Disposizioni semplici Disposizioni semplici – esercizi
Transcript
Disposizioni semplici Disposizioni semplici – esercizi
Disposizioni semplici Una disposizione (semplice) di n oggetti in k posti (dunque 1 < k < n ) è ogni raggruppamento di k oggetti, senza ripetizioni, scelti fra gli n oggetti dati, cioè ciascuno dei raggruppamenti ordinati di k elementi che si possono formare con gli n elementi di un insieme. I raggruppamenti si dicono disposizioni semplici di n oggetti distinti di classe k o presi a k a k. Tale numero si indica con il simbolo Dn,k e si dimostra che Dn,k n ( n 1) ( n 2) ..... ( n k 1) cioè il prodotto di k numeri consecutivi decrescenti a partire da n Disposizioni semplici – esercizi 1 Con 10 oggetti distinti, quante quaterne ordinate posso costruire? Gli oggetti (10) sono distinti, i gruppi sono 4 (<10) e conta l’ordine. D10,4 10 9 8 7 5040 2 3 4 5 6 7 8 9 Se ho 10 ragazzi, in quanti modi posso scegliere un portiere, un raccattapalle e un arbitro? I ragazzi (10) sono distinti e il portiere, il raccattapalle e l’arbitro sono ruoli (3 < 10) diversi, conta l’ordine. Ai 5 migliori studenti di una scuola, vengono assegnati 3 premi di diverso valore, per sorteggio. In quanti modi diversi possono essere distribuiti i premi? Una società formata da 100 soci deve nominare un presidente, un vicepresidente, un segretario, e un tesoriere. Quante scelte sono possibili? Gli studenti (5) sono distinti e i premi (3 < 5) sono di diverso valore, conta l’ordine. In un plotone di 25 militari, bisogna scegliere, un addetto alle pulizie, un addetto alla cucina, e una sentinella. Quante scelte sono possibili? Quante parole, anche prive di significato si possono costruire usando 3 lettere distinte dell’alfabeto italiano? I militari (25) sono distinti e i ruoli (3 < 25) diversi, conta l’ordine. In quanti modi diversi 7 persone si possono sedere su 5 poltrone allineate di un cinema? Le persone (7) sono distinte e le poltrone (5 < 7) anche, conta l’ordine. Avendo a disposizione sei atleti per una staffetta 4x100, in quanti modi posso stabilire la successione ordinata degli atleti? In quanti modi 15 persone si possono distribuire in 8 posti allineati al cinema? Basta considerare le disposizioni semplici. D10,3 10 9 8 720 D5,3 5 4 3 60 I soci (100) sono distinti e il presidente, il vicepresidente, il segretario, e il tesoriere sono ruoli diversi, conta l’ordine. D100,4 100 99 98 97 94109400 D25,3 25 24 23 2760 Le lettere dell’alfabeto (21) sono distinte e le parole sono formate da 3 < 21 lettere distinte, conta l’ordine. D21,3 21 20 19 7980 D7,5 7 6 5 4 3 2520 D6,4 6 5 4 120 Le persone (15) sono distinte, i gruppi sono 8 (<15) e conta l’ordine D15,8 15 14 13 12 11 10 9 8 1 10 11 12 Calcolare il numero dei modi in cui uno studente può scegliere ordinatamente di leggere 5 libri da un insieme di 8 In una gara con 40 concorrenti, quante sono le classifiche dei primi 3? I libri (8) sono distinti e quelli da leggere (5 < 8) sono ordinati. D8,5 8 7 6 5 4 6720 Tra tutti i numeri di 6 cifre, tutte diverse tra loro, quanti sono quelli le cui prime 3 cifre sono dispari e le restanti pari? Devo disporre in ordine, senza ripetizioni, tre cifre pari scelte tra 5 (0,2,4,6,8) D5,3 5 4 3 60 e poi , ad ognuna di queste 60 Gli atleti (40) sono distinti e il podio è formato da 3 posti, conta l’ordine. D40,3 40 39 38 13680 disposizioni, devo “accodare” un qualsiasi delle altre disposizioni delle tre cifre dispari, ordinate e senza ripetizioni, scelte tra 5 (1,3,5,7,9) D5,3 5 4 3 60 Il totale è perciò 60x60=3600 Per le disposizioni formula alternativa che usa il fattoriale Dn,k n! n k ! dove nk 0!=1 2 Permutazioni semplici Una permutazione (semplice) di n oggetti è ogni raggruppamento di n oggetti distinti in n caselle, cioè ciascuno dei possibili raggruppamenti di n elementi che differiscono solo per l'ordine in cui ogni elemento compare. Spieghiamo meglio. Le permutazioni semplici degli oggetti di A sono le disposizioni semplici dei predetti n oggetti a n a n. Si deduce che due qualsiasi permutazioni semplici differiscono solo per l’ordine con cui sono disposti gli n oggetti distinti in esse contenuti. Si indicano con il simbolo Pn e sono pari al prodotto di n numeri consecutivi decrescenti da n a 1 Pn n ( n 1) ( n 2) ..... 3 2 1 n! Il simbolo n ! indica il fattoriale di un numero ed è pari al prodotto di n numeri consecutivi decrescenti da n a 1. Quindi dati n oggetti essi si possono “mettere in fila (o coda o colonna)” in n! modi diversi. Osservazioni o o o Un solo oggetto si può mettere in fila in un solo modo, quindi 1! 1 . Se non ci sono oggetti l’unica fila possibile è quella vuota. Quindi 0! 