Testo gara PHiquadro 18 novembre 2013

GARA DI MATEMATICA ON-LINE (18/11/2013)
Istruzioni Generali

Si ricorda che per tutti i problemi occorre indicare sul cartellino delle risposte un numero intero
compreso tra 0000 e 9999, o comunque una successione di 4 cifre. Si ricorda anche che occorre sempre e
comunque compilare tutte le 4 cifre, eventualmente aggiungendo degli zeri iniziali.

Se la quantità richiesta non è un numero intero, si indichi la sua parte intera. Si ricorda che la parte
intera di un numero reale x e il più grande intero minore od uguale ad x.

Se la quantità richiesta è un numero negativo, oppure se il problema non ha soluzione, si indichi 0000.

Se la quantità richiesta è un numero maggiore di 9999, oppure se non è univocamente determinata, si
indichi 9999.

Nello svolgimento dei calcoli può essere utile tener conto dei seguenti valori approssimati:
2  1,4142
3  1,7321
5  2,2361
  3,1416
GH
ST
BUSTERS
If there's somethin' strange
in your neighborhood
Who ya gonna call? (Ghostbusters!)
If it's somethin' weird an' it don't look good
Who ya gonna call? (Ghostbusters!)
I ain't afraid o' no ghost
I ain't afraid o' no ghost
If you're seein' things
runnin' through your head
Who can you call? (Ghostbusters!)
An invisible man sleepin' in your bed
Oh who ya gonna call? (Ghostbusters!)
I ain't afraid o' no ghost
I ain't afraid o' no ghost
Who ya gonna call? (Ghostbusters!)
If you're all alone, pick up the phone
And call (Ghostbusters!)
I ain't afraid o' no ghost
I hear it likes the girls
I ain't afraid o' no ghost
Yeah, yeah, yeah, yeah
Who you gonna call? (Ghostbusters!)
Mmm, if you've had a dose
Of a freaky ghost baby
You better call (Ghostbusters!)
Let me tell you somethin'
Bustin' makes me feel good
I ain't afraid o' no ghost
I ain't afraid o' no ghost
Don't get caught alone, oh no (Ghostbusters!)
When he comes through your door
Unless you just a want some more
I think you better call (Ghostbusters!)
Oh, who you gonna call? (Ghostbusters!)
Who you gonna call? (Ghostbusters!)
Ah, think you better call (Ghostbusters!)
Who you gonna call? (Ghostbusters!)
I can't hear you
Who you gonna call? (Ghostbusters!)
Louder (Ghostbusters!)
Who you gonna call? (Ghostbusters!)
Who can you call? (Ghostbusters!)
Gara scritta da:
Alexandro Letizia
Nadia Greppi
Pierfausto Podavini
Sandro Campigotto
1. VOLONTARI
Peter Venkman, Raymond Stantz ed Egon Spengler erano tre dottori universitari in parapsicologia, e da tempo
studiavano, con scarsi risultati, i fenomeni paranormali. Il dottor Venkman era solito sottoporre alcuni giovani
volontari a dei semplici test. Ad uno di essi chiese di trovare il più piccolo prodotto di tre numeri interi positivi
distinti tali che, scelti comunque due di essi, il loro prodotto, diminuito di 1 sia divisibile per il terzo.
2. LA PRIMA SEGNALAZIONE
Un giorno Ray entrò nella stanza di Peter annunciandogli che era arrivata una segnalazione che riguardava un
fantasma. Nella vicina biblioteca stava succedendo qualcosa di strano ed Egon, che era già là, aveva ordinato loro di
raggiungerlo portando tutto l’equipaggiamento che si trovava chiuso nella cassaforte. Ray non ricordava la
combinazione, ma sapeva che Egon aveva usato il più piccolo numero naturale n che termina con 2012 ed è divisibile
per 2013. Qual era la combinazione? (Fornire le prime 4 cifre del numero n; ad es. se il numero fosse 122012
rispondere 1220.)
3. IL PRIMO INCONTRO
Nel sotterraneo della biblioteca Ray, Egon e Peter trovarono il fantasma della vecchia bibliotecaria. Il tentativo di
stabilire un contatto con l’apparizione andò a finire male, ma il campione di ectoplasma raccolto aprì nuovi spiragli.
Analizzando la sostanza, Egon era riuscito ad impostare la funzione f ( x)  x ( x  6)( x  2)( x  4) . Se fosse
