1) Una strana piramide E` data una piramide avente per

1) Una strana piramide
E' data una piramide avente per base un quadrilatero ABCD e vertice V, inscritta in una
sfera. Si sa che AD=2BC e che le rette ottenute prolungando AB e CD si incontrano in
un punto E dalla parte del segmento BC.
Calcolare il rapporto fra il volume della piramide avente per base il triangolo AED e
vertice V e la piramide data.
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Indichiamo con P1 la piramide data e con P2 la piramide avente per base il triangolo
AED. Le piramidi P1 e P2 hanno la stessa altezza, data dalla distanza tra il vertice V e
il piano che contiene il quadrilatero base ABCD. Il rapporto tra i volumi è dato quindi dal
rapporto tra l'area A1 del quadrilatero ABCD e l'area A2 del triangolo AED e non
dipende dalla posizione del vertice V.
Tutti gli elementi di valutazione sono pertanto contenuti nel piano del quadrilatero
ABCD.
E
B
A
C
D
La piramide P1 è inscritta in una sfera, quindi il quadrilatero ABCD è inscritto in un
cerchio e i suoi angoli opposti CBA e CDA sono supplementari. Ma anche gli angoli
EBC e CBA sono supplementari, per cui gli angoli EBC e CDA sono uguali. Similmente
si ricava che gli angoli ECB e EAD sono uguali. I triangoli ECB e EAD sono pertanto
simili, avendo gli angoli eguali. E' quindi
2
area AED
A2
 AD 
=
=
 =4
area EBC A2 − A1  BC 
Il rapporto richiesto vale pertanto 4/3.
da cui
volume P2 A2 4
=
=
volume P1 A1 3