PALESTRA PER IL RECUPERO
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PALESTRA PER IL RECUPERO
PIANO CARTESIANO E RETTA ESERCIZI PALESTRA PER IL RECUPERO ESERCIZI SVOLTI 1 Determinare l’equazione della retta passante per Bð3; 2Þ e per il punto P d’intersezione della retta r di equazione 2x y 1 ¼ 0 e della retta s di equazione x y 2 ¼ 0. Rappresentiamo il punto e le rette in un sistema di riferimento cartesiano. y r B s 1 O x 1 P ( 2x y 1 ¼ 0 xy2¼0 2x y ¼ 1 x þ y ¼ 2 x ¼ 1 Troviamo le coordinate del punto di intersezione delle rette r ed s. Si trovano mettendo in sistema le equazioni delle due rette. ( 2x y ¼ 1 2x þ 2y ¼ 4 y ¼ 3 Risolviamo il sistema con il metodo di riduzione. MathClub blu 2, Cedam Scuola Q 2011 De Agostini Scuola S.p.A. – Novara Quindi: Pð1; 3Þ. x xB y yB ¼ xP xB yP yB x ð3Þ y2 ¼ 1 ð3Þ 3 2 L’equazione della retta passante per due punti è x x1 y y1 ¼ x2 x1 y2 y1 Applichiamo la formula ai punti P e B. xþ3 y2 ¼ 1 þ 3 5 xþ3 y2 ¼ 2 5 5x 15 ¼ 2y 4 Scriviamo l’equazione in forma implicita. 5x þ 2y þ 11 ¼ 0 1 PIANO CARTESIANO E RETTA Unità 2 2 Dati punti Að1; 2Þ, Bð1; 3Þ e C ð7; 2Þ, determinare il perimetro del triangolo ABC e la lunghezza delle sue mediane. Rappresentiamo i punti in un sistema di riferimento cartesiano. y B M C 1 L O 1 N x A AB ¼ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi ðxA xB Þ2 þðyA yB Þ2 ¼ ð1 þ 1Þ2 þð2 3Þ2 ¼ 4 þ 25 ¼ 29 Calcoliamo la distanza AB applicando la formula della distanza tra due punti qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi d ¼ ðx2 x1 Þ2 þðy2 y1 Þ2 AC ¼ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi ðxA xC Þ2 þðyA yC Þ2 ¼ ð1 7Þ2 þð2 2Þ2 ¼ 36 þ 16 ¼ 52 In modo analogo calcoliamo BC e AC. Il perimetro è la somma dei lati; quindi, indicando con p il semiperimetro, calcoliamo 2px. pffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi 2p ¼ 29 þ 52 þ 65 M x þx y þy 1 2 1 2 ; 2 2 xM ¼ xB þ xC 1 þ 7 ¼3 ¼ 2 2 yM ¼ yB þ yC 3þ2 5 ¼ ¼ 2 2 2 2 ESERCIZI La mediana è il segmento che unisce un vertice di un triangolo con il punto medio del lato opposto. Determiniamo quindi le coordinate dei punti medi dei lati. 5 ! M 3; 2 MathClub blu 2, Cedam Scuola Q 2011 De Agostini Scuola S.p.A. – Novara qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi BC ¼ ðxB xC Þ2 þðyB yC Þ2 ¼ ð1 7Þ2 þð3 2Þ2 ¼ 64 þ 1 ¼ 65 PIANO CARTESIANO E RETTA ! N ð4; 0Þ yA þ yC 2 þ 2 yN ¼ ¼0 ¼ 2 2 xL ¼ xA þ xB 11 ¼0 ¼ 2 2 yL ¼ yA þ yB 2 þ 3 1 ¼ ¼ 2 2 2 ESERCIZI xA þ xC 1þ7 ¼4 ¼ 2 2 xN ¼ 1 ! L 0; 2 qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi AM ¼ ðxA xM Þ2 þðyA yM Þ2 ¼ sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2ffi rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi rffiffiffiffiffiffiffi 5 81 97 ¼ ð1 3Þ2 þ 2 ¼ 4þ 2 4 4 Calcoliamo la lunghezza delle tre mediane. qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi CL ¼ ðxC xL Þ2 þðyC yL Þ2 ¼ BN ¼ 3 sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 2 9 205 2 ð7 0Þ þ 2 ¼ 49 þ ¼ 2 4 4 qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi ðxB xN Þ2 þðyB yN Þ2 ¼ ð1 4Þ2 þð3 0Þ2 ¼ 25 þ 9 ¼ 34 1 ; 1 , Bð3; 1Þ e P ð1; 2Þ, scriDati i punti A 2 vere l’equazione della retta r passante per P e parallela alla retta AB, e l’equazione della retta s