lunghi
Ricavo l’informazione sul periodo del segnale cercato
Se conosco il periodo posso ricorrere alla crosscorrelazione:
creo un segnale y(t) che abbia la stessa frequenza di s(t)
C xy (τ ) = C sy (τ ) + C ny (τ )
con C ny (τ ) che tende rapidamente a zero
Esempio Autocorrelazione: Onda quadra immersa nel rumore
Media digitale: Boxcar averager
Sfrutta la ripetitività di un fenomeno fisico come ad esempio la
risposta all’impulso di un circuito
Si effettua una somma coerente dei contributi del segnale ad un
tempo t e se ne fa la media.
È possibile solo in presenza di un segnale di trigger.
Boxcar ad un canale:
Permette la rivelazione di un segnale ripetitivo di sui si conosce
istante di apparizione e cadenza
se
s (t ) = s (t + nT )
n intero
e
x (t ) = s (t ) + n (t )
Acquisendo M campioni ciascuno a distanza τ dal trigger e
somandoli, si ottiene:
x (τ ) =
1
M −1
1
M −1
[s (τ + iT ) + n (τ + iT )] =
x (τ + iT ) =
∑
∑
Mn
Mn
=0
= s (τ ) +
1
M
=0
M −1
n (τ + iT )
∑
n
=0
Se i campionamenti di n(t) sono indipendenti ed essendo il rumore a
media nulla, la sommatoria tende a zero al crescere di M
Boxcar averager a più canali
Ad ogni start si inizia il campionamento e K valori campionati ad
istanti diversi vengono posti in K celle di memoria
La striscia di celle di memoria contiene la versione discretizzata della
funzione d’onda
La frequenza di campionamento dovrà essere almeno K volte quella
del segnale
Acquisizione in tempo reale
Se il segnale è lento rispetto alla frequenza di campionamento posso
effettuare K acquisizioni ogni start e mediare poi su M sequenze
Acquisizione in tempo equivalente
Se il segnale è molto veloce effettuo l’acquisizione di un unico valore
alla volta cambiando ad ogni start il tempo di ritardo τ.
Mi serviranno K*M acquisizioni
Rapporto Segnale - Rumore
Si definisce rapporto segnale-rumore su un intervallo di frequenza
Δf il rapporto:
potenza totale del segnale in Δf
S
=
N
potenza totale del rumore in Δf
Tale grandezza indica quanto difficoltosa sarà la misura della
grandezza fisica in esame
Potenza totale del rumore: densità spettrale di potenza integrata su
Δf
PN = ∫Wxx (f )df = ∫ lim
1
T
T →∞
XT (f ) df
2
Valore efficace di tensione di rumore in una certa banda B:
Veff =
1
T
2
x
(
t
)
dt = W (f ) ⋅ B
∫
Da cui tensione media di rumore nella stessa banda:
V = 2 W (f ) ⋅ B
LOCK-IN
Il Lock-in è uno strumento che sfruttando la rivelazione sincrona permette
la misura di segnali periodici con banda spettrale molto stretta (D.C. o
pseudo D.C.) anche in condizione di rapporto S/N <<1.
È utilizzato per:
-Estrarre segnale dal rumore
-Misurare la derivata di una funzione (risposta di un processo fisico)
S(t)
Amplificatore
(selettivo)
uscita
X
R(t)
Sfasatore
Filtro P.B.
Squadratore
S(t) segnale modulato
R(t) segnale di riferimento
Per poterlo utilizzare è necessario conoscere la frequenza del segnale
in ingresso in modo da creare il corretto segnale di riferimento per la
rivelazione sincrona.
Tipicamente un esperimento è progettato appositamente per
utilizzare il lock-in eccitando il sistema in esame con una sequenza
ripetitiva (onda quadra, sinusoidale etc) e lo stesso segnale serve
come riferimento per il lock-in.
Il metodo consiste in:
- Modulazione un processo fisico
- Amplificazione selettiva
- Demodulazione sincrona
- Filtraggio (Passa-Basso)
LOCK-IN
X(f)
X(t) segnale a banda limitata
-B
Modulo a f0 >>B
-B
+B
f
-f0
+B
-B
f0
+B
f
-B
-f0
+B
-B
f0
+B
f
-B
-f0
+B
-B
f0
+B
f
Entra rumore
Filtro selettivo
Demodulazione
f
Passa-Basso
Modulazione del segnale:
Il segnale da misurare diventa l’ampiezza di un onda periodica di
frequenza fM
Conviene effettuarla il prima possibile per evitare di trasportare ad alta
frequenza anche il rumore
Si può eseguire con mezzi meccanici o agendo sull’alimentazione della
sorgente di eccitazione
Esempi:
Modulazione meccanica con Chopper
luce o elettroni
Campione in esame
Foto
diodo
LED
rivelatore
segnale
riferimento
Modulazione elettrica:
Misura della resistenza di un materiale con corrente sinusoidale
campione
I∼
segnale
LOCK-IN
riferimento
A che frequenza modulare (fM)?