riuscito a trovarne il minimo, avrebbero potuto catturare i fantasmi. In pochi minuti Egon trovò la soluzione. Qual
era questo numero? (Se il numero fosse negativo, rispondere con il suo valore assoluto.)
3
3
3
3
4. BRUTTE NOTIZIE
“Non c’è posto per voi in questa facoltà!” Con queste parole il rettore dell’università decise che la sezione di
parapsicologia doveva chiudere. Il laboratorio venne svuotato interamente. La stanza risultò essere un dodecagono
iscritto in una circonferenza formato da 8 pareti di lunghezza
l’area del laboratorio?
2 10 metri e 4 pareti lunghe 2 2 metri. Qual era
5. NUOVI GIOCATTOLI
Messa un’ipoteca sulla casa dei genitori per racimolare un po’ di denaro e acquistata una excaserma dei vigili del fuoco come nuova sede, i tre ricercatori si impegnarono a realizzare la
loro idea: catturare i fantasmi. Egon progettò uno zaino protonico per bloccarli, una trappola
per catturarli ed una unità di contenimento centrale per conservarli indefinitamente. Per
programmare questi marchingegni correttamente fattorizzò il numero 4  15 . Quanto vale
il prodotto della somma delle cifre dei due fattori primi che lo compongono?
15
4
6. ZUUL
Nel frattempo nell’appartamento di Dana Barret stavano accadendo cose bizzarre. Le uova esplodevano e friggevano
sul piano di lavoro, mentre nel frigo la povera donna aveva trovato un mostro che diceva di chiamarsi Zuul. Si
ricordò che poco prima avevano passato alla televisione la pubblicità della nuova agenzia Ghostbusters. Dana non
ricordava completamente il numero di telefono. Iniziava con 555 ma le ultime tre cifre non le tornavano bene in
mente. Eppure erano il prodotto dei numeri naturali n per i quali
naturale. Dana dovette andare a piedi fino all’agenzia.
220  212  2n  m2
per un qualche
m anch’esso
7. SLIMER
Finalmente gli Acchiappafantasmi ricevettero una chiamata da un grande albergo di lusso del centro, il Sedgewick
Hotel, infestato da un ingordo ectoplasma verde. I tre scienziati avrebbero potuto finalmente testare gli zaini
protonici e le trappole. Ancora poco esperto, Peter vide il fantasma nel grande salone dell’albergo e azionò il raggio
protonico dello zaino, mancandolo. Il raggio, dopo aver rimbalzato una sola volta sulle 4 pareti della stanza ed una
volta sul soffitto e sul pavimento (non necessariamente in quest’ordine), tornò proprio nel punto da cui era partito.
Egon per evitare che Peter venisse colpito gli diede una spinta salvandolo. Se la stanza era di
dimensioni 15 m 10 m  6 m , quanti metri ha percorso il raggio? (Dai la risposta moltiplicata per
100.)
8. IL SUCCESSO
L’impresa rese gli Acchiappafantasmi talmente famosi da farli finire sulle copertine di tutti i
giornali. Invitato ad un talk show, Egon cercò di spiegare che se si lanciano tre colpi consecutivi di
raggio protonico contro un fantasma la probabilità di colpirlo è rispettivamente
p1  0,5 con il
p2  0,7 con il secondo colpo, p3  0,9 con il terzo colpo. La probabilità di stordire
un fantasma, una volta sparati i tre colpi, è s1  0,3 se è stato colpito una sola volta, s2  0,6 se
colpito due volte e s3  0,8 , se centrato da tutti e tre i colpi. Ovviamente s0  0 , se mai colpito.
primo colpo,
Perplesso, il conduttore cambiò discorso, ma qual è la probabilità di stordire un fantasma lanciando
tre colpi consecutivi? (Dai come risultato la somma del numeratore e del denominatore della frazione ridotta ai
minimi termini.)
9. LA CARICA DEI 101
Il caso più grosso che i nostri eroi hanno dovuto affrontare è
stato “la carica dei 101”, così come Peter l’aveva
battezzato. In una vecchia casa di periferia erano state
segnalate le apparizioni di un numero considerevole di
fantasmi di cani. Giunti sul posto, Egon riprogrammò la