passante per P e perpendicolare alla retta AB. Rappresentiamo gli elementi del problema in un sistema di riferimento cartesiano. Dobbiamo trovare le equazioni delle rette r ed s. Ricordiamo che rette parallele hanno lo stesso coefficiente angolare; quindi, il coefficiente angolare della retta r è uguale a quello della retta AB. Il coefficiente angolare della retta AB è dato da: y yB yA m¼ ¼ xB xA x y P MathClub blu 2, Cedam Scuola Q 2011 De Agostini Scuola S.p.A. – Novara s A r 0,5 O x 0,5 B 3 PIANO CARTESIANO E RETTA Unità 2 mAB ¼ 1 1 2 2 4 ¼ ¼ 2 ¼ 1 5 5 5 3 2 2 Il coefficiente angolare della retta r è L’equazione della retta passante per un punto Pðx0 ; y0 Þ è: 4 . 5 L’equazione della retta r passante per P e parallela alla retta AB sarà quindi: 4 y 2 ¼ ðx 1Þ 5 cioè, scritta in forma implicita, 4x þ 5y 14 ¼ 0. y y0 ¼ mðx x0 Þ Ricordiamo che se indichiamo con m ed m i coefficienti angolari di due rette perpendicolari si ha: 1 m m ¼ 1, cioè m0 ¼ m Il coefficiente angolare della retta s perpendicolare 5 4 5 ad AB è , poiché m m ¼ ¼ 1. 4 5 4 L’equazione della retta s passante per P e perpendicolare alla retta AB sarà quindi: 5 ðx 1Þ 4 cioè, scritta in forma implicita, 5x 4y þ 3 ¼ 0. y2¼ 4 È data la retta di equazione ða 1Þx ð2a þ 3Þy a þ 2 ¼ 0 Determinare per quale valore di a: a1¼0!a¼1 L’equazione di una retta parallela all’asse x è del tipo y ¼ h (manca cioè il termine in x). Quindi, il coefficiente della x deve essere uguale a 0. b) la retta è parallela all’asse y 3 2a þ 3 ¼ 0 ! a ¼ 2 L’equazione di una retta parallela all’asse y è del tipo x ¼ k (manca cioè il termine in y). Quindi, il coefficiente della y deve essere uguale a 0. c) la retta passa per il punto Pð2; 1Þ Se una retta passa per un punto vuol dire che le coordinate del punto sono soluzioni dell’equazione della retta. Sostituisco le coordinate del punto nell’equazione della retta Risolvo rispetto a a. ða 1Þð2Þ ð2a þ 3Þð1Þ a þ 2 ¼ 0 # xP yP # 2a þ 2 2a 3 a þ 2 ¼ 0 5a þ 1 ¼ 0 1 a¼ 5 d) la retta è parallela alla bisettrice del I e III quadrante 4 ESERCIZI Dobbiamo scrivere in forma esplicita l’equazione della retta per determinarne il coefficiente angolare. MathClub blu 2, Cedam Scuola Q 2011 De Agostini Scuola S.p.A. – Novara a) la retta è parallela all’asse x PIANO CARTESIANO E RETTA m¼ a1 a2 x 2a þ 3 2a þ 3 Il coefficiente angolare è il coefficiente della x nell’equazione scritta in forma esplicita. a1 2a þ 3 a1 ¼1 2a þ 3 La bisettrice del I e III quadrante ha m ¼ 1 e rette parallele hanno i coefficienti angolari uguali. a 1 ¼ 2a þ 3 ! a ¼ 4 Risolviamo rispetto ad a. e) la retta è parallela alla retta passante per i punti Að3; 5Þ e Bð3; 7Þ m¼ ESERCIZI y¼ Determiniamo il coefficiente angolare m della retta passante per A e per B. y yB yA 75 2 1 ¼ ¼ ¼ ¼ x 3þ3 6 3 xB xA a1 1 ¼ 2a þ 3 3 Rette parallele hanno i coefficienti angolari uguali. 