Se segnale pseudo DC fmax segnale ∼1 Hz
fM può essere scelta a partire da qualche decina di Hz (non 50, 100,..)
per evitare rumore 1/f meglio sopra il kHz
Ricostruzione del segnale originario: demodulazione sincrona e
filtro passa basso
Può avvenire utilizzando un’onda quadra (più semplice) o un’onda
sinusoidale di ampiezza unitaria avente la stessa frequenza del
segnale di riferimento.
Onda quadra:
r (t ) ⇒ D (t ) =
4
1
sen [(2n + 1)ω Mt ]
∑
π n 2n + 1
Supponiamo che il segnale sia V(t)=VS(t)+VN(t) con
VS (t ) = V0 sen (ω Mt )
VN (t ) = VN sen (ωN t )
V0 segnale da misurare, VS segnale modulato in ingresso al LOCKIN e VN rumore (armonico per semplicità)
Allora dopo il moltiplicatore:
VOUT (t ) = (VS (t ) +VN (t ) ) ⋅ D (t ) =
4
1
1
⎛
⎞
π ⎝
3
5
⎠
1
4 ⎛
1
⎞
VN ⎜ sen (ωNt )sen (ωMt ) + sen (ωNt )sen (3ωMt ) + sen (ωNt )sen (5ωMt ) + ......⎟
π ⎝
5
3
⎠
V0 ⎜ sen 2 (ωMt ) + sen (ωMt )sen (3ωMt ) + sen (ωMt )sen (5ωMt ) + ......⎟ +
Cioè:
4
VOUT (t ) = V0 (sen 2 (ωMt ) + termini a media nulla) +
π
4
+ VN (termini a media nulla)
π
Dopo il filtro passa basso quindi:
2
VOUT (t ) = V0
π
Se il segnale di riferimento ha stessa frequenza del segnale
modulato ma diversa fase:
4
1
VOUT (t ) = V0sen (ωMt + ϕ ) ⋅ D (t ) = V0 (cos(ϕ ) − cos(2ωMt + ϕ ))
π 2
(trascurando il rumore e considerando solo il termine per n=1)
Dopo il passa basso quindi:
2
VOUT (t ) = V0 cosϕ
π
Importanza di controllare la differenza di fase tra s(t) e D(t)
Operativamente spesso si aggiusta la fase in modo da avere uscita nulla
e poi si cambia di π/2
Nel caso di onda quadra, oltre alla frequenza corrispondente
all’armonica fondamentale fM, moltiplico il segnale anche per tutti i
multipli dispari di fM
Porto a zero anche componenti di segnale/rumore presenti a 3fM,
5fM...
Si ovvia al problema anteponendo un filtro passa-banda al rivelatore
sincrono
Filtro passa basso in uscita: tempo di integrazione
Il tempo di integrazione va scelto il più grande possibile per ridurre il
rumore compatibilmente con le caratteristiche del segnale da rivelare
Riduzione del rumore
Supponiamo che il segnale da misurare sia una sinusoide
S A2 1
=
⋅ 2
N
2 σn
x (t ) = s (t ) + n (t ) = A cos(ωt ) + n (t )
σ n = VN (r .m .s .) =
2
2
1
T
T
2
n
∫ (t )dt
0
Se filtro diminuisco la potenza associata al rumore del rapporto tra
larghezza di banda del filtro e larghezza di banda originaria
(ricordando che Veff = W (f ) ⋅ B )
PN = σ N2 ⋅
1
⋅
1
B T
con T tempo di integrazione
da cui si vede che il rapporto segnale rumore aumenta linearmente
con il tempo di integrazione
Nota: se fosse presente il filtro passa-banda allora
PN = σ N2
Rumore originario
PN = σ N2 ⋅
Δf
B
Passa Banda
PN = σ N2 ⋅
Δf
B
⋅
1 1
⋅
Δf T
Rumore in uscita
Se il segnale da misurare non è costante ma varia su periodo T1:
Larghezza di banda B=1/T1
1.5
1
0.5
0
0
5
10
0
t
10
2
1
Modulando con sinusoide di periodo T2
0
1
Dopo il filtro con costante di tempo T
0
5
10
0
t
10
Se T∼T2 l’uscita contiene componenti del segnale modulante
Se T>>T2 ma T>T1 il filtro integra anche le componenti del segnale
Se T>>T2 e T<<T1 ottengo il segnale corretto
Demodulazione con onda sinusoidale:
Concettualmente più semplice (vedi modulazione e demodulazione
in ampiezza)
È presente solo nei modelli più recenti dei LOCK-IN per la difficoltà
di generare una sinusoide sincrona con un segnale di riferimento e
in fase con esso.