trappola, visto il considerevole numero di fantasmi. La
formula di confinamento prevedeva l’inserimento delle
ultime 4 cifre (quelle più a destra) del numero
Sn  1 2  2  4  3  8  ...  n  2n dove n è il numero di
fantasmi da catturare. Ray riuscì a contare ben 101
fantasmi. Quale numero dovette inserire Egon?
10. UN NUOVO GHOSTBUSTER
Sommersi dalle chiamate e dal superlavoro, i tre colleghi decisero di assumere un aiutante. Tra i pochi candidati si
presentò Winston Zeddemore al quale venne chiesto di trovare il più piccolo numero primo che divide uno qualsiasi
dei numeri scritti nella forma 58n  1 con
assunto.
2
n  . Pur non sapendo la risposta, vista l’urgenza, Winston venne
11. UNA VISITA INATTESA
Un bel giorno si presentò il Sig. Walter Peck, il quale disse di rappresentare l’Agenzia per l’Ambiente. Dopo aver
fatto un sacco di domande, chiese di poter vedere il dispositivo di stoccaggio. Peter si rifiutò, a meno che non
sapesse trovare un numero di tre cifre abc tale che 49a  7b  c  286 . L’agente andò via infuriato, promettendo
ritorsioni legali.
12 “MASTRO DI CHIAVI”
Nel frattempo qualcosa di grave stava accadendo a Louis, vicino di casa di Dana. Lo spettro
di Vinz Clortho, il “Mastro di Chiavi”, aveva preso possesso del corpo di Luis e stava girando
New York chiedendo ai passanti se conoscevano il “Guardia di Porta”. Un tale, per
liquidarlo, gli rispose che lui si trovava nel punto B e che l’avrebbe trovata nel punto X
della mappa che gli disegnò. Rappresentato New York come un quadrato ABCD di lato
20 km e indicato con M il punto medio del lato BC , AX risultava essere la
perpendicolare al segmento DM .Vinz partì a razzo in quella direzione, senza sapere che
sarebbe finito direttamente nella sede degli Acchiappafantasmi. Quanto misurava
BX 2 ?
D
C
X
M
A
B
13 “GUARDIA DI PORTA”
Intanto anche Dana era stata posseduta da Zuul, il “Guardia di Porta”, e di ciò se ne rese conto immediatamente
Peter quando la raggiunse nel suo appartamento. Ricorrendo ad una tecnica già sperimentata, Peter riuscì a far
addormentare la ragazza ponendogli il seguente quesito: Qual è il più piccolo numero che non contiene la cifra 9,
ma che è divisibile per 999? (Dai come risposta le prime 4 cifre a sinistra del risultato.)
14 UN GRANDE GUAIO
Walter Peck si ripresentò, questa volta con un mandato di “cessazione di attività”. Forzando la resistenza di Egon
ordinò all’elettricista di togliere la corrente dall’unità di contenimento. Per fortuna che Egon aveva impostato una
password data dal risultato di x  y dove x  6  6  6  ... e y  6  6  6  ... . Walter, senza
pensarci, staccò la corrente dall’interruttore generale del palazzo. Dopo pochi secondi un numero impressionante di
fantasmi uscì dall’unità e si riversò sulle strade ni New York. Quel era la password impostata da Egon?
15 UN’ANTENNA PER GOZER
Rinchiusi in cella, Ray ed Egon ebbero il tempo di capire
la situazione. Un pazzo ma geniale architetto, adoratore
di Gozer, aveva costruito il palazzo di Dana in maniera
tale da far confluire lì l'energia ectoplasmatica, così da
richiamare Gozer per porre fine al mondo umano. La
pianta del palazzo risultò essere ottenuta dalla fusione di
un triangolo equilatero e di un quadrato inseriti
all’interno di una circonferenza, così come in figura.
L’energia ectoplasmatica si era concentrata proprio nei
punti A e B , in corrispondenza degli alloggi dei due
sfortunati Dana e Louis. Sapendo che il raggio della
circonferenza era di 512 m , quale distanza c’era tra i
due appartamenti?
A
B
16. L’INCONTRO FATALE
Sulla cima del palazzo, Dana e Louis si incontrarono: “Io sono il Guardia di Porta, sei tu il Mastro di chiavi? Se lo sei,
ascolta: date due funzioni
f
e
g,
tali che
f (2 x  1)  g (3  x)  x
e
x
 3x  5 
 2x 1 
, con
f
  2g 

 x 1 
 x 1  x 1
x  , x  1 , quanto vale f (2013) ?” Nel sentire la risposta corretta, lo abbracciò e i due si baciarono, aprendo
così un portale verso un’altra dimensione.
17 DAL SINDACO
Convocati dal sindaco, i quattro acchiappa fantasmi cercarono di convincere il sindaco
del pericolo imminente, ma Walter Peck li accusò di essere dei venditori di fumo. Per
inchiodarlo, Egon chiese a Walter di trovare tutti i numeri di 4 cifre uguali al quadrato
della somma dei numeri formati dalle sue due prime cifre e dalle sue due ultime cifre.
(Dai come risposta la somma delle radici quadrate dei numeri trovati.)
D
A
18 IL GRANDE PORTALE
Sulla cima del palazzo i nostri quattro eroi assistettero ad uno spettacolo
raccapricciante. Vinz e Zuul si erano posizionati su due altari B e C , in figura. Sulla
parete verticale del palazzo (perpendicolare alla base) da due punti A e D uscivano
dei raggi di luce che formavano assieme ai due demoni un tetraedro ABCD di base
ˆ  90 ).
ABC un triangolo rettangolo ( ABC
Tangente a tutte le facce del tetraedro si stava aprendo un portale a forma di sfera.
Egon stimò velocemente che AD  BC  90 m e AB  120 m . Quanto misurava il B
diametro della sfera?
C
19 GOZER
Dal portale si udì una voce: “Scegliete la forma del distruttore”. Egon consigliò a
tutti di concentrarsi su problemi di matematica per non dare forma al dio Gozer.
Winston si concentrò sul seguente problema: “Su una pista circolare di lunghezza
1 km, due ciclisti partono in direzioni opposte dal medesimo punto A. Il primo
ciclista viaggia con velocità costante, mentre il secondo viaggia con moto
uniformemente accelerato partendo da velocità zero. Sapendo che i due ciclisti si
incontrano per la prima volta in un punto B e per la seconda volta nuovamente in
A, quanto è lungo il tratto AB percorso dal primo ciclista al momento del primo
incontro?”. Purtroppo Ray non riuscì a concentrarsi sulla matematica; al contrario
pensò al pupazzo dei Marshmallow e così Gozer prese quella forma e giunse sulla
terra. (Dai la risposta moltiplicata per 1000.)
20 INCROCIARE I FLUSSI
La fine del mondo era oramai vicina. Gozer stava facendo a pezzi la città di New York. Fu allora che Egon ebbe
un’idea. Se riusciva a riprogrammare gli zaini protonici con la somma dei coefficienti
polinomio p( x)  a0  a1 x  a2 x  ...  a42013 x
2
42013
 x 4  x3  x  1 

2013


sviluppo di 
a0  a4  a8  ...  a42013 del
2013
, i quattro Acchiappafantasmi
avrebbero potuto incrociare i flussi e chiudere il portale. La cosa era molto rischiosa! Per fortuna, pur sotto
pressione, Egon non sbagliò i calcoli e il portale e le malvagità cha da esso erano scaturite vennero bandite per
sempre dalla terra.