3a 3 ¼ 2a þ 3 Risolviamo rispetto ad a. a¼6 ESERCIZI GUIDATI 5 Dato il triangolo i vertici Að2; 3Þ, Bð10; 3Þ, C ð4; 9Þ, verificare che il segmento che congiunge i punti medi dei lati AC e BC è la metà del lato AB. Rappresenta i punti in un sistema di riferimento cartesiano. y MathClub blu 2, Cedam Scuola Q 2011 De Agostini Scuola S.p.A. – Novara C M A N B 1 O 1 x 5 Unità 2 PIANO CARTESIANO E RETTA Indica con M il punto medio di AC e trovane le coordinate: xM ¼ xA þ xB ¼ 2 ::::::: þ ::::::: ¼ :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 2 yM ¼ yA þ yB ¼ 2 ::::::: þ ::::::: ¼ :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 2 Indica con N il punto medio di BC e trovane le coordinate: xN ¼ xB þ ::::::: ¼ 2 ::::::: þ ::::::: ¼ :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 2 yM ¼ yB þ ::::::: ¼ 2 ::::::: þ ::::::: ¼ :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 2 Trova la lunghezza del segmento AB: qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi AB ¼ ðxA xB Þ2 þðyA yB Þ2 ¼ ð::::::: þ :::::::Þ2 þð::::::: þ :::::::Þ2 ¼ :::::::::::::: ¼ ::::::: Trova la lunghezza del segmento MN: qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi MN ¼ ðxN xM Þ2 þðyN yM Þ2 ¼ ð::::::: þ :::::::Þ2 þð::::::: þ :::::::Þ2 ¼ :::::::::::::: ¼ ::::::: Verifica che AB ¼ 2 MN. 6 Calcolare la distanza tra le rette parallele r ed s, rispettivamente di equazione x þ y 4 ¼ 0 e x þ y ¼ 3. Rappresenta le rette in un sistema di riferimento cartesiano. y r P 1 O 1 x Fissa un punto P sulla retta r attribuendo a x un valore qualsiasi, ad esempio 1, e calcolando il corrispondente valore di y: Pð1; 3Þ. Calcola la distanza di P dalla retta s sostituendo, nella formula della distanza di un punto da una retta, a x0 l’ascissa del punto P e a y0 l’ordinata del punto P. Attenzione: l’equazione della retta deve essere in forma implicita. d¼ 6 ESERCIZI ::::::: jax0 þ by0 þ cj j1 þ ::::::: 3j pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ ¼ pffiffiffi 1þ1 2 a2 þ b2 MathClub blu 2, Cedam Scuola Q 2011 De Agostini Scuola S.p.A. – Novara s PIANO CARTESIANO E RETTA ESERCIZI 7 Determinare per quale valore del parametro k le rette di equazione: ðk 1Þx ðk þ 1Þy 2k þ 1 ¼ 0 e kx ðk 3Þy þ k 1 ¼ 0 sono parallele. Determina i coefficienti angolari delle due rette. Per farlo, si devono scrivere le equazioni delle rette in forma esplicita: y¼ y¼ k1 2k 1 x kþ1 kþ1 ::::::::::::::::::::: ::::::::::::::::::::: xþ Due rette sono parallele se i coefficienti angolari sono Quindi: k1 ¼ kþ1 ::::::::::::::::::::: ::::::::::::::::::::: ............................................................... . ::::::::::::::::::::: ::::::::::::::::::::: Risolvi rispetto a k: ................................................................................................................................................................................................................................................................................. k ¼ :::::::::::::: 8 Scrivere l’equazione della retta passante per Pð3; 2Þ e perpendicolare alla retta AB, con Að2; 6Þ e Bð4; 3Þ. Rappresenta i punti in un sistema di riferimento cartesiano. y MathClub blu 2, Cedam Scuola Q 2011 De Agostini Scuola S.p.A. – Novara A B 1 O 1 x P 7 Unità 2 PIANO CARTESIANO E RETTA Determina il coefficiente angolare di AB: mAB ¼ y yB yA ¼ ¼ x xB xA ::::::: ¼ ð:::::::Þ ::::::: ::::::: ::::::: ::::::: ¼ ::::::: ::::::: Il coefficiente angolare della perpendicolare è quindi: m¼ 1 ¼ m 1 :::::::::::::: ¼ :::::::::::::: (1) L’equazione della retta passante per un punto è y y0 ¼ mðx x0 Þ. Sostituisci a m il coefficiente angolare della perpendicolare (quello che nella (1) hai indicato con m 0 ) e a x0 e y0 le coordinate del punto P: y :::::::::::::: ¼ ::::::::::::::½x ð::::::::::::::Þ ................................................................................................