Esercizi sulle equazioni di II grado

Istituto Provinciale di Cultura e Lingue
“Ninni Cassarà”
Esercizi sulle equazioni di secondo grado
Prof. E. Modica
http://www.galois.it
[email protected]
A.S. 2010/2011
Richiami teorici
1
Equazioni di secondo grado
Definizione 1. Dicesi equazione di secondo grado, un’equazione del tipo:
ax2 + bx + c = 0
con a, b, c ∈ R e a 6= 0. I valori a, b, c prendono il nome di coefficienti e, in particolare, c
viene detto termine noto.
Un’equazione di secondo grado si definisce:
• incompleta pura quando il secondo coefficiente è nullo e quindi si ha ax2 + c = 0;
• incompleta spuria quando il terzo coefficiente è nullo e quindi si ha ax2 + bx = 0;
• completa quando i tre coefficienti sono tutti diversi da zero e quindi si ha ax2 +bx+c = 0.
1.1
1.1.1
Risoluzione delle equazioni di secondo grado
Equazione incompleta pura (b = 0)
L’equazione si presenta nella forma:
ax2 + c = 0
e si risolve portando a secondo membro il termine noto e dividendo per il coefficiente del termine
di grado massimo:
r
c
c
ax2 = −c ⇒ x2 = − ⇒ x = ± −
a
a
1
Esercizio 1. Risolvere l’equazione 4x2 − 9 = 0.
Le soluzioni si ottengono come segue:
x2 =
9
3
⇒x=±
4
2
Esercizio 2. Risolvere l’equazione 4x2 + 9 = 0.
L’equazione non ammette soluzioni in quanto il quadrato di un numero reale è sempre non
negativo e, di conseguenza, la scrittura x2 = − 49 non è verificata per nessun valore dell’incognita
x.
Osservazione 1.
Un’equazione incompleta pura ammette soluzioni se, e solo se, i coefficienti a e c sono discordi.
1.1.2
Equazione incompleta spuria (c = 0)
L’equazione si presenta nella forma:
ax2 + bx = 0
e si risolve mettendo in evidenza la x e utilizzando la legge di annullamento del prodotto. Di
conseguenza una soluzione sarà sempre quella nulla.
ax2 + bx = 0 ⇒ x(ax + b) = 0 ⇒ x = 0 ∨ ax + b = 0 ⇒ x = 0 ∨ x = −
b
a
Esercizio 3. Risolvere l’equazione 2x2 − 4x = 0.
Si ha:
2x(x − 2) = 0 ⇒ 2x = 0 ∨ x − 2 = 0 ⇒ x = 0 ∨ x = 2
1.1.3
Equazione completa
L’equazione si presenta nella forma:
ax2 + bx + c = 0
Si determina il delta dell’equazione:
∆ = b2 − 4ac
che prende il nome di discriminante dell’equazione. Le soluzioni si determinano mediante la
formula:
√
−b ∓ ∆
x1,2 =
2a
Si possono, quindi, presentare tre casi:
I caso : ∆ = b2 − 4ac > 0
√
In questo caso il radicale ∆ è un numero reale e l’equazione ammette le due soluzioni
reali e distinte:
√
√
−b − ∆
−b + ∆
x1 =
x2 =
2a
2a
2
Esercizio 4. Risolvere l’equazione 3x2 − 5x + 2 = 0.
x1,2
∆ = 25 − 24 = 1
2
5∓1
⇒ x1 = 1, x2 =
=
6
3
II caso : ∆ = b2 − 4ac = 0
In questo caso l’equazione ammette due radici reali e coincidenti date dall’espressione:
b
x1 = x2 = −
2a
Esercizio 5. Risolvere l’equazione 4x2 − 12x + 9 = 0.
∆ = 144 − 144 = 0
12
3
x1 = x2 = − =
8
2
III caso : ∆ = b2 − 4ac < 0
In questo caso l’equazione non ammette soluzioni reali, ma soluzioni complesse
coniugate.
Esercizio 6. Risolvere l’equazione x2 − x + 3 = 0.
∆ = 1 − 12 = −11 < 0
L’equazione non ammette soluzioni reali.
Esercizi sulle equazioni incomplete pure
Esercizio 7. Risolvere le seguenti equazioni di secondo grado incomplete pure.
a) 4x2 − 25 = 0
e) 100x2 − 4 = 0
b) x2 − 11 = 0
f ) 2x2 + 7 = 0
c) 64x2 − 16 = 0
g) 4x2 − 9 = 0
d) −x2 + 9 = 0
e) 3x2 + 12 = 0
3
Esercizi sulle equazioni incomplete spurie
Esercizio 8. Risolvere le seguenti equazioni di secondo grado incomplete spurie.
a) x2 − 2x = 0
e) 7x2 − 14x = 0
b) 20x2 − 10x = 0
f ) 3x2 + 8x = 0
c) 3x2 = 12x
g) 5x2 = −25x
d) 5x2 − 4x = 0
e) 4x2 = −10x
Esercizi sulle equazioni complete
Esercizio 9. Risolvere le seguenti equazioni di secondo grado complete.
a) x2 + 3x + 2 = 0
j) 5x2 − 16x + 3 = 0
b) x2 + 12x − 45 = 0
k) 4x2 − 7x − 2 = 0
c) 3x2 + x − 2 = 0
l) 2x2 + 11x = 6
d) 5x2 + 7x − 6 = 0
m) x2 + 8x − 48 = 0
e) 6x2 + 5x + 1 = 0
n) 2x2 + 9x + 10 = 0
f ) 14x2 − 9x + 1 = 0
o) 7x2 + 12x + 5 = 0
g) x2 − 7x + 12 = 0
p) 2x2 + 3x + 1 = 0
h) x2 + x − 2 = 0
q) 2x2 = 9x − 10
i) x2 + 3x − 70 = 0
r) 2x2 − 8x = −6
4