1 Vale la regola n ! n ( n 1)! n ( n 1) ( n 2)! Permutazioni semplici - esercizi 1 2 3 Cinque amici, Andrea, Baldo, Carlo, Daria e Enrico si rivedono dopo tanto tempo e decidono di fare una foto per immortalare l’incontro. Si dispongono allineati, secondo un ordine prestabilito. Quante foto con disposizioni diverse possono essere scattate? Anagramma di una parola di n lettere distinte. Nella 1° posizione ho 5 possibilità (i 5 amici), nella 2° posizione ne ho 4 (devo escludere la scelta fatta precedentemente), nella 3° ne ho 3, nella 4° ne ho 2, nella 5° una soltanto. Permutazioni semplici di 5 elementi Un negoziante deve eseguire 5 consegne in 5 posti diversi della città. Determinare il numero di modi in cui tali consegne devono essere effettuate. Per la 1° consegna ha 5 possibili zone, per la 2° consegna ne ha 4 (devo escludere la scelta fatta precedentemente), nella 3° ne ha 3, nella 4° ne ha 2, nella 5° una soltanto. Permutazioni semplici di 5 elementi n 5 4 3 2 1 P5 5! 120 Permutazioni semplici Pn n ! n 5 4 3 2 1 P5 5! 120 4 4 persone hanno a disposizione 4 sedie; in quanti modi le possono occupare? Atleti distinti, conta l’ordine, gruppi di k elementi = n Permutazioni semplici P4 4! 4 3 2 1 24 3 5 6 7 Quanti anagrammi che iniziano con M possono essere composti con la parola MELA? Dato che il primo posto è occupato dalla lettera M, basta permutare le altre 3 lettere. Permutazioni semplici I 20 bambini di una classe di asilo vengono messi in fila dalla maestra. In quanti modi possono disporsi? In un mazzo di carte siciliane (formato da 40 carte) , quanti sono i possibili esiti della mischiata. Permutazioni semplici P3 3! 3 2 1 6 P20 20! Si formano gruppi di 40 carte, formate da elementi distinti. Permutazioni semplici P40 40! 8 9 Per il mio compleanno mi hanno regalato 7 libri; in quanti sequenze possibili posso leggere i 7 libri Libri distinti, conta l’ordine, gruppi di k elementi = n Permutazioni semplici In quanti modi si possono disporre 3 ragazzi e 3 ragazze per una foto di gruppo, sistemando i 3 ragazzi accovacciati e le 3 ragazze in piedi dietro di loro? I ragazzi si possono disporre in 3! = 6 modi diversi. Analogamente le ragazze si possono disporre in altrettanti 3! = 6 modi distinti. Poiché la disposizione dei ragazzi non influenza quello delle ragazze, il numero dei modi complessivi è il prodotto dei singoli modi P7 7! 7 6 5 4 3 2 1 5040 6 6 36 4 Disposizioni con ripetizione Una disposizione con ripetizione di n oggetti in k posti è ogni raggruppamento di k oggetti scelti fra gli n, ma senza l’obbligo di usare un oggetto al massimo una volta. Dn' ,k nk Disposizioni con ripetizione - esercizi 1 Utilizzando i 3 simboli A,B, C, quante stringhe di 5 lettere posso costruire? Gli oggetti (3) sono distinti e si possono ripetere in una sequenza ordinata di 5 >3 elementi. Disposizioni con ripetizione: D '3,5 35 243 2 Quante sono le possibili colonne del totocalcio (attuale con 14 partite) ? Gli oggetti (3) sono distinti e si possono ripetere in una sequenza ordinata di 14 > 3 elementi. Disposizioni con ripetizione: D '3,14 314 3 Se si lancia 10 volte una moneta, quante sono le sequenze possibili? Poiché dal lancio di una moneta si può ottenere solo T o C (2 oggetti), nella sequenza ordinata di 10 monete, si ripetono più volte. Disposizioni con ripetizione. D '2,10 210 1024 4 Una password è costituita da una sequenza di 5 lettere (scelte fra le 26 dell’alfabeto inglese), e da una sequenza di 3 cifre (da 0 a 9), lettere e cifre che si possono ripetere. Quante password distinte sono possibili? Le lettere (26) e le cifre (10) sono distinte e si possono ripetere; poiché la costruzione della parte letterale è indipendente da quella numerica, il numero di password è dato dal prodotto di due diposizioni con ripetizione n D '26,5 D '10,3 265 103 5 6 In un’urna sono presenti 3 palline di colore rosso, nero, e bianco. Effettuando 4 estrazioni e rimettendo di volta in volta la pallina estratta nell’urna, quante possibili sequenze di colori ottengo? Disponendo di bandiere di 7 colori diversi, quanti messaggi differenti si possono formare usando 4 bandiere per volta. I colori (3) sono distinti e si possono ripetere in una sequenza ordinata di 4 >3 elementi. Disposizioni con ripetizione: D '3,4 34 81 I colori delle bandiere (7) sono distinti e si possono ripetere in una sequenza ordinata di 4 elementi. Disposizioni con ripetizione: D '7,4 74 2401 7 Quanti numeri di 3 cifre si possono costruire con i primi 5 numeri naturali? I numeri (5) si possono ripetere nella sequenza ordinata di 3 cifre. Disposizioni con ripetizione. D '5,3 53 125 5