Si utilizzano i Phase Locked Loop (PLL) visti in precedenza
LOCK-IN digitale
Il lock-in analogico ha alcune limitazioni dovute a:
- Il rivelatore sincrono costituisce l’elemento critico per la reiezione
delle componenti non sincrone: asimmetrie nelle operazioni svolte
dal rivelatore possono impedire la reiezione del rumore
- Stabilità nel tempo degli amplificatori: limita la durata massima del
tempo di integrazione
Con l’uso di ADC si possono eseguire in modo digitale tutte le
operazioni svolte dal rivelatore sincrono
Moltiplicazione per onda quadra = attribuzione di segno
Filtro passa basso = filtraggio numerico
Uso del Lock-in: grandi modulazioni, piccole modulazioni, misura
della derivata
Supponiamo di voler misurare una certa legge fisica: y (t ) = f (x (t ))
y(t)
x(t)
1) Eseguo una ampia modulazione di x(t): onda quadra
y(t)
x0
Δx
x(t)
x(t)
y(t)
Δx
y(x0)
x0
t
Variando lentamente il valore di x0 posso ricostruire tutto il segnale
da misurare
Funziona se il segnale y(t) è nullo oltre un certo valore di x
t
2) Piccola modulazione di x
y(t)
x0
x(t)
Δx
y (t ) = y (x 0 + Δx (t )) = y (x 0 ) +
Se Δx (t ) = K cos(ωt ) allora
∂y
Δx
∂x
y (t ) = y (x 0 ) +
∂y
K cos(ωt )
∂x
Demodulando trovo il valore della derivata del segnale iniziale
Posso ricostruire y(t) variando lentamente x0 e integrando l’uscita
del lock-in
Posso misurare la derivata di un segnale (legge fisica)
Esempi di utilizzo del Lock-in
Misura della mobilità dei portatori in un MOSFET
La mobilità per effetto di campo è un parametro importante per il
funzionamento dei dispositivi
MOSFET:
Dispositivo a tre terminali in cui la conducibilità di un canale (Source-Drain)
viene controllata dall’applicazione di una tensione ad un terzo terminale del
dispositivo (Gate)
Applicando una d.d.p. tra gate e canale modifico la densità di portatori nel
canale variandone la conducibilità
La conducibilità elettrica può esprimersi in termini di mobilità dei portatori come:
σ = neμ
La mobilità per effetto di campo è definita come
μ FE =
1 ∂σ
e ∂n
con n densità dei portatori
nel materiale in esame
Ma
n = n (V g )
dipendente dalla capacità del dispositivo
Il MOSFET può essere schematizzato semplicemente come un condensatore
in cui un’armatura è il gate metallico e l’altra è il canale semiconduttore
Q neV
Vg =
=
→ n ∝ Vg
C
C
ISD [A]
μ FE
10
-6
10
-7
10
-8
10
-9
10
-10
10
-11
r
r
j = σE → σ ∝ j ∝ I SD
1 ∂σ
1 ∂I SD
=
∝
e ∂n
e ∂V g
77K
Vg(V)
Il Lock-in può essere utilizzato per misurare sia le caratteristiche I(Vg) sia la
mobilità
Nel primo caso utilizzo un’onda sinusoidale come tensione Source-Drain e
misuro la corrente in uscita dal MOSFET al variare di Vg
+
convertitore corrente-tensione
Nel secondo caso mando un’onda sinusoidale al gate con sovrapposta una
rampa di tensione
+
convertitore corrente-tensione
Mobilità
Caratteristica I-Vg
Vg
Misura della transcaratteristica I-Vg e della mobilità in un
MOSFET
Rf
Integratore
Rf
Vout
1
=−
Vin
Rin 1 + jωRf C f
Rin
Rf
Guadagno in continua −
Rin
Frequenza di taglio
Fase
ωT =
⎛
ω
⎝ ωT
ϕ = arctg ⎜⎜ −
Cf
1
Rf C f
⎞
⎟
⎟
⎠
Derivatore
R
Vout
= − f (1 + jωRin C in )
Vin
Rin
Rin
Rf
Guadagno in continua −
Rin
Cin
Rf
Teorema di Parseval