Calcolo combinatorio

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IL CALCOLO COMBINATORIO: l’arte di contare
Il calcolo combinatorio permette di stabilire, ad esempio, quanti sono gli anagrammi di
una parola, in quanti modi si possono sedere dieci amici attorno a un tavolo rotondo,
quanti gruppi diversi di 4 persone si possono formare scegliendo tra 20 persone, ecc.
Il calcolo combinatorio fornisce dei modelli risolutivi e per determinare il risultato di un
problema reale basta riconoscere il modello e applicare la relativa formula.
I raggruppamenti di k elementi scelti tra n elementi, sono detti raggruppamenti di n
elementi di classe k o raggruppamenti di n elementi in k posti.
Si possono presentare i seguenti casi.
DISPOSIZIONI SEMPLICI di n oggetti in DISPOSIZIONE CON RIPETIZIONE di n oggetti in k
k posti: i gruppi differiscono per almeno posti
un elemento o per l’ordine
D’n,k=nk
Dn,k=
= n*(n-1)*(n-2)…(n-k+1)
*)Quante parole di 3 lettere, anche prive di significato,
*)Tra 10 persone di un comitato si
vogliono nominare il Presidente, il
Vicepresidente e il Segretario. In quanti
modi diversi si possono scegliere?
D10,3=
=720
**)Quante parole di 3 lettere, anche prive
di significato, si possono scrivere con
p,a,r,t,e?
D5,3=
=60
***) In quanti modi diversi si possono
piazzare al I°, II° e III° posto le 8 squadre di
calcio partecipanti alle semifinali ?
D8,3=
ATTENZIONE la condizione di esistenza
di Dn,k è n>k
PERMUTAZIONI SEMPLICI di n oggetti
in n posti
Pn=n!
si possono scrivere con le lettere p,a,r,l,o, anche
ripetendo le lettere?
D’5,3=53=125
**) In quanti modi diversi si può compilare la schedina
del totocalcio con le tredici partite di cui si deve
indicare l’esito 1, X, 2?
D’3,13=313=1594323
***) Quante parole di 3 lettere, anche prive di
significato, che contengono lettere ripetute, si
possono scrivere con le lettere p,a,r,l,o ?
D5,3=60,parole senza ripetizione di lettere
D’5,3=125, parole totali, anche con ripetizione delle lett.
Risultato: Le parole di 3 lettere contenenti ripetizioni
di lettere sono 125-60=65
****) In quanti modi si possono distribuire due oggetti
diversi in tre cassetti? D’3,2=32=9
ATTENZIONE: D’n,k ha come condizione di esistenza
n>0 e k>0
PERMUTAZIONI CON RIPETIZIONE di n oggetti che
si ripetono volte, volte,…
*) Quanti sono i possibili anagrammi,
anche privi di significato, della parola
“perlina”?
P7=7!=5040
**) Quante password di 6 cifre che non
iniziano con lo 0, si possono scrivere, con
le sei cifre 0,1,2,3,4,5 ?
*) Quanti sono i possibili anagrammi, anche privi di
significato, della parola “parrucca”?
=5040
**) Si devono riporre 2 oggetti indistinguibili, in 4
cassetti. In quanti modi si può fare?
oIoI I
2
Password che iniziano con lo 0: P5=5!
Tutte le password con le sei cifre date
P6=6!
Risultato : 6!-5!=600
ATTENZIONE:
Pn ha campo di esistenza n>0
È un esempio di cassettiera con 4 cassetti. Le I sono i
divisori dei cassetti e le O gli oggetti . Ciascuna
distribuzione di oggetti equivale a una parola formata
da tre I e due O.
COMBINAZIONI SEMPLICI :
raggruppamenti di n oggetti di classe k
che si differenziano per almeno un
elemento ( NON CONTA L’ORDINE)
Cn,k=
COMBINAZIONI RIPETUTE: raggruppamenti di n
oggetti di classe k che si differenziano per almeno
un elemento oppure per il numero delle volte in cui
lo stesso oggetto viene ripetuto
C’n,k=
*)In quanti modi si possono scegliere tre
*) Lanciando contemporaneamente tre dadi , quante
persone tra 10 , che vadano a pulire il
giardino? C10,3=
=120
sono le composizioni con cui si possono presentare le
facce?
ATTENZIONE:
Cn,k ha campo di esistenza n>k , k>0
C’6,3=
ESERCIZI SVOLTI
DISPOSIZIONI SEMPLICI
= 56
3
5)Quanti numeri diversi di 4 cifre diverse si possono formare con i numeri 0,1,2,3,4,5,6 che non iniziano con 0?
[6*D6,3=6*120=720]
6) A una gara ciclistica si iscrivono 20 persone. Sono previsti tre premi diversi per i primi tre classificati. Quante sono
le possibili terne vincenti?
[6840]
7) quante parole di 4 lettere, anche prive di significato, si possono formare con le 21 lettere dell’alfabeto?
[143640]
Equazioni
(n+2)!=4(n+1)!+4n! [ n=3 ]
DISPOSIZIONI CON RIPETIZIONE
; 3(n-2)!+3(n-1)!=n!
;
3n=0 ;
=1
4
4)Calcolare : D’7,2 [49] ; D’10,4 [10000] ;
5)Quanti numeri di tre cifre, anche ripetute, si possono ottenere con 1,2,3,4,5,6. [216]
6)Calcolare quanti sono i numeri di 5 cifre, con significato, che si possono formare con 0,2,4. [162]
PERMUTAZIONI SEMPLICI E CON RIPETIZIONE
2) Quanti numeri di 5 cifre tutte diverse si possono formare si possono formare con 1,2,3,4,5. [120]
3) In quanti modi diversi 7 persone possono occupare una fila di 7 posti? [5040]
4) Calcola P4 [24]
COMBINAZIONI SEMPLICI
5
2) Calcola C8,3 ed C7,6 [56;7]
3) Disponendo di 20 bottiglie diverse di liquore, quanti cocktail è possibile fare usandone 4 alla volta?
[4845]
4)Su un foglio sono segnati 9 punti di cui mai tre allineati, unendoli quanti triangoli si possono formare?
[84]
5)Risolvi le seguenti equazioni :
;
COMBINAZIONI CON RIPETIZIONE
6
7
SOLUZIONI
8