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................................................................................................. Svolgi i calcoli e scrivi l’equazione in forma implicita. 9 Calcolare la distanza tra le seguenti coppie di punti. a) Að1; 3Þ c) Eð4; 2Þ Bð0; 2Þ 1 1 ; b) C 2 5 Dð2; 1Þ F ð2; 3Þ 10 Determinare le coordinate del punto medio del segmento avente per estremi i punti: a) Að6; 5Þ 1 ;2 c) E 4 Bð1; 2Þ 1 F ;1 3 b) C ð1; 4Þ Dð1; 1Þ y ¼ 2x y ¼ x þ 2 y ¼ 1 x¼5 12 Determinare il coefficiente angolare e l’ordinata all’origine delle seguenti rette. a) 2x 5y þ 1 ¼ 0 b) x 3y þ 7 ¼ 0 c) 3x þ y ¼ 0 13 Verificare se il punto P a) 3x 2y þ 1 ¼ 0 b) 2x y 2 ¼ 0 8 ESERCIZI 1 ; 1 appartiene alla retta di equazione: 2 c) x þ 1 ¼ 0 d) y þ 1 ¼ 0 ½No; sı̀; no; sı̀ MathClub blu 2, Cedam Scuola Q 2011 De Agostini Scuola S.p.A. – Novara 11 Rappresentare graficamente le rette di equazione: PIANO CARTESIANO E RETTA 15 Að1; 1Þ 1 1 16 A ; 5 2 Bð2; 2Þ 1 1 B ; 2 4 5 9 ESERCIZI Determinare i coefficienti angolari delle rette che passano per le seguenti coppie di punti. 2 Bð6; 1Þ 14 A 3; 3 ½1 5 14 17 Determinare per quale valore di k il punto P ð2k þ 1; k 2Þ appartiene: 1 1 1 ; cÞ a) alla retta di equazione x þ y þ 2 ¼ 0; aÞ ; bÞ 3 3 2 b) alla bisettrice del II e IV quadrante; c) all’asse delle y. 18 Verificare che le rette di equazione 3x 5y þ 7 ¼ 0 e 5x þ 3y þ 2 ¼ 0 sono perpendicolari. 19 Scrivere l’equazione dell’asse del segmento avente per estremi i punti Að2; 3Þ e Bð2; 5Þ. ½x þ 2y þ 2 ¼ 0 20 Determinare l’area del triangolo ABC di vertici Að4; 2Þ, Bð3; 5Þ e C ð4; 4Þ. (Considerare come base del triangolo il segmento AC.) ½33 21 Verificare che le rette di equazione 4x 3y þ 3 ¼ 0 e 12x 9y 16 ¼ 0 sono parallele e calcolare la 5 loro distanza. 3 22 Verificare che il quadrilatero di vertici Að7; 4Þ, Bð14; 6Þ, C ð10; 9Þ, Dð3; 7Þ è un parallelogramma. 23 Verificare che il triangolo di vertici Að3; 2Þ, Bð4; 7Þ, C ð1; 6Þ è isoscele e calcolarne l’area. ½12 24 Data la retta di equazione x 3y þ 2 ¼ 0 determinare: a) l’equazione della parallela passante per Pð2; 2Þ; ½aÞ x 3y þ 4 ¼ 0; bÞ 3x þ y 7 ¼ 0 b) l’equazione della perpendicolare passante per Qð3; 2Þ. MathClub blu 2, Cedam Scuola Q 2011 De Agostini Scuola S.p.A. – Novara 25 Determinare la distanza del punto Pð5; 4Þ dalla retta di equazione 3x þ 4y þ 2 ¼ 0. 3 5 26 Scrivere l’equazione della retta passante per il punto d’intersezione delle rette di equazioni 2x y þ 4 ¼ 0 e 3x þ y 2 ¼ 0 e parallela all’asse x. 16 y¼ 5 27 Verificare che le diagonali del quadrilatero di vertici Að3; 3Þ, Bð8; 4Þ, C ð9; 9Þ, Dð4; 8Þ sono perpendicolari. Di che quadrilatero si tratta? 28 Determinare per quale valore del parametro k la retta di equazione ðk þ 3Þx þ ðk 1Þy þ 3k þ 2 ¼ 0: a) b) c) d) passa per l’origine; è parallela all’asse y; è parallela alla retta di equazione x 2y þ 1 ¼ 0; è perpendicolare alla retta 2x 3y ¼ 0. 2 5 aÞ ; b 1; cÞ ; dÞ 9 